SISTEMAS LINEALES DE ECUACIONES EN DIFERENCIAS DE PRIMER ORDEN

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1 SISTEMAS LINEALES DE ECUACIONES EN DIFERENCIAS DE PRIMER ORDEN Alejandro Lugon Ecuaciones planares: dos dimensiones El sistema homogeneo: x t+1 a 11 x t + a 12 y t y t+1 a 21 x t + a 22 y t puedes ser escrito como: donde X t x t y t y A La solución toma la forma: a 11 a 12 a 21 a 22. X t+1 A X t X t A t el problema de encontrarla entonces es el problema de calcular A t. Veamos los tres casos posibles considerando 1 det(a) 0: 1.1. La matriz A tiene dos valores propios reales diferentes Sean λ 1 y λ 2 dichos valores propios y v 1 y v 2 sendos vectores propios asociados. Si formamos la matriz V [v 1 v 2 ] sabemos que: V 1 AV λ λ 2 1 En particular esto nos asegura que ningún valor propio es nulo 1

2 con lo cual: usamos esto para calcular: V 1 A t V (V 1 AV ) t A t V λ λ 2 λt 1 0 t V 1 λt 1 0 y obtenemos la solución: X t V λt 1 0 V 1 [v 1 v 2 ] λt 1 0 v 11λ t 1 v 21 λ t 2 v 12 λ t 1 v 22 λ t 2 K 1 K 1v 11 λ t 1 + K 2 v 21 λ t 2 K 1 v 12 λ t 1 + K 2 v 22 λ t 2 V 1 K 2 K 1 v 1 λ t 1 + K 2 v 2 λ t La matriz A tiene dos valores propios reales iguales : Sea λ 0 el valor de dichos valores propios y v el vector propio asociado. Podemos conseguir otro vector propio generalizado w resolviendo el sistema (A λi)w v. De esta manera: Av λv Aw λw + v Con estos v y w formamos la matriz V [v w], podemos calcular: V 1 AV V 1 (AV ) V 1 [Av Aw] V 1 [λv λw + v] λv 1 [v w] + V 1 [0 v] λi λ 1 0 λ 2

3 Nuevamente tenemos: (V 1 AV ) t V 1 A t V λ 1 0 λ t Se puede probar por inducción que: λ 1 0 λ t A t V λt λt. Luego: V 1 y la solución es: X t V λt [vw] v 1λ t v 2 λ t λt V 1 v 1 + w 1 λ t v 2 + w 2 λ t V 1 K 1 K 2 K 1v 1 λ t + K 2 (v 1 + w 1 λ t ) K 1 v 2 λ t + K 2 (v 2 + w 2 λ t ) ( ) (K 1 v + K 2 w) λ t K2 + λ v tλ t (K 1 v + K 2 (w + tλ )) v λ t Lo que vemos es que cada componente de la solución es una combinación lineal de λ t y tλ t : x t x + b 1 tλ t y t λ t + b 2 tλ t donde b 1 y b 2 se encuentran reemplazando esta solución en la ecuación original. 3

4 1.3. La matriz A tiene valores propios complejos (conjugados) Sean α + iβ y α iβ las raíces del polinomio característico. En general estos no tienen vectores propios reales asociados a ellos, pero si podemos encontrar un vector complejo v 1 + iv 2, con v 1 y v 2 vectores reales independientes, tal que: A(v 1 + iv 2 ) (α iβ)(v 1 + iv 2 ) (αv 1 + βv 2 ) + i( βv 1 + αv 2 ) igualando las partes reales e imaginarias tenemos que: Av 1 αv 1 + βv 2 Av 2 βv 1 + αv 2 luego en este caso se puede construir una matriz V [v 1 v 2 ] tal que: V 1 AV V 1 (AV ) V 1 ([αv 1 + βv 2 βv 1 + αv 2 ]) V 1 [αv 1 βv 1 ] + V 1 [βv 2 αv 2 ] α β 0 0 α β β α β α R Cos(θ) Sen(θ) Sen(θ) Cos(θ) donde: R α 2 + β 2 Cos(θ) α R De esta forma: y la solución es: V 1 A t V R t Cos(θt) Sen(θt) Sen(θt) Cos(θt) 4

5 X t R t V Cos(θt) Sen(θt) R t [v 1 v 2 ] Cos(θt) Sen(θt) Sen(θt) Cos(θt) Sen(θt) Cos(θt) V 1 K 1 R t [v 1 v 2 ] K 1Cos(θt) K 2 Sen(θt) K 1 Sen(θt) + K 2 Cos(θt) R t (K 1 (Cos(θt) K 2 Sen(θt)) v 1 + (K 1 Sen(θt) + K 2 Cos(θt)v 2 )) K 2 Ahora cada componente de la solución es una combinación lineal de R t Cos(θt) y R t Sen(θt): x t x 0 R t Cos(θt) + b 1 R t Sen(θt) y t R t Cos(θt) + b 2 R t Sen(θt) donde b 1 y b 2 se encuentran reemplazando esta solución en la ecuación original. 2. Ecuaciones de dimensión mayor que 2 Sea el sistema: X t+1 A X t donde x t R n y A es una matriz n n. El polinomio característico de la matriz A: det(a λi) 0 tiene, tomando en cuenta la multiplicidad, n raíces entre reales y complejas. Las raíces reales pueden ser múltiples. Las raíces complejas se presentan en pares conjugados los cuales también pueden ser simples o múltiples. La solución general del sistema de ecuaciones diferenciales está determinada por una combinación lineal de n soluciones independientes. Estas soluciones corresponden a las raíces del polinomio característico, consideremos que tenemos M raíces reales λ j con multiplicidad m j y 2N raíces complejas conjugadas por pares 5

6 (N pares), α l ± iβ l R(Cos(θ) ± Sen(θ)) con multiplicidad m l cada par 2. La solución se conforma la siguiente manera: Cada raíz real, λ j con multiplicidad m j, genera los m j términos: K j,1 (λ j ) t, K j,2 t(λ j ) t, K j,3 t 2 (λ j ) t,..., K j,mj t mj 1 (λ j ) t Cada par de raíces complejas conjugadas R(Cos(θ l ) ± Sen(θ l )) con multiplicidad m l, genera los 2m l términos: K l,1 R t Cos(θ l t), K l,3 tr t Cos(θ l t), K l,5 t 2 R t Cos(θ l t),..., K l,2ml 1t m l 1 R t Cos(θ l t) K l,2 R t Sen(θ l t), K l,4 tr t Sen(θ l t), K l,6 t 2 R t Sen(θ l t),..., K l,2ml t m l 1 R t Sen(θ l t) De esta manera cada una de las componentes de la solución, X i (t) es una combinación lineal de todos los términos generados. Esta combinación genera n 2 constantes que se pueden determinar de la siguiente manera. Primero se verifica que sean solución del sistema planteado, esto nos deja con n constantes por determinar. Estas son las constantes que dependen de las condiciones iniciales. 2 En ambos casos las raíces simples tienen multiplicidad m 1 6