Análisis cualitativo de sistemas no lineales

Transcripción

1 Análisis cualitativo de sistemas no lineales Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Andrés Iturriaga J. Departamento de Ingeniería Matemática Universidad de Chile Primavera 2011 Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

2 Definiciones previas I Muchos fenómenos de la naturaleza no pueden ser modelados de manera flexible por un sistema de ecuaciones lineales, lo que nos lleva a estudiar sistemas no lineales. A pesar de que para muchos de estos problemas es muy difícil determinar soluciones explícitas, muchas veces es posible hacer un estudio cualitativo para aprender acerca del comportamiento de estas. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

3 Definiciones previas II Sea I R (un intervalo) y F : I R n R n una función. Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden con condición inicial X 0 R n en t 0 I: { X (t) = F (t, X(t)), t I, X(t 0 ) = X 0. Si la función F es no lineal con respecto a la variable X, se dirá que es un sistema no lineal (SNL). Si además F no depende explícitamente de la variable t, se dirá que es un sistema no lineal autónomo (SNLA). Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

4 Definiciones previas III Si X : I R n es solución del SNLA, entonces X c : I c R n definida por X c (t) = X(t c) también lo es, donde I c denota el intervalo I desplazado hacia la derecha en c. Notación: El vector X(t) R n, solución del sistema en el punto t I, se denomina vector de estado. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

5 Definiciones previas IV Sea h : I R n R una función. Toda ecuación de orden superior de la forma y (n) = h(t, y, y,..., y (n 1) ) con y(t 0 ) = y 0, y (t 0 ) = y 1,..., y (n 1) (t 0 ) = y n 1 se puede llevar, mediante un cambio de variables, a la forma SNL. Si h no depende explícitamente de t, se puede llevar a la forma SNLA. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

6 Definiciones previas V Ejemplo: Un péndulo simple sometido a un ambiente con roce y a una fuerza externa queda descrito por la ecuación: mθ + cθ + mg L sen(θ) = f(t), θ(0) = θ 0, θ (0) = θ 0, donde θ es el ángulo que el péndulo forma con la vertical. Mediante el cambio de variables x = θ, y = θ, Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

7 Definiciones previas VI se obtiene el siguiente SNL: x = y, y = c m y g sen(x) + f(t). L Sin la fuerza externa se obtiene el siguiente SNLA: x = y, y = c m y g L sen(x). Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

8 Sistemas no lineales y sistemas linealizados I De aquí en adelante nos restringiremos a problemas en dos dimensiones y autónomos de la forma (SNLA): { x = F (x, y), x(t 0 ) = x 0 y = G(x, y), y(t 0 ) = y 0, con F y G funciones continuamente diferenciables. El Teorema de existencia y unicidad local garantiza que siempre tendremos una única solución local. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

9 Sistemas no lineales y sistemas linealizados II Decimos que ( x, ȳ) es un punto crítico o de equilibrio del SNLA si { F ( x, ȳ) = 0 G( x, ȳ) = 0. Se llama nulclina en x a la curva definida por F (x, y) = 0 y nulclina en y a la curva definida por G(x, y) = 0. Los puntos críticos son las intersecciones de las nulclinas. El conjunto de puntos críticos del sistema se denota por C = {( x, ȳ) R 2 : F ( x, ȳ) = G( x, ȳ) = 0}. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

10 Sistemas no lineales y sistemas linealizados III Haciendo un desarrollo de Taylor en torno al punto crítico ( x, ȳ), obtenemos el siguiente sistema linealizado: (SL) { x = a(x x) + b(y ȳ) y = c(x x) + d(y ȳ), o en su forma matricial ( x y ) ( x x = J( x, ȳ) y ȳ ) Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

11 Sistemas no lineales y sistemas linealizados IV donde y a = F ( x, ȳ), x b = F ( x, ȳ), y c = G x ( a b J( x, ȳ) = c d G ( x, ȳ) y d = ( x, ȳ), y es la matriz Jacobiana de la función vectorial (F (x, y), G(x, y)) t. ), Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

12 Sistemas no lineales y sistemas linealizados V Un SNLA es degenerado en torno a ( x, ȳ) si J( x, ȳ) = 0. Un punto crítico ( x, ȳ) de un SNLA es aislado si existe δ > 0 tal no hay ningún otro punto crítico en la bola de centro( x, ȳ) y radio δ. Si un punto crítico no es aislado, se dice que los puntos críticos son densos en torno a ( x, ȳ). Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

13 Sistemas no lineales y sistemas linealizados VI Propiedades. Sea ( x, ȳ) un punto crítico del SNLA. 1 Si J( x, ȳ) 0, entonces ( x, ȳ) es el único punto crítico del SL. En particular es aislado para el SL. 2 Si J( x, ȳ) = 0, entonces los puntos críticos del SL son densos en torno a ( x, ȳ). Más precisamente, el conjunto C es una recta que contiene a ( x, ȳ) si J( x, ȳ) y es todo el plano si J( x, ȳ) = Si J( x, ȳ) 0, entonces ( x, ȳ) es un punto crítico aislado del SNLA. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

14 Sistemas no lineales y sistemas linealizados VII En resumen, un sistema que no es degenerado en torno a ( x, ȳ) cumple que ( x, ȳ) es un punto crítico aislado del SNLA y es el único punto crítico del SL. Ejemplo. Consideremos el sistema { x = x 3 y = y 3. Vemos que (0, 0) es un punto crítico aislado de este sistema. Sin embargo, J(x, y) = ( 3x y 2 ) ( 0 0, de donde J(0, 0) = 0 0 ). Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

15 Sistemas no lineales y sistemas linealizados VIII Por lo tanto, este sistema es degenerado en torno al (0, 0). Si intentamos hacer la linealización en torno a (0, 0) obtenemos { x = 0 cuyos puntos críticos son C = R 2. y = 0, Obs: Este ejemplo nos muestra que la recíproca del tercer punto, de las propiedades anteriores, es falsa. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

16 Sistemas no lineales y sistemas linealizados IX Ejemplo (Ovejas y Conejos). El siguiente sistema { x = 60x 3x 2 4xy y = 42y 3y 2 2xy, tiene los siguientes puntos críticos: Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

17 Sistemas no lineales y sistemas linealizados X Todos los puntos críticos del SNLA son no degenerados. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

18 Diagramas de Fase I Dado el SNLA { x = F (x, y) y = G(x, y) con condición inicial (x(t 0 ), y(t 0 )) = (x 0, y 0 ), a la solución del problema de Cauchy se le llama trayectoria que parte de (x 0, y 0 ). Más precisamente, es la función T : I 0 R 2 t (x(t), y(t)), donde I 0 es su intervalo máximo de existencia. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

19 Diagramas de Fase II El recorrido R de una trayectoria es el conjunto imagen de la función T. Es decir, R = { (x(t), y(t)) R 2 : t I 0 }. Claramente dos trayectorias distintas pueden tener el mismo recorrido. Un diagrama de fases de este sistema autónomo es una colección de recorridos de trayectorias, para un número representativo de condiciones iniciales. El plano donde se grafica el diagrama de fases se llama plano de fase. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

20 Diagramas de Fase III Una consecuencia del Teorema de Existencia y Unicidad es la siguiente: Proposición 1.1 Si dos trayectorias se intersectan, entonces sus recorridos coinciden. Lo que sí se puede dar para dos trayectorias distintas, es que sus recorridos se confundan. Por ejemplo, tomemos la trayectorias (x 1 (t), y 1 (t)) = (sen(t), cos(t)) con (x(0), y(0)) = (0, 1), (x 2 (t), y 2 (t)) = (cos(t), sen(t)) con (x(0), y(0)) = (1, 0). Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

21 Diagramas de Fase IV Elevando al cuadrado cada componente y sumando vemos que ambas trayectorias satisfacen x 2 + y 2 = 1. También es fácil ver que recorren toda la circunferencia, sin embargo, lo hacen en sentidos opuestos, como se ilustra en la siguiente figura: Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

22 Diagramas de Fase V El diagrama de flujo se construye al graficar en una colección de puntos (x, y) representativos, el vector (F (x, y), G(x, y)). Por regla de la cadena se tiene que dy dt = dy dx dx dt y luego dy dx = y G(x, y) x = F (x, y). Por lo tanto, el recorrido de la trayectoria es tangente al flujo. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

23 Diagramas de Fase VI Ejemplo. Consideremos el sistema { x = x y = ky, donde k es una constante no nula, con condiciones iniciales x(0) = x 0 e y(0) = y 0, que tiene como solución: { x(t) = x0 e t y(t) = y 0 e kt. Encuentre los diagramas de fase para k = 1, k = 2 y k = 1. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

24 Diagrama de fase para k = 1 Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

25 Diagrama de fase para k = 2 Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

26 Diagrama de fase para k = 1 Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

27 Clasificación de puntos críticos I Un punto crítico ( x, ȳ) es estable si para cada ε > 0 podemos encontrar δ > 0 de manera que (x(t), y(t)) ( x, ȳ) < ε para todo t, siempre que (x 0, y 0 ) ( x, ȳ) < δ. De lo contrario se dice que es inestable. un punto crítico ( x, ȳ) es asintóticamente estable si es estable y además existe δ > 0 tal que lím (x(t), y(t)) = ( x, ȳ), siempre que (x 0, y 0 ) ( x, ȳ) < δ. t Notemos que no todo punto estable es asintóticamente estable. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

28 Clasificación de puntos críticos II Se dice que una trayectoria t ( x(t), y(t) ) converge o tiende al punto crítico ( x, ȳ) cuando t si lím x(t) = x y lím y(t) = ȳ. t t Análogamente se define la convergencia cuando t. Notemos que las trayectorias pueden converger de distintas formas como se aprecia en la siguiente figura: Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

29 Clasificación de puntos críticos III Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

30 Clasificación de puntos críticos IV Si (x(t), y(t)) converge al punto ( x, ȳ) cuando t y además l = lím t y(t) ȳ x(t) x, existe, se dice que la trayectoria entra al punto crítico ( x, ȳ) tangente a una semirrecta de pendiente l cuando t. Si (x(t), y(t)) converge al punto ( x, ȳ) cuando t y además l = y(t) ȳ lím t x(t) x, existe, se dice que la trayectoria sale del punto crítico ( x, ȳ) tangente a una semirrecta de pendiente l cuando t. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

31 Clasificación de puntos críticos V Un punto crítico aislado ( x, ȳ) se llama nodo si todas las trayectorias vecinas, o bien entran al punto ( x, ȳ), o bien salen de él. Un punto crítico aislado ( x, ȳ) se llama punto silla si existen dos trayectorias que entran a él tangentes a semirrectas opuestas y dos que salen de la misma forma. Las restantes trayectorias no convergen a ( x, ȳ) y tienen como asíntotas a las semirrectas antes mencionadas. Diremos que un punto crítico es punto espiral si todas las trayectorias en una vecindad del punto convergen pero no entran cuando t, o convergen pero no salen cuando t. Un punto crítico es un centro si todas las trayectorias en una vecindad del punto son cerradas y existen trayectorias arbitrariamente cerca del punto. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

32 Nodo Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

33 Punto Silla Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

34 Punto Espiral Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

35 Centro Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

36 Puntos críticos de sistemas lineales I Consideremos el sistema lineal { x = ax + by y = cx + dy, (1) con condiciones iniciales x(t 0 ) = x 0, y(t 0 ) = y 0, y ad bc 0. De esta forma el punto (0, 0) es el único punto crítico del sistema (y es aislado). ( ) a b Tomamos A = con valores propios λ c d 1, λ 2. Recordemos que una matriz invertible no tiene al cero como valor propio. Luego λ 1, λ 2 0. Pueden ocurrir los siguientes casos: Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

37 Puntos críticos de sistemas lineales II A. Casos Principales: 1 λ 1, λ 2 reales distintos pero de igual signo. 2 λ 1, λ 2 reales distintos y de distinto signo. 3 λ 1, λ 2 complejos (conjugados), con parte real no nula. B. Casos Frontera: 1 λ 1, λ 2 reales e iguales. 2 λ 1, λ 2 imaginarios puros (conjugados). Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

38 Puntos críticos de sistemas lineales III A. Casos principales: Valores propios distintos implica matriz diagonalizable A = P DP 1. La solución del sistema lineal es: ( ) ( ) x = e At x0 y y 0 ( ) ( ) ( ) P 1 x e λ 1 t 0 = y 0 e λ 2t P 1 x0 y 0 ( ) ( ) ( ) x e λ 1 t 0 x0 = ỹ 0 e λ 2t ỹ 0 Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

39 Puntos críticos de sistemas lineales IV El problema de desacopla en nuevas coordenadas x, ỹ introducidas por las direcciones de los valores propios (llamadas direcciones propias). Luego { x = e λ 1t x 0, ỹ = e λ 2tỹ 0. Para estudiar el diagrama de fase eliminamos la variable t de las ecuaciones anteriores y obtenemos que ỹ = c 0 x λ 2 λ 1, donde c 0 = ỹ0 λ 2 λ x 1 0 es una constante. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

40 Puntos críticos de sistemas lineales V A.1. λ 1, λ 2 reales distintos de igual signo. Sólo hay 2 casos: λ 2 λ 1 > 1 o λ 2 λ 1 < 1. Diagramas de fase para λ 2 λ 1 > 1. Izq.: λ 2 < λ 1 < 0 y se tiene estabilidad asintótica. Der.: 0 < λ 1 < λ 2 y el origen es inestable. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

41 Puntos críticos de sistemas lineales VI Diagramas de fase para λ 2 λ 1 < 1. Izq.: λ 1 < λ 2 < 0 y se tiene estabilidad asintótica. Der.: 0 < λ 2 < λ 1 y el origen es inestable. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

42 Puntos críticos de sistemas lineales VII En conclusión, el pto. (0, 0) es un nodo. Si los valores propios son negativos el pto. (0, 0) es asintóticamente estable y si los valores propios son positivos el pto.(0, 0) es inestable. Más aún, los recorridos de las trayectorias son siempre tangentes a la recta dada por la dirección del vector propio asociado al valor propio de menor módulo. En efecto: λ 1 < λ 2 λ 2 λ 1 > 1, entonces recorrido tangente a v 1. λ 2 < λ 1 λ 2 λ 1 < 1, entonces recorrido tangente a v 2. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

43 Puntos críticos de sistemas lineales VIII A.2. λ 1, λ 2 reales con distinto signo. El punto crítico es un pto. silla, que por supuesto es inestable. Las trayectorias entran en la dirección propia asociada al valor propio negativo y salen en la dirección propia asociada al valor propio positivo. Sus diagramas de fase son: Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

44 Puntos críticos de sistemas lineales IX Ejemplo. (Continuación de conejos y ovejas). Sabemos que C = {(0, 0), (0, 14), (20, 0), (12, 6)}. Sabemos que todos los puntos críticos del SNLA son no degenerados. Clasifiquemos estos puntos respecto al sistema ( linealizado: ) J(0, 0) =. Valores propios: λ = 60, λ 2 = 42. Nodo inestable. ( ) ( ) 1 0 Los vectores propios son: v 1 =, v 0 2 =. 1 Los recorridos de las trayectorias son tangentes a la dirección v 2 (salvo dos que son tangentes a v 1 ). Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

45 Puntos críticos de sistemas lineales X ( ) J(20, 0) =. Valores propios: λ = 60, λ 2 = 2. Punto silla. ( ) ( ) 1 80 Los vectores propios son: v 1 =, v 0 2 =. -62 El eje de las trayectorias convergentes es la dirección v 1. ( ) J(0, 14) =. Valores propios: λ = 4, λ 2 = 42. Punto silla. ( ) ( ) 46 0 Los vectores propios son: v 1 =, v =. 1 El eje de las trayectorias convergentes es la dirección v 2. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

46 Puntos críticos de sistemas lineales XI ( ) J(12, 6) = Valores propios: λ 1 = , 6, λ 2 = , 4. Nodo asintóticamente estable. Los vectores propios son: ( v 1 = ), v 2 = ( Los recorridos de las trayectorias son tangentes a la dirección v 2 (salvo dos que son tangentes a v 1 ). ). Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

47 Puntos críticos de sistemas lineales XII Un esbozo del diagrama de fases es: Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

48 Puntos críticos de sistemas lineales XIII A.3. λ 1, λ 2 complejos conjugados, por parte real no nula, esto es λ 1 = α + iβ, λ 2 = α iβ con α 0 y β 0. En este caso el origen es un punto espiral asintóticamente estable si α < 0 y un espiral inestable si α > 0. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

49 Puntos críticos de sistemas lineales XIV B. Casos frontera: B.1. Un sólo valor propio λ con multiplicidad 2. Tenemos el sistema { x = ax + by, y = cx + dy, ( ) a b con la matriz A = no necesariamente diagonalizable, no obstante, c d siempre se puede llevar a su forma canónica de Jordan A = P JP 1, donde J puede tener uno o dos bloques. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

50 Puntos críticos de sistemas lineales XV Si J tiene un bloque, la matriz es diagonalizable, con ( ) ( λ 0 J = y de aquí e Jt e λt 0 = 0 λ 0 e λt ). Luego, la ecuación en las nuevas coordenadas, dadas por los vectores propios generalizados v 1, v 2, es: ( ) ( ) ( ) { x e λt 0 x0 x = e λt x = ỹ 0 e λt 0 ỹ 0 ỹ = e λt ỹ 0 Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

51 Puntos críticos de sistemas lineales XVI El pto. crítico será un nodo asintóticamente estable si el valor propio es negativo y un nodo inestable si es positivo. Este tipo de nodos se denomina nodos estrella. Caso λ < 0. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

52 Puntos críticos de sistemas lineales XVII Si la matriz no es diagonalizable, tenemos: ( ) ( λ 1 J = y entonces e Jt e λt te = λt 0 λ 0 e λt ). El sistema en las nuevas coordenadas dadas por los vectores propios generalizados v 1, v 2, es: ( ) ( x e λt te = λt ) ( ) { x0 x = e λt x ỹ 0 e λt 0 + te λt ỹ 0 ỹ 0 ỹ = e λt ỹ 0 Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

53 Puntos críticos de sistemas lineales XVIII Si λ < 0 resulta un nodo asintóticamente estable y λ > 0, es un nodo inestable. Manipulando las ecuaciones anteriores se obtiene que ( x0 x = ỹ + 1 ( )) ỹ ỹ 0 λ ln. Este tipo de puntos críticos se denominan nodos en S. ỹ 0 Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

54 Puntos críticos de sistemas lineales XIX B.2. λ 1, λ 2 imaginarios puros conjugados. Esto equivale (vía un cambio de base) al sistema { x = βỹ, ỹ = β x. Luego, el punto crítico es un centro y resulta ser estable. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

55 Puntos críticos de sistemas lineales XX Teorema 1.2 (Poincaré) Sea ( x, ȳ) un punto crítico de un SNLA no degenerado y sean λ 1, λ 2 los valores propios de J( x, ȳ). El punto crítico ( x, ȳ) en el SNLA será: (i) Un nodo si λ 1, λ 2 R son distintos y tienen el mismo signo. En este caso además todas los trayectorias (excepto dos) son tangentes en ( x, ȳ) a la dirección propia asociada al valor propio de módulo menor. Las otras dos, están sobre la otra dirección propia. (ii) Un punto silla si λ 1, λ 2 R tienen distinto signo. En este caso además hay dos trayectorias convergentes a ( x, ȳ) en la dirección propia asociada al valor propio negativo, y dos divergentes en la dirección propia asociada al valor propio positivo. Las demás, tienen como asíntotas las direcciones propias. (iii) Un punto espiral si λ 1, λ 2 C, con partes real e imaginaria distintas de cero. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

56 Puntos críticos de sistemas lineales XXI Teorema 1.3 (Liapunov) Sea ( x, ȳ) un punto crítico de un SNLA no degenerado y sean λ 1, λ 2 los valores propios de J( x, ȳ). El punto crítico ( x, ȳ) en el SNLA será: (i) Asintóticamente estable si las partes reales son negativas. (ii) Inestable si alguno tiene parte real positiva. Los resultados anteriores son la base del análisis de los sistemas no lineales, pero no nos dicen nada en los casos en que los valores propios toman los valores frontera. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

57 El enfoque traza-determinante I Consideremos el sistema lineal X (t) = AX(t) donde A M 2 2 (R) es una matriz invertible. El origen es el único punto crítico del sistema. Veremos cómo clasificarlo de acuerdo con las relaciones entre la traza y el determinante de A. Notación: x = tr(a) e y = det(a). El polinomio característico de A es p(λ) = λ 2 tr(a)λ + det(a). Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

58 El enfoque traza-determinante II Sus raíces son λ = tr(a) ± tr(a) 2 4det(A). 2 Las raíces son reales sobre la parábola 4det(A) = tr(a) 2. En nuestra notación esto es 4y = x 2. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

59 El enfoque traza-determinante III Cuando 4y > x 2 (encima de la parábola) tendremos raíces complejas conjugadas. Si tr(a) < 0 (región 1) tendremos un pto. espiral inestable. Si tr(a) = 0 (eje OY) tendremos un centro. Si tr(a) > 0 (región 2) tendremos un pto. espiral estable. En el semiplano det(a) < 0 (región 5) las raíces son reales y tienen distinto signo, por lo que tendremos sólo ptos. sillas inestables. Veamos qué pasa entre la parábola 4y = x 2 y la recta y = 0. Si tr(a) > 0 (región 3) hay dos raíces reales negativas, por lo que tendremos un nodo asintóticamente estable. Si tr(a) < 0 (región 4) hay dos raíces reales positivas y tendremos un nodo inestable. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

60 El enfoque traza-determinante IV Sobre la parábola tenemos una raíz real con multiplicidad 2. Se tienen nodos inestables si tr(a) < 0 y nodos asintóticamente estables si tr(a) > 0. Hemos concluido así una forma que nos permite tener una idea general de los ptos. críticos del sistema sólo viendo la traza y el determinante de la matriz. Sin embargo, si queremos un gráfico preciso del diagrama de fases es inevitable calcular los vectores propios, pues indican las direcciones de tangencia de las trayectorias, para el caso que corresponda. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

61 Energía, funciones de Liapunov y estabilidad I Un concepto útil en física para clasificar los puntos de equilibrio de un sistema es el de energía, gracias al siguiente principio: En sistemas conservativos, un punto crítico es estable si es un mínimo local de la energía total. Consideremos el sistema conservativo x + f(x) = 0. Entonces t2 t2 x (t)x (t)dt + f(x(t))x (t)dt = 0. t 1 t 1 Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

62 Energía, funciones de Liapunov y estabilidad II Usando que d x 2 dt = 2x x y haciendo el cambio de variables x = x(t) se tiene que x (t 2 ) 2 x (t 1 ) 2 x2 + f(s)ds = x 1 Definiendo F (x) = x 0 f(s)ds sigue que x (t 2 ) 2 + F (x 2 ) = x (t 1 ) 2 + F (x 1 ). 2 2 Lo anterior quiere decir que la siguiente cantidad es conservada a lo largo de las trayectorias: Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

63 Energía, funciones de Liapunov y estabilidad III E(x, y) = y2 2 + F (x). Las curvas de iso-energía quedan así parametrizadas por E de la forma y = ± 2(E F (x)). Ejemplo. (Péndulo sin roce) Consideremos el sistema { x = y y = g L sen(x). En este caso la cantidad conservada es: Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

64 Energía, funciones de Liapunov y estabilidad IV E(x, y) = y2 y2 + F (x) = 2 2 g L cos(x). Las curvas de iso-energía tienen la forma y = ± 2 (E + g ) L cos(x) y están parametrizadas por E de 1 a. En la siguiente figura se muestran algunas de dichas curvas. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

65 Energía, funciones de Liapunov y estabilidad V Curvas de iso-energía en el caso del péndulo no lineal conservativo. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

66 Energía, funciones de Liapunov y estabilidad VI La energía total del sistema es V (x, y) = K + U = 1 2 ml2 y 2 + mgl(1 cos(x)) = ml 2 E(x, y) + mgl. Luego, las curvas de nivel de E y V son cualitativamente iguales. Si queremos verificar directamente que V es conservada a lo largo de las trayectorias, el procediento es el siguiente: dv dt = V dx x dt + V dy y dt = mgl sen(x)x + ml 2 yy = mgl sen(x)y + ml 2 y ( g ) L sen(x) = 0, t. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

67 Energía, funciones de Liapunov y estabilidad VII Así, V (t) = V 0, t y la energía se mantiene constante (sistema conservativo). Por otra parte, los mínimos locales de V (o de E) son efectivamente los puntos críticos del sistema: {(2kπ, 0) : k Z}. Si el sistema parte en uno de ellos, permanece en él; pero si parte de un punto distinto, las trayectorias no pueden tender a ningún punto crítico, pues ellas se mantienen a niveles constantes de energía. Esto dice que ningún punto crítico puede ser asintóticamente estable. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

68 Energía, funciones de Liapunov y estabilidad VIII Ejemplo. (Péndulo con roce) Consideremos el sistema { x = y y = c m y g L sen(x). Las ecuaciones para la energía son las mismas, por lo que todavía V (x, y) = 1 2 ml2 y 2 + mgl(1 cos(x)). Sin embargo, si derivamos y reemplazamos x, y, obtenemos dv dt = cl2 y 2 0. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

69 Energía, funciones de Liapunov y estabilidad IX Así, la energía disminuye con el paso del tiempo y se dice que el sistema es disipativo. En este caso la pérdida de energía se debe al roce y es natural pensar que entonces debe tener más posibilidad de evolucionar hacia un punto de equilibrio estable. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

70 Energía, funciones de Liapunov y estabilidad X Consideremos el sistema siguiente: x + f(x) + g(y) = 0 tal que yg(y) 0, entonces si E(x, y) = y2 2 cumplirá que + F (x) (como antes), se de dt = yy + f(x)y = y( f(x) g(y)) + f(x)y = yg(y) 0, es decir, el sistema disipará energía. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

71 Energía, funciones de Liapunov y estabilidad XI Dado un punto ( x, ȳ) R 2, una corona alrededor de ( x, ȳ) es un conjunto D r de la forma {(x, y) R 2 : 0 < (x, y) ( x, ȳ) < r}. Notemos que D r = B r ( x, ȳ) \ {( x, ȳ)}. Una vecindad perforada de ( x, ȳ) es un abierto que no contiene a ( x, ȳ), pero contiene a una corona alrededor de ( x, ȳ). Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

72 Energía, funciones de Liapunov y estabilidad XII Consideremos el SNLA { x = F (x, y), x(t 0 ) = x 0 y = G(x, y), y(t 0 ) = y 0, donde F y G funciones continuamente diferenciables. Sean ( x, ȳ) un punto crítico aislado del SNLA y D r una corona alrededor de ( x, ȳ). Una función continuamente diferenciable V : B r ( x, ȳ) R es una función de Liapunov para el sistema en torno al punto crítico ( x, ȳ) si satisface las siguientes condiciones: 1 Se anula en ( x, ȳ) y es positiva en todo D r. V 2 x F + V y G 0 en D r. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

73 Energía, funciones de Liapunov y estabilidad XIII Si la desigualdad en (2) es siempre estricta, decimos que V es una función de Liapunov estricta. Observemos que, a lo largo de las soluciones del sistema, la función de Liapunov decrece. Más precisamente, d V V (x(t), y(t)) = dt x x (t) + V y y (t) = V V F (x(t), y(t)) + G(x(t), y(t)) 0, x y lo que hace evidente la cercanía entre las funciones de Liapunov y energía. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

74 Energía, funciones de Liapunov y estabilidad XIV Teorema 1.4 (Estabilidad por funciones de Liapunov) Sea ( x, ȳ) un punto crítico aislado del SNLA. 1. Si existe una función de Liapunov en torno a ( x, ȳ), entonces el punto crítico es estable. 2. Si además la función de Liapunov es estricta, el punto crítico es asintóticamente estable. 3. Por el contrario, si existe una función con las mismas características, pero con V x F + V y G > 0 en D r, entonces el punto crítico es inestable. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

75 Energía, funciones de Liapunov y estabilidad XV Para el ejemplo del péndulo sin roce la función V (x, y) = 1 2 ml2 y 2 + mgl(1 cos(x)) claramente se anula en los puntos críticos, es estrictamente positiva en todos los demás puntos y dv dt 0. Por el teorema anterior los puntos críticos son estables. En un sistema cualquiera, la función de Liapunov es una herramienta muy útil, pero el problema es que hay que probar con diferentes funciones y tratar de encontrar una que sirva. En el caso de sistemas físicos conservativos, la energía total del sistema es una buena función a considerar, aunque en el caso del péndulo amortiguado quizás pueda hacerse algo mejor. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

76 Energía, funciones de Liapunov y estabilidad XVI Para el péndulo amortiguado tomemos c m = g L cálculos. Probemos que la función = 1 para facilitar los V (x, y) = 1 2 (x + y)2 + x y2, es una función de Liapunov estricta en el origen. En efecto, esta función se anula sólo en el punto (x, y) = (0, 0), es positiva fuera del origen, continuamente diferenciable en todo R 2 y además V x F + V G y = (x + y + 2x)y (x + y + y)(y + sen(x)) = 2xy y 2 (x + 2y) sen(x). Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

77 Energía, funciones de Liapunov y estabilidad XVII Por el teorema de Taylor sabemos que sen(x) = x cos(ξ) x 3 3 para algún ξ entre 0 y x. Como para usar el teorema basta encontrar una vecindad del origen, consideremos π 2 < x < π 2, con lo que 0 < cos(ξ) < 1. Reemplazando vemos que V x F + V y G = (x2 + y 2 ) + cos(ξ) x 3 (x + 2y). 3 Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

78 Energía, funciones de Liapunov y estabilidad XVIII No es directo establecer si esta expresión cambia de signo o no, pero si hacemos el cambio a coordenadas polares x = r cos(θ), y = r sen(θ), obtenemos V x F + V y G = r2 + cos(ξ) r 4 (cos 4 (θ) + 2 cos 3 (θ) sen(θ)). 3 Claramente 1 < cos 4 (θ) + 2 cos 3 (θ) sen(θ) < 3 y entonces 1 3 < cos(ξ) (cos 4 (θ) + 2 cos 3 (θ) sen(θ)) < 1. 3 Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

79 Energía, funciones de Liapunov y estabilidad XIX Tomando r < 1 se tiene que cos(ξ) r2 (cos 4 (θ) + 2 cos 3 (θ) sen(θ)) 3 < 1, de donde vemos que V x F + V y G = r2 { ( cos(ξ) 1 + r 2 [ cos 4 (θ) + 2 cos 3 (θ) sen(θ) ])} < 0 3 en una vecindad del origen. El teorema anterior nos dice que el origen es un punto crítico asintóticamente estable. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

80 Energía, funciones de Liapunov y estabilidad XX Evolución de la energía total a lo largo de las trayectorias para el péndulo no-lineal. La energía total resulta ser una función de Liapunov no estricta, ya que no decrece escritamente cuando y = θ = 0. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80

81 GRACIAS!!! Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 80