Introducción a la teoría de ciclos ĺımite

Transcripción

1 Introducción a la teoría de ciclos ĺımite Salomón Rebollo Perdomo srebollo@inst-mat.utalca.cl Instituto de Matemática y Física de enero, Talca, CL

2 Contenido 1 Introducción Qué es un ciclo ĺımite? Campos vectoriales reales Ciclos ĺımite de campos vectoriales 2 Ciclos ĺımite en el plano I Resumen de primera presentación Importancia de ciclos ĺımite Herramientas para el estudio de ciclos ĺımite 3 Ciclos ĺımite en el plano II Ciclos ĺımite de familias especiales Ciclos ĺımite de campos vectoriales polinomiales 4 Ciclos ĺımite en el plano III Bifurcación de ciclos ĺımite 5 Ciclos ĺımite algebraicos 6 Problemas abiertos

9 Resumen: conceptos básicos Un campo vectorial es una función X : R 2 car R 2 vec, (x, y) f(x, y) x + g(x, y) y donde f(x, y) y g(x, y) son funciones reales. Una trayectoria de X es una función γ : (a, b) R 2, t γ(t) = (x(t), y(t)), cuyos vectores tangentes coinciden con los dados por X. Una órbita de X es la imagen γ R 2 de una trayectoria de X.

10 Problema fundamental (Poincaré) Determinar el retrato fase de X : describir topológicamente el comportamiento local y global de sus órbitas.

11 Resumen: conceptos básicos Un campo vectorial Hamiltoniano (en el plano) es de la forma: X H = H y x H x y, H = H(x, y) : R 2 R, H x y H y son sus derivadas parciales. Una curva de nivel de H es el conjunto f 1 (c) := {(x, y) R 2 f(x, y) = c}. Las trayectorias de X H están contenidas en las curvas de nivel de H.

12 Curvas de nivel de una funcio n Gra fica de H = x2 + y Curvas de nivel de H = x2 + y S. Rebollo-Perdomo Introduccio n a la teorı a de ciclos lı mite 2

13 Ejemplo de un campo vectorial Hamiltoniano Ejemplo H(x, y) = xy XH = x x y y Las curvas de nivel, {(x, y) R2 xy = c} de H son hipe rbolas cuyas ası ntotas son los ejes coordenados S. Rebollo-Perdomo Introduccio n a la teorı a de ciclos lı mite 1.0

14 Resumen: conceptos básicos Una órbita periódica es la imagen de una trayectoria periódica. Un ciclo ĺımite de un campo vectorial X es una órbita γ que satisface: 1 es periódica. 2 es topológicamente aislada en el conjunto de órbitas periódicas de X. Si X tiene una familia continua de órbitas periódicas, ellas forman un anillo periódico.

15 Tipos de órbitas periódicas Ejemplos de anillos periódicos Ciclos ĺımite (estable/inestable/semi-estable)

17 Problema fundamental Problema fundamental de un campo vectorial (Poincaré) Determinar el retrato fase de X : describir topológicamente el comportamiento local y global de sus órbitas.

18 Órbitas en el retrato fase de X Sea X un campo vectorial en U R 2 y p U. Teorema Existe una órbita de X que pase por p? Cuántas órbitas de X pasan por p? Cuántos tipos distintos de órbitas puede tener X? Sea U R 2 un abierto y X definido en U. Si X es de clase C k, con k 1, entonces dado un punto p de U existe una y sólo una trayectoria γ : ( a, a) R U de X tal que γ(0) = p. Si X de clase C 1 por p pasa una y sólo una órbita. Si X no es de clase C 1, entonces por un punto pueden pasar varias órbitas.

19 Cuántos tipos distintos de órbitas puede tener X? Ejemplo

20 Tipos de órbitas de un campo vectorial Conocemos tres tipo de órbitas Sólo existen tres tipo de órbitas singularidades órbitas periódicas curvas homeomorfas a (a, b)

21 Toda curva periódica es órbita de un campo X? Una curva periódica γ : [0, 2] R 2, t ( ) 2 cos(t) 2 cos(t) sin(t) sin 2, (t) + 1 sin 2 (t) + 1 γ(t) no es trayectoria de ningún campo vectorial.

22 Ciclos ĺımite en el retrato fase de X X = ( y + x(1 x 2 y 2 ) 2) x + ( x + y(1 x 2 y 2 ) 2) y Ejemplo Campo vectorial X 2 Órbitas de X

23 Ciclos ĺımite a partir de la representación de X Ejemplo Campo vectorial X 2 Órbitas de X X = ( y + x ( ) 11 2 ) ( ( ) 10 x2 y ) x + x + y 10 x2 y 2 y

24 Ciclos ĺımite en las aplicaciones 1 Un punto del plano puede representar el estado de un sistema. Ejemplo En un sistema depredador-presa un punto (x, y) representa: el número de presas x y el número de depredadores y. Ejemplo En un sistema de reacción química de dos sustancias A y B el punto (x, y) representa: la concentración de A y B, respect. 2 X indica el cambio (velocidad y dirección) de los estados. 3 Todo fenómeno que relaciona dos cantidades y que cambia en el tiempo pude ser modelado por un campo vectorial en el plano.

25 Ejemplo 1: Reacción química Modelo Brusselator Una reacción química con dos sustancias involucradas. La variación de las concentraciones, x y y esta dada por el campo vectorial X Bru = ( ) ( α (β + 1)x + x 2 y x + βx x y) 2 y. Los parámetros α, β > 0 dependen de la reacción química.

26 Ejemplo 2: Ecología Modelo depredador-presa Pensemos en un tipo de depredador y un tipo de presa que conviven en un ecosistema. La evolución del número de presas, x, y de depredadores, y, esta gobernada por el campo vectorial X LV = x (a bx cy) x + y ( d + ex fy) y. Los parámetros a, b, c, d, e, f > 0 dependen del sistema.

27 Ejemplo 3: Electrónica Circuito eléctrico Para determinar el estado del sistema, (i R, i L, i c, v R, v L, v C ), basta conocer x = i L y y = v C. La variación de x y y, esta dada por el campo vectorial X CE = (y f(x)) x x y, donde f(x) es una función que depende del sistema.

28 Interpretación de un ciclo ĺımite y su importancia practica Significado de un ciclo ĺımite 1 Un ciclo ĺımite es un atractor (positivo y/o negativo). 2 Un ciclo ĺımite es un movimiento periódico del sistema. 3 La estabilidad (estable, inestable, semi-estable) es fundamental para dar información acerca del comportamiento del sistema en el futuro.

30 Existencia de ciclos ĺımite Teorema de la región anular (Poincaré Bendixon) Supongamos que U es una región anular. X esta definido en U. X entra en U. X no tiene singularidades en U. Entonces X tiene al menos un CL en U.

31 No existencia de ciclos ĺımite Teorema de Bendixon Si G R 2 una región simplemente conexa. X = (f, g) de clase C 1 definido en G. La divergencia de X : no cambia de signo en G. div X := f x + g y div X no se anula identicamente en ninguna sub-región de G. Entonces X no tiene órbitas periódicas en G.