Proyecto Ecuaciones Diferenciales

Transcripción

1 Proyecto Ecuaciones Diferenciales Ing. Roigo Alejano Gutiérrez Arenas Semestre 2010-II Instrucciones El proyecto consiste de dos problemas con varios incisos. Se debe de entregar un reporte detallado de las respuestas de cada pregunta. El formato del reporte es el siguiente: resumen o introducción (breve, no más de una cuartilla, desarrollo matemático (hipótesis, modelos matemáticos, consideraciones, etc., resultados, conclusiones y bibliografía (el formato de la bibliografía debe ser revisado, se penalizará aquel trabajo que entregue bibliografía inexistente o mal presentada. Todas las gráficas, tablas y figuras deberán de llevar numeración así como una leyenda que indique su contenido, en cuanto a las gráficas se debe de nombrar todos los ejes y curvas. Todas las fórmulas y modelos matemáticos deberán de ir numerados. El reporte se entrega en equipos de 4 personas o menos. Para la evaluación final del proyecto se tomará en cuenta la calificación del reporte y la calificación de un interrogatorio al azar de un miembro del equipo. Dicho interrogatorio se realizará la clase siguiente a la entrega del reporte. En caso de no encontrarse la persona que se elija para el interrogatorio se nombrará otro miembro del equipo (la persona que no se encuentre presente tená cero en el proyecto. Existen tres revisiones previas a la entrega final del reporte escrito, dichas revisiones son obligatorias. Advertencia: Todos los proyectos copiados serán penalizados severamente. Fechas de entrega 12 de febrero de 2010: Presentación del proyecto por parte del profesor y formación de equipos. 10 de marzo de 2010: Primera entrega del reporte del proyecto (Avances del Primer Problema y del Segundo Problema. 9 de abril de 2010: Segunda entrega del reporte del proyecto (Primer Problema y avances del Segundo Problema. 12 de mayo de 2010: Tercera entrega del reporte del proyecto (Primer y Segundo Problemas. 26 de mayo de 2010: Entrega final del reporte del proyecto (Todo el proyecto. 28 de mayo de 2010: Interrogatorio final y fin del curso (Todo el proyecto. Notas El proyecto cuenta el 50 % de la calificación final. Todas las entregas son obligatorias. Al no presentar una entrega, pierden el derecho de presentar las siguientes y por consecuencia el interrogatorio. Se presentan ejemplos del formato requerido en la página del curso: 1

2 Ecuaciones Diferenciales: Proyecto 2 Problema 1 Ecuaciones diferenciales en coordenadas polares El objetivo de esta parte del proyecto es transformar ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO en coordenadas rectangulares a EDO equivalentes en coordenadas polares. La EDO de primer orden en términos de las variables en coordenadas rectangulares x y y se escribe como: dy = f (x, y. (1 dx La ecuación anterior (1 puede ser transformada a coordenadas polares r y θ mediante las relaciones mostradas en la figura 1. Las coordenadas polares son útiles en el caso de encontrarse con curvas solución de tipo elípticas o espirales. Suponga que y = g (x es una solución de 1; en coordenadas polares dicha relación se convierte en: r sin θ = g (r cos θ, (2 la expresión anterior, define, implícitamente, que r es una función de θ. Derivando la expresión 2 con respecto a θ y utilizando la regla de cadena se tiene dg dx sin θ + r cos θ = dx ( dg sin θ + r cos θ = dx sin θ + r cos θ = f (x, y cos θ r sin θ ( sin θ + r cos θ = f (r cos θ, r sin θ cos θ r sin θ ( cos θ r sin θ. (3 La ecuación 3 es una EDO de primer orden con variables r y θ que es equivalente a 1. De primera vista la ecuación 3 puede ser más complicada que la ecuación 1, sin embargo para ciertas funciones puede ser más sencilla, como se muestra en el siguiente ejemplo. Ejemplo 1 Aplicando la expresión 3 a la EDO se tiene dy dx = y x y + x ( r sin θ r cos θ sin θ + r cos θ = cos θ r sin θ r sin θ + r cos θ y simplificando resulta: = r, (6 resolviendo la ecuación anterior, mediante separación de variables: r = ln r = θ + c (4 (5 r = ce θ (7 donde c es una constante no negativa. Regresando la expresión anterior a coordenadas cartesianas: ( x 2 + y = ce arctan( y x cuya gráfica se observa en la figura 2.

3 Ecuaciones Diferenciales: Proyecto 3 Figura 1: Coordenadas polares y rectángulares. Para el caso de un sistema de EDO se sigue un procedimiento similar. Suponemos que (x (t, y (t resuelven el sistema autónomo x = f (x, y y = g (x, y. (8 Entonces el punto (x (t, y (t en la órbita de la ecuación anterior puede ser representado en coordenadas polares (r (t, θ (t, donde x (t = r (t cos θ (t y y (t = r (t sin θ (t. Derivando las relaciones anteriores con respecto a t, utilizando la regla de la cadena y resolviendo para r y θ se tiene el sistema equivalente r = cos θf (r cos θ, r sin θ + cos θg (r cos θ, r sin θ θ = 1 [ sin θf (r cos θ, r sin θ + cos θg (r cos θ, r sin θ]. (9 r Trayectorias ortogonales Los sistemas coordenados en dos dimensiones más utilizados son los sistemas coordenados ortogonales. Los sistemas más conocidos son el sistema de coordenadas Cartesiano (rectangular y el sistema de coordenadas polares. Ambos tienen la propiedad de que al establecer una variable igual a una constante, produce una familia de curvas (en ocasiones, rectas que resultan perpendicular a la familia obtenida al definir la otra variable igual a una constante. En el sistema de coordenadas rectangular las rectas perpendiculares son ejemplos de trayectorias ortogonales (e.g. : y = 3 y x = 2. Esta situación también puede ocurrir para rectas no horizontales ni verticales o para familias de curvas. Las trayectorias ortogonales se explican a partir de las siguientes definiciones: Definición 2 Se dice que una familia de curvas está parametrizada por λ si la familia está dada por una relación f (x, y, λ = 0, donde λ es un parámetro que puede tomar distintos valores. Definición 3 Supongamos una familia de curvas dada por f (x, y, λ = 0. Las trayectorias ortogonales a f son una familia de curvas, g (x, y, γ, que intersectan a f en ángulos rectos en todos sus puntos. Al hacer uso de la definición 2, es necesario recordar que si dos curvas se intersectan en ángulos rectos, es decir, son ortogonales, sus tangentes en el punto de intersección son perpendiculares.

4 Ecuaciones Diferenciales: Proyecto 4 Figura 2: Curvas solución del ejemplo 1. Ejemplo 4 El sistema de coordenadas polares. Se considera primero la familia de rectas que cruzan el origen parametrizadas por su pendiente, λ, y = λx. (10 Aquí λ es un parámetro que da la pendiente de una recta particular. Se sabe que esta familia de rectas y la familia de círculos, centrada en (0, 0, forman el sistema de coordenadas polares y que estas dos familias son ortogonales. Dicha afirmación se puede comprobar de la siguiente forma, en primer termino se resuelve 10 para λ, resultando λ = y x (11 para x 0. Derivando 11 con respecto a x, se tiene (regla de la cadena 0 = 1 ( x 2 x dy dx y o y = y x. (12 La expresión 12 es la ecuación diferencial para la familia de curvas 10, además cabe mencionar que es independiente del parámetro λ y que para cada punto (x, y, la pendiente de la recta tangente de cualquier miembro de la familia de curvas es y/x. Ahora, dos rectas son ortogonales si el producto de sus pendientes, m 1 y m 2 es igual a 1, i.e. : m 1 m 2 = 1. De este modo, se sabe que si la pendiente de la recta tangente a una curva es m 1, entonces la pendiente de la recta tangente a la curva ortogonal a ella será m 2 = 1/m 1. Como consecuencia la pendiente de las rectas tangentes a las curvas ortogonales de 10 será y = x y (13 para y 0. La expresión 13 es la ecuación diferencial para la familia de curvas ortogonal a 10. La ecuación 13 es una ecuación diferencial de primer orden con variable independiente x y variable dependiente y. Separando las variables e integrando ydy = xdx y 2 2 = x2 2 + γ, (14 donde γ es una constante arbitraria. Finalmente se puede concluir que la ecuación 14 es la familia de curvas ortogonal a la familia de rectas denotada por 10. Esto se ilustra en la figura 3.

5 Ecuaciones Diferenciales: Proyecto 5 Figura 3: Trayectorias ortogonales y = λx y x 2 + y 2 = 2γ. Fluidos (Actividades Las líneas de flujo para un fluido no comprimible e irrotacional en la región delimitada por dos rectas perpendiculares, suponga el eje x positivo y el eje y positivo, están dadas por la familia de hipérbolas xy = b. (15 La situación anterior representa el flujo dentro de una esquina recta. Las trayectorias ortogonales a las líneas de flujo son las líneas de potencial de velocidad constante. 1. Demuestre que las líneas de velocidad constante también son hipérbolas. El flujo dentro de una cuña bidimensional de ángulo α : 0 α 90, tiene líneas de flujo en coordenadas polares, dadas por ( r π θπ α sin = λ, (16 d donde d es una constante de escala y λ es un parámetro. 2. Obtenga el potencial de velocidades asociado para esta situación. Grafique. 3. Ahora haga que α = π 2 y compare con los resultados del ejercicio 1. Problema 2 Un oscilador no lineal Un circuito RLC en serie, es aquel que contiene una fuente de voltaje que produce E (t Volts, una resistencia de R Ohms, un inductor de L Henrys y un capacitor de C Farads. Dicho circuito se muestra en la figura 4. Para propósito de este problema, se asume que la fuente de voltaje es una batería, i.e., E (t es constante. Cabe mencionar que el circuito tiene un interruptor (qué no se muestra en la figura 4 que determina cuando las mediciones comienzan. Cuando el interruptor es cerrado, la corriente I (t, medida en Amperes, comienza a fluir. Dicha corriente, también es la tasa de cambio de la carga eléctrica, Q (t, medida en Coulombs, en el capacitor. De acuerdo a la ley de Kirchhoff de voltaje, la corriente del circuito está modelada por la ecuación L di dt + RI + 1 Q = E. (17 c

6 Ecuaciones Diferenciales: Proyecto 6 Figura 4: Circuito RLC. Si se deriva la ecuación 17, se tienen una ecuación diferencial lineal de segundo orden y de coeficientes constantes para la corriente eléctrica: L d2 I dt 2 + R di dt + 1 I = 0. (18 C La ecuación 18 es una ecuación diferencial homogénea que representa a un oscilador armónico amortiguado. Considerando que V = V (t = Q (t (19 C representa la caída de voltaje del capacitor, la ecuación 17 se puede representar como un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden: ( R = L ( di dt dv dt 1 L 1 C 0 ( I V + ( E L 0. (20 Ahora se considera un circuito diferente, utilizado en los receptores de radio en la de década de 1920 y analizado por Balthazar van der Pol. Este circuito es una malla RLC, pero con reemplazando el resistor pasivo, R, por un elemento activo. Dicho elemento activo, es un semiconductor, en específico un diodo de túnel o un diodo Gunn. El circuito en cuestión se muestra en la figura 5. A diferencia de una resistencia pasiva, que disipa energía, un semiconductor opera como si estuviese inyectando energía al circuito a bajas corrientes, pero absorbiendo energía a altas corrientes. El intercambio entra la absorción e inyección de energía resulta en una oscilación periódica de voltajes y corrientes. Si suponemos que una fuente de voltaje se conecta al circuito como se muestra en la figura 5, y el circuito es energizado, entonces al tiempo t = 0, la fuente externa está apagada, es decir, E (t = 0. La caída de voltaje en el semiconductor, en lugar de ser una función lineal de I (t, es la función no lineal I ( I 2 a, (21 donde a es un parámetro positivo. Note que la función es negativa para valores pequeños (pero positivos de I y positivo para valores grandes. Además, dado que la corriente puede fluir en ambas direcciones del circuito, todos los cambios de signo de la expresión cúbica 20. Por conveniencia, se asumirá que las unidades son tales que L y C son igual a 1. En particular, esto significa que la caída de voltaje del capacitor es V = Q y la corriente es I = dv/dt. Tomando en cuenta las consideraciones anteriores la ecuación 17 presenta la siguiente forma: di dt + I ( I 2 a + V = 0. (22 La expresión 22 es un ecuación diferencial no lineal y es conocida como la ecuación de van der Pol.

7 Ecuaciones Diferenciales: Proyecto 7 Figura 5: Circuito RLC modificado con una resistencia activa (semiconductor. 1. Escriba la ecuación 22 y la relación entre I y V, como un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden no lineal para variables dependientes V e I, y variable independiente t. Este sistema es conocido como el sistema de van der Pol. Nota: Ver sistema Encuentre el único punto de equilibrio del sistema. Ahora, dicho punto, es estable o inestable? 3. Dependiendo del valor de a, cuáles son los posibles comportamientos del espacio fase cerca de la solución de equilibrio? 4. Considere a = 0,5. Grafique suficientes órbitas para obtener un espacio fase completo. 5. Describa el comportamiento a largo plazo del sistema para a = 0,5. Nota: Se debe observar algo que no es posible en un sistema lineal. Este fenómeno es conocido como ciclo límite (limit cycle. 6. Grafique las curvas solución, I (t y V (t, con respecto al tiempo. 7. Repita los pasos 4, 5 y 6 para a = 1,0, 1,5, 2,0, 2,5. Describa que cambia en la solución conforme a incrementa. 8. Qué se puede concluir acerca del punto de equilibrio del sistema de van der Pol? 9. Qué se puede concluir acerca de las soluciones con valores iniciales grandes tanto para la corriente como para el voltaje? 10. Qué sucede con las soluciones que se encuentran en equilibrio? 11. Cómo cambia el ciclo límite conforme cambia el parámetro a? 12. Para valores grandes de a, el ciclo límite tiene una forma distintiva. Describa las consecuencias de dicha forma en términos de la corriente y el voltaje del circuito.