Figura 1. Circuito RLC

Transcripción

1 APLIAIÓN: EL IRUITO RL. Al comienzo del tema de las E.D.O lineales de segundo orden hemos visto como estas ecuaciones sirven para modelizar distintos sitemas físicos. En concreto el circuito RL. Figura 1. ircuito RL En un circuito RL, con una resistencia R, una inductancia L y un condensador, veíamos que al entrar una corriente E(t), que depende del tiempo, sale otra corriente v(t) que será una modificación de la corriente de entrada dependiendo de R, L y. Según la ley de Kirchhoff, una corriente en un circuito cerrado presenta una suma algebraica de las caídas de voltaje igual a cero. Esta ley se determina experimentalmente como las que se indican a continuación: E(t) voltaje de entrada en el circuito. V R = RI(t) la caída de voltaje en una resistencia depende de R y de la intensidad de la corriente I(t) ( ley de Ohm). V L = L di(t) caída de voltaje en el selenoide. dt t V = 1 I(s)ds caída de voltaje en el condensador. Además I = dq, donde q es la carga eléctrica. dt Así por la ley de Kirchhoff se tiene que E(t) L di(t) dt RI(t) 1 t O lo que es equivalente sustituyendo I por dq dt E(t) = L d2 q dt + Rdq 2 dt + q I(s)ds = 0. (1). 1

2 2 Tomando el voltaje por v(t) = 1 t v (t) = 1 I(t) y I(s)ds v (t) = 1 di(t), dt y ahora sustituyendo en la ecuación de arriba nos queda E(t) = Lv (t) + Rv (t) + v(t) (2). Por último, si derivamos la ecuación anterior, como v (t) = 1 I(t), tenemos que E (t) = LI (t) + RI (t) + I(t) (3). Tenemos tres ecuaciones, todas E.D.O. lineales de segundo orden y coeficientes constantes, (1),(2) y (3) que describen el circuito. En cada una de ellas, nos fijamos en una magnitud distinta. Así en la primera consideramos la carga, en otra el voltaje y la última se fija en la intensidad de la corriente. A continuación vamos a estudiar algunas propiedades de estos circuitos. IRUITO RL. Vamos a considerar un circuito sin condensador y con una entrada de corriente constante E = v ɛ. Además suponemos una condición inicial I(0) = 0, es decir el circuito esta abierto antes de que empiece a fluir la corriente. Figura 2. ircuito RL. E constante. En este caso la ecuación (1) se convierte en el problema de auchy { I (t) = 1 L (v ɛ RI(t)) I(0) = 0

3 3 Tenemos en este caso una ecuación de primer orden. Integrando Despejando tenemos que t 0 I I + vɛ R ds = t 0 R L ds log( v ɛ R I) + log(v ɛ R ) = R L t log(1 I(t) R V ɛ ) = R L t. I(t) = Vɛ R (1 e R L t ) La intensidad pasa de 0 a estabilizarse en el valor Vɛ R cuando el tiempo t se hace grande. Veamos ahora, en el mismo circuito, el efecto de cortar la corriente. Figura 3. ircuito RL con interruptor. Si el interruptor está en al posición 1), estamos en el caso anterior. En la posición 2) pasamos entonces a una situación descrita por el problema de auchy { I (t) = 1 L RI(t) Integrando t 0 I I ds = t 0 I(0) = Vɛ R R L ds log I(t) log(v ɛ R ) = R L t

4 4 y despejando I(t) = Vɛ R e R L t La intensidad pasa de Vɛ R a anularse, como era de esperar.

5 IRUITO L. OSILADOR ARMÓNIO. Si consideramos un circuito L, con una corriente de entrada E constante, es decir un circuito RL donde R = 0 (sin resistencia) y E = 0, 5 Figura 4. ircuito L la E.D.O. que lo modeliza, según la fórmula (3) en la intensidad, es de la forma LI (t) + 1 I(t) = 0 (Oscilador armónico). Esta E.D.O. es lineal de segundo orden y homogénea. La ecuación característica es Lλ = 0 donde y L son constantes positivas. Así las dos soluciones de esta ecuación son complejas conjugadas λ = ± 1 i = ±w 0 i L Las soluciónes de esta ecuación diferencial son I(t) = 1 cos(w 0 t) + 2 sen(w 0 t) 1, 2 R. todas son 2π/w 0 -periódicas. Transformemos un poco esta solución. ( ) I(t) = cos(w 0 t) + sen(w 0 t) Si llamamos A = , podemos encontrar un ángulo α [0, 2π] Figura 5

6 6 de modo que cos α = y sen α = Luego nuestra solución se puede escribir (teniendo en cuenta también que cos(a + b) = cos a cos b sen a sen b) como I(t) = A (cos( α) cos(w 0 t) sen( α) sen(w 0 t)) = A cos(w 0 t α). Figura 6. Sálida de un Oscilador Armónico. Vemos que la señal de salida I tiene una frecuencia de w 0 2π constante. Estamos ante la base matemática de la llamada modulación en frecuencia. También sirve para generar corrientes con frecuencia constante que usaremos, ahora un poco más adelante, en el llamado efecto de resonancia.

7 IRUITO RL OMPLETO ON ENTRADA ONSTANTE. Vamos a estudiar ahora el circuito RL completo con una entrada E constante. omprobaremos que lo que se produce en la sálida son oscilaciones libres amortiguadas. 7 Figura 7. RL completo. E constante. Según la ecuación general del circuito (3), que vimos al principio, y dado que E (t) = 0, ahora tendremos que estudiar la ecuación LI (t) + RI (t) + I(t) = 0 Esta ecuación es una E.D.O. lineal de segundo orden homogénea cuya ecuación característica es Lλ 2 + Rλ + 1 = 0 y cuyas soluciones son λ 1 = 1 2L ( R + R 2 4L ) y λ 2 = 1 2L ( R R 2 4L ). Las soluciones de la ecuación dependen del discriminante R 2 4L. Así tendremos que si R 2 4L > 0, entonces λ 1, λ 2 < 0 reales y distintas, luego I(t) = 1 e λ 1t + 2 e λ 2t 1, 2 R. Estas soluciones tendrán unas gráficas del tipo Figura 8. orriente sobreamortiguada.

8 8 Si R 2 4L = 0, entonces λ 1 = λ 2 < 0 reales e iguales, luego I(t) = 1 e λ 1t + 2 te λ 1t = ( 1 + t 2 )e λ 1t 1, 2 R. Observemos que en este caso también lím t I(t) = 0. si R 2 4L < 0, en este caso tenemos dos raíces complejas conjugadas Si notamos λ = R L ± 1 4L 2L R2 i. γ = R 1 y w 1 = L L R2 4L = w R2 4L, 2 entonces las soluciones en este caso son del tipo I(t) = e γt ( 1 cos w 1 t + 2 sen w 1 t) = e γt A cos(w 1 t + α) donde A = y α (0, 2π) verificando 1 = A cos α y 2 = A sen( α). La corriente de salida del circuito será de la forma Figura 9. orriente subamortiguada. Observemos que la frecuencia de estas soluciones es igual a todas ellas, w 1, aunque la amplitud se debilita con el tiempo. 2π

9 IRUITO RL, ON ENTRADA NO ONSTANTE. omo hemos visto anteriormente la resistencia R del circuito hace perder energía o amplitud a la intensidad hasta anularla. Vamos a introducir una diferencia de potencial E(t) = E 0 sen wt( este tipo de señales las produce el oscilador armónico o circuito L), de modo que podamos compensar el efecto de la resistencia. 9 Figura 10. ircuito RL, E(t) = E 0 sen wt. La ecuación (3) adaptada a este caso (E (t) = we 0 cos wt = F 0 cos wt) nos da la ecuación LI (t) + RI (t) + 1 I(t) = F 0 cos wt La solución de este problema no homogéneo vendrá dada por la solución general de la ecuación homogénea x h más una solución particular de la ecuación no homogénea x p, así I(t) = x h (t) + x p (t). omo vimos en el apartado anterior donde x h (t) = e γt ( 1 cos w 1 t + 2 sen w 1 t) = e γt A cos(w 1 t + α) γ = R L y w 1 = 1 L R2 4L = w R2 4L, 2 y donde A = y α (0, 2π) verificando 1 = A cos α y 2 = A sen( α). En todo caso x h (t) t 0. Lema 1. Si R 0, entonces la solución particular x p es igual a x p (t) = F 0 cos(wt β) L2 (w0 2 w 2 ) 2 + R 2 w2 donde w 0 = 1/L y donde β es el ángulo que verifica que cos β = L(w 2 0 w 2 ) L2 (w 2 0 w 2 ) 2 + R 2 w 2 y sen β = Rw L2 (w 2 0 w 2 ) 2 + R 2 w 2.

10 10 Antes de hacer la prueba comprobamos que las salidas del circuito verifican que F 0 I(t) = x h (t)+x p (t) t x p (t) = L2 (w0 2 w 2 ) 2 + R 2 w cos(wt β). 2 A la parte x h se le llama término transitorio y a la parte x p se le llama estado estable. Demostración: Solución particular de la ecuación LI (t) + RI (t) + 1 I(t) = F 0 cos wt Si R 0, entonces wi no es raíz de la ecuación característica Lλ 2 + Rλ + 1/ = 0. Así la solución particular buscasa será del tipo x p (t) = s 1 cos wt + s 2 sen wt para ciertos valores s 1, s 2 R que hay que calcular. Para ello entraremos con x p en la ecuación. omo 1 L x p(t) = (s 1 cos wt + s 2 sen wt) 1 L, R L x p(t) = ( s 1 w sen wt + s 2 w cos wt) R L y x p(t) = s 1 w 2 cos wt s 2 w 2 sen wt, metiendo estos datos en la ecuación queda que x p(t) + R L x p(t) + 1 L x pi(t) ( 1 = L s 1 + R ) L s 2w s 1 w 2 cos wt ( 1 + L s 2 R L s 1w s 2 w 2 ) sen wt = F 0 cos wt. L Lo cuál nos permite plantear el sistema líneal, con incógnita s 1 y s 2 { ( 1 L w2 R )s 1 + ws L 2 = F 0 L Rws L 1 + ( 1 L w2 )s 2 = 0. Usando la regla de ramer y que w 0 = 1/L, tenemos que las soluciones son

11 11 s 1 = F 0/L Rw/L 0 1/L w 2 1/L w2 Rw/L Rw/L 1/L w 2 = L 2 F 0 L (w 2 0 w 2 ) L 2 (w 2 0 w 2 ) 2 + R 2 w 2 y s 2 = 1/L w2 /L F 0 /L Rw/L 0 1/L w2 Rw/L Rw/L 1/L w 2 = L 2 F 0 L 2 Rw L 2 (w 2 0 w 2 ) 2 + R 2 w 2. De la definición del ángulo β del enunciado se sigue que s 1 = F 0 L2 (w 2 0 w 2 ) 2 + R 2 w 2 cos β y s 2 = F 0 L2 (w 2 0 w 2 ) 2 + R 2 w 2 sen β y por tanto la solución particular buscada es x p (t) = F 0 (cos β cos wt + sen β sen wt) L2 (w0 2 w 2 ) 2 + R 2 w2 = F 0 cos(wt β) L2 (w0 2 w 2 ) 2 + R 2 w2 EFETO DE RESONANIA. El estado estable calculado anteriormente x p (t) = del circuito RL reforzado F 0 cos(wt β) L2 (w0 2 w 2 ) 2 + R 2 w2 Figura 11. Oscilaciones reforzadas. tiene por amplitud (o energía) F 0 y por frecuencia w/2π. L 2 (w0 2 w2 ) 2 +R 2 w2

12 12 Figura 12. Estado estable x p. Si R, L y 1 son fijos, entonces el valor de la amplitud depende únicamente del valor w. Sea la función F 0 δ(w) = L2 (w0 2 w 2 ) 2 + R 2 w. 2 Vamos a calcular el valor de w que maximiza esta función. Este problema es equivalente a minimizar Derivando g(w) = L 2 (w 2 0 w 2 ) 2 + R 2 w 2. 0 = g (t) = 4L 2 (w 2 0 w 2 )w + 2wR 2. Despejando w w0 2 w 2 = R2 2L w = w R2 2L. 2 Para este valor la función g alcanza un mínimo (obviamente no tiene máximos locales) y por tanto la función δ un máximo. Definición 1. Al valor w 1 = w0 2 R2 se le llama frecuencia de 2L 2 resonancia del sistema (en este caso del circuito RL).

13 IRUITOS MULTIMALLA. SISTEMAS LINEALES DE E.D.O. Los circuitos RL multimalla necesitan de los sistemas de E.D.O. lineales para ser tratados teóricamente. Vamos a ver un ejemplo. Más adelante, en el tema siguiente de la Transformada de Laplace, veremos como pueden ser resueltos. Ejemplo 1. Se considera el circuito multimalla: 13 Figura 13. ircuito multimalla. donde R 1 = 10Ω, R 2 = 20Ω, R 3 = 30Ω, L 1 = 2H, L 2 = 4H y E = 50v. Vamos a describir matemáticamente este sistema. Según las leyes de Kirchhoff: a: la suma algebraica de intensidades en un nodo es cero, I = I 1 + I 2 + I 3 ; b: la suma algebraica de las caídas de tensión (o de voltaje) alrededor de una malla cerrada es cero. Así en nuestro ejemplo I = I 1 + I 2.

14 14 Por otro lado, en la malla ABEGHA se tiene la ecuación E = IR 3 + L 1 di 1 dt + R 1I 1. En la malla DFE se tiene la ecuación di 1 L 1 dt + R di 2 1I 1 L 2 dt R 2I 2 = 0. Juntando las tres ecuaciones nos queda 30I I 2 + 2I I 1 = 50 2I I 1 4I 2 20I 2 = 0. Este es un sistema de dos E.D.O. lieales de primer orden y coeficientes constantes. La transformada de Laplace que vamos a estudiar a continuación es un instrumento útil para resolver este tipo de problemas. Referencias Departamento de Análisis Matemático, Facultad de Matemáticas, Universidad omplutense, Madrid, Spain address: esar Ruiz@mat.ucm.es