Ecuación de la recta. Ing. Jonathan Alejandro Cortés Montes de Oca. Calculo Vectorial INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL.

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1 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL. ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECÁNICA Y ELÉCTRICA. UNIDAD CULHUACÁN. Ecuación de la recta Calculo Vectorial Ing. Jonathan Alejandro Cortés Montes de Oca

2 Antes de iniciar los temas propios al cálculo vectorial es importante repasar conceptos básicos como la ecuación de la recta, ya que conforme avancemos en nuestro curso veremos que el comportamiento de una función multivariable tiene bases en este tema. P f (x f,y f ) P 0 (x 0,y 0 ) θ = P b (0,b) = P a (a,0) Como se observa en la figura una recta por definición es un segmento que uno dos puntos. Estas rectas puede incluso contener más de un punto en su trayectoria. Donde la pendiente m es el valor de la tangente de inclinación de esta recta y también corresponde a la derivada de su función. Angulo y pendiente. tan = = = Por lo cual el ángulo de inclinación de una recta es: = () Calculo Vectorial Página 1

3 Del principio de la pendiente se puede descomponer las ecuaciones de la recta como a continuación se presenta: Caso 1: Recta que pasa por dos puntos. Caso 2: Recta de un punto y pendiente. = ( ) = ( ) Caso 3: Recta de ordenada en el origen (0,b) y pendiente m. Caso 4: Ecuación simétrica de la recta. = + + = 1 Así como también tenemos la forma general de la ecuación de la recta. + + = 0 De la cual se puede determinar a partir de ella la pendiente y la ordenada en el origen. = = Angulo entre rectas. = 1 + ( ) Distancia de un punto a la recta. + +! = ± + Donde el signo de B indica el signo de la raíz. Y si el resultado es positivo el punto está por arriba de la recta y si es negativo está por debajo de la recta. Calculo Vectorial Página 2

4 También se aplica el concepto de rectas paralelas y perpendiculares. Donde las rectas paralelas las pendientes son iguales. Y las perpendiculares son. = = 1 Calculo Vectorial Página 3

5 Ejemplos. 1. Obtener la ecuación de una recta que pasa por un punto (-3,2) y es perpendicular a una recta que pasa por el los puntos p 1 (2,-4) y p 2 (0,5), también determine el punto de su intersección. Lo primero que se hará es determinar la ecuación de la recta con la que ya contamos dos de sus puntos. ( 4) = 5 ( 4) ( 2) = 9 ( 2) = ( + 4) = 2( ) = = = 0 Como se presenta en la primer grafica se observa esta recta. Calculo Vectorial Página 4

6 Ahora para determinar la otra recta nos podemos basar en que la pendiente de esta recta es = 9 2 Y las rectas perpendiculares aplican a sus pendientes: = 1 = 1 = 1 9+ = Y ahora que conocemos un punto y la pendiente de la otra recta la podemos determinar. 2 = 2, ( 3). 9 9( 2) = 2( + 3) 9 18 = = = 0 Calculo Vectorial Página 5

7 Donde ahora podemos apreciar ambas rectas donde la recta de color rojo es la primera que se determinó y la de color verde esta última. Finalmente para determinar su punto de intersección utilizaremos las dos ecuaciones de rectas y las solucionaremos como sistemas de ecuaciones lineales de dos incógnitas = = 24 En este ejemplo aplicaremos el método de determinantes = = 81 4 = = = = = = = = = = = Entonces las rectas se intersectan en el punto , 9: 67 ; Calculo Vectorial Página 6

8 2. Determine la ecuación de una recta que pasa por el punto (-3,4), que es paralela a otra recta que pasa por los puntos p 1 (0,5) y p 2 (4,0), incluya la distancia entre las dos rectas. Utilizaremos la ecuación simétrica para obtener la ecuación de la recta que pasa por dos puntos = = = 20 < = 0 Ahora que tenemos la ecuación de esta recta podemos buscar determinar la ecuación de la otra recta. Por lo cual la ecuación de la otra recta es: = 0 5( 3) + 4(4) + = = = 0? = 5 < = 0 En la gráfica se muestra ambas rectas en color verde la recta 1 y en color negro la recta 2. Calculo Vectorial Página 7

9 Ahora que conocemos las ecuaciones de ambas rectas, calcularemos la distancia entre ellas que es constate en este ejemplo tomaremos la ecuación de la recta 1 y el punto por donde pasa la recta 2.! = = ( 3) + 4(4) 20! = 41 = Que al obtener este resultado negativo nos indica que la recta 2 pasa por debajo de la recta 1, como se observa en la gráfica. Calculo Vectorial Página 8

10 3. Determine el ángulo entre dos rectas, cuyas ecuaciones son: < = 0 < 4 3 = 0 Primero calcularemos las pendientes de ambas rectas. = 3 6 = 1 3 Y aplicaremos la fórmula de ángulo entre rectas. = 4 1 = 4 = ; A = C 71" Calculo Vectorial Página 9

11 Ejercicios. 1. Determine la ecuación de una recta que pasa por el punto (-1,3), que es perpendicular a otra que pasa por los puntos p 1 (-3,4) y p 2 (2,3). Así como la intersección de las rectas. 2. Determine la ecuación de una recta que pasa por el punto (0,6) y es paralela a otra recta cuya ecuación es 4x-5y+8=0. Determine la distancia entre ellas. 3. Determine el ángulo entre dos rectas cuyas ecuaciones son: < = 0 < = 0 Calculo Vectorial Página 10