Producto tensorial entre tensores

Transcripción

1 Tensores cartesianos Producto tensorial entre tensores Producto tensorial entre tensores Se define el producto tensorial entre los tensores S CT(m) y T CT(n) como el tensor S T CT(n + m): S T = S i1...i m T j1...j n e i1 e im e j1 e jn Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería4 ydeciencias septiembre Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 44 / 95

2 Contracción Tensores cartesianos Contracción Contracción: Sean T i1 i 2...i p...i q...i n componentes de un CT(n). Hacemos i p = i q y sumamos sobre i p de 1 a 3. Estos índices se dicen contraídos y el orden del tensor se reduce en dos. 1 u v contrae en u v 2 T CT(2) contrae en el escalar T ii = tr T (traza de T), invariante escalar de T pues T ii = Q ip Q iq T pq = δ pq T pq = T pp 3 Dados S, T CT(2), el producto tensorial S T CT(4) de componentes [S T] ijkl = S ij T kl contrae de diversas maneras, por ejemplo: j = k: S ij T jl = [ST] il, donde ST CT(2) es el producto interno entre S y T, que contrae a su vez en el escalar tr (ST) = S ij T ji, j = l: S ij T kj = [ST T ] ik, donde ST T CT(2) es el producto interno entre S y T T, que contrae a su vez en el escalar tr (ST T ) = S ij T ij S : T 4 TT = T 2, TT 2 = T 3,..., TT (n 1) = T n (n entero) contraen en tr (T 2 ), tr (T 3 ),..., tr (T n ), invariantes escalares de T Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería4 ydeciencias septiembre Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 45 / 95

3 Tensores isotrópicos Tensores cartesianos Tensores isotrópicos Tensor isotrópico: aquél cuyas componentes no cambian por cambios de base (ortogonal propia) arbitrarios. CT(0): Todos los escalares son isotrópicos. CT(1): No existen vectores isotrópicos no triviales. CT(2): Los únicos tensores isotrópicos son αi con α R. CT(3): Los únicos tensores isotrópicos son aquéllos de componentes αε ijk con α R. CT(4): Los únicos tensores T CT(4) isotrópicos tienen componentes T ijkl = αδ ij δ kl + βδ ik δ jl + γδ il δ jk con α, β, γ R. CT(>4): Sus componentes se expresan como combinaciones lineales de productos de deltas de Krönecker y símbolos de permutación. Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería4 ydeciencias septiembre Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 46 / 95

4 Isotropía en CT(1) Tensores cartesianos Isotropía en vectores Supongamos que el vector v es isotrópico, entonces Q ij v j = v i, o Qv = v, Q ortogonal propia Elegimos: Q = (25) (rotación π/2 en torno a e 3 ), tenemos v 1 = v 2 = 0. Similarmente, tomando rotación π/2 en torno a e 1 o e 2, vemos que v 3 = 0. Sólo v = o es isotrópico. Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería4 ydeciencias septiembre Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 47 / 95

5 Isotropía en CT(2) Tensores cartesianos Isotropía en tensores de segundo orden Sea T un CT(2) isotrópico: Q ip Q jq T pq = T ij, o QTQ T = T, Q ortogonal propia (26) Para Q dada por (25), tenemos : T 22 T 21 T 23 T 11 T 12 T 13 T 12 T 11 T 13 = T 21 T 22 T 23 T 32 T 31 T 33 T 31 T 32 T 33 T 22 = T 11, T 12 = T 21, T 23 = T 32 = T 13 = T 31 = 0 Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería4 ydeciencias septiembre Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 48 / 95

6 Isotropía en CT(2) Tensores cartesianos Isotropía en tensores de segundo orden La elección Q = (rotación π/2 alrededor de e 1 ) da T 12 = T 21 = 0 y T 33 = T 11, de forma que T ij = T 11 δ ij Como (26) vale para αt, con α escalar arbitrario, necesariamente T es múltiplo de I. Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería4 ydeciencias septiembre Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 49 / 95

7 Isotropía en CT(3) Tensores cartesianos Isotropía en tensores de tercer orden Se demuestra que todo múltiplo del tensor CT(3) de componentes ε ijk es isotrópico: ε ijk Q ipq jq Q kr ε pqr = (det Q)ε ijk = ε ijk, Q ortogonal propia Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería4 ydeciencias septiembre Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 50 / 95

8 Tensores de segundo orden como mapeo lineal Tensores de segundo orden como mapeo lineal Revemos ahora la teoría en forma invariante, i.e., sin recurrir a la definición de una base. Tensores de segundo orden como mapeo lineal: el tensor de 2 o orden T es el mapeo lineal T : E E, o: T : u Tu con Tu E u E Linealidad implica T(αu + βv) = αtu + βtv, u, v E, α, β R Los tensores de 2 o orden pertenecen al conjunto L(E, E) de todos los mapeos lineales de E en E, que es un espacio vectorial. Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería4 ydeciencias septiembre Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 51 / 95

9 Producto interno entre tensores de segundo orden Producto interno entre tensores de 2 o orden Se define el producto interno ST como (ST)u = S(Tu), S, T L(E, E) En componentes cartesianas, [ST] ij = S ik T kj, que es una contracción de S T. Los tensores cero 0 y unitario o identidad I de 2 o orden satisfacen 0u = o, Iu = u, u E Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería4 ydeciencias septiembre Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 52 / 95

10 Tensores de segundo orden como mapeo bilineal Tensores de segundo orden como mapeo bilineal Tensores de segundo orden como mapeo bilineal: el tensor de 2 o orden T es la función bilineal T : E E R T(u, v) = u (Tv) Podemos decir T L(E E, R), donde L(E E, R) es el espacio vectorial de todas las funciones bilineales de E E en R. Podemos decir indistintamente T L(E E, R) o T L(E, E) (ambos espacios son isomorfos). Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería4 ydeciencias septiembre Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 53 / 95

11 Tensores de segundo orden como mapeo bilineal Dada una base ortonormal {e i } para E (e i e j )(u, v) = u (e i e j )v = u (e j v)e i = u v j e i = (u e i )v j = u i v j = (u v) ij Para T arbitrario, T(u, v) = T(u i e i, v j e j ) = u i v j T(e i, e j ) = T(e i, e j )(e i e j )(u, v) Como u, v E son arbitrarios, T = T(e i, e j )e i e j (representación de T en la base {e i }) Luego, por (24), T(e i, e j ) = T ij (componente de T relativa a la base {e i }) Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería4 ydeciencias septiembre Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 54 / 95

12 Tensor transpuesto Álgebra tensorial Tensor transpuesto Definimos el tensor transpuesto T T t.q. u T T v = v Tu, u, v E En componentes cartesianas: u i [T T ] ij v j = v j T ji u i Tij T [T T ] ij = T ji u i, v j Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería4 ydeciencias septiembre Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 55 / 95

13 Tensor simétrico de 2 o orden Tensor simétrico de segundo orden Un tensor de segundo orden S es simétrico si S = S T. En componentes cartesianas, S ij = S ji. Ejemplo El tensor identidad de 2 o orden I es simétrico, pues u v = v u, u Iv = v Iu u, v E I = I T Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería4 ydeciencias septiembre Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 56 / 95

14 Tensor antisimétrico de 2 o orden Tensor antisimétrico de segundo orden Un tensor de segundo orden W es antisimétrico (o skew) si W T = W. En componentes cartesianas, W ij = W ji. El vector w de componentes cartesianas w i = 1 2 ε ijkw kj es llamado vector axial de W Ejercicio Mostrar: 1 ε ipq w i = W qp 2 w a = Wa a E Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería4 ydeciencias septiembre Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 57 / 95

15 Tensores simétricos y antisimétricos de segundo orden Tensores simétricos y antisimétricos de 2 o orden Un tensor simétrico de 2 o orden tiene 6 componentes independientes. Un tensor antisimétrico de 2 o orden tiene 3 componentes independientes. Un tensor arbitrario puede escribirse como suma de uno simétrico y uno antisimétrico: T = 1 (T ) + T T + 1 (T ) T T } 2 {{}} 2 {{} simétrico antisimétrico Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería4 ydeciencias septiembre Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 58 / 95

16 Determinante de tensores de 2 o orden Determinante de tensores de segundo orden Definimos el determinante de T como el det T (siendo T la matriz de componentes de T en una base ortonormal): det T = ε ijk T i1 T j2 T k3 Siendo T = QTQ T, resulta: det T = det Q det T det Q T = det T det T es un invariante escalar de T Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería4 ydeciencias septiembre Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 59 / 95

17 Inversa de un tensor de 2 o orden Inversa de un tensor segundo orden Si det T 0, existe un único tensor inverso T 1 t.q. TT 1 = I = T 1 T det(t 1 ) = (det T) 1 (27) (ST) 1 = T 1 S 1 S L(E, E) Se define el tensor adjunto de T: adj T = (det T)T T con T T = (T T ) 1 = (T 1 ) T Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería4 ydeciencias septiembre Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 60 / 95

18 Autovalores y autovalores de un tensor de segundo orden Autovectores y autovalores de un tensor de 2 o orden Autovectores de un tensor de 2 o orden: dado T L(E, E), v E es autovector de T si existe λ R t.q. λ: autovalor de T correspondiente a v Tv = λv (28) Las ecuaciones (28) tienen solución no trivial v o si det(t λi) = 0 (ecuación característica para T) (29) Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería4 ydeciencias septiembre Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 61 / 95

19 Invariantes principales de un tensor de segundo orden Invariantes principales de un tensor de 2 o orden La expansión de ( 1) (29) da: T 11 λ T 12 T 13 det(t λi) = T 21 T 22 λ T 32 T 31 T 32 T 33 λ = λ 3 I 1 (T)λ 2 + I 2 (T)λ I 3 (T) = 0 (30) donde I i son los invariantes principales de T: I 1 (T) = tr T I 2 (T) = 1 [ (tr T) 2 tr T 2] 2 I 3 (T) = det T = 1 [ (tr T) 3 3tr Ttr T 2 + 2tr T 3] 6 Para cada solución real de (30) tenemos un autovector v real Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería4 ydeciencias septiembre Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 62 / 95

20 Teorema de Cayley-Hamilton Teorema de Cayley-Hamilton Aplicando T a (28) r 1 veces, tenemos Multiplicando (30) por v y usando (31): T r v = λ r v (31) λ 3 v I 1 (T)λ 2 v + I 2 (T)λv I 3 (T)v = o [ T 3 I 1 (T)T 2 + I 2 (T)T I 3 (T)I ] v = o Siendo v o, resulta: T 3 I 1 (T)T 2 + I 2 (T)T I 3 (T)I = 0 (32) Teorema de Cayley-Hamilton: todo tensor de 2 o orden satisface su propia ecuación característica Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería4 ydeciencias septiembre Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 63 / 95

21 Teorema de Cayley-Hamilton Ejercicio Si det T 0 mostrar: det(t 1 λ 1 I) = 0 y luego: λ 3 I 1 (T 1 )λ 2 + I 2 (T 1 )λ 1 I 3 (T 1 ) = 0 con: I 1 (T 1 ) = I 1 (T)/I 3 (T) I 2 (T 1 ) = I 2 (T)/I 3 (T) I 3 (T 1 ) = 1/I 3 (T) Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería4 ydeciencias septiembre Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 64 / 95

22 Teorema de Cayley-Hamilton Ejercicio Mostrar T 1 = (T 2 I 1 (T)T + I 2 (T)I)/I 3 (T) y deducir que T r puede expresarse en términos de I, T, y T 2, con coeficientes invariantes de T, para r entero positivo o negativo. Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería4 ydeciencias septiembre Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 65 / 95

23 Autovalores y autovectores para tensores simétricos Autovalores y autovectores para tensores simétricos Sean λ i y v (i), i = 1, 2, 3, autovalores y autovectores de T. Luego: Tv (i) = λ i v (i) (no suma en i) de donde: v (j) (Tv (i) ) = λ i v (j) v (i) (33) v (i) (Tv (j) ) = v (j) (T T v (i) ) = λ j v (i) v (j) (34) Si T = T T, la diferencia (33) (34) da: (λ i λ j )v (i) v (j) = 0 (35) Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería4 ydeciencias septiembre Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 66 / 95

24 Autovalores y autovectores para tensores simétricos Autovalores y autovectores para tensores simétricos De (35), resulta 1 Si λ i λ j, i j: 2 Si λ i = λ j λ k, i j k i : v (i) v (j) = 0 (36) v (i) v (k) = v (j) v (k) = 0 Pueden elegirse vectores v (i), v (j) arbitrarios, normales a v (k) y normales entre sí. 3 Si λ i = λ j = λ k, i j k i, pueden elegirse vectores v (i), v (j), v (k) (arbitrarios) mutuamente ortogonales. En todo caso, los autovectores de T simétrico son mutuamente ortogonales Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería4 ydeciencias septiembre Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 67 / 95

25 Autovalores para tensores simétricos Autovalores y autovectores para tensores simétricos Probaremos que λ i R por el absurdo: Si λ i C satisface la ecuación característica, también lo hace su conjugado λ i C Si v (i) es el autovector correspondiente a λ i, su conjugado v (i) es el autovector correspondiente a λ i Luego: (λ i λ i ) }{{}} v (i) {{ v (i) } 0 0 = v (i) 2 >0 = Imposible verificar (35) = los autovalores de T simétrico deben ser reales Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería4 ydeciencias septiembre Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 68 / 95

26 Representación espectral de tensores Representación espectral de tensores Sean v (i) autovectores de T normalizados (i.e., v (i) = 1) t.q. I = v (i) v (i) (suma sobre i) Llegamos a la representación espectral de T: T = TI = (Tv (i) ) v (i) = 3 λ i v (i) v (i) i=1 La matriz de componentes T en la base {v (i) } es diagonal, con componentes λ 1, λ 2, λ 3 En la base {e i }, la matriz de componentes T: T = Q T T Q con Q ij = v (i) e j Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería4 ydeciencias septiembre Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 69 / 95

27 Representación espectral de tensores Representación espectral de tensores Si λ 2 = λ 1 : T = λ 1 I + (λ 3 λ 1 )v (3) v (3) Si λ 3 = λ 2 = λ 1 : T = λ 1 I Autovectores de T ejes principales de T Dos tensores de 2 o orden T y S con los mismos ejes principales se dicen coaxiales Autovalores de T valores principales de T Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería4 ydeciencias septiembre Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 70 / 95

28 Representación espectral de tensores Ejercicio Mostrar que si λ 1, λ 2, λ 3 son valores principales de T, los invariantes principales resultan I 1 (T) = λ 1 + λ 2 + λ 3 I 2 (T) = λ 2 λ 3 + λ 3 λ 1 + λ 1 λ 2 I 3 (T) = λ 1 λ 2 λ 3 Ejercicio Mostrar que S y T son coaxiales si ST = TS. Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería4 ydeciencias septiembre Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 71 / 95

29 Tensores definidos/semidefinidos positivos Tensores definidos/semidefinidos positivos Un tensor T de 2 o orden se dice definido positivo si v (Tv) > 0 v E, v o Un tensor T de 2 o orden se dice semidefinido positivo si v (Tv) 0 v E, v o, con al menos un v o para el que valga la igualdad Si T es simétrico y definido positivo, luego λ i > 0 para i = 1, 2, 3 Si T es simétrico y semidefinido positivo, luego λ i 0 para i = 1, 2, 3, con algún λ i = 0 Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería4 ydeciencias septiembre Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 72 / 95

30 Tensores definidos/semidefinidos positivos Definimos la raíz positiva de T como T 1/2 = 3 i=1 λ 1/2 i v (i) v (i) Si λ i > 0, i = 1, 2, 3, la inversa de T existe y su representación espectral es: 3 T 1 = λ 1 i v (i) v (i) i=1 Notar que T 1/2 y T 1 son coaxiales con T Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería4 ydeciencias septiembre Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 73 / 95

31 Tensores antisimétricos de 2 o orden Tensores antisimétricos de segundo orden Sea W antisimétrico de 2 o orden: Sus invariantes principales resultan W T = W (37) I 1 (W) = tr W = 0 I 2 (W) = 1 [ (tr W) 2 tr W 2] = 1 tr W2 2 2 = 1 2 W ijw ji = 1 2 W ijw ij = W W W 2 31 I 3 (W) = det W = 0 Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería4 ydeciencias septiembre Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 74 / 95

32 Tensores antisimétricos de segundo orden La ecuación característica resulta: λ 3 + I 2 (W)λ = [ λ 2 + I 2 (W) ] λ = 0 Como I 2 (W) > 0 W 0, W tiene un único autovalor real λ = 0, al que corresponde el autovector a t.q. Wa = o Si w = 1 2 ε ijkw kj e i es vector axial de W: Wa = w a = o a = αw, α R, es el único autovector real de W Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería4 ydeciencias septiembre Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 75 / 95

33 Tensores antisimétricos de segundo orden Ejercicio Sean u, v y ŵ = w/ w una base ortonormal, con w vector axial de W. Mostrar: W = (v Wu)(v u u v) Deducir además que W = (Wu) u u (Wu) Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería4 ydeciencias septiembre Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 76 / 95

34 Tensores ortogonales de 2 o orden Tensores ortogonales de segundo orden En general, el producto escalar u v no se conserva bajo la transformación lineal T : E E, i.e.: (Tu) (Tv) = u (T T Tv) u v en general Se denomina tensor ortogonal Q a aquél que conserva el producto escalar: (Qu) (Qv) = u (Q T Qv) = u v de donde Q T Q = I = QQ T (38) Q será propio o impropio según { 1 tensor ortogonal propio det Q = 1 tensor ortogonal impropio Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería4 ydeciencias septiembre Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 77 / 95

35 Tensores ortogonales de 2 o orden Tensores ortogonales de segundo orden De (38): Q T Q Q T = I Q T Q T (Q I) = (Q T I) det(q T (Q I)) = det(q T I) = det(q I) 1 det(q I) + det(q I) = 0 det(q I) = 0 λ = 1 es autovalor, al que corresponde el autovector u t.q. Qu = u u no se modifica por aplicación de Q u es eje de rotación Víctor Fachinotti, Benjamín Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingeniería de Sólidos Facultad de Ingeniería4 ydeciencias septiembre Hídricas de 2015 (FICH) Universidad 78 / 95