Rotaciones. R es ortogonal. Esto es :RR T = 1, donde R T ij =R ji. En efecto. R T R =1, R es una matriz ortogonal

Transcripción

1 Rotaciones Convención de Einstein: Dos índices repetidos en un monomio significan la suma de esos índices de 1 a la dimensión del espacio. Las rotaciones son transformaciones lineales, definidas por la matriz de transformación R. x =Rx, x i =R ij x j que conservan la distancia entre dos puntos, definida por la magnitud del vector x. x,x son las coordenadas de un punto P en dos sistemas de coordenadas con origen común, que están rotados el uno respecto al otro. R es ortogonal. Esto es :RR T = 1, donde R T ij =R ji. En efecto x = Rx R T R =1, R es una matriz ortogonal x T x = x T R T Rx =x T x, x det (R T R) = 1 = det (R) 2, det (R) = ±1, det (R)es una función continua de R. Las matrices ortogonales tienen dos sectores topológicamente disconexos. Las rotaciones tienen determinante 1. Rotacíon en dos dimensiones:r = ( cos θ sen θ sen θ cos θ ), det (R) =1

2 Sea un vector A expresado en un sistema de coordenadas cartesianas (x, y, z) con una base vectorial B asociada definida por los versores ( i, j,k ); esto es,a= A x Ahora, supongamos que giramos el sistema de A y A z B ejes coordenados, manteniendo fijo el origen del mismo, de modo que obtengamos un nuevo triedro ortogonal de ejes (x, y, z), con una base vectorial B asociada definida por los versores ( i, j,k ). Las componentes del vector A en esta nueva base vectorial serán:a= A x A y A z B Figura 1. Coordenadas de un vector en un sistema rotado. La operación de rotación de la base vectorial siempre puede expresarse como la acción de un operador lineal (representado por una matriz) actuando sobre el vector (multiplicando al vector): RA B = A B que es la matriz de transformación para el cambio de base vectorial.

3 Ejemplo En el caso simple en el que el giro tenga magnitud θ alrededor del eje z, tendremos la transformación: cos θ sin θ 0 R= sin θ cos θ Al hacer la aplicación del operador, es decir, al multiplicar la matriz por el vector, obtendremos la expresión del vector A en la nueva base vectorial: cosθ sin θ 0 sin θ cosθ 0 A x A y = A x A y A z A z siendo B A x =A x cosθ + A y sin θ A y = A x sin θ +A y cosθ A z =A z las componentes del vector en la nueva base vectorial. B

4 Producto escalar Sean A, B dos vectores. Tenemos que A = RA,B = RB. El producto escalar de los dos vectores A.B = A i B i es independiente del sistema coordenado. Es un invariante. En efecto, en notación matricial tenemos que: A.B =A T B, A T B =A T R T RB = A T B =A.B, dado que R es ortogonal, R T R El módulo de un vector es un invariante: A = A.A

5 Derivadas A i (t) es un vector y t un parámetro invariante. Entonces B i (t)= da i dt B i (t ) = da i dt = da i = d (R ija j ) dt dt =R ij da j dt =R ijb j (t), R no depende de t. es un vector. A(x) es un campo escalar:a(x ) = A(x), B i (x) = i A(x) son las componentes de un vector, llamado gradiente de A. B i (x) = i A (x )= i A(x)= j A(x) x j,x x i =R ij x j,x j =R 1 ji x i = R T ji x i = R ij x i i x j x i =R ij, B i (x) = j A(x)R ij =R ij B j

6 Distancia en el espacio-tiempo c 2 t 2 + x 2 = c 2 t 2 + x 2 = D 2 es un invariante bajo cambio de sistema de referencia inercial. Sea x 4 =ict, x µ x µ =x µ x µ =D 2. Las transformaciones de Lorentz son rotaciones en este espacio-tiempo cuadrimensional. x µ =L µν x ν. Consideremos un sistema S que se mueve con velocidad u a lo largo del eje x de S. En t =t = 0 los orígenes de S y S coinciden. L = γ 0 0 iβγ iβγ 0 0 γ, x = γ(x ut), ict = iβγx+ γict Transformaciones de Lorentz: x = γ(x ut),t = γ ( t u c 2 x ),

7 Cuadrivectores A µ es un cuadrivector si transforma bajo transformaciones de Lorentz como las coordenadas:a µ = L µν A ν. La distancia infinitesimal en el espacio-tiempo es un invariante: ds 2 = c 2 dt 2 + d x.d x, ds 2 =ds 2 El intervalo de tiempo propio dτ es un invariante. En efecto c 2 dτ 2 = ds P 2 donde el sistema de referencia propio es aquel en que la partícula está en reposo. Ejercicio 1: Demostrar que la cuadrivelocidad definida por v µ = dx µ dτ Muestre que v µ v µ = c 2 es un cuadrivector. Ejercicio 2: Encuentre las componentes temporales y espaciales de v µ Ejercicio 3: Si m 0 es un invariante(masa en reposo). Muestre que p µ = m 0 v µ es un cuadrivector, llamado cuadrimomentum. Muestre que p µ p µ = m 0 2 c 2 Ejercicio 4: Encuentre las componentes temporales y espaciales de p µ Ejercicio 5: Demostrar que la cuadrifuerza definida por f µ = dp µ dτ Ejercicio 6: Encuentre las componentes temporales y espaciales de f µ. es un cuadrivector.

8 Tensores cartesianos Consideremos dos vectoresa, B. Las componentes cartesianas transforman como: A i = R ij A j, B l = R lk B k A i B l =R ij R lk A j B k, T il = A i B l =R ij R lk T jk (1) T il Un conjunto de n 2 funciones T jk son las componentes de un tensor si transforman bajo cambios de coordenadas como (1). T i1...i m son las componentes de un tensor de rango m si bajo cambios de coordenadas cartesianas transforma como: T i1...i m = R i1 j 1...R im j m T j1...j m

9 Pseudotensores T i1...i m son las componentes de un pseudotensor de rango m si bajo cambios de coordenadas cartesianas transforma como: donde R es el determinante de la mátriz R. T i1...i m = R R i1 j 1...R im j m T j1...j m

10 Operaciones con tensores Si A i1...i k,b i1...i k son tensores y α, β son escalares(invariantes), entonces C i1...i k = αa i1...i k + βb i1...i k es un tensor. C i1...i k (x )=α (x )A i1...i k (x ) + β (x )B i1...i k (x ) = α(x)r i1 j 1...R ik j k A j1...j k (x) + β(x)r i1 j 1...R ik j k B j1...j k (x)= R i1 j 1...R ik j k (α(x)a j1...j k (x) + β(x)b j1...j k (x))= R i1 j 1...R ik j k C j1...j k Tensor simétrico y antisimétrico: Si B ij es un tensor simétrico (B ji = B ij ) o antisimétrico(b ji = B ij bajo permutación de i, j, entonces B ij es simétrico(antisimétrico). B ij = R ik R jl B kl, B ji = R jk R il B kl, B ij ± B ji = R ik R jl B kl ± R jk R il B kl = R ik R jl B kl ± R jk(l) R il(k) B k(l) l(k) = R ik R jl (B kl ±B lk )=0 B ij = S ij + A ij S ij = 1 2 (B ij + B ji ), A ij = 1 2 (B ij B ji ) Se puede simetrizar o antisimetrizar en cualquier par de índices. Este procedimiento permite encontrar representaciones irreducibles de grupos.

11 Producto tensorial A i1...i k,b j1...j l son tensores, entonces T i1...i k j 1...j l = A i1...i k B j1...j l es un tensor llamado el producto tensorial de A, B. T i1...i k j 1...j l =A i1...i k B j1...j l = R i1 a 1...R ik a k A a1...a k R j1 b 1...R jk b k B b1...b k = R i1 a 1...R ik a k R j1 b 1...R jk b k A a1...a k B b1...b k = R i1 a 1...R ik a k R j1 b 1...R jk b k T a1...a k b 1...b k

12 Contracción de índices Si A i1...a...b...i k es un tensor de rango k, B i1...(a)...(b)...i k =A i1...a...a...i k es un tensor de rango k 2. (a) significa que el índice a no está presente. pero R ac R ad =δ cd. A i1...a...a...i k = R i1 j 1...R ac...r ad R ik j k A j1...c...d...j k A i1...a...a...i k = R i1 j 1...R ik j k A j1...c...d...j k δ cd =R i1 j 1...(R ac )...(R ad )...R ik j k A j1...c...c...j k Notar que la contracción de índices diferentes da lugar, en general, a tensores diferentes.

13 Derivada de tensores Si A i1...i k (x) es un tensor de rango k, A i1...i k,l(x)= x l A i1...i k es un tensor de rango k +1. A i1...i k,l(x ) = x la i 1...i k (x ) = x j x l x j (R i1 l 1...R ik l k A l1...l k ) = x j x l R i 1 l 1...R ik l k A l1...l k,j = R i1 l 1...R ik l k R lj A l1...l k,j

14 Criterio sencillo del carácter tensorial Sea A ij un conjunto de n 2 funciones y v l un vector. Si A ij v j = V i es un vector, para todo v l, entonces, A ij son las componentes de un tensor. V i = A ij v j =R il V l =R il A la v a, A ij v j = A ij R ja v a R ja v a =R il A la v a, v a es arbitrario, A ij A ij R ja =R il A la, multiplicar por R ka A ij R ja R ka =R il R ka A la A ij δ jk = A ik =R il R ka A la Ejercicio: C ijk es un conjunto de n 3 funciones y t ab es un tensor simétrico arbitrario. Si C ijk t jk es un vector para todo t ab, entonces C ijk +C ikj son las componentes de un tensor, simétrico en los índices jk.

15 Ejemplos de tensores La delta de Kronecker δ ab = { 1, a=b es un tensor de rango 2 simétrico. Más aún es un tensor 0, a=/ b invariante porque sus componentes no dependen del sistema de coordenadas. δ ab = R ac R bd δ cd El símbolo de Levi-Civita, ε i1...i n =sgn ( 1...n i 1...i n ), donde sgn(σ) es el signo de la permutación σ. n es la dimensión del espacio, es un pseudotensor de rango n, totalmente antisimétrico. ε i1...i n ε a1...a n = δ i1 a 1...δ i1 an... δ i na 1...δ i nan Las demostraciones las haremos en la sección de tensores en general.

16 Identidades vectoriales (A B) i = ε ijk A j B k (A (B C)) i = ε ijk A j (B C) k =ε ijk A j ε klm B l C m, ε ijk ε klm = (δ il δ jm δ im δ jl ), (A (B C)) i = (δ il δ jm δ im δ jl )A j B l C m = A.CB i A.BC i Similarmente: ( B) i =ε ijk j B k =ε ijk B k,j ( ( C)) i = ε ijk ( C) k,j = ε ijk ε klm C m,lj = (δ il δ jm δ im δ jl )C m,lj =C j,ji C i,jj Esto es: ( ( C))= (.C) 2 C