Álgebra Multilineal sobre R
|
|
- Julia Roldán Mendoza
- hace 6 años
- Vistas:
Transcripción
1 Álgebra Multilineal sobre R Lección uno álgebra multilineal abstracta por JM Márquez-Bobadilla CUCEI Universidad de Guadalajara Álgebra multilineal -vector o -contra-tensor -covector o -forma o proyector o co-tensor de rango uno o -co-tensor -construcción pullback -dualidad de espacios vectoriales -transformaciones multilineales -transformaciones bilineales y formas cuadráticas -transformaciones trilineales -producto tensorial de transformaciones multilineales -producto tensorial de espacios vectoriales -tensores contravariantes, covariantes, mixtos -álgebra tensorial -producto exterior de tensores -pfafianas, bi-vector, tri-vector -k-formas -álgebra exterior (álgebra de Grassmann) -énfasis cambios de bases y cambios de componentes Espacio dual de un R n El espacio dual de R n se define como el conjunto R n de los funcionales lineales R n R Resulta que R n también es una espacio vectorial El espacio dual se define como R n = Hom(R n, R) es decir como el conjunto de las transformaciones lineales de R n en su campo (cuerpo) de escalares R En el caso de que R n esté generado por la base {b,b 2,, b n } tendremos que cada función lineal R n R está determinada por una matriz renglón [a,a 2,,a n ]:R n R
2 que mapea vía v v v 2 [a v 2,a 2,, a n ] = a v + a 2 v a n v n v n v n v v 2 es decir va, bajo el mapeo [a,a 2,, a n ], al escalar a s v s (convención de v n Einstein-Penrose) El pullback de un covector Si tenemos una transformación lineal L : R n R m y tenemos un covector f : R m R entonces es posible inducir un covector R n R mediante la composición f L L R n R m donde L f = f L L f f R Es decir L : R m R n que también es lineal Si L tiene matriz Lb k = L s kb s, entonces L β k =[L ] s k β s y [L ] s k = L k s Qué sucede si tenemos varias transformaciones lineales con respecto al pullback? Dejemos que los diagramas lo expliquen en si mismos: T S R n R m R l f S f S T R f
3 R n S T R l f S T R f Si S f = f S entonces T S f = T (f S) =f S T y (S T ) f = f S T para cada f entonces: (S T ) = T S Esto indica que el operador de dualidad de transformaciones lineales es contravariante Cómo cambian de componentes de un covector cuando cambiamos de bases en V? Si C : V V es un cambio de bases en V dado por b i c i = Cb i = C s ib s entonces b i =(C ) s i c i De la construcción pullback deducimos que si las bases covarian con C las correspondientes bases duales β i (b j )=δ i j en V descrito en la base β i y en V descrito en la base γ i C : V b V c entonces C : V γ γ i (c j )=δ i j V β Vamos a demostrar que β i =(C i ) s γ s, Demostración: Supongamos que β i = A i s γ s entonces (ΓB) δ i j = β i (b j ) = A i s γ s (b j ) = A i s γ s ((C ) t j c t) = A i s (C ) t j γs (c t ) = A i s (C ) t j δs t = A i s (C ) s j δ i j = (A ) i s (C ) s j
4 esta última línea indica que [A] =[C] por lo tanto [A] =[C] y β i =(C ) s i γ s Si β i =(C ) s i γ s entonces también γ i =(C ) s i β s, (ΓB2) Las relaciones (ΓB), (ΓB2) serán utilizadas cuando consideremos el efecto del cambio de bases en un espacio vectorial y con respecto a otras construcciones vectoriales llamadas producto tensorial de transformaciones lineales y producto tensorial de espcios vectoriales en objetos Espacio dual de un espacio vectorial abstracto El espacio dual de V se define como el conjunto V de los funcionales lineales V R Resulta que V también es una espacio vectorial Cuál es una base y la dimensión de este espacio? Considere las transformaciones (una para cada i) β i : V R definida por X β i (X) =X i, donde X = X s b s (convención de la suma de Einstein) Note que esta definición permite asignar β i (b j )=δ i j para la correspondiente base {b,b 2,, b n } Así β i es una función lineal En otras palabras, el funcional β i extrae el i-esimo componente de X y cumple linealidad: β i (ax) =aβ i (X) β i (X + Y )=β i (X)+β i (Y ) para cualesquiera escalar a y vectores X, Y
5 Los elementos de V también se llaman covectores Todo elemento f V se escribe así ; f = f s β s donde los componentes satisfacen f s = f(b s ) Hemos visto que si f V entonces f : W R, ysit : V W podremos construir V T f R Lo que tenemos es una asignación W T V dada por f T (f) =T f Ahora que si la matriz de T es [T ]=[T i j entonces [T ]=[T] Multilinealidad Mapas bilineales Una función bilineal queda especificada mediante una matriz: Si B : V V R es un mapeo bilineal entonces existe una matriz [B] de n n dimensiones que tienen componentes B ij y con los cuales se determina la forma cuadrática: B(v, w) = v [B]w =[v,, v n ] B B 2 B n B 2 B 22 B 2n B n B n2 B nn = v w B + v w 2 B 2 + v w 3 B v n w n B nn = v s w t B st w w 2 z n Observemos que para una forma cuadrática B : R n R n R al evaluar en básicos canónicos B(e i,e j )=e i [B]e j = B ij Para un mapa trilineal T : V V V R tenemos T (u, v, w) =u s v t w r T str Producto tensorial de transformaciones multilineales
6 Cuando tenemos un par de covectores f,g : V R entonces es posible construir un mapeo bilineal mediante el artificio llamado producto tensorial f g(v, w) =f(v)g(w) donde la expresión a la derecha es el usual producto de números reales Tal construcción es bilineal: f g(kv + lu, w) = f(kv + lu)g(w) = (kf(v) +lf(u))g(w) = kf(v)g(w) +lf(u)g(w) = kf g(v, w)+lf g(u, w) y similarmente para f g(v, kw + lu) =kf g(v, w)+lf g(v, u) Sea bil(v )={B : V V R} el conjunto de todos las funciones bilineales de V Este es un espacio vectorial con las operaciones (B + C)(v, w) =B(v, w)+c(v, w) k(b(v, w)) = kb(v, w) donde B,C bil(v ) y k R A B Con el producto tensorial de covectores duales básicos β i : V R que satisfacen β i (b j )=δ i j, podemos construir mapas bilineales básicos con el producto tensorial y cumplen y que en argumentos arbitrarios β i β j β i β j (b k,b l ) = β i (b k )β j (b l ) = δ i kδ j l β i β j (v, w) = β i (v)β j (v) = β i (v s b s )β j (w t b t ) = v s w t β i (b s )β j (b t ) = v s w t δ i kδ j l = v i w j Es posible demostrar que una base para bil(v ) es {β β,β β 2,β β 3,, β i β j,, β n β n }
7 y entonces para un B arbitrario en bil(v ) tenemos B = B st β s β t y donde podemos ver que los componentes de esta combinación lineal bi-indexada son B ij = B(b i,b j ) Así dim bil(v )=n 2 Cómo cambian las componentes de una forma bilineal cuando variamos la base de V? Supongamos que V C V es un a cambio de base b i c i = Cb i = C s ib s Cómo cambian de componentes de un mapeo bilineal cuando cambiamos de base en V? Sabemos que si C : V V es un cambio de base b i c i = Cb i = C s ib s entonces entre los componentes de un vector v = v s b s =ṽ t c t de estas dos bases se tiene C v b = v c donde v b = v v n y v c = ṽ ṽ n Ahora v b [B]w b =([C][C ]v b ) [B][C][C ]w b =([C ]v b ) [C] [B][C][C ]w b entonces v b [B]w b =([C ]v b ) [C] [B][C][C ]w b = v c [C BC]w c por lo que la matriz de la misma forma cuadrática -determinada por [B]- en la nueva base es [C BC] En términos biindexados una tenemos v [B]w = v s w t B st, (FC)
8 pero c t = C s tb s entonces que después de reindexar s µ implica v µ b µ =ṽ t c t =ṽ t C s tb s v µ b µ =ṽ t C µ tb µ entonces (v µ ṽ t C µ t)b µ = pero si los b µ son linealmente independientes entonces v µ =ṽ t C µ t que sustituyendo en (FC) arriba tenemos vb [B]w b = v s w t B st = ṽ u C s u w r C t rb st = ṽ u w r C s uc t rb st = ṽ u w r C s ub st C t r = ṽ u w r (C s ) u Bst C t r = ṽ u w r [C BC] ur = vc [C BC]w c Las transformaciones trilineales son similarmente tratadas, por ejemplo β i β j β k (v,w,u) = β i (v)β j (v)β k (u) = β i (v s b s )β j (w t b t )β k (u r b r ) = v s w t u r β i (b s )β j (b t )β k (b r ) = v s w t δ i kδ j lδ k r = v i w j u r El conjunto tril(v )={B : V V V R} también es un espacio vectorial, generado por los β i β j β k con todas las combinaciones de i, j, k desde hasta dim V = n, por lo tanto dim tril(v )=n 3
9 Producto tensorial de espacios vectoriales Sean V,W dos espacios vectoriales sobre los reales R Indicamos con V = {b,, b n } que el espacio V está generado por los vectores básicos b i En otras palabras; si X V entonces X = X s b s es la combinación lineal X = X b + X 2 b X n b n Si W = {d,, d m } es otro espacio vectorial, entonces definimos V W = {b d,b d 2,, b n d m, }, esto implica que si B V W entonces B = B st b s d t lo cual es la combinación lineal bi-indexada: B = B b d + B 2 b d B nm b n d m Ejemplo: R 2 R 3 es generado por el producto de sus bases ( ) ( ) e =,e 2 = para R 2 y para R 3 ε =,ε 2 =,ε 3 = respectivamente son: ( ) ( ) ( ) ( ) e ε,e ε 2,e ε 3 e 2 ε,e 2 ε 2,e 2 ε 3 (, (, ( ) ) ( ) ) (, (, ( ) ) ( ), )
10 Así el espacio vectorial R 2 R 3 = gen{e i ε j } donde i =, 2 y j =, 2, 3, por lo que si T R 2 R 3 entonces T = T µν e µ ε ν El espacio R 2 R 3 es de dimensión 6 y es naturalmente isomorfo a R 6 generado por E =,E 2 =,E 3 =,E 4 =,E 5 = Y entonces un isomorfismo es:,e 6 = e ε E e ε 2 E 2 e ε 3 E 3 e 2 ε E 4 e 2 ε 2 E 5 e 2 ε 3 E 6 que sin embargo no es el único Por ejemplo otro pudiera ser e ε E e ε 2 E + E 2 e ε 3 E 3 8E 4 e 2 ε E 4 e 2 ε 2 3E 5 + E 6 e 2 ε 3 E 6 e ε E 9E 2 + E 6 e ε 2 E 3 +5E 4 E 6 e ε 3 E E 2 E 3 +8E 4 E 6 e 2 ε E 2 E 4 E 6 e 2 ε 2 E 3E 5 + E 6 e 2 ε 3 E 6
11 Los objetos en V V se llaman tensor contravariante de rango 2 en V o bien un 2-contratensor Los objetos en V V se llaman tensor covariante de rango 2 en V o bien un 2-cotensor Los objetos en V V se llaman tensor mixto de rango 2 en V Los elementos básicos de V V pueden ser visualizados como transformaciones bilineales β i β j : V V R mediante la asignación dada por (X, Y ) β i β j (X, Y )=β i (X)β j (Y )=X i Y j Similarmente los elementos básicos de V V pueden ser considerados como mapas bilineales b i b j : V V R mediante la asignación (f,g) b i b j (f,g) =f(b i )g(b j )=f i g j Un elemento básico de V V se puede ver como un mapa bilineal mediante la fórmula V V R (X, f) β i b j (X, f) =β i (X)f(b j )=X i f j Efectivamente estas reglas son bilineales, pues por ejemplo, para cualesquiera escalares a, c R y vectores X,Y,Z V tenemos β i β j (ax + cy, Z) =aβ i β j (X, Z)+cβ i β j (Y,Z) β i β j (X, ay + cz) =aβ i β j (X, Y )+cβ i β j (X, Z) que son respectivamente (ax i + cy i )z j = ax i Z j + cy i Z j X i (ay j + cz j )=ax i Y j + cx i Z j Toda transformación bilineal V V R está generada por los β i β j pues si B : V V R es un mapeo bilineal arbitario, este se expresará como B = B st β s β t
12 y denotaremos con T (2,) V el espacio vectorial generado por los β i β j, en otras palabras T (2,) V = {β i β j } Cómo cambian de componentes de un mapeo bilineal cuando cambiamos de base en V? Si B = B st β s β t y C : V V es un cambio de bases b i Cb i = C µ ib µ o bien b i =(C ) µ i c µ entonces donde B = C BC B = B st β s β t = B st (C µ ) σ (C ν ) ρ γ σ γ ρ = (C ) σ s Bst (C ) ρ t γ σ γ ρ = (C ) σ s Bst C t ργ σ γ ρ = B σρ γ σ γ ρ Similarmente el conjunto de los mapas tri-lineales T (3,) V = {β i β j β k } donde β i β j β k (X,Y,Z)=X i Y j Z k es una construcción tri-lineal básica Así cualquier otro mapa trilineal T : V V V R se escribe conforme a T = T stu β s β t β u No es difícil visualizar lo qué hay en el espacio vectorial T (k,) V y cuál es una base para él puede ud decir cuál es las dimensión de cada uno de estos espacios vectoriales? Espacios de co-tensores T (,) V = R T (,) V = V T (2,) V = V V = bil(v ) T (3,) V = V V V = tril(v ) T (4,) V = V V V V Espacios de contra-tensores
13 T (,) V = V T (,2) V = V V = bil(v ) T (,3) V = V V V = tril(v ) T (,4) V = V V V V Espacios de tensores mixtos T (,) V = V V = hom(v ) T (2,) V = V V V T (,2) V = V V V T (2,2) V = V V V V El álgebra tensorial El álgebra tensorial de un espacio V es un espacio vectorial de dimensión infinita y está definido como TV = T (k,l) V k=l= TV = T (,) V T (,) V T (,) V T (2,) V T (,) V T,2 V T (3,) V T (2,) V Álgebra de Grassmann Importantes son las transformaciones multilineales que son antisimétricas, es decir transformaciones multilieales que cambian de signo cuando intercambiamos (transponemos) dos de sus argumentos Por ejemplo un mapa bilineal B : V V R es antisimétrico (o alternante) si satisface un trilineal alternante cumple B(X, Y )= B(Y,X) T (X,Y,Z) = T (Y,X,Z) = T (Y,Z,X) = T (Z,Y,X) La construcción β i β j = β β j β j β i define un operador bilineal antisimétrico básico y satisface β i β j (X, Y )=X i Y j X j Y i
14 Otra notación es β i β j = β [i β j] Estos objetos generan un subespacio de mapas bilineales también llamados bivectores o 2-formas y los simbolizamos con Λ 2 V = gen{β β 2,β β 3,, β n β n } esto implica que si B Λ 2 V entonces B = B st β s β t Observe que β i β i =para cada i Observa que si dim V = 3 entonces β β 2,β β 3,β 2 β 3 son los únicos bivectores básicos por lo tanto dim Λ 2 V = ( 3 2) =3 Ahora que si dim V = 4 entonces β β 2,β β 3,β 2 β 3,β 2 β 4,β 3 β 4 son los únicos bivectores básicos por lo tanto dim Λ 2 V = ( 4 2) =6 Generailzando cuando dim V = n entonces β β 2,β β 3,β 2 β 3,, β n β n son los únicos bivectores básicos por lo tanto dim Λ 2 V = ( ) n 2 El espacio vectorial Λ k V generado por los productos exteriores de k-covectores básicos β i β i2 β ik donde los indices cumplen i <i 2 < <i k, tiene dimensión ( n k) ie ( ) dim V dim(λ k V )= k El espacio Λ n V está generado por la única n-forma β β 2 β n por lo que dim(λ n V )= El álgebra exterior El espacio vectorial ΛV =Λ V Λ V Λ n V Λ n V junto con el producto exterior constituyen un álgebra que recibe el nombre de álgebra de Grassmann (o álgebra exterior) de V
Principios de álgebra multilineal
Principios de álgebra multilineal 2013-03-11 19:27:49 [twocolumn]article AMSbUmsbmn AMSb ÁLGEBRA MULTILINEAL DE ESPACIOS VECTORIALES REALES CON PRODUCTO INTERIOR Juan M. Márquez B. Sea V un espacio vectorial
Más detallesBases y dimensión. Problemas teóricos. En todos los problemas se supone que V es un espacio vectorial sobre un campo F. p=1
Bases y dimensión Problemas teóricos Bases de un espacio vectorial En todos los problemas se supone que V es un espacio vectorial sobre un campo F. Definición de base. Sean b 1,..., b n V. Se dice que
Más detallesTema 2: Espacios vectoriales
Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM 1 Tema 2: Espacios vectoriales Ejercicios 1. En R 2 se definen las siguientes operaciones: (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2, y 1 +
Más detallesALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- Espacios vectoriales
Resumen teoría Prof. Alcón ALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- Espacios vectoriales Sea (K, +,.) un cuerpo con característica 0. Podemos pensar K = Q, R o C. Si V es un conjunto cualquiera en el que
Más detallesDefinición 1 Sean E, F y G tres espacios vectoriales. Una transformación ϕ : E F G se llama bilineal si satisface las siguientes condiciones:
Producto tensorial 0.1 Transformaciones multilineales Definición 1 Sean E, F y G tres espacios vectoriales. Una transformación ϕ : E F G se llama bilineal si satisface las siguientes condiciones: ϕ(λx
Más detallesProducto tensorial entre tensores
Tensores cartesianos Producto tensorial entre tensores Producto tensorial entre tensores Se define el producto tensorial entre los tensores S CT(m) y T CT(n) como el tensor S T CT(n + m): S T = S i1...i
Más detallesTransformaciones lineales y matrices
CAPíTULO 5 Transformaciones lineales y matrices 1 Matriz asociada a una transformación lineal Supongamos que V y W son espacios vectoriales de dimensión finita y que T : V W es una transformación lineal
Más detallesAlgebra Lineal. Gustavo Rodríguez Gómez. Verano 2011 INAOE. Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE) Algebra Lineal Verano / 21
Algebra Lineal Gustavo Rodríguez Gómez INAOE Verano 2011 Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE) Algebra Lineal Verano 2011 1 / 21 Espacios Vectoriales Espacios Vectoriales INAOE Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE)
Más detalles2 Espacios vectoriales
Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM 1 2 Espacios vectoriales 2.1 Espacio vectorial Un espacio vectorial sobre un cuerpo K (en general R o C) es un conjunto V sobre el que hay
Más detalles58 7. ESPACIOS COCIENTE
CAPíULO 7 Espacios cociente En esta sección estudiamos el cociente de un espacio vectorial por un subespacio W. Este cociente se define como el conjunto cociente de por una relación de equivalencia conveniente.
Más detallesTema II. Capítulo 5. Aplicaciones bilineales y formas cuadráticas.
Tema II Capítulo 5 Aplicaciones bilineales y formas cuadráticas Álgebra Departamento de Métodos Matemáticos y de Representación UDC 5 Aplicaciones bilineales y formas cuadráticas o simplemente f( x, ȳ)
Más detallesTema 4: FORMAS BILINEALES Y CUADRÁTICAS
Tema 4: FORMAS BILINEALES Y CUADRÁTICAS Prof. Rafael López Camino Departamento de Geometría y Topología Universidad de Granada Material docente para el alumno Asignatura: Geometría I. Curso 2003/04 Licenciatura:
Más detallesDepartamento de Ingeniería Matemática - Universidad de Chile
Ingeniería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Álgebra Lineal 08-2 SEMANA 7: ESPACIOS VECTORIALES 3.5. Generadores de un espacio vectorial Sea V un espacio vectorial
Más detallesDualidad. 1. Dual de una transformación lineal
CAPíTULO 8 Dualidad 1. Dual de una transformación lineal En este capítulo volveremos a considerar el tema de la dualidad de espacios vectoriales. Se recuerda que si V es un espacio vectorial, definimos
Más detallesTEMA 4. APLICACIONES LINEALES
TEMA 4. APLICACIONES LINEALES 1.- Definición y propiedades. 2.- Aplicaciones lineales inyectivas y Suprayectivas. 3.- Núcleo, imagen, matriz asociada y rango de una aplicación lineal. 4.- Operaciones con
Más detallesALGEBRA LINEAL - 2do Cuatrimestre 2014 Práctica 2 - Espacios vectoriales
Departamento de Matemática - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - UBA 1 ALGEBRA LINEAL - 2do Cuatrimestre 2014 Práctica 2 - Espacios vectoriales Espacios vectoriales 1. Sea V un espacio vectorial
Más detallesEspacios Vectoriales www.math.com.mx
Espacios Vectoriales Definiciones básicas de Espacios Vectoriales www.math.com.mx José de Jesús Angel Angel jjaa@math.com.mx MathCon c 007-009 Contenido. Espacios Vectoriales.. Idea Básica de Espacio Vectorial.................................
Más detallesMMAF: Espacios normados y espacios de Banach
MMAF: Espacios normados y espacios de Banach Licenciatura en Estadística R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Curso 2011/2012 Espacios vectoriales Definición Sea V un conjunto de elementos sobre el
Más detalles102 EJERCICIOS DE ALGEBRA LINEAL por Francisco Rivero Mendoza Ph.D.
102 EJERCICIOS DE ALGEBRA LINEAL por Francisco Rivero Mendoza Ph.D. Tema 1. Espacios Vectoriales. 1. Dar la definición de cuerpo. Dar tres ejemplos de cuerpos. Dar un ejemplo de un cuerpo finito 2. Defina
Más detallesTema 2: APLICACIONES LINEALES
Tema 2: APLICACIONES LINEALES Prof. Rafael López Camino Departamento de Geometría y Topología Universidad de Granada Material docente para el alumno Asignatura: Geometría I. Curso 2003/04 Licenciatura:
Más detallesEspacios Vectoriales
Espacios y subespacios vectoriales Espacios Vectoriales 1. Demuestre que con la suma y multiplicación habituales es un espacio vectorial real.. Considere el conjunto C de los números complejos con la suma
Más detallesConstrucción de bases en la suma y la intersección de subespacios (ejemplo)
Construcción de bases en la suma y la intersección de subespacios (ejemplo) Objetivos Aprender a construir bases en S + S y S S, donde S y S están dados como subespacios generados por ciertos vectores
Más detallesTema 4: Aplicaciones lineales
Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto de Matemática Aplicada, FI-UPM 1 Tema 4: Aplicaciones lineales Ejercicios 1 Estudia la linealidad de las siguientes aplicaciones: (a) f : R R 3, definida por f(x, y) =
Más detallesEJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA 1 ESPACIOS VECTORIALES
EJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA ESPACIOS VECTORIALES Formas reducidas y escalonada de una matriz SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ) Encuentre una sucesión de matrices elementales E, E,..., E k tal que
Más detallesPodemos pues formular los dos problemas anteriores en términos de matrices.
Tema 5 Diagonalización 51 Introducción Valores y vectores propios 511 Planteamiento del problema Problema general de diagonalización Dado un operador lineal f sobre un espacio vectorial V de dimensión
Más detalles520142: ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL
520142: ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL Segundo Semestre 2008, Universidad de Concepción CAPITULO 10: Espacios Vectoriales DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas 1 Definición
Más detallesTema 1: Espacios vectoriales
PROBLEMAS DE MATEMÁTICAS Parte I: Álgebra Primero de Ingeniería Química FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS Departamento de Matemáticas Universidad de Castilla-La Mancha Tema 1: Espacios vectoriales 1 Determina
Más detallesBa s e, d i M e n s i ó n y Mat r i z
Unidad 4 Ba s e, d i M e n s i ó n y Mat r i z de transición Objetivos: Al inalizar la unidad, el alumno: Conocerá la deinición de base de un espacio vectorial Identiicará bases canónicas para algunos
Más detallesEspacios vectoriales.
Unidad docente de Matemáticas Matemáticas (CC. Químicas) Espacios vectoriales. Si detectas cualquier error o errata por favor, comunicaselo al profesor de la asignatura. El subíndice can significa canónica/o..
Más detallesGuía. Álgebra II. Examen parcial III. Transformaciones lineales. Teoremas los más importantes cuyas demostraciones se pueden incluir en el examen
Guía. Álgebra II. Examen parcial III. Transformaciones lineales. Teoremas los más importantes cuyas demostraciones se pueden incluir en el examen 1. Teorema de la representación matricial de una transformación
Más detallesCambio de base. Objetivos. Estudiar la relación entre las coordenadas de un vector en dos bases.
Cambio de base Objetivos Estudiar la relación entre las coordenadas de un vector en dos bases Requisitos Definición de una base, multiplicación de una matriz por un vector, delta de Kronecker Definición
Más detallesESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA.1 Definición de Aplicación Lineal. FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS 8. APLICACIONES LINEALES Sean
Más detallesAplicaciones Lineales
Aplicaciones Lineales Ximo Beneyto Tema: Pàgina : 49 APLICACIONES LINEALES Definición : Sean (E(K), +, A) y (F(K), +, A), Espacios Vectoriales construídos sobre un mismo cuerpo K, una aplicación f:e 6
Más detallesSubspacios Vectoriales
Subspacios Vectoriales AMD Grado en Ingeniería Informática AMD Grado en Ingeniería Informática (UM) Subspacios Vectoriales 1 / 25 Objetivos Al finalizar este tema tendrás que: Saber si un subconjunto es
Más detallesEspacios vectoriales
Espacios vectoriales [Versión preliminar] Prof. Isabel Arratia Z. Algebra Lineal 1 En el estudio de las matrices y, en particular, de los sistemas de ecuaciones lineales realizamos sumas y multiplicación
Más detallesAlgebra Lineal * Working draft: México, D.F., a 17 de noviembre de 2010.
Algebra Lineal * José de Jesús Ángel Ángel jjaa@mathcommx Working draft: México, DF, a 17 de noviembre de 2010 Un resumen de los principales temas tratados en un curso de Álgebra Lineal Contenido 1 Sistemas
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL Tema 3. Transformaciones Lineales
Tema. Transformaciones Lineales TEMA: TRANSFORMACIÓN LINEAL, NÚCLEO Y RECORRIDO Problema : Sean P el espacio vectorial real de los polinomios de grado menor o igual a dos con coeficientes reales y la transformación
Más detallesEJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA 1 ESPACIOS VECTORIALES
EJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA ESPACIOS VECTORIALES MATRICES. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Matrices ) Dada la matriz M=, prueba que n n M M, n. ) Demuestra la siguiente implicación: Si I A I AA A
Más detalles2. El Teorema del Valor Medio
2.24 45 2. El Teorema del Valor Medio Comenzaremos esta sección recordando dos versiones del teorema del valor medido para funciones de 1-variable y por tanto ya conocidas: 2.22 Sea f : [a, b] R R una
Más detallesTema 3: MATRICES. Prof. Rafael López Camino Departamento de Geometría y Topología Universidad de Granada
Tema 3: MATRICES Prof. Rafael López Camino Departamento de Geometría y Topología Universidad de Granada Material docente para el alumno Asignatura: Geometría I. Curso 2003/04 Licenciatura: Matemáticas
Más detallesDescomposición en valores singulares de una matriz
Descomposición en valores singulares de una matriz Estas notas están dedicadas a demostrar una extensión del teorema espectral conocida como descomposición en valores singulares (SVD en inglés) de gran
Más detalles1. Matrices. Operaciones con matrices
REPASO MUY BÁSICO DE MATRICES. Matrices. Operaciones con matrices.. Introducción Las matrices aparecieron por primera vez hacia el año 850, introducidas por el inglés J. J. Sylvester. Su desarrollo se
Más detallesMatrices. Álgebra de matrices.
Matrices. Álgebra de matrices. 1. Definiciones generales Definición 1.1 Si m y n son dos números naturales, se llama matriz de números reales de orden m n a una aplicación A : {1, 2, 3,..., m} {1, 2, 3,...,
Más detallesEsta definición se puede ampliar a cualquier par de bases de los espacio inicial y final MATRIZ DE UNA APLICACIÓN LINEAL EN BASES ARBITRARIAS
Cambios de base 3 3. CAMBIOS DE BASE Dada una aplicación lineal : y la base,,, se ha definido matriz en bases canónicas de la aplicación lineal a la matriz,, cuyas columnas son las coordenadas de en la
Más detallesTransformaciones lineales
Transformaciones lineales Problemas teóricos En los problemas de esta lista se supone que V y W son espacios vectoriales sobre un campo F. Linealidad de una función 1. Varias maneras de escribir la propiedad
Más detallesUNIVERSIDAD DE CONCEPCION FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA
AL GEBRA III UNIVERSIDAD DE CONCEPCION FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA ALGEBRA III DEFINICION : Sea L : V V un operador lineal sobre el espacio vectorial
Más detallesTransformaciones lineales
Semana 8 [1/62] 8 de septiembre de 27 Definiciones básicas Semana 8 [2/62] Definición Transformación lineal U, V dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo Ã. T : U V es una transformación (o función)
Más detallesESPACIOS VECTORIALES
ESPACIOS VECTORIALES Luisa Martín Horcajo U.P.M. Definición: Vector libre. Operaciones Un vector fijo es una segmento orientado, que queda caracterizado por su origen A y su extremo B y se representa por
Más detallesTema III: Tensores. José D. Edelstein. Universidade de Santiago de Compostela. Santiago de Compostela, marzo de 2011
Tema III: Tensores José D. Edelstein Universidade de Santiago de Compostela FÍSICA MATEMÁTICA Santiago de Compostela, marzo de 2011 Producto tensorial de espacios. Tensores. Operaciones con tensores. Tensores
Más detallesCONCEPTOS BÁSICOS DE ESPACIOS VECTORIALES Alumno. Cristina Mª Méndez Suero
Fundamento Científico del Currículum de Matemáticas en Enseñanza Secundaria CONCEPTOS BÁSICOS DE ESPACIOS VECTORIALES Alumno. Cristina Mª Méndez Suero ESPACIOS VECTORIALES DEFINICIÓN... 1 PROPIEDADES DE
Más detallesEspacios vectoriales reales.
Tema 3 Espacios vectoriales reales. 3.1 Espacios vectoriales. Definición 3.1 Un espacio vectorial real V es un conjunto de elementos denominados vectores, junto con dos operaciones, una que recibe el nombre
Más detallesTrabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES
Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES Ejercicio 1: Determine si los siguientes conjuntos con las operaciones definidas en cada caso son o no espacios vectoriales. Para aquellos que no lo sean, indique
Más detallesTransformaciones lineales
Capítulo 3 Transformaciones lineales Las transformaciones lineales son las funciones con las que trabajaremos en Álgebra Lineal. Se trata de funciones entre K-espacios vectoriales que son compatibles con
Más detallesAplicaciones lineales.
Tema 4 Aplicaciones lineales. Definición 4. Sea f: V W una aplicación entre los espacios vectoriales reales V y W. Se dice que f es una aplicación lineal si: a f(u + v = f(u + f(v; u, v V, b f(ku = kf(u;
Más detallesTensores cartesianos.
Tensores cartesianos. Transformación de coordenadas. Consideremos dos sistemas de coordenadas cartesianas ortogonales en el plano, identificados como σ y σ. Supongamos que ambos tienen un origen común,
Más detallesTema 3: Espacios vectoriales
Tema 3: Espacios vectoriales K denotará un cuerpo. Definición. Se dice que un conjunto no vacio V es un espacio vectorial sobre K o que es un K-espacio vectorial si: 1. En V está definida una operación
Más detallesRango de una matriz. Objetivos. Definir el rango de renglones y el rango de columnas de una matriz. Mostrar que estos rangos coinciden.
Rango de una matriz Objetivos. Definir el rango de renglones y el rango de columnas de una matriz. Mostrar que estos rangos coinciden. Requisitos. Rango de una lista de vectores, operaciones elementales
Más detallesALGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA. REPASO DE ÁLGEBRA LINEAL-2: CAMBIOS DE BASE GRADO DE MATEMÁTICAS. CURSO
ALGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA. REPASO DE ÁLGEBRA LINEAL-2: CAMBIOS DE BASE GRADO DE MATEMÁTICAS. CURSO 2012-2013 José García-Cuerva Universidad Autónoma de Madrid 11 de febrero de 2013 JOSÉ GARCÍA-CUERVA
Más detallesDivulgación El anillo de matrices M n (k) y sus automorfismos k-lineales
Divulgación El anillo de matrices M n (k) y sus automorfismos k-lineales Alejandro Cobá, Ramón Peniche y Efrén Pérez Facultad de Matemáticas de la Universidad Autónoma de Yucatán jperezt@uady.mx recibido:
Más detallesTema 4: ESPACIOS VECTORIALES
Álgebra I - Curso 2005/06 - Grupos M1 y M2 Tema 4: ESPACIOS VECTORIALES por Mario López Gómez 1. Definición, propiedades y ejemplos. El concepto de espacio vectorial es sin duda uno de los más importantes
Más detallesÁLGEBRA LINEAL E.T.S. DE INGENIERÍA INFORMÁTICA INGENIERÍAS TÉCNICAS EN INFORMÁTICA DE SISTEMAS Y GESTIÓN BOLETÍN DE PROBLEMAS DE
E.T.S. DE INGENIERÍA INFORMÁTICA BOLETÍN DE PROBLEMAS DE ÁLGEBRA LINEAL para las titulaciones de INGENIERÍAS TÉCNICAS EN INFORMÁTICA DE SISTEMAS Y GESTIÓN 1. Matrices y determinantes Ejercicio 1.1 Demostrar
Más detallesEspacios Vectoriales
Espacios Vectoriales Espacios Vectoriales Verónica Briceño V. noviembre 2013 Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 1 / 47 En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Espacios
Más detallesGuía. Álgebra III. Examen parcial III. Forma canónica de Jordan. Producto interno.
Guía. Álgebra III. Examen parcial III. Forma canónica de Jordan. Producto interno. Teoremas con demostraciones que se pueden incluir en el examen: 1. Fórmula para f(j m (λ)), donde J m (λ) es el bloque
Más detallesf(x, y, z, t) = (x + y t, x + 2y z 3t, 3x + 5y 2z 7t).
Universidade de Vigo Departamento de Matemática Aplicada II E.T.S.I. Minas Álgebra Convocatoria de enero de 20 de enero de 20 (2.5 p.) ) Se considera la aplicación lineal f : R 4 R definida por: f(x y
Más detallesTema I 1. EL CUERPO DE LOS REALES, EL CUERPO DE LOS COMPLEJOS
1 Tema I 1. EL CUERPO DE LOS REALES, EL CUERPO DE LOS COMPLEJOS 1.1 Los Números Naturales. Los números naturales aparecen por la necesidad que tiene el hombre (primitivo) tanto de contar como de ordenar
Más detallesTema 1. Espacios Vectoriales Definición de Espacio Vectorial
Tema 1 Espacios Vectoriales. 1.1. Definición de Espacio Vectorial Notas 1.1.1. Denotaremos por N, Z, Q, R, C, a los conjuntos de los números Naturales, Enteros, Racionales, Reales y Complejos, respectivamente.
Más detallesTema 5: Elementos de geometría diferencial
Tema 5: Elementos de geometría diferencial José D. Edelstein Universidade de Santiago de Compostela FÍSICA MATEMÁTICA Santiago de Compostela, abril de 2011 Coordenadas locales y atlas. Funciones y curvas.
Más detallesAnuladores. Objetivos. Definir el concepto de anuladores y estudiar sus propiedades principales.
Anuladores Objetivos. Definir el concepto de anuladores y estudiar sus propiedades principales. Requisitos. Espacio dual, espacio bidual, base dual.. Definición (anulador de un subconjunto de un espacio
Más detalles2.1. Estructura algebraica de espacio vectorial
Tema 2 Espacios vectoriales de dimensión finita 21 Estructura algebraica de espacio vectorial Los vectores libres en el plano son el sustento geométrico del concepto de espacio vectorial Se trata de segmentos
Más detallesCapítulo 7. Espacios vectoriales. 7.1 Definición y ejemplos
Capítulo Espacios vectoriales.1 Definición y ejemplos Un espacio vectorial sobre un cuerpo K (que supondremos conmutativo es un conjunto no vacío junto con 1. una operación interna, +, a la que llamaremos
Más detallesTema 2: Teorema de estructura de los grupos abelianos finitamente generados.
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS GRADO EN MATEMÁTICAS. CURSO 215/216 Tema 2: Teorema de estructura de los grupos abelianos finitamente generados. 1.1. Grupo abeliano libre. Bases. Definición 1.1. El grupo Z n con
Más detallesAplicaciones Lineales
Aplicaciones Lineales AMD Grado en Ingeniería Informática AMD Grado en Ingeniería Informática (UM) Aplicaciones Lineales 1 / 47 Objetivos Al finalizar este tema tendrás que: Saber si una aplicación es
Más detalles6 Vectores. Dependencia e independencia lineal.
6 Vectores. Dependencia e independencia lineal. Introducción Hay fenómenos reales que se pueden representar adecuadamente mediante un número con su adecuada unidad de medida. Sin embargo para representar
Más detallesTema 1. 1 Álgebra lineal. Aurea Grané Departamento de Estadística Universidad Carlos III de Madrid. 1.1 Vectores de R n. 1. Vectores. 2.
Aurea Grané. Máster en Estadística. Universidade Pedagógica. 1 Aurea Grané. Máster en Estadística. Universidade Pedagógica. 2 Tema 1 Álgebra lineal 1. Vectores 2. Matrices 1 Álgebra lineal Aurea Grané
Más detallesTrabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES. Ejercicio 1:
6 Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES Ejercicio : Determine si los siguientes conjuntos con las operaciones definidas en cada caso son o no espacios vectoriales. Para aquellos que no lo sean, indique
Más detallesIntersección y suma de subespacios
Intersección y suma de subespacios Objetivos Demostrar que la intersección y la suma de dos subespacios de un espacio vectorial también son sus subespaicios Requisitos Espacio vectorial, subespacio vectorial
Más detallesValores y vectores propios
Valores y vectores propios Problemas teóricos El los siguientes problemas se denota por L(V ) conjunto de los operadores lineales en un espacio vectorial V (en otras palabras, de las transformaciones lineales
Más detallesCÁLCULO II Funciones de varias variables
CÁLCULO II Funciones de varias variables Facultad de Informática (UPM) Facultad de Informática (UPM) () CÁLCULO II Funciones de varias variables 1 / 36 Funciones de varias variables Función vectorial de
Más detallesIntroducción a los espacios vectoriales
1 / 64 Introducción a los espacios vectoriales Pablo Olaso Redondo Informática Universidad Francisco de Vitoria November 19, 2015 2 / 64 Espacios vectoriales 1 Las 10 propiedades de un espacio vectorial
Más detallesINGENÍERIA INFORMÁTICA. PROBLEMAS DE ALGEBRA
INGENÍERIA INFORMÁTICA. PROBLEMAS DE ALGEBRA C. Galindo 1. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones x 1 + 3x 2 2x 3 + 2x 5 = 0 2x 1 + 6x 2 5x 3 2x 4 + 4x 5 3x 6 = 1 5x 3 + 10x 4 + 15x 6 = 5 2x 1 + 6x
Más detallesSoluciones de los problemas de álgebra lineal
Soluciones de los problemas de álgebra lineal HOJA :. a. a. b,d 4. b,c. b. (a) 4A +C t = 6 6 µ 6 4 7 6, (b) (BA) t C = 7 6 0 8 4 µ (c) B + AC = 0 9 4, (d) CA =, 0 µ (e) (B I) =, (f) (CA) = 6 4 0 6 8 7
Más detallesClase 8 Matrices Álgebra Lineal
Clase 8 Matrices Álgebra Lineal Código Escuela de Matemáticas - Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia Matrices Definición Una matriz es un arreglo rectangular de números denominados entradas
Más detallesExpresa en lenguaje matemático los siguientes conjuntos:
universidad de valladolid facultad de cc ee y ee matemáticas 1 1. Expresa en lenguaje matemático los siguientes conjuntos: (a) El conjunto S 1 de los vectores de IR 3 que tienen las dos primeras componentes
Más detalles1.2 ÁLGEBRA TENSORIAL INTRÍNSECA. 1.2 a) Concepto intrínseco de tensor. Teoría de Campos- Capítulo 1 - Sección Álgebra tensorial intrínseca
1.2 ÁLGEBRA TENSORIAL INTRÍNSECA 1. Concepto intrínseco de tensor Los tensores son tipos especiales de aplicaciones lineales definidas en (espacio inicial), que tienen interés en Física (de los medios
Más detalles1. ESPACIOS DE HILBERT Y OPERADORES
1. ESPACIOS DE HILBERT Y OPERADORES 1. DEFINICIÓN, PROPIEDADES Y EJEMPLOS Definición. Sea H un espacio vectorial sobre el cuerpo C de los números complejos, un producto escalar sobre H es una aplicación
Más detallesAlgebra Lineal XIX: Rango de una Matriz y Matriz Inversa.
Algebra Lineal XIX: Rango de una Matriz y Matriz Inversa José María Rico Martínez Departamento de Ingeniería Mecánica Facultad de Ingeniería Mecánica Eléctrica y Electrónica Universidad de Guanajuato email:
Más detallesProblemas de Espacios Vectoriales
Problemas de Espacios Vectoriales 1. Qué condiciones tiene que cumplir un súbconjunto no vacío de un espacio vectorial para que sea un subespacio vectorial de este? Pon un ejemplo. Sean E un espacio vectorial
Más detallesEs trivial generalizar la definición al caso de varios conjuntos: A B C, etc.
Tema 1 Espacios Vectoriales 1.1 Introducción Estas notas están elaboradas pensando simplemente en facilitar al estudiante una guía para el estudio de la asignatura, y en consecuencia se caracterizan por
Más detallesEs trivial generalizar la definición al caso de varios conjuntos: A B C, etc.
Tema 1 Espacios Vectoriales 1.1 Repaso de Estructuras Algebraicas 1. Producto cartesiano de conjuntos. Dados los conjuntos A y B, se llama producto cartesiano de A y B, y se denota por A B al conjunto
Más detallesAplicaciones lineales
53 Matemáticas I : Álgebra Lineal Tema 5 Aplicaciones lineales 5. Definición. Núcleo e imagen Definición 26.- Sea f: V W una aplicación entre los espacios vectoriales reales V y W. Se dice que f es una
Más detallesMatrices Particionadas Traza de una Matriz
CAPÍTULO Matrices Particionadas Traza de una Matriz Este capítulo consta de tres secciones Las dos primeras versan sobre matrices particionadas La tercera sección trata sobre la traza de una matriz En
Más detallesResumen 2: Espacios vectoriales
Resumen 2: Espacios vectoriales 1 Definición y ejemplos Un espacio vectorial V sobre K, un cuerpo, está formado por elementos denominados vectores, los cuales pueden sumarse internamente y también multiplicarse
Más detallesx, y = x 0 y 0 + x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3. Es fácil ver que verifica 1. Es simétrica. x, y = y, x para todo x, y R 4.
1 Tema 2. Sección 1. Espacio vectorial de Minkowski. Manuel Gutiérrez. Departamento de Álgebra, Geometría y Topología. Universidad de Málaga. 29071-Málaga. Spain. Abril de 2010. En este capítulo se recordará
Más detallesESPACIOS VECTORIALES
1. Introducción: 1.1 Grupo Abeliano 1. Cuerpo. Estructura de espacio vectorial 3. Propiedades 4. Subespacio vectorial 5. Combinación lineal de vectores 5.1 Propiedades 6. Dependencia e independencia lineal
Más detallesMatrices. Operaciones con matrices.
Matrices. Operaciones con matrices. Ejercicio. Dadas las matrices ( ) ( ) 4 A = B = ( ) C = D = 4 5 ( ) 4 E = F = seleccione las que se pueden sumar y súmelas. Ejercicio. Dadas las matrices ( ) ( ) A =
Más detallesVECTORES EN EL ESPACIO
UNIDAD VECTORES EN EL ESPACIO Página 13 Problema 1 Halla el área de este paralelogramo en función del ángulo α: cm Área = 8 sen α = 40 sen α cm α 8 cm Halla el área de este triángulo en función del ángulo
Más detallesESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA FUNDAMENTOS MATEMÁTICAS
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA FUNDAMENTOS MATEMÁTICAS 7. ESPACIOS VECTORIALES 7.1 Estructura de Espacio Vectorial. Sea
Más detallesAplicaciones Lineales
Aplicaciones Lineales Ejercicios resueltos Ximo Beneyto PROBLEMAS RESUELTOS APLICACIONES LINEALES 1.Dada la aplicación f : ú 3 6 ú² / f(x, y, z) = (x+y-z, 2x+3z): 1.1. Probar que f es una aplicación lineal.
Más detallesBase y Dimensión de un Espacio Vectorial
Base y Dimensión de un Espacio Vectorial 201 6Asturias: Red de Universidades Virtuales Iberoamericanas 1 Índice 1 Qué es un sistema generador?... 4 2 Base de un espacio vectorial... 4 3 Dimensión de un
Más detallesAquella que tiene nulos los elementos nos situados en la diagonal principal. Los elementos situados por encima de la diagonal principal son nulos.
Álgebra lineal Matrices Rango de una matriz Orden del mayor menor complementario no nulo. Matriz regular det A Diagonal principal Elementos a ii de la matriz. Si la matriz es cuadrado son los elementos
Más detalles