Definición 1 Sean E, F y G tres espacios vectoriales. Una transformación ϕ : E F G se llama bilineal si satisface las siguientes condiciones:

Transcripción

1 Producto tensorial 0.1 Transformaciones multilineales Definición 1 Sean E, F y G tres espacios vectoriales. Una transformación ϕ : E F G se llama bilineal si satisface las siguientes condiciones: ϕ(λx 1 + x 2, y) = λϕ(x 1, y) + ϕ(x 2, y) ; x 1, x 2 E, y F ; λ R ó C ϕ(x, λy 1 + y 2 ) = λϕ(x, y 1 ) + ϕ(x, y 2 ) ; y 1, y 2 F, x E; λ R ó C. Observación: Si G = R ó C, ϕ se llama una función bilineal. Sea ϕ(e F ) := {z G / z = ϕ(x, y) ; x E, y F }. Entonces ϕ(e F ) no es necesariamente un subespacio de G. Por lo tanto denotamos: im ϕ = ϕ(e F ) subespacio generado por ϕ(e F ). Además, denotamos B(E, F ; G) := {ϕ : E F G / ϕ es transformación bilineal }. Si definimos (ϕ 1 + ϕ 2 )(x, y) = ϕ 1 (x, y) + ϕ 2 (x, y) ; x E, y F (λϕ)(x, y) = λϕ(x, y) ; x E, y F, λ R ó C. Entonces B(E, F ; G) es un espacio vectorial. Observación: Si G = R ó C, B(E, F ; G) B(E F ) es el espacio de todas las funciones bilineales de E F en R ó C. 1

2 Definición 2 Sean E, F y G espacios vectoriales y sea ϕ : E F G una transformación bilineal. El par (G, ϕ) se llama un producto tensorial para E y F si se satisfacen las condiciones siguientes: 1 : im ϕ = G. 2 : Si ψ : E F H es una transformación bilineal de E F en cualquier espacio vectorial H, entonces existe una transformación lineal f : G H tal que ψ = f ϕ (Propiedad de factorización). Observación: En forma de diagrama, 2 dice que el diagrama: E F ϕ G ψ H puede siempre completarse a un diagrama conmutativo: E F ϕ ψ f H. G Proposición 3 Las condiciones 1 y 2 son equivalentes a la condición : : Si ψ : E F H es una transformación bilineal en cualquier espacio vectorial H, entonces existe una única transformación lineal f : G H tal que ψ = f ϕ (propiedad de factorización única). Demostración. (i) Sea ψ : E F H y supongamos que existen dos transformaciones lineales f 1 : G H y f 2 : G H tales que ψ = f 1 ϕ y ψ = f 2 ϕ. 2

3 Entonces (f 1 f 2 ) ϕ = 0. Lo cual implica que f 1 = f 2. En efecto: Sea x G. Por 1, x ϕ(e F ), esto es, x = λ i ϕ(x i, y i ); donde x i E, y i F. Luego: (f 1 f 2 )(x) = λ i (f 1 ϕ)(x i, y i ) λ i (f 2 ϕ)(x i, y i ) = λ i ψ(x i, y i ) λ i ψ(x i, y i ) = 0. (ii) Supongamos que el par (G, ϕ) satisface. Entonces 2 se cumple. Debemos probar 1. En efecto: se define la aplicación bilineal ϕ : E F im ϕ por ϕ (x, y) = ϕ(x, y) (esto es, tomamos H = im ϕ) E F ϕ ϕ im ϕ. G f Por hipótesis existe f : G im ϕ tal que f ϕ = ϕ. Sea j : im ϕ G la inclusión canónica (i.e. j(x) = x x, pues im ϕ es un subespacio de G). Entonces j ϕ = ϕ. Además, (j f) ϕ = j (f ϕ) = j ϕ = ϕ. Pero, por otra parte, i ϕ = ϕ, donde i : G G es la identidad (i.e. i(x) = x x). Luego, por unicidad, se debe tener: j f = i. Esto implica que j : im ϕ G es sobreyectiva (En efecto: Si z G entonces existe f(z) en im ϕ tal que j(f(z)) = i(z) = z). Por lo tanto, im ϕ = G. 3

4 Notación: Si el par (G, ϕ) es un producto tensorial para E y F, escribimos G como E F y ϕ(x, y) como x y. Luego, la bilinealidad se expresa en la siguiente forma: (λx 1 + x 2 ) y = λx 1 y + x 2 y ; x 1, x 2 E, y F x (λy 1 + y 2 ) = λx y 1 + x y 2 ; x E, y 1, y 2 F, λ R ó C. Ejemplos 1) Sea E u e.v. sobre R y se define una transformación bilineal : R E E como λ x = λx. Entonces el par (E, ) es un producto tensorial de R y E. En efecto: Veamos 1 : (R E) = R E = E, luego, es claro que im = E. Veamos 2 : Sea ψ : R E H bilineal y definamos f : E H como f(x) := ψ(1, x) y tal que R E ψ H. E f Entonces f(λ x) = f(λx) = ψ(1, λx) = λψ(1, x) = ψ(λ, x); esto es, f = ψ. Esto prueba 2. Concluimos que el par (E, ) es un producto tensorial de R y E. Esto es: R E = E. En particular Γ Γ = Γ con λ µ = µ. 2) Sea β : R n R m M n m (R) definida por x 1 y 1 x 1 y m β((x 1,..., x n ), (y 1,..., y m )) =.. x n y 1 x n y m 4 n m.

5 Probaremos que (M n m (R), β) es un producto tensorial para R n y R m (luego, R n R m = M n m (R)). En efecto : Veamos 1 : β(r n R m ) = M n m (R). Sea A M n m (R) tal α 11 α 12 α 1m α 21 α 22 α 2m que A = entonces... α n1 α n2 α nm β((α 11, α 21,..., α n1 ), (1, 0, 0,...)) + β((α 12, α 22,..., α n2 ), (0, 1, 0,...)) + + β((α 1m, α 2m,..., α nm ), (0, 0,..., 1)) α α 12 0 α α 22 0 = α n α n α 1m 0 0 α 2m α nm = α 11 α 1m.. α n1 α nm o sea: Dado A M n m (R), existen x i R n, y i R m tales que A = β(x i, y i ). Por lo tanto A β(r n R m ). Veamos ahora 2 : Sea ψ : R n R m H bilineal. R n R m β ψ f H. M n m (R) Por ejemplo: con n = m = 2, definamos: ( ) a b f = ψ((1, 0), (a, b)) + ψ((0, 1), (c, d)). c d 5

6 Entonces f lineal: ( ( a1 b 1 ) ( a2 b 2 )) ( λa1 + a 2 λb 1 + b 2 ) f λ + = f c 1 d 1 c 2 d 2 λc 1 + c 2 λd 1 + d 2 = ψ((1, 0), (λa 1 + a 2, λb 1 + b 2 )) + ψ((0, 1), (λc 1 + c 2, λd 1 + d 2 )) = ψ((1, 0), λ(a 1, b 1 ) + (a 2, b 2 )) + ψ((0, 1), λ(c 1, d 1 ) + (c 2, d 2 )) = λψ((1, 0), (a 1, b 1 ))+ψ((1, 0), (a 2, b 2 ))+λψ((0, 1), (c 1, d 1 ))+ψ((0, 1), (c 2, d 2 )) = λ[ψ((1, 0), (a 1, b 1 ))+ψ((0, 1), (c 1, d 1 ))]+[ψ((1, 0), (a 2, b 2 ))+ψ((0, 1), (c 2, d 2 ))] ( a1 b 1 = λf c 1 d 1 Finalmente, ) ( a2 b 2 + f c 2 d 2 ) (f β)((x 1, x 2 ), (y 1, y 2 )) = f ( x1 y 1 x 1 y 2 x 2 y 1 x 2 y 2 ) = ψ((1, 0), (x 1 y 1, x 1 y 2 )) + ψ((0, 1), (x 2 y 1, x 2 y 2 )) = ψ((1, 0), x 1 (y 1, y 2 )) + ψ((0, 1), x 2 (y 1, y 2 )) = x 1 ψ((1, 0), (y 1, y 2 )) + x 2 ψ((0, 1), (y 1, y 2 )) = ψ(x 1 (1, 0), (y 1, y 2 )) + ψ(x 2 (0, 1), (y 1, y 2 )) = ψ((x 1, 0), (y 1, y 2 )) + ψ((0, x 2 ), (y 1, y 2 )) = ψ((x 1, 0) + (0, x 2 ), (y 1, y 2 )) = ψ((x 1, x 2 ), (y 1, y 2 )). Luego, f β = ψ. La generalización se deja como ejercicio. 6

7 0.1.1 Propiedades del producto tensorial 1.- a b 0 si a 0 y b 0. Demostración. Si a 0 y b 0, existen f : E R lineal y g : F R lineal respectivamente tales que f(a) 0 y g(b) 0 (sino: f(a) = 0 f E entonces a = 0 pues la forma bilineal f, a es no degenerada). Consideremos ahora la función bilineal p : E F R definida por p(x, y) = f(x)g(y). E F E F p h En vista de 2, existe una función lineal h : E F R tal que h = p esto es, h(x y) = f(x)g(y) para cada (x, y) E F. Luego: h(a b) = f(a)g(b) 0. Por lo tanto, a b Sea z E F, z 0; entonces z = r i=1 x i y i donde {x i } y {y i } son L.I. R. Demostración. Sea z E F entonces z = r i=1 λ iw i y i = r i=1 x i y i donde x i λ i w i i y r es el mínimo de manera que la descomposición anterior se cumple. Si r = 1 entonces x 1 0 y y 1 0 (por la Propiedad 1), en consecuencia {x 1 } y {y 1 } son dos conjuntos de vectores L.I. cada uno. Supongamos que {x i } r i=1 son L.D. entonces, sin pérdida de generalidad, r 1 x r = λ i x i i=1 7

8 luego, z = = = = r 1 r 1 x i y i + x r y r = i=1 r 1 i=1 r 1 x i y i + λ i (x i y r ) i=1 r 1 i=1 x i (y i + λ i y r ) i=1 r 1 x i ỹ i i=1 r 1 x i y i + ( i=1 λ i x i ) y r lo cual contradice la minimalidad de r. En la misma forma se puede mostrar que los vectores {y i } r i=1 son L.I. Esto prueba la propiedad. 3.- Sean {a j } r j=1 E y {b j } r j=1 un subconjunto de vectores L.I. de F. Entonces la ecuación r j=1 a j b j = 0 implica que a j = 0 j = 1,..., r. Demostración. Ya que {b j } es un conjunto L.I. de vectores en F, se pueden definir g 1,..., g r : F R funciones lineales tales que: g i (b j ) = δ ij (e.g.: g : {b 1,..., b r } R tal que g 1 (x) = g 1 ( r { i=1 λ ib i ) = λ 1. Luego: g1 (x), x {b 1,..., b r } Sea g 1 : F R tal que g 1 (x) = 0, otro caso entonces g 1 (b 1 ) = 1 y g 1 (b j ) = 0 j = 2,..., r. ) Consideremos ahora la función bilineal F (x, y) = i f i (x)g i (y) 8

9 donde f i : E R son funciones lineales (cualesquiera) en E. E F R E F h. Por 2, existe h : E F R lineal tal que: h(x y) = F (x, y) = i f i (x)g i (y) luego, h( r a j b j ) = h(a j b j ) j = f i (a j )g i (b j ) j i r = f i (a i ). j=1 Ahora, por hipótesis: r j=1 a j b j = 0; por lo tanto, r i=1 f i(a i ) = 0. Como los f i son cualesquiera, elegimos f i 0 para cada i k (por cada k = 1,..., r fijo), esto da: i=1 f k (a k ) = 0. Como f n sigue siendo arbitrario, se tiene que a k = 0 (k = 1,..., r). Corolario 4 Si E y F tienen dimensión 1, entonces E F tiene dimensión 1. Demostración. Ejercicio. 4.- E F = F E (conmutatividad del producto tensorial). 9

10 Demostración. E F ϕ 1 E F ϕ 2 f F E esto es: ϕ 1 (x, y) =: x y y ϕ 2 (x, y) =: y x. Luego, debemos demostrar que ϕ 1 = ϕ 2. Ya que ϕ 2 es bilineal, existe f : E F F E lineal tal que f ϕ 1 = ϕ 2. Esto es: f(x y) = y x. De la misma forma E F ϕ 2 F E ϕ 1 g E F existe g : F E E F tal que g ϕ 2 = ϕ 1 ; esto es: g(y x) = x y. Entonces: g f ϕ 1 = g ϕ 2 = ϕ 1 y f g ϕ 2 = f ϕ 1 = ϕ 2 esto es: o equivalentemente: g f ϕ 1 = ϕ 1 y f g ϕ 2 = ϕ 2 (g f)(x y) }{{} = (x y) y (f g)(y x) = (y x). (1) 10

11 Como im ϕ 1 = E F se tiene que g f = I. En efecto: Sea v E F. Entonces v = λ i x i y i, luego: (g f)(v) = (g f)( λ i x i y i ) = λ i (g f)(x i y i ) = λ i (x i y i ) de (1) = v. Análogamente: f g = I. Esto prueba que f (ó g) es 1-1 y sobreyectiva. Por lo tanto, E F = F E. 5.- Unicidad del producto tensorial. Supongamos que E F y E F son productos tensoriales de E y F. Entonces E F = F E. Demostración. E F ϕ 2 E F ϕ 1 f E F luego, ϕ 1 (x, y) = x y y ϕ 2 (x, y) = x y. Ya que ϕ 2 es bilineal, la propiedad de factorización implica que existe f : E F E F lineal tal que: f ϕ 1 = ϕ 2. Análogamente: E F ϕ 1 E F ϕ 2 g E F 11

12 existe g : E F E F tal que g ϕ 2 = ϕ 1. Combinando ambas relaciones se obtiene: (g f)(x y) = x y y (f g)(x y) = x y. Nuevamente, como im ϕ 1 = E F y im ϕ 2 = E F se obtiene que f g = i y g f = i, de donde sigue el resultado. 6.- Asociatividad del producto tensorial: (E F ) G = E (F G). Demostración. Sea z G fijo. Definamos β z : E F E (F G) por β z (x, y) = x (y z). Es claro que β z es bilineal: En efecto, β z (λx 1 + x 2, y) = (λx 1 + x 2 ) (y z) = λx 1 (y z) + x 2 (y z) = λβ z (x 1, y) + β z (x 2, y) β z (x, λy 1 + y 2 ) = x (λy 1 + y 2 z) = x [λy 1 z + y 2 z] = x (λy 1 z) + x (y 2 z) = λx (y 1 z) + x (y 2 z) = λβ z (x, y 1 ) + β z (x, y 2 ) Por definición de producto tensorial, el siguiente diagrama es conmutativo: E F E F β z E (F G) h z esto es, existe una única transformación lineal h z : E F E (F G) tal que h z = β z, esto es: h z (x y) = β z (x, y) = x (y z) x E, y F. 12

13 Sea ψ : (E F ) G E (F G) definida por: Entonces ψ es bilineal: En efecto, ψ(x y, z) = h z (x y). ψ(λ(x 1 y 1 ) + (x 2 y 2 ), z) = h z (λ(x 1 y 1 ) + (x 2 y 2 )) = λh z (x 1 y 1 ) + h z (x 2 y 2 ) = λψ(x 1 y 1, z) + ψ(x 2 y 2, z) Además, por unicidad, h λz1 +z 2 = λh z1 + h z2 de donde sigue la linealidad en la segunda componente (Ejercicio). Así, el siguiente diagrama es conmutativo: (E F ) G ψ E (F G) (E F ) G g esto es, existe una única transformación lineal g : (E F ) G E (F G) tal que g = ψ, esto es: g((x y) z) = ψ(x y, z) = h z (x y) = x (y z) (1) Sea ahora x E fijo. Definamos α x : F G (E F ) G por α x (y, z) = (x y) z. Claramente α x es bilineal. El siguiente diagrama es ahora conmutativo: F G αx F G (E F ) G b hx esto es, existe una transformación lineal ĥx : F G (E F ) G tal que ĥ x = α x esto es: ĥ x (y z) = α x (y, z) = (x y) z. 13

14 Sea ψ : E (F G) (E F ) G definida por ψ(x, y z) = α x (y z). Entonces ψ es bilineal y el siguiente diagrama es conmutativo: E (F G) E (F G) bψ bg (E F ) G esto es, existe una única ĝ : E (F G) (E F ) G tal que: ĝ = ψ, esto es: ĝ(x (y z)) = ψ(x, y z) = (x y) z. (2) Luego, de (1) y (2) : (g ĝ)(x (y z)) = g((x y) z) = x (y z) y (ĝ g)((x y) z) = ĝ(x (y z)) = (x y) z. Por lo tanto, g ĝ = id y ĝ g = id, luego g es un isomorfismo y, por lo tanto, (E F ) G = E (F G). Teorema 5 (Reducción de transformaciones bilineales a lineales). Sean E y F e.v. y E F un producto tensorial. Entonces L(E F ; G) = B(E, F ; G) para cada espacio vectorial G. 14

15 Demostración. Se define φ : L(E F ; G) B(E, F ; G) como: φ(f) := f f L(E F ; G) i.e. φ(f) : E F G tal que φ(f)(x, y) = f(x y). Claramente φ es lineal: φ(λf 1 + f 2 )(x, y) = (λf 1 + f 2 )(x y) = λf 1 (x y) + f 2 (x y) = λφ(f 1 )(x, y) + φ(f 2 )(x, y) = (λφ(f 1 ) + φ(f 2 ))(x, y). i) φ es sobreyectiva. Sea b B(E, F ; G), entonces b : E F G es bilineal. Luego, por 2, existe f : E F G tal que es lineal y f = b, esto es, φ(f) = b. ii) φ es inyectiva. Como φ es lineal basta ver que φ(f) = 0 implica f = 0. En efecto: Sea φ(f) = 0, entonces (f )(x, y) = 0 x E, y F, esto es: f(x y) = 0 x E, y F. Sea z E F. Entonces z = x i y i. Luego: f(z) = f(x i y i ) = 0. Por lo tanto, f 0. 15

16 Ejercicios 1. Suponga que a b 0. Demuestre que a b = a b si y sólo si a = λa y b = λ 1 b; λ R, λ Sea (G, ϕ) un producto tensorial de E y F. Sean E 1 E, F 1 F. Sea ϕ 1 : E 1 F 1 G la restricción de ϕ a E 1 F 1. Entonces (im ϕ 1, ϕ 1 ) es un producto tensorial para E 1 y F Sean {a i } y {b i } bases de E y F respectivamente. Entonces {a i b j } es una base de E F. 4. Demuestre que dim B(E, F ; G) = dim E dim F dim G. 5. Sean E 1 y E 2 subespacios de E. Sea F e.v. de dimensión finita entonces (E 1 F ) (E 2 F ) = (E 1 E 2 ) F. 6. Sea E = E 1 E 2 y F = F 1 F 2. Entonces E F = E 1 F 1 E 1 F 2 E 2 F 1 E 2 F Producto tensorial de transformaciones lineales Sean E, E, F, F cuatro espacios vectoriales. Consideremos dos transformaciones lineales : ϕ : E E ; ψ : F F. 16

17 Queremos definir una transformación lineal ϕ ψ : E F E F para esto procedemos como ilustra el siguiente diagrama: E F E F p Dados E y F, existe el producto tensorial E F. Por definición, sabemos que dada cualquier función bilineal p : E F H, H cualquier espacio vectorial, existe una única f : E F H tal que f = p (propiedad de factorización única). Escojamos definida por p(x, y) = ϕ(x) ψ(y). f H p : E F E F. Claramente p es bilineal. Luego, existe una única función lineal γ : E F E F tal que γ(x y) = p(x, y). Se define: γ ϕ ψ. Luego, por definición: (ϕ ψ)(x y) = ϕ(x) ψ(y) y se llama el producto tensorial de las transformaciones lineales ϕ y ψ Transformaciones Multilineales Sea E un espacio vectorial y consideremos T k (E) := {f : E } {{ E } R / F es multilineal } k veces 17

18 el conjunto de todas las funciones que son multilineales. Los elementos de T k (E) los llamaremos tensores de orden k. Problema: Definir un producto en T k (E) y estudiar este espacio. Recordemos el isomorfismo: T k (E) = L( k E; R) definido en la sección anterior. Aquí, k = } E E {{ E }. k veces Consideremos ahora dos transformaciones lineales: T : k E R S : l E R. De acuerdo a la sección anterior, podemos definir una única transformación lineal T S : k E l E R R, esto es: T S : k+l E R, tal que (T S)(x y) = T (x)s(y). Notar que T (x) T (y) = T (x)t (y) pues se trata del producto tensorial en R y R R = R. Más precisamente, (T S)(x 1 x k y 1 y l ) = T (x 1 x k )S(y 1 y l ) donde T S L( k+l E; R). Ya que L( k+l E; R) = T k+l (E), lo anterior se puede traducir en términos de funciones multilineales, esto es, se puede definir un (único) producto de funciones multilineales (o tensores de orden k). Más precisamente, si T T k (E) y S T l (E), entonces la definición (T S)(x 1,..., x k, y 1,..., y l ) = T (x 1,..., x k )S(y 1,..., y l ) ( ) produce una función T S T k+l (E) llamada el producto de tensores T y S. 18

19 Ejemplos de Tensores 1. Una función determinante es un tensor. En efecto, basta recordar la definición de la sección 1.3: Es una función : E E R multilineal y antisimétrica. 2. Un producto interior es un tensor de orden 2. En efecto: Recordemos de la sección 1.1 que un producto interior en una función, : E E R bilineal, que es además simétrica y definida positiva. Proposición 6 (Propiedades del producto de Tensores) a) (S 1 + S 2 ) T = S 1 T + S 2 T b) S (T 1 + T 2 ) = S T 1 + S T 2 c) (as) T = S (at ) = a(s T ) d) (S T ) U = S (T U) Demostración. y (d) quedan de ejercicio. Usando la definición ( ), se probará (a). Las partes (b), (c) [(S 1 + S 2 ) T ](x 1, x 2,..., x k, y 1, y 2,..., y l ) = (S 1 + S 2 )(x 1,..., x k )T (y 1,..., y l ) = [S 1 (x 1,..., x k ) + S 2 (x 1,..., x k )]T (y 1,..., y l ) = S 1 (x 1,..., x k )T (y 1,..., y l ) + S 2 (x 1,..., x k )T (y 1,..., y l ) = (S 1 T )(x 1,..., x k, y 1,..., y l ) + (S 2 T )(x 1,..., x k, y 1,..., y l ) = [(S 1 T ) + (S 2 T )](x 1,..., x k, y 1,..., y l ) Supongamos que E tiene dimensión finita. El siguiente resultado nos dice como es T k (E) internamente: 19

20 Teorema 7 Sea {e 1,..., e n } base de E y sea {f 1,..., f n } la base dual (esto es, la base de L(E; R), que verifica f i (e j ) = δ ij ). Entonces el conjunto de todos los productos tensoriales de k-factores: f i1 f i2 f ik ; 1 i 1,..., i k n es una base de T k (E), que además tiene dimensión n k. Demostración. Es claro que, por definición (f i1 f i2 f ik )(x 1,..., x k ) = f i1 (x 1 )f i2 (x 2 ) f ik (x k ) es una función k-lineal, esto es, un elemento de T k (E). Además (f i1 f i2 f ik )(e j1, e j2,..., e jk ) = f i1 (e j1 )f i2 (e j2 ) f ik (e jk ) = δ i1,j 1 δ i2,j 2 δ ik,j { k 1 si j1 = i 1, j 2 = i 2,..., j k = i k, = 0 otro caso ( ) Veamos que el conjunto de vectores genera T k (E). Sea T T k (E). Entonces T : E E R es multilineal. Sean w 1,..., w k E; entonces para cada w j : n w i = a ij e j ( ). j=1 Luego : T (w 1,..., w k ) = n n T ( a 1j1 e j1,..., a kjk e jk ) = j 1 =1 n j 1,,j k =1 j k =1 a 1j1 a kjk T (e j1,..., e jk ) ( ) Ahora, de ( ) y ( ) notemos que: (f i1 f i2 f ik )(w 1,..., w k ) = f i1 (w 1 ) f ik (w k ) 20

21 donde, por ejemplo, n f i1 (w 1 ) = f i1 ( a 1j e j ) = j=1 n a 1j f i1 (e j ) = a 1i1. j=1 Así, (f i1 f i2 f ik )(w 1,..., w k ) = a 1i1 a 2i2 a kik ; por lo tanto insertando esto en ( ) se obtiene: n T (w 1,..., w k ) = T (e i1,..., e ik )(f i1 f i2 f ik )(w 1,..., w k ) i 1,...,i k =1 luego, n T = T (e i1,..., e ik )(f i1 f i2 f ik ). i 1,...,i k =1 Esto prueba que el conjunto genera T k (E). Veamos ahora que el conjunto es L.I. Supongamos que existen escalares a i1 a i2 a ik tales que n a i1 a i2 a ik (f i1 f i2 f ik ) = 0. i 1,...,i k =1 Aplicando el vector de la base (e j1,..., e jk ) se obtiene de ( ) que todos los elementos de la suma son cero excepto cuando j 1 = i 1, j 2 = i 2,..., j k = i k, esto es: a j1, a j2,..., a jk = 0. Esto prueba que el conjunto es L.I. Se deja como ejercicio para el lector probar que esta base tiene n k elementos. 21

22 0.1.4 Producto Exterior Consideremos el tensor determinante T k (E). Este tensor es importante pues, como vimos, permite entre otros definir el producto cruz en espacios de dimensión 3 y la noción de orientación de un espacio de dimensión finita. Recordemos que, por definición, un determinante no sólo es una función multilineal, sino también alternada. Consideremos el conjunto (de todos los determinantes) Λ k (E) = {f : E E E R / f es multilineal y alternada }. Es claro que Λ k (E) es un subespacio de T k (E). A fin de estudiar de mejor manera esta parte de T k (E) se define la siguiente función: Alt : T k (E) T k (E) como Alt(T )(v 1,..., v k ) = 1 sgn σt (v σ(1),..., v σ(k) ) k! σ S k donde sgn σ es +1 si la permutación σ es par y es 1 si es impar. Además, S k es el conjunto de todas las permutaciones del conjunto de números {1, 2,..., k}. Teorema 8 (1) Si T T k (E) entonces Alt(T ) Λ k (E). (2) Si w Λ k (E) entonces Alt(w) = w. (3) Si T T k (E) entonces Alt(Alt(T )) = Alt(T ). A fin de tener una mejor visualización del Teorema anterior, consideremos el caso k = 1 y k = 2. Para k = 1 se tiene: Alt : T 1 (E) T 1 (E) tal que Alt(T )(v) = T (v); esto es, Alt(T ) = T o Alt Id. 22

23 Para k = 2 se tiene: Alt : T 2 (E) T 2 (E) tal que Alt(T )(v 1, v 2 ) = 1 2 [T (v 1, v 2 ) T (v 2, v 1 )]. En lo que sigue probaremos el teorema en el caso k = 2. El caso general queda de ejercicio para el lector. (1) Sea T T 2 (E) entonces es claro que Alt(T ) está en T 2 (E) (i.e. es bilineal) pues, por ejemplo, Alt(T )(λv 1 + w 1, v 2 ) = 1 2 [T (λv 1 + w 1, v 2 ) T (v 2, λv 1 + w 1 )] = 1 2 [λt (v 1, v 2 ) + T (w 1, v 2 ) λt (v 2, v 1 ) + T (v 2, w 1 )] = λ 1 2 [T (v 1, v 2 ) T (v 2, v 1 )] [T (w 1, v 2 ) T (v 2, w 1 )] = λalt(t )(v 1, v 2 ) + Alt(T )(w 1, v 2 ) Veamos que además es alternada: Alt(T )(v 1, v 2 ) = Alt(T )(v 2, v 1 ). En efecto: Alt(T )(v 2, v 1 ) = 1 2 [T (v 2, v 1 ) T (v 1, v 2 )] = 1 2 [T (v 1, v 2 ) T (v 2, v 1 )] = Alt(T )(v 1, v 2 ). (2) Sea w Λ 2 (E). Entonces Alt(T )(w)(v 1, v 2 ) = 1 2 [w(v 1, v 2 ) w(v 2, v 1 )] = 1 2 [2w(v 1, v 2 )] pues w es alternada ssi w(v 1, v 2 ) = w(v 2, v 1 ) = w(v 1, v 2 ). Por lo tanto, Alt(w) = w. (3) Sea T T 2 (E). Entonces por (1) w := Alt(T ) Λ 2 (E). Luego, por (2): Alt(Alt(T )) = Alt(w) = w = Alt(T ). 23

24 El problema siguiente es determinar la dimensión de Λ k (E). Para ello se necesitará un teorema análogo al visto para el caso T k (E). Por esto, necesitamos definir un producto en Λ k (E), el cual llamaremos producto exterior, y que se define como sigue: Dados w Λ k (E) y η Λ l (E), se define ω η Λ k+l (E) como: ω η := (k + l)! Alt(ω η). k!l! Observaciones: 1) Note que, efectivamente, ω η Λ k+l (E) gracias a que por el Teorema anterior parte (1), si ω η T k+l (E) entonces Alt(ω η) Λ k+l (E). 2) El producto ω η no sirve pues no está en Λ k+l (E) necesariamente. Proposición 9 (Propiedades del Producto Exterior) a) (ω 1 + ω 2 ) η = ω 1 η + ω 2 η b) ω (η 1 + η 2 ) = ω η 1 + ω η 2 c) aω η = ω aη = a(ω η) d) ω η = ( 1) kl η ω. Probaremos la propiedad (a), el resto queda de ejercicio. (ω 1 + ω 2 ) η = (k + l)! Alt((ω 1 + ω 2 ) η) k!l! = (k + l)! Alt(ω 1 η + ω 2 η) k!l! = (k + l)! (k + l)! Alt(ω 1 η) + Alt(ω 2 η) k!l! k!l! = ω 1 η + ω 2 η. (Ejercicio) 24

25 Teorema 10 (1) Si S T k (E), T T l (E) y Alt(S) = 0, entonces Alt(S T ) = Alt(T S) = 0. (2) Alt(Alt(ω η) θ) = Alt(ω η θ) = Alt(ω Alt(η θ)) (3) Si ω Λ k (E), η Λ l (E) y θ Λ m (E) entonces (ω η) θ = ω (η θ) = (k + l + m)! Alt(ω η θ) k!l!m! Demostración. Veámoslo para el caso k = l = 1 (1) Alt(S T )(v 1, v 2 ) = 1 2 [(S T )(v 1, v 2 ) (S T )(v 2, v 1 )] = 1 2 [S(v 1)T (v 2 ) S(v 2 )T (v 1 )] Como, Alt(S)(v) = S(v) = 0 se obtiene que Alt(S T )(v 1, v 2 ) = 0. Análogamente se demuestra que Alt(T S) = 0. Las partes (2) y (3) quedan de ejercicio para el lector. Teorema 11 Sea {e 1,..., e n } base de E y {f 1,..., f n } base dual. El conjunto f i1 f i2 f ik es una base para Λ k (E), que tiene dimensión: ( n k ) = 1 i 1 < i 2 < < i k n n! k!(n k)!. Demostración. Ejercicio. 25

26 Bibliografía [1] W. H. Greub, Linear Algebra, Springer-Verlag, vol. 97, Berlin- Heidelberg, [2] W. H. Greub, Multilinear Algebra, Springer-Verlag, vol.136, Berlin- Heidelberg,