Anuladores. Objetivos. Definir el concepto de anuladores y estudiar sus propiedades principales.

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1 Anuladores Objetivos. Definir el concepto de anuladores y estudiar sus propiedades principales. Requisitos. Espacio dual, espacio bidual, base dual.. Definición (anulador de un subconjunto de un espacio vectorial). Sea V un espacio vectorial sobre un campo F y sea X un subconjunto de V. El anulador de X se define como el conjunto de todos los funcionales lineales V F que se anulan en todos elementos de X: X 0 := { ϕ V : x X ϕ(x) = 0 }.. Ejercicio. Sea X V. Demuestre que X 0 = { ϕ V : X ker(ϕ) }.. Ejercicio. Sea X V. Demuestre que X 0 es un subespacio vectorial de V. 4. Ejercicio. Sean X Y V. Demuestre que Y 0 X Ejercicio. Sea X = {a,..., a m } V. Demuestre que X 0 = l(x) Teorema (de la dimensión del anulador). Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo F y sea S un subespacio de V. Entonces dim(s) + dim(s 0 ) = dim(v ). Demostración. Sea (b,..., b p ) una base del subespacio S. La ampliamos a una base del espacio V : (b,..., b p, b p+,..., b n ). Denotemos por (χ,..., χ n ) a la base dual. Demostremos que los funcionales χ p+,..., χ n forman una base S 0.. Los funcionales χ p+,..., χ n son linealmente independientes por ser una parte de la base dual.. Mostremos que χ p+,..., χ n S 0. Sea i {p +,..., n}. Si v S, entonces v se escribe en forma v = p j= λ jb j y por lo tanto χ i (v) = p λ j χ i (b j ) = j= p λ j δ i,j = 0 j= Anuladores, página de 5

2 pues j p < i.. De la parte sigue que l(χ p+,..., χ n ) S Demostremos que S 0 l(χ p+,..., χ n ). Si ψ S 0, entonces ψ(b ) =... = ϕ(b p ) = 0 y ψ = n n ψ(b j )ϕ j = ψ(b j )χ j l(χ p+,..., χ n ). j= j=p+ 7. Definición (anulador de un conjunto de V ). Sea V un EV/F de dimensión finita y sea F V. El anulador de F se define como el conjunto de todos los vectores en V que se anulan por todos funcionales de F : F 0 := { x V : ϕ F ϕ(x) = 0 }. 8. Nota. Es posible definir F 0 como un subconjunto del espacio bidual (V ) = V, pero ya sabemos que V se puede identificar con V mediante el isomorfismo canónico de V sobre V. Resulta ser más cómodo definir F 0 como un subconjunto de V. 9. Ejercicio. Sea F V. Mostrar que F 0 = ϕ F ker ϕ. 0. Teorema (anulador del anulador de un subespacio). Sea V un EV/F de dimensión finita y sea S < V. Entonces (S 0 ) 0 = S. Demostración.. Suponemos que x S y tenemos para demostrar que x F 0, donde F := S 0. Por la definición de V 0 tenemos que ϕ(x) = 0 para todo ϕ V 0 = F. Por la definición de F 0, esto significa que x F 0.. Demostremos que si x / S, entonces x / F 0. Sea x V \ S. Por el teorema sobre la separación de un punto y un subespacio, existe un ϕ V tal que ϕ(x) = y ϕ(y) = 0 para todo y S. Pero lo último significa que ϕ S 0. Así pues existe un ϕ F tal que ϕ(x) 0. Esto implica que x / F 0.. Tarea adicional. Demuestre el teorema de otra manera usando la base dual.. Ejercicio. Sea X un subconjunto finito de E, donde E es de dimensión finita. Entonces (X 0 ) 0 = l(x). Anuladores, página de 5

3 . Ejemplo (construcción de una base del anulador). Dados a, a, a R 4, describir el subespacio S = l(a, a, a ) con un sistema de ecuaciones lineales homogéneas y construir una base de S 0. a =, a = 4 4, a = Solución. Sea x = [ x, x, x, x 4 un vector arbitrario de R 4. Tenemos la siguiente cadena de afirmaciones equivalentes: x pertenece a S existen λ, λ, λ R tales que λ a + λ a + λ a = x el siguiente sistema de ecuaciones es consistente: 4 x 4 x 4 5 x 6 x 0 x + x 4 x + x 5 x 4 0 x + x 4 4 x + x 0 x + x x x 0 x + x x + x 0 x + x x + 6x + 4x x + x + x + x 4 Ahora la matriz del sistema es escalonada. El sistema es consistente los términos independientes (es decir, los lados derechos) de las últimas dos ecuaciones son cero. Así obtenemos una descripción del subespacio S a través de un sistema de ecuaciones lineales homogéneas: { x + 6x x S + 4x = 0; x + x + x + x 4 = 0. Podemos escribir el sistema en forma ψ (x) = 0 ψ (x) = 0, donde Así que ψ (x) = x + 6x + 4x, ψ (x) = x + x + x + x 4. S = {ψ, ψ } 0 = l(ψ, ψ ) 0. Aplicando el teorema sobre el anulador del anulador obtenemos que S 0 = l(ψ, ψ ). Para concluir que (ψ, ψ ) es una base de S 0 sólo falta notar que dim(s 0 ) = 4 dim(s) =. Respuesta: una base de S 0 es (ψ, ψ ), donde ψ y ψ tienen las siguientes coordenadas en la base dual a la base canónica de R 4 : (ψ ) F = 6 4, (ψ ) F = 0 Anuladores, página de 5

4 Comprobación: [ = [ = [ Ejemplo (construcción de una base del anulador). Dados a, a R, describir el subespacio S = l(a, a ) con un sistema de ecuaciones lineales homogéneas y construir una base de S 0. a =, a = 4 Solución. Un vector x = [ x, x, x pertenece a S es compatible el sistema x x 4 x x 7 0 x x 5 0 8x + 7x x 7 0 x x 5 0 4x + x x 7 0 x x 0 0 5x + 8x + 7x El sistema es compatible 5x + 8x + 7x = 0 ψ (x) = 0, donde ψ (x) = 5x + 8x + 7x. Así pues, S = {ψ } 0 = l(ψ ) 0. Por el teorema sobre el anulador del anulador, l(ψ ) = S 0. Además, dim(s 0 ) = dim(s) =. Por lo tanto, ψ es una base de S 0. Respuesta: una base de S 0 consiste en un elemento ψ = 5γ + 8γ + 7γ, donde γ, γ, γ es la base dual a la base canónica de R. Comprobación: [ = [ = [ Anuladores, página 4 de 5

5 5. Ejercicio. Construya una base de S 0, donde S es el subespacio de R 4 generado por a =, a =, a = 4 6. Ejercicio. Construya una base de S 0, donde S es el subespacio de R generado por a = Anuladores, página 5 de 5