Algebra Lineal: Bases y Dimensión. Departamento de Matemáticas. Intro. Espacio Lineal. Base. Tma clave. Regla 1. Regla 2 MA1019

Transcripción

1 Algebra MA119

2 ducción Uno los conceptos más importantes en Espacios Vectores es el concepto. Este concepto se relaciona con el número elementos mínimo que se requieren para representar a los elementos un espacio vectores. Por ejemplo ubicados en el contexto las ecuaciones diferenciales lineales y homogéneas, la solución general tiene la forma y(x) = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) + + c n y n (x) aquí vemos que hacen falta n funciones y i (x) para construir todas las soluciones a la ecuación: la dimensión l conjunto soluciones es n. Primero finiremos el tipo conjuntos a los que podremos aplicar el concepto dimensión y posteriormente finiremos aquellos conjuntos que nos sirven para representar a los vectores.

3 Un conjunto V vectores R n se llamará subespacio lineal R n si cumple las siguientes tres condiciones: V no es vacío. Es cir, V tiene por lo menos un elemento. V es cerrado bajo la suma. La finición ser cerrado bajo la suma es que tomados dos elementos x y y cualquiera V, la suma ellos x + y también es un elemento V. V es cerrado bajo el producto por escalares. La finición ser cerrado bajo el producto por escalares es que tomados un elemento x cualquiera V y un escalar c cualquiera, el producto c x también es un elemento V.

4 Ejemplos 1 Los subconjuntos R n que son más fáciles verificar que son subespacios lineales son: 1.- El mismo R n Claramente no es vacío. La suma entre vectores n componentes como se tiene finida resulta en un vector con n componentes. Es cir, en un vector en R n. El producto un vector con n componentes por un escalar como se ha finido resulta en un vector con n componentes. Es cir, en un vector en R n. 2.- El subconjunto R n que sólo consta l vector cero: {} Como el vector cero pertence al conjunto, el subconjunto no es vacío. Aunque los requisitos para ser subespacios son que tomemos cualquier vector l conjunto, sólo pomos elegir el vector cero. Y la suma resulta siempre nuevo en el vector cero, es cir, en un elemento nuestro conjunto. Y también cualquier escalar multiplicado por el vector cero resulta en el vector cero.

5 Ejemplos 2 Los subespacios R n más importantes para nuestro curso son: 3.- Un espacio generado V = Gen {x 1, x 2,..., x k } No es vacío: = x 1 + x x k V Es cerrado bajo la suma: pues la suma combinaciones lineales los x i s resulta en un combinación lineal los x i s: ( k ) ( k ) k c i x i + a i x i = (c i + a i ) x i i=1 i=1 i=1 Es cerrado bajo el producto por escalares: pues el producto una combinación lineal los x i s por un escalar resulta en una combinación lineal los x i s: ( k ) k a c i x i = (a c i ) x i i=1 i=1

6 4.- El espacio nulo una matriz A m n: Ker (A) = {x R n A x = m } Es cir, el conjunto todas las soluciones a un sistema ecuaciones lineales homogéneo. No es vacío: n Ker (A), pues A n = m Es cerrado bajo la suma: Si x 1 y x 2 cumplen la ecuación A x = m, también x 1 + x 2 la cumple: A (x 1 + x 2 ) = A x 1 + A x 2 = m + m = m Es cerrado bajo el producto por escalares: Si x 1 cumple la ecuación A x = m, también c x: A (c x 1 ) = c (A x 1 ) = c m = m k representa el vector con sólo ceros en todas sus k

7 Diga si es un subespacio R 3 los vectores que pertencen al conjunto a V = b R 3 a + b c No es vacío, porque < a = 1, b = 1, c = 1 > V pues a + b = = 2 Es cerrado bajo la suma, por que si x 1 =< a 1, b 1, c 1 > cumple a 1 + b 1, y x 2 =< a 2, b 2, c 2 > cumple a 2 + b 2, entonces x 1 + x 2 =< a 1 + a 2, b 1 + b 2, c 1 + c 2 > cumple que (a 1 + a 2 ) + (b 1 + b 2 ) = (a 1 + b 1 ) + (a 2 + b 2 ) Pero no es cerrado bajo el producto porque < 1, 1, 1 > está en V pero 1 < 1, 1, 1 >=< 1, 1, 1 > no está en V al no cumplir 1 + 1

8 para un Subespacio Lineal Para un subespacio lineal V R n, un conjunto B se dice una base para V, si B es linealmente inpendiente y amás es un conjunto generador para V. Ejemplos En referencia a R 3, los conjuntos: B 1 = 1, 1 2, 1 2 2, B 2 = 1, 1 1 B 3 = 1 2, 1 2, 1 2, B 4 = 1 2, 1 1, 4, B 2 no es base porque no genera a R 3 : el vector < 1, 1, 1 > no es combinación lineal B 2 al ser inconsistente el sistema con aumentada

9 B 4 no es base porque linealmente pendiente; Al formar la matriz para hacer la prueba la inpendiencia lineal, la matriz tiene 3 renglones y cuatro columnas; una ellas en la reducida quedará sin pivote. B 1 es base: En la prueba la inpenncia lineal la matriz formada ya es escalonada y tiene pivote en cada columna: Por otro lado en la prueba para ver si B 1 genera a R 3 la matriz aumentada que se forma con un vector < a, b, c > cualquiera da consistente: a 2 2 b 2 c indicando que todo vector R 3 es generado por B 1

10 B 3 es base R 3. La regla para que un conjunto B = {x 1,..., x k } sea base para R n es que cuando se reduce la matriz cuyas columnas son los x i s que la matriz intidad. La lógica la regla es simple: al quedar la intidad, cada columna tiene pivote y por tanto el conjunto vectores es linealmente inpendiente. Por otro lado, al quedar la intidad, no importa que vector pongamos a la recha para formar una aumentada, ésta dará consistente probando que todo vector es combinación lineal los elementos l conjunto, lo cual a su vez indica que el conjunto genera a todo el espacio lineal. En el caso l conjunto B 3, al formar la matriz cuyas son los elementos y reducir obtenemos: Como nos queda la matriz intidad B 3 es base para R 3.

11 El siguiente resultado es la piedra angular para por finir la dimensión un subespacio lineal: Teorema l Intercambio Sea V un subespacio lineal R n. Si A = {x 1, x 2..., x k } es un subconjunto vectores V que es linealmente inpendiente, y si B = {y 1, y 2..., y m } es un conjunto vectores V que genera a V, entonces k m Es cir, en un subespacio lineal R n, el número total vectores un subconjunto linealmente inpendiente NO EXCEDE el número total vectores un conjunto generador. La prueba este resultado pue ser consultada aquí.

12 Teniendo como referencia el teorema l intercambio es directo mostrar el siguiente resultado: Corolario al Teorema l Intercambio Si V es un subespacio lineal R n y B 1 = {x 1, x 2..., x k } y B 2 = {y 1, y 2..., y m } son dos bases para V, entonces k = m. Si B 1 es base para V, B 1 es linealmente inpendiente. Si B 2 es base para V, B 2 genera a V. Por el teorema l intercambio k m. Si B 2 es base para V, B 2 es linealmente inpendiente. Si B 1 es base para V, B 1 genera a V. Por el teorema l intercambio m k. Por tanto m = k. Nuestro resultado indica que dos bases cualquiera para un mismo subespacio lineal tienen siempre el mismo número vectores.

13 Si V es un subespacio lineal R n, la dimensión V es el número elementos que tiene una base cualquiera V. dim (V ) dim ( R 2) = 2, porque B = {( 1 ) (, 1 )} es una base para R 2. dim ( R 3) = 3, porque B = es una base para R 3. 1, 1, 1

14 dim (R n ) = n, porque es una base para R n. B = {e 1, e 2..., e n } A priori, usted no pue indicar la dimensión un subpespacio si no tiene una base para él. Aquí e i = es el vector que tiene ceros en toda componente excepto que en la posición i tiene un

15 espacios generados, ejemplo Determine la dimensión l subespacio: V = Gen 5 1, 5 2, 4 1, Solución Requerimos una base; ya tenemos un conjunto generador pero no sabemos si es linealmente inpendiente. Formando la matriz aumentada y reduciendo tenemos: El conjunto generador es linealmente pendiente: no es base para V.

16 Qué otra información pomos obtener l cálculo anterior? Si hubieramos puesto la matriz aumentada con la parte coefiecientes hasta el segundo vector quedaría: Lo cual diría que los vectores 3 y 4 son combinación lineal los vectores 1 y 2. Como tenemos un resultado teórico que indica que aquellos vectores que son combinaciones lineales los otros puen ser removidos l conjunto generador y seguir generando el mismo subespacio, concluimos que V = Gen {v 1, v 2, v 3, v 4 } = Gen {v 1, v 2 } El mismo cálculo indica que el conjunto formado por los vectores 1 y 2 es linealmente inpendiente. Por lo tanto, los vectores 1 y 2 son una base para el subespacio V. Por tanto, la dimensión V es 2

17 Para subspacios V R n l tipo espacios generados por un conjunto vectores: V = Gen {x 1, x 2,..., x k } la dimensión V es el número pivotes que queda al reducir la matriz la prueba si el conjunto generador es linealmente inpendiente [x 1 x 2 x k ]

18 Determine la dimensión para el subespacio R 3 formado por las soluciones al sistema: 6 x 5 y 3 z = 12 x + 1 y + 6 z = 36 x 3 y 18 z = Solución Observe que usted no tiene una base y ni siquiera un conjunto generador. El conjunto generador lo vamos a encontrar obteniendo la solución general para el sistema. Al formar la aumentada y reducir: /2 1/2 Concluimos que hay infinitas soluciones. Vamos ahora por la fórmula todas las soluciones. Este proceso se sigue como en este ejemplo.

19 De la reducida y siguiendo el proceso comentado tenemos que la fórmula que da todas las soluciones queda: x 5/2 1/2 y z = y 1 + z 1 Por tanto, la solución a nuestro sistema homogéneo queda como un espacio generado: V = x y z 6 x 5 y 3 z = 12 x + 1 y + 6 z = 36 x 3 y 18 z = = Gen x 1 = 5/2 1, x 2 = 1/2 1 Por la forma como están ubicados los pivotes en los vectores l conjunto generador B = {x 1, x 2 }, el conjunto generador es linealmente inpendiente Por tanto, B es base para V. Por tanto, la dimensión l subespacio lineal V es 2

20 La dimensión l conjunto formado por todas las soluciones a un sistema ecuaciones homogéneo (es cir, el kernel la matriz coeficientes): Ker (A) = {x R n A x = m } es el número pivotes que quedan en la reducida [A ].

21 Comentarios sobre la dimensión La dimensión un subespacio lineal V R n es un número muy especial. Si se dice que la dimensión V es k: Se está diciendo que be haber una base B V con k elementos. Este conjunto es linealmente inpendiente y be generar a V. Siendo B un conjunto linealmente vectores V, lo es también en R n y por tanto k n. Es cir, la dimensión un subespacio R n be ser menor que n. Si por casualidad k = n, entonces V = R n. Es cir, alcanzando la dimensión un subespacio, se alcanza todo el espacio. Por que en caso contrario B no generaría a R n y si x R n V, entonces B {x} sería un conjunto linealmente inpendiente R n con n + 1 elementos, lo cual es imposible.

22 Si un subespacio V está generado por k elementos entonces, la dimensión V es menor o igual que k. Es cir, cualquier conjunto generador be tener por lo menos dim(v ) vectores. Dicho otra manera, un conjunto que tiene menos vectores que la dimensión l espacio, no pue generarlo. La dimensión representa un ĺımite inferior para el número vectores que be contener un conjunto generador. Esto no significa que todo conjunto con más vectores que la dimensión genera al espacio. Si se tiene un conjunto linealmente inpendiente V, el número vectores l conjunto no pue rebasar la dimensión: si se tienen más vectores que la dimensión, el conjunto es pendiente. La dimensión representa un ĺımite superior para el número vectores que pue tener un conjunto linealmente inpendiente. Esto no significa que todo conjunto que tiene menos vectores que la dimensión es linealmente inpendiente.