ax + by = 1 cx + dy = 0

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1 1.61. Considere el sistema ax + by = 1 cx + dy = 0 Muestre que si ad bc 0, el sistema tiene solución única x = d/(ad bc, y = c/(ad bc. Demostrar además que si ad bc = 0, c 0 o d 0, entonces el sistema no tiene solución. Solución. Denotemos L 1, L 2 la primera y segunda ecuación respectivamente. Suponer ad bc 0. Si a 0, aplicando la operación elemental L 2 L 2 (c/al 1 (restarle a la segunda ecuación (c/a veces la primera y resolviendo el sistema escalonado correspondiente obtenemos x = d/(ad bc, y = c/(ad bc. Si a = 0 entonces ad bc 0 c 0. El resultado se sigue intercambando las ecuaciones y procediendo como en el caso anterior. Suponer ahora ad bc = 0. Si c 0, al aplicar la operación elemental L 1 L 1 (a/cl 2 obtenemos la ecuación degenerada (b ad/cy = 1 (ad bcy = c. Si d 0, al aplicar la operación L 1 L 1 (b/dl 2 obtenemos la ecuación degenerada (ad bcx = d. Por lo tanto el sistema no tiene solución Consiedre un sistema de ecuaciones lineales con el mismo número de ecuaciones que de incógnitas: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n (i Suponer que el sistema homogeneo asociado tiene únicamente la solución cero. Muestre que el sistema inhomogéneo tiene solución única para cualquier elección de los b i. (ii Suponer que el sistema homogeneo asociado tiene una solución distinta de cero. Muestre que existen algunas b i para las cuales el sistema inhomogéneo no tiene solución. Además demostrar que si el sistema inhomogéneo tiene solución, entonces tiene más de una. Solución 1. Considerando la matriz de coeficientes A = (a ij como un operador lineal A : K n K n el problema se resuelve fácilmente aplicando el teorema de la dimensión: (i Si el sistema homogéneo tiene únicamente la solución trivial, es decir, Ax = 0 x = 0 K n, entonces ker(a = {0} y por el teorema de la dimensión A es biyectiva. Lo que significa que para cualquier b = (b 1,..., b n T K n existe un único x K n tal que Ax = b. (ii Si el sistema homogéneo tiene una solución distinta de cero, es decir, A x = 0 para algún x 0, entonces span{ x} ker(a 1 dim ker(a. Por el teorema de la dimensión n > dim(ima ImA es un subconjunto propio de K n, es decir, existe b = (b 1,..., b n T K n \ ImA. Entonces, el sistema Ax = b no tiene solución. Por último si el sistema inhomogéneo tiene una solución x entonces, de la linealidad de A, x + λ x también es solución para cualquier λ K n. Solución 2. Usando eliminación Gaussiana: Sea Ãx = 0 es sistema escalonado asociado a Ax = 0 donde à es una matriz n-cuadrada triangular superior (las últimas filas de à pueden ser 0. Denotemos por E 1,..., E k a las operaciones elementales mediante las cuales se redujo Ax = 0 a la forma escalonada Ãx = 0. (i Si Ax = 0 x = 0 K n, entonces el sistema Ãx = 0 es triangular todas las entradas en la diagonal de à son distintas de cero. Notar que el sistema escalonado asociado a Ax = b es de la forma Ãx = b el cual tiene solución para cualquier valor de b. Ax = b Ãx = b el sistema Ax = b tiene solución para cualquier valor de b. (ii Sabemos que todo sistema homogéneo tiene la solución cero. Por lo tanto si el sistema Ax = 0 tiene una solución diferente de cero entonces tiene más de una solución el sistema escalonado Ãx = 0 no es triangular la última fila de à es 0. Si b = (0,..., 0, 1 T entonces el sistema Ãx = b no tiene solución (pues su última ecuación es degenerada. Aplicando las operaciones E 1 k,..., E 1 1 a Ãx = b obtenemos el sistema inhomogéneo Ax = b Ãx = b Ax = b tampoco tiene solución. Por último, si el sistema inhomogéneo Ax = b tiene una solución 1

2 entonces x n es una variable libre en Ãx = b y por lo tanto hay una infinidad de soluciones Sean u, v vectores en R n, demuestre que si u, v = u v entonces u, v son linealmente dependientes. Solución. Si u = 0 el enunciado es trivial. Supongamos que u es distinto de cero, consideremos el polinomio p(t = v tu 2. Si u, v = u v, es fácil mostrar que t = u, v / u 2 es una raíz de p(t y por lo tanto v = u, v u u. Notar que esta prueba funciona tambíen para vectores en C n Demuestre que cualquier matriz real y simétrica es congruente a una matriz diagonal con solo 1s,, 1s, o 0s en la diagonal. Solución. Como A es real y simétrica, existe una matriz no singular P tal que D = P T AP es diagonal, D = diag(d i. Definimos Q := diag(q i donde Entonces B := Q T DQ = diag(q 2 i d i, donde { 1 si di = 0 q i = si d i 0 1 di 1 si d i > 0 qi 2 d i = 1 si d i < 0 0 si d i = 0 P Q es no singular y B = (P Q T A(P Q. Por lo tanto B es una matriz diagonal con solo 1s,, 1s, o 0s en la diagonal y A es congruente a B Considere el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a 3 con coeficientes en R, P 3 (t. Determinar si los vectores son linelamente independientes o dependientes. u = t 3 4t 2 + 2t + 3, v = t 3 + 2t 2 + 4t 1, w = 2t 3 t 2 3t + 5 Solución. Sea S = {t 3, t 3, t, 1} base (ordenada de P 3 (t, es fácil demostrar que los vectores [u] S = (1, 4, 2, 3, [v] S = (1, 2, 4, 1, [w] S = (2, 1, 3, 5 son linealmente independientes en R 4 y por lo tanto u, v, w son linealmente independientes en P 3 (t (hemos hecho uso del isomorfismo P 3 (t = R 4, v [v] S Nota: de la misma manera podemos verificar independencia lineal para vectores en cualquier espacio vectorial de dimensión finita Suponer que (a 11,..., a 1n,..., (a m1,..., a mn son vectores linealmente independientes en K n, y suponer que v 1,..., v n son vectores linealmente independientes en un espacio vectorial V sobre el campo K. Mostrar que los vectores w 1 = a 11 v a 1n v n,..., w m = a m1 v a mn v n 2

3 también son linealmente independientes. Solución. Sea A la matriz de m n, A = (a ij. Entonces las filas A i = (a i1,..., a in son linealmente independientes el sistema A T x = 0 tiene únicamente la solución cero. Sean λ 1,..., λ m K tales que m i=1 λ iw i = 0, por definición de los w i tenemos m n λ i i=1 j=1 Como los v i son linealmente independientes, a ij v j = n ( m λ i a ij v j = 0 j=1 i=1 m λ i a ij = 0, j = 1,..., n i=1 esto implica que el vector (λ 1,..., λ m es solución al sistena A T x = 0 y por lo tanto λ i = 0 para cada i Sea V un espacio vectorial de dimensión n sobre un campo K que a su vez es un espacio vectorial de dimensión m sobre un subcampo F (entonces V también puede considerarse como un espacio vectorial sobre F. Demostrar que la dimensión de V sobre F es mn. Solución. Sea {v j } n j=1 una base de V sobre K y {k i} m i=1 una base de K sobre F. Entonces los mn términos k iv j forman una base V sobre F. En efecto, para cada v V existen λ 1,..., λ n K tales que v = n j=1 λ jv j y para cada λ j existen µ j1,..., µ jm F tales que λ j = m i=1 µ jik i. Por lo tanto v = n λ j v j = j=1 n ( m µ ji k i v j = i=1 i,j j=1 µ ji (k i v j lo cual mustra que los k i v j generan a V sobre F. Además son linealmente independientes pues si µ ij F, 1 i m, 1 j n son tales que i,j µ ji(k i v j = 0 entonces µ ji (k i v j = i,j j ( µ ji k i v j = 0 i y la independencia lineal de {v j } n j=1 garantiza que µ ji k i = 0, 1 j n y la independencia lineal de {k i } m i=1 garantiza µ ij = 0 para cada i, j. i Sean A y B dosmatrices de m n. Demostrar que rank(a + B rank(a + rank(b. Solución. Denotemos a las filas de A, B como A i, B i respectivamente. Es fácil ver que span{a i + B i } span{a i } + span{b i } dim span{a i + B i } dim ( span{a i } + span{b i } El lado izquierdo de ésta desigualdad es rank(a+b y el lado derecho es igual a rank(a+rank(b dim span{a i } span{b i } rank(a + rank(b. Por lo tanto rank(a + B rank(a + rank(b 3

4 Sea V el espacio de polinomios (de una variable sobre R. Encuentre dim(u + W, dim(u W, donde U = span(t 3 + 4t 2 t + 3, t 3 + 5t 2 + 5, 3t t 2 5t + 5 W = span(t 3 + 4t 2 + 6, t 3 + 2t 2 t + 5, 2t 3 + 2t 2 3t + 9 Solución. Consideremos la base (ordenada S = {t 3, t 2, t, 1}. Escribiendo los vectores de coordenadas (respecto a S de los polinomios que generan U como filas de una matriz obtenemos ( {t 3 + 4t 2 t + 3, t 2 + t + 2} es base de U Procediendo de la misma manera con los vectores que generan a W ( {t 3 + 4t 2 + 6, 2t 2 + t + 1} es base de W U + W = spanu W = span{t 3 + 4t 2 t + 3, t 2 + t + 2, t 3 + 4t 2 + 6, 2t 2 + t + 1} {t 3 + 4t 2 t + 3, t 2 + t + 2, t + 3} es base de U + W Por lo tanto dim(u + W = 3 y dim(u W = dim U + dim W dim(u + W = Encuentra un operador lineal F : R 3 R 3 cuya imagen sea el subespacio generado por (1, 2, 3 y (4, 5, 6. Solución. Podemos obtener tal operador escribiendo una matriz de 3 3 tal que dos de sus columnas sean los vectores dados y la tercera columna sea una combinación lineal de estos. En particular la matriz A = define un operador lineal F cuya imagen es el espacio columna span{(1, 2, 3, (4, 5, 6}. Es decir, [F ] S = A donde S es la base estandar de R Encuentra un operador lineal F : R 4 R 3 cuyo kernel sea generado por (1, 2, 3, 4 y (0, 1, 1, 1. Solución. Podemos determinar tal operador considerando una matriz de coeficientes de 3 4 tal que el espacio solución del sistema homogeneo asociado sea span{(1, 2, 3, 4, (0, 1, 1, 1}: 4

5 x y z t 0 0 x y + z 2x y + t Entonces span{(1, 2, 3, 4, (0, 1, 1, 1} es el espacio solución del sistema x y +z = 0 2x y +t = A x = 0 donde A = Sea F tal que [F ] = A Considere el espacio vectorial V de los polinimios reales de grado menor o igual a 10 y el operador lineal D 4 : V V, definido por d 4 f/dt 4, es decir, la cuarta derivada. Encuentre una base y la dimensión de Im(D 4 y ker(d 4. Solución. Sea S = {1, t, t 2,..., t 10 } una base de V, D 4( {t n } 10 { n! n=4 = (n 3! tn 4} 10 Por el teorema de la dimensión D 4( {1, t, t 2, t 3 } = {0} span{1, t, t 2, t 3 } ker(d 4 4 dim ker(d 4 n=4 { n! span (n 3! tn 4} 10 n=4 = span{t n } 6 n=0 Im(D 4 7 dim Im(D 4 dim ker(d 4 + dim Im(D 4 = dim V = 11 dim ker(d 4 = 4, dim Im(D 4 = 7 Como consecuencia {1, t, t 2, t 3 } es una base de ker(d 4 y {1, t, t 2,..., t 6 } es una base de Im(D Dos operadores F, G A(V := {T : V V V es lineal} son similares si existe un operador invertible P A(V tal que F = P 1 GP. Demostrar que operadores similares tienen el mismo rango cuando el espacio vectorial V es de dimensión finita. Solución. Sean F, G operadores similares en A(V, donde dim V = n <, entonces existe un operador invertible P tal que F = P 1 GP. Por el teorema de la dimensión es suficiente mostrar que dim ker F = dim ker G. P preserva independencia lineal de conjuntos pues es invertible. Sea {v 1,..., v r } una base de ker F. Entonces {P v 1,..., P v r } es linealmente independiente. F = P 1 GP GP = P F G(P v i = P (F v i = P 0 = 0 span{p v i } r i+1 ker G r = dim ker F dim ker G Por reflexividad dim ker G dim ker F ( G = Q 1 F Q con Q = P 1. Entonces dim ker F = dim ker G Sea V el espacio vectorial de las matrices m-cuadradas sobre un campo K, y suponer que D : V K es un operador m-lineal en las filas. Demostrar que la siguiente condición es equivalente a que D sea alternante: D(A 1,..., A m = 0 si A i = A i+1 para algún i (1 5

6 Solución. Por definición D es alternante si D(A 1,..., A m = 0 si A i = A j i j Es fácil demostrar que esta condición es equivalente a D(..., A i,..., A j,... = D(..., A j,..., A i,... si i j Si D es alternante, la condición 1 se satisface por definición. Suponer D satisface 1 y sean A 1,..., A m K m con A i = A j para algunos i, j (s.p.g i + 1 < j, entonces D(A 1,..., A m = ( 1 r D(..., A i, A j, A i+1,... = 0 donde r es el número de transposiciones necesarias para llevar a A j a la posición i + 1 intercambiando A j con su predecesor en cada transposición Sea {e i } n i=1 la base estándar de Kn, e i = (e i1,..., e in con e ij = δ ij, y σ S n. Sea A la matriz n-cuadrada cuya fila i es e σ(i. Mostrar que det(a = sgn σ. Solución. Es una consecuencia directa de la definición: det(a = τ S n (sgnτe σ(1τ(1 e σ(2τ(2 e σ(nτ(n = sgnσ donde la última igualdad se debe a que si τ σ, entonces existe algún i para el cual σ(i τ(i e σ(iτ(i = δ σ(iτ(i = Sean A, B, C, D matrices n-cuadradas que conmutan entre si. Considerar la matriz 2n-cuadrada ( A B M = Demostrar que det(m = det(ad BC. Solución. Suponer que A es no singular, entonces ( ( ( I 0 A B A B CA 1 = I = det 0 D CA 1 B ( A B 0 D CA 1 B ( A B det ( ( I 0 A B = det CA 1 det I = det(a(d CA 1 B = det(ad BC. Si A es singular, existe un δ > 0 tal que para todo ɛ (0, δ, A + ɛi es no singular. Esto se debe a que el polinomio p(ɛ = det(a + ɛi tiene a lo más un número finito de raíces. Entonces podemos escoger δ como la raíz mas pequeña diferente de cero (si 0 es la única raíz de p(ɛ, cualquier elección de δ funciona. Es fácil ver que A + ɛi, B, C, D conmutan y procediendo como en el caso anterior obtenemos 6

7 ( A + ɛi B det = det((a + ɛib CD Tomando el límite en ambos lados de la ecuación cuando ɛ 0 + concluimos ( A B det = det(ab CD Sea A una matriz n-cuadrada. Demuestre que rank(a es igual al orden de la submatriz más grande de A (obtenida borrando filas y columnas cuyo determinante es distinto de cero. Solución. Sea r = rank(a, 0 < r < n (el resultado es obvio para r = 0 o r = n. Como r es la dimensión del espacio columna de A, hay a los más r columnas linealmente independientes en A. Por lo tanto cualquier submatriz de orden > r tiene determinante igual a cero. Basta demostrar entonces que existe una submatriz de orden r con determinante distinto de cero. Sea B una submatriz de A de n r cuyas columnas son linealmente independientes. Entonces rank(b = r, y como la dimensión del espacio columna de B es igual a la dimensión de su espacio fila concluimos que hay r filas linealmente independientes en B. Borrando las demás filas conseguimos una submatriz de A de r r cuyo determinante es distinto de cero. 7

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