Propiedades de los Determinantes

Transcripción

1 Propiedades de los Determinantes Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM 26 de mayo de 2010 Índice Propiedades La adjunta de una matriz cuadrada Resultado clave El determinante: medida de invertibilidad Determinate y la unicidad de un sistema Determinantes y dependencia lineal Método práctico de cálculo Ejemplo del método práctico Propiedades En esta sección se hace una lista de las propiedades más importantes de los determinantes. Para hacer una ilustración de las mismas, ejemplificaremos con una matriz 3 3 pero aplican para matrices de cualquier orden. 1. Para cualquier matriz A, A y su transpuesta tienen el mismo determinante: A T = A (1) = a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 2. Si B se obtiene de A multiplicando uno de sus renglones (o columnas) por una constante distinta de cero, entonces B = k A. kb 1 kb 2 kb 3 c 1 c 2 c 3 = k a 1 a 2 ka 3 b 1 b 2 kb 3 c 1 c 2 kc 3 = k 3. Si B se obtiene de A intercambiando dos renglones (o columnas) cualesquiera B = A. =

2 = a 3 a 2 a 1 b 3 b 2 b 1 c 3 c 2 c 1 4. Si B se obtiene de A sumando un múltiplo de un renglón (o columna) a otro renglón (o columna), entonces B = A. ka 1 + b 1 ka 2 + b 2 ka 3 + b 3 c 1 c 2 c 3 = a 1 a 2 ka 2 + a 3 b 1 b 2 kb 2 + b 3 c 1 c 2 kc 2 + c 3 = 5. Si la matriz A es triangular (superior o inferior), su determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal. a a a 33 = a 11 a 22 a Si A tiene un renglón (o columna) de ceros, entonces A = = 0 a 1 a 2 0 b 1 b 2 0 c 1 c 2 0 = 0 7. Si A tiene dos renglones (o columnas) que son iguales, entonces A = 0. = 0 a 1 a 2 a 1 b 1 b 2 b 1 c 1 c 2 c 1 = 0 8. Si A tiene dos renglones (o columnas) que son múltiplos entre sí, entonces A = 0. ka 1 ka 2 ka 3 c 1 c 2 c 3 = 0 a 1 a 2 ka 1 b 1 b 2 kb 1 c 1 c 2 kc 1 = 0 2

3 9. Si A es cualquier matriz de n n y k es cualquier escalar, entonces k A = k n A 10. El determinante de un producto de matrices es el producto de los determinantes de los factores. AB = A B De las propiedades anteriores se deduce que: A 1 A 2 A m = A 1 A 2 A 3 Si A es invertible, entonces A 1 = 1 A Como AA 1 = I, tomando determinantes y aprovechando que el determinante de un producto es el producto de los determinantes se tiene A A 1 = 1 de donde A 1 = 1/ A Ejemplo 19.1 Obtenga el determinante de cada matriz: A = B = C = D = Respuesta: A = 0, pues tiene un renglón de ceros. B = 0, pues tiene una columna repetida (la primera y la segunda). C = 0, pues un renglón es un múltiplo de otro (el 3 es -2 por el 2). D = ( 2)(2)( 3) = 12, pues es una matriz triangular. Ejemplo 19.2 Si A y B son matrices 2 2 tales que A = 4 y B = 1, calcule los determinantes de las matrices: 1. BA 2. AB 3. A B T 4. A T B 3

4 5. A T B A A Respuesta: 1) B A = B A = ( 1)(4) = 4, 2) A B = A B = 4, 3) AB T = A B T = A B = (4)( 1) = 4 4) A T B = A T B = A B = 4 5) A T B A 1 = A T B A 1 = (4)( 1)(1/4) = 1 6) 5A = ( 5) 2 A = (25)(4) = La adjunta de una matriz cuadrada Definición 19.1 Sea A = [a ij ] una matriz n n y sea C ij el cofactor de a ij. A la matriz n n cuyo elemento (i, j) es el cofactor C ij se le llama la matriz de cofactores de A. A la transpuesta de la matriz de cofactores de A se le llama la adjunta de A y se le simboliza por adj(a): Ejemplo 19.3 Determine la matriz adjunta de la matriz Solución Calculemos todos los cofactores posibles: Por tanto T C 11 C 12 C 1n C 21 C 22 C 2n adj(a) = C n1 C n2 C nn A = C 11 = ( 1) C 13 = ( 1) C 22 = ( 1) = 5, C 12 = ( 1) = 0 = 5, C 21 = ( 1) = 1 = 9, C 23 = ( 1) = 2 C 31 = ( 1) = 2, C 32 = ( 1) = 3 C 33 = ( 1) = 4 adj(a) = T = (2) 4

5 19.3. Resultado clave 1 El siguiente resultado es la clave para ver cómo es que el determinante de una matriz cuadrada es su medida de invertibilidad: Sea A una matriz n n, entonces: Considere el producto B = A adj(a). El elemento (i, j) de B es: Existen dos casos sobre i y j: A adj(a) = A I n (3) b ij = (renglón i de A) (columna j de adj(a)) C j1 C j2 = [a i1 a i2 a in ]. C jn = a i1 C j1 + a i2 C j2 + + a in C jn i = j: en este caso b ij coincide con la expansión de A en el renglón i. i j: en este caso b ij coincide con la expansión en el renglón j de una matriz donde el renglón i de A ha sido reemplazado por renglón j. Es decir, el determinante de una matriz que tiene un renglón repetido. Por tanto, tal determinante debe ser cero y así para i j se tiene b ij = 0. Por tanto, Así { A si i = j b ij = 0 si i j A adj(a) = A I n El determinante: medida de invertibilidad Habiendo probado el resultado anterior, se deduce un resultado clave sobre el determinante de una matriz cuadrada: Una matriz A es invertible si y sólo si A 0. Si A 0, por el teorema anterior A adj(a) = A I n. Haciendo álgebra con la expresión tenemos: ( ) 1 A A adj(a) = I n de donde se deduce que A es invertible y que A 1 = 1 A adj(a). Si A es invertible, entonces existe A 1 tal que AA 1 = I. Tomando determinantes se tiene A A 1 = I = 1. Por tanto, A no puede ser cero 5

6 19.5. Determinate y la unicidad de un sistema El siguiente resultado indica cómo se puede relacionar el determinante de la matriz de un sistema de ecuaciones cuadrado con el determinante de la matriz de coeficientes: El sistema n n consistente Ax = b: tiene infinitas soluciones si y sólo si A = 0. En particular: el sistema homogéneo cuadrado Ax = 0 tiene una solución distinta de 0 si y sólo si A = 0. Ax = b tiene infinitas soluciones ssi las columnas de A forman un conjunto linealmente dependiente ssi al aplicar rref a A queda al menos una variable libre ssi al aplicar rref a A quedan menos de n pivotes ssi A no es invertible ssi A = Determinantes y dependencia lineal De la misma argumentación de la demostración del teorema clave 3 se deduce un método rápido para saber si un conjunto de vectores puede ser linealmente dependiente o no: Las columnas de una matriz n n A forman un conjunto linealmente dependiente si y sólo si A = 0. En particular, un conjunto de n vectores en R n es linealmente dependiente si y sólo si al formar con ellos una matriz y al obtener el determinante de esta se obtiene cero Método práctico de cálculo En la práctica para calcular el determinante de una matriz se utiliza variante del el método de Gauss- Jordan ( qué curioso, verdad?) La idea se basa en el siguiente hecho: Si se aplica una operación elemental a una matriz A: A op B el determinante de A cambia de la siguiente manera: 1) Si Op es del tipo R i R j : A = B Recuerde la regla: Un cambio de renglones cambia el signo del determinante. 2) Si Op es del tipo R i c R i entonces A = 1 c B 3) Si Op es del tipo R i R i + c R j entonces det(a) = det(b) Recuerde la regla: Las operaciones de eliminación no cambian el determinante. El método consiste en aplicar a la matriz sólo las operaciones de intercambio y eliminación para convertir la matriz original en una matriz escalonada. El determinante de la última matriz será simplemente el producto de los elementos de la diagonal principal. Cada cambio de renglón implicará un cambio en el signo. 6

7 19.8. Ejemplo del método práctico Veamos algunos ejemplos que ilustran el método práctico del cálculo de un determinante utilizando como referencia el proceso de escalonamiento. Ejemplo 19.4 Obtenga el determinante de la matriz A = Solución Apliquemos el algoritmo de Eliminación Gaussiana: A 0 = A = R 1 R 2 A1 = Así A = A 1. Continuando con el algoritmo de Gauss: A 1 = R 3 R 3 +5 R 1 A2 = Así A = A 1 = A 2. Asimismo: A 2 = R 2 R 3 A3 = Así A = A 2 = ( 1) A 3 = A 3. Como A 3 = = (1) ( 3) (4) = 12 tenemos A = 12 Ejemplo 19.5 Calcule A, si A con las operaciones: 1. R 1 R 4 (intercambio) 2. R 1 6 R 1 (escalamiento) 3. R 3 R 3 2 R 1 (eliminación) 4. R 2 R 3 (intercambio) 5. R 4 R 4 4 R 2 (eliminación) se convierte en la matriz escalonada: Solución Se tiene: B = ( ) 1 A = ( 1) (1) ( 1) (1) B =