MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

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Alfonso Moreno Morales
hace 7 años
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1 6 de Abril de MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (Clase ) Departamento de Matemática Aplicada Facultad de Ingeniería Universidad Central de Venezuela

2 . Producto de matrices. Aplicaciones Puntos a tratar. Operaciones elementales con las filas de una matriz 4. Matrices equivalentes. Matrices inversibles 6. Método de Gauss-Jordan 7. Un poco de historia

3 Producto de matrices Sea A una matriz o vector fila de orden n, y sea B una matriz o vector columna de orden n: [ a a ] A= a n n El producto AB está dado por: AB = b b B= [ a b + a b + a b ] n n = (NOTA: A este producto también se le llama producto escalar) b n

4 Encuentra el producto escalar o interno de los siguientes vectores. [ ]. 4.. [ 4 ]. Producto de matrices 4 6 = ( ) + ( ) + ( )( 4) + 4( ) + ( )( 6) = 6+ ( ) + ( ) + + ( 6) = 7 = ( ) + ( 4)( ) + ( )( ) + ( ) = = El resultado del producto interno es un número real y el número de columnas del primer vector debe ser igual al número de filas del segundo.

5 Dadas las matrices: A = [a ij ] de orden m x p B = [b ij ] de orden p x n El producto de AxB es una matriz C = [c ij ] de orden m x n cuya componentec ij es el producto de la filaide A Producto de matrices = 6 4 A y la columnajde B. = 4 B

6 Producto de matrices 4 A= B= C= 9 9

7 = Columna Fila Producto de matrices Posición c

8 Sean A, B y C matrices multiplicativas.. A(B + C) = AB + AC. (A + B)C = AC + BC. (AB)C = A(BC) Propiedades 4. (ka)b = k(ab) = A(kB), k es un escalar. (AB) T = B T A T 6. Por lo general, AB BA 7. AB = no implica que A = ó B = 8. AB = AC no implica que B = C

9 Consecuencias de las propiedades Si A B = no implica que A = ó B = Si A B = A C no implica que B = C En general (A+B) A + B +AB, ya que A B B A En general (A+B) (A B) A B, ya que A B B A

10 Ejercicios Dadas las matrices A = [a ij ] x, B = [b ij ] x y C = [c ij ] x tales que: a ij = i j, i < -i + j, i b ij =, i j < -, i j c ij = -, j/i = primo, j/i primo Calcular: A (B)(C)

11 . Producto de matrices. Aplicaciones Puntos a tratar. Operaciones elementales con las filas de una matriz 4. Matrices equivalentes. Matrices inversibles 6. Método de Gauss-Jordan 7. Un poco de historia

12 Aplicaciones Un agente de bolsa vendió a un cliente acciones tipo A, tipo B, tipo C y tipo D. Los precios por acción de A, B, C y D son $, $, $ y $, respectivamente. Escriba un vector renglón (fila) que represente el número de acciones compradas de cada tipo. A B C D Acciones Escriba un vector columna que represente el precio por acción por cada tipo. A Precios B C D

13 Aplicaciones Utilizando al multiplicación de matrices, encuentre el costo total de las acciones. Acciones A B C D Precios A B C D x + x + x + x = 4,

14 Aplicaciones Una empresa utiliza tres tipos de materia prima M, M y M en la elaboración de dos productos P y P. El número de unidades de materia prima usados por cada unidad de P son, y 4 respectivamente y por cada unidad de P son 4, y respectivamente. Suponga que la empresa produce unidades de P y unidades de P a la semana. Exprese las respuestas como producto de matrices: a) Cuál es el consumo semanal de materia prima? b)si los costos por unidad ($) para M, M y M son 6, y respectivamente. Cuáles son los costos de la materia prima por unidad de P y P? c) Cuál es la cantidad total gastada en materia prima a la semana en la producción de P y P?

15 . Producto de matrices. Aplicaciones Puntos a tratar. Operaciones elementales con las filas de una matriz 4. Matrices equivalentes. Matrices inversibles 6. Método de Gauss-Jordan 7. Un poco de historia

16 Operaciones elementales con las filas de una matriz 6

17 . Producto de matrices. Aplicaciones Puntos a tratar. Operaciones elementales con las filas de una matriz 4. Matrices equivalentes. Matrices inversibles 6. Método de Gauss-Jordan 7. Un poco de historia 7

18 Matrices equivalentes 8

19 . Producto de matrices. Aplicaciones Puntos a tratar. Operaciones elementales con las filas de una matriz 4. Matrices equivalentes. Matrices inversibles 6. Método de Gauss-Jordan 7. Un poco de historia 9

20 Matrices inversibles Una matriz cuadrada que posee inversa se dice que es inversible o regular o no singular; en caso contrario recibe el nombre de singular.

21 Propiedades de la inversión de matrices La matriz inversa, si existe, es única A - A = A A - = I (A B) - = B- A- (A - ) - = A (ka) - = (/k) A - (A t ) = (A - ) t

22 . Producto de matrices. Aplicaciones Puntos a tratar. Operaciones elementales con las filas de una matriz 4. Matrices equivalentes. Matrices inversibles 6. Método de Gauss-Jordan 7. Un poco de historia

23 Método de Gauss-Jordan

24 Método de Gauss-Jordan Si A es una matriz invertible nxn construya la matriz aumentada [ A I. La matriz inversa A - n ], nxn, se obtiene reduciendo la matriz mediante operaciones elementales de filas hasta obtener la matriz I n A Ejemplos: 4. Encuentra la matriz inversa de. A = 4 f f

25 Método de Gauss-Jordan f + f f f f f + f f A 4 = =

26 Método de Gauss-Jordan. Encuentra la matriz inversa de. f f f + f f 9 9 f f f + f f

27 9 9 A = 9 9 Método de Gauss-Jordan = 9 4. Encuentra la matriz inversa de. 4 f f 4 f + f f 4 No es posible tener la matriz inversa en el lado izquierdo por lo tanto la matriz no es invertible, la matriz inversa no existe.

28 = 6 4 A 4 4 R = ) ( nn n n n n a a a a a a a a a I A Método de Gauss-Jordan R R R R

29 + 7 R R R R Método de Gauss-Jordan 6 6 R

30 R R R R Método de Gauss-Jordan = A

31 = 6 4 A Método de Gauss-Jordan R R

32 R R R R Método de Gauss-Jordan Singular

33 Método de Gauss-Jordan. Verifica que la matriz inversa de es.. Verifica que la matriz inversa de 4 es

34 . Producto de matrices. Aplicaciones Puntos a tratar. Operaciones elementales con las filas de una matriz 4. Matrices equivalentes. Matrices inversibles 6. Método de Gauss-Jordan 7. Un poco de historia 4

35 Un poco de historia

36 Pensamiento de hoy Solo tengo una luz por la que se guíanmispasos,yestaluzeslade la experiencia. No conozco otra manera de juzgar el futuro que rodeaelpasado. Patric Henry 6

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