Matrices y sistemas lineales

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1 125 Fundamentos de Matemáticas : Álgebra Lineal 8.1 Definiciones básicas Capítulo 8 Matrices y sistemas lineales Una matriz es una tabla rectangular de números, es decir, una distribución ordenada de números. Los números de la tabla se conocen con el nombre de elementos de la matriz. El tamaño de una matriz se describe especificando el número de filas y columnas que la forman. Si A es una matriz de m filas y n columnas, A m n, se usará a ij para denotar el elemento de la fila i y la columna j y, en general, se representará por a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = (a ij ) 1 i m = (a ij ) m n = 1 j n.... a m1 a m2 a mn Dos matrices son iguales si tienen igual tamaño y los elementos correspondientes de ambas matrices iguales. Una matriz A n n (ó A n ) se denomina matriz cuadrada de orden n y de los elementos de la forma a 11, a 22,..., a nn se dice que forman la diagonal principal. De una matriz A 1 n se dice que es una matriz fila y de una matriz A m 1 que es una matriz columna Operaciones con las matrices Las matrices con las que trabajaremos habitualmente serán matrices reales, sus elementos serán números reales (sin embargo, los resultados y definiciones dados aquí son válidos para matrices de números complejos). Suma: Si A y B son dos matrices del mismo tamaño, m n, la suma A + B es otra matriz de tamaño m n donde el elemento ij de A + B se obtiene sumando el elemento ij de A con el elemento ij de B. Es decir, si A = (a ij ) m n y B = (b ij ) m n, entonces A + B = (a ij + b ij ) m n. El neutro de la suma es la matriz cero,, con todos sus elementos cero, y la matriz opuesta de A, se designa por A, y es A = ( a ij ) m n. Producto por escalares: Si A es una matriz m n y k R un escalar, el producto ka es otra matriz del mismo tamaño donde cada elemento de A aparece multiplicado por k. Es decir, ka = (ka ij ) m n. Evidentemente, A = ( 1)A y A B = A + ( B). Producto de matrices: Si A m n y B n p el producto AB es otra matriz de tamaño m p tal que, el elemento e ij de AB se obtiene sumando los productos de cada elemento de la fila i de A por el elemento correspondiente de la columna j de B. Es decir, b 1j e ij = Fi A Cj B = ( ) b 2j n a i1 a i2 a in. = a i1b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj = a ik b kj k=1 b nj (lo denotaremos por e AB ij = F A i C B j cuando queramos significar la fila y columna que intervienen). Nota: Esta definición requiere el mismo número de columnas en la primera matriz que de filas en la segunda: b a 11 a 12 a 13 a 11 b 12 b 13 b 14 b a 21 a 22 a 23 a 24 b 21 b 22 b 23 b 24 b 25 e 11 e 12 e 13 e 14 e 15 b a 31 a 32 a 33 a 31 b 32 b 33 b 34 b 35 = e 21 e 22 e 23 e 24 e e 3 4 b 41 b 42 b 43 b 44 b 31 e 32 c 33 e 34 e puesto que para el cálculo de e ij ha de haber tantos elementos en la fila i de A (número de columnas de A) como en la columna j de B (número de filas de B ). En forma sinóptica con los tamaños (m n) (n p) = (m p). 4 5

2 126 Fundamentos de Matemáticas : Álgebra Lineal 8.2 Sistemas de ecuaciones lineales Observación: Cada elemento de la matriz producto puede obtenerse de manera independiente, por lo que no es necesario calcularlos todos si sólo son necesarios unos pocos. Así: e AB ij =F A i C B j F AB i =F A i B C AB j =A C B j e ABC ij =F A i C BC j =F A i B C C j 1 1 La matriz cuadrada I = I n =....., formada por ceros excepto en la diagonal principal que tiene. 1 unos, de llama matriz identidad y es el neutro del producto de matrices (tomada del tamaño adecuado). Es decir, para toda A m n se tiene que I m A m n = A m n y A m n I n = A m n. Propiedades 2.- Suponiendo tamaños adecuados para que las operaciones sean posibles: a) A + B = B + A (conmutativa de la suma). b) A + (B + C) = (A + B) + C ; A(BC) = (AB)C (asociativas de la suma y del producto). c) A(B + C) = AB + AC ; (A + B)C = AC + BC (distributivas por la izquierda y por la derecha). d) a(b + C) = ab + ac ; a R. e) (a + b)c = ac + bc ; a, b R. f) a(bc) = (ab)c = B(aC); a R. En general, NO es cierto que: AB = BA Si AB = tengan que ser A = ó B = Si AB = AC necesariamente sea B = C ( ) ( ) ( ) ( ) Ejemplo 21 Con A=, B = y C = tenemos AB = 2 es decir AB BA y AB = con A y B. Además AC = = AB, pero B C Matriz transpuesta ( ) 17 BA=, Definición 22.- Si A es una matriz m n llamamos matriz transpuesta de A a la matriz A t de tamaño n m que tiene por filas las columnas de A y por columnas las filas de A. Es decir, el elemento ij de A t coincide con el elemento ji de A. ( ) t a a11 a 12 a 11 a = a a 21 a 22 a 12 a a 13 a 23 Proposición 23.- Se verifican las siguientes propiedades: a) (A t ) t = A. b) (A + B) t = A t + B t. c) (ka) t = ka t. d) (AB) t = B t A t y, en general, (A 1 A 2 A n ) t = A t n A t 2A t 1. Las tres primeras son claras. Veamos la cuarta: e Bt A t ij B t A t = (AB) t. = F Bt i Cj At = Ci B Fj A = Fj A Ci B = e AB ji. Luego 8.2 Sistemas de ecuaciones lineales Definición 24.- Se denomina ecuación lineal de n variables (o incógnitas), x i, aquella ecuación que puede expresarse en la forma: a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b, donde los a i, b R. Una solución de la ecuación lineal es un conjunto ordenado de números reales (s 1, s 2,..., s n ), tales que a 1 s 1 + a 2 s a n s n = b.

3 127 Fundamentos de Matemáticas : Álgebra Lineal 8.2 Sistemas de ecuaciones lineales Ejemplo Una ecuación lineal de 2 incógnitas, 2x + y = 3, es una representación analítica de una recta del plano pues las soluciones de la ecuación son cada uno de los puntos de la recta y el conjunto solución es toda la recta, todos los puntos de la recta. Una ecuación lineal de 3 incógnitas representa un plano en el espacio. En una ecuación lineal no pueden aparecer productos, ni potencias, ni otras expresiones,..., de las variables. Definición 25.- Se denomina sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas a la reunión de m ecuaciones lineales sobre las mismas n incógnitas, y se escribe en la forma: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Una n-upla (s 1, s 2,..., s n ) es solución del sistema si es solución de todas y cada una de las ecuaciones. { x + y = 2 Ejemplo El par ( 7, 9) es una solución del sistema de ecuaciones, pues es solución de cada 2x + y = 5 una de las 2 ecuaciones. De hecho, es el único punto común a esas dos rectas (ver la ejemplo anterior). Un sistema de ecuaciones lineales puede no tener solución (con dos incógnitas, las rectas paraleras no tienen puntos en común) o infinitas (las dos ecuaciones representan la misma recta). Si un sistema no tiene solución, suele decirse que es incompatible; si existe solución y es única compatible determinado y compatible indeterminado si tiene un conjunto infinito de soluciones. Lenguaje matricial de los sistemas de ecuaciones Un sistema de ecuaciones lineales, también puede escribirse como AX = B donde A = (a ij ) m n, X = (x i ) n 1 y B = (b j ) m 1. x 1 a 11 a 12 a 13 a 1n AX = a 21 a 22 a 23 a 2n x 2 x 3 b 2 = a m1 a m2 a m3 a mn.. x n b 1 b m = B La matriz A se denomina matriz de los coeficientes, la matriz columna B se denomina matriz de los términos independientes y una S = (s i ) n 1 es solución de sistema si verifica que AS = B. Ejemplo Para el sistema del ejemplo anterior { ( ) ( ) ( x + y = x 2 2x + y = 5 = 2 1 y 5 ) ; ( 7, 9) es solución, pues ( ) ( ) ( ) = Matrices elementales Definición 26.- Llamaremos operación elemental en las filas de las matrices, a las siguientes: a) Intercambiar la posición de dos filas. b) Multiplicar una fila por una constante distinta de cero. c) Sumar a una fila un múltiplo de otra fila. Definición 27.- Se dice que una matriz cuadrada E n n es una matriz elemental si se obtiene de efectuar una sola operación elemental sobre la matriz identidad I n n. Teorema 28.- Si la matriz elemental E m m resulta de efectuar cierta operación elemental sobre las filas de I m y si A m n es otra matriz, el producto EA es la matriz m n que resulta de efectuar la misma operación elemental sobre las filas de A.

4 128 Fundamentos de Matemáticas : Álgebra Lineal 8.2 Sistemas de ecuaciones lineales Ejemplo Son matrices elementales las matrices E 1 = 1 1, E 2 = 1 2 y E 3 = 1 1, que se obtienen de I 3, intercambiando la primera con la segunda fila (F 1 F 2 ), multiplicando la segunda fila por 2 (2F 2 ) y sumando a la tercera fila la primera fila multiplicada por 3 (F 3 + 3F 1 ), respectivamente. Y si A = (a ij ) 3 4, se tiene E 1 A = E 3 A = a 21 a 22 a 23 a 24 a 11 a 12 a 13 a 14, E 2 A = a 31 a 32 a 33 a 34 a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 +3a 11 a 32 +3a 12 a 33 +3a 13 a 34 +3a 14 a 11 a 12 a 13 a 14 2a 21 2a 22 2a 23 2a 24 a 31 a 32 a 33 a 34. y Observación 29.- Es claro, que una vez realizada una operación elemental puede deshacerse mediante otra operación elemental: así, si intercambiamos la fila i con la fila j, la operación elemental que lo deshace es intercambiar de nuevo la fila i con la fila j ; si multiplicamos la fila i por k se deshace multiplicándola de nuevo por 1 k y si sumamos a la fila i la fila j multiplicada por k lo deshacemos restando a la fila i la fila j multiplicada por k (sumando la fila j multiplicada por k ). Denotando por E1, E2 y E1 a las matrices elementales que deshacen las operaciones elementales dadas por las matrices elementales E 1, E 2 y E 3 del ejemplo anterior, tenemos que E 1 = = E 1, E2 = y E3 = Entonces, si E es la matriz elemental que deshace la operación realizada por E, se tiene que E (EA) = A.. Teorema 21.- Si E es una matriz elemental, los sistemas AX = B y (EA)X = EB tienen las mismas soluciones. En efecto, si S es solución del primer sistema, AS = B, luego (EA)S = E(AS) = EB y S es también solución del segundo. Y viceversa, si (EA)S = EB y E es la matriz elemental que deshace E, multiplicando en la igualdad, se tiene: E (EA)S = E EB = AS = B Método de Gauss El Teorema 21 anterior asegura que haciendo sobre el sistema AX = B únicamente operaciones elementales llegamos a un sistema con las mismas soluciones (sistema equivalente). El siguiente proceso para obtener un sistema equivalente que da las soluciones de manera más sencilla se conoce como método de Gauss. Además, al operar en el sistema debemos hacer operaciones elementales sobre la matriz A de los coeficientes y, las mismas operaciones sobre B para que se mantenga la equivalencia. Luego esto nos lleva a: Definición En un sistema lineal AX = B, se llama matriz ampliada del sistema a la matriz (A B) formada añadiendo a la matriz de coeficientes A la matriz columna de los términos independientes B. Mediante operaciones elementales, se hacen ceros en la matriz ampliada del sistema, para obtener una matriz escalonada, con ceros por debajo de la escalera. Esta matriz escalonada debe cumplir: 1.- Si una fila consta únicamente de ceros debe ir en la parte inferior de la matriz. 2.- Si dos filas seguidas no constan solo de ceros, el primer elemento distinto de cero de la fila inferior debe encontrarse más a la derecha que el primer elemento distinto de cero de la fila superior. El primer elemento distinto de cero de cada fila lo llamaremos elemento principal y las incógnitas correspondientes a estos elementos incógnitas principales. (Los elementos principales marcan la escalera.)

5 129 Fundamentos de Matemáticas : Álgebra Lineal 8.2 Sistemas de ecuaciones lineales Ejemplo 212 5x 3 + 1x x 6 = 5 x 1 + 3x 2 2x 3 + 2x 5 = 2x 1 + 6x 2 5x 3 2x 4 + 4x 5 3x 6 = 1 2x 1 + 6x 2 + 8x 4 + 4x x 6 = 6 Apliquemos el método a la matriz ampliada del sistema (A B): (A B) = Por la operación (a) cambiamos la fila 1 por la fila 2 (F F 2 ) Por (b) hacemos cero el 2 de F 3 (F 3 2F 1 ) y el de F 4 (F 4 2F 1 ) Hacemos el 1 de F 3 (F F 2) y el 4 de F 4 (F F 2) Cambiamos F 3 por F 4 (F 3 F 4 ) x 1 + 3x 2 2x 3 + 2x 5 = 5x 3 + 1x x 6 = 5 6x 6 = 2 = Esta matriz es escalonada, y nos proporciona el sistema equivalente = x 1 = 3x 2 + 2x 3 2x 5 x 3 = 5 1x4 15x6 5 x 6 = 2 6 cuyas soluciones se encuentran fácilmente sustituyendo de abajo hacia arriba, obteniéndose: x 6 = 1 3, x 3 = 2x 4, x 1 = 3x 2 4x 4 2x 5, donde x 2, x 4 y x 5 pueden tomar cualquier valor. Es decir, todas las soluciones son: ( 3x 2 4x 4 2x 5, x 2, 2x 4, x 4, x 5, 1 3 ) para cualquiera valores de x 2, x 4 y x 5. Si el último elemento principal está en la columna ampliada, el sistema no tiene solución: claramente una de las ecuaciones equivalentes será x x n = k (con k por ser un elemento principal de la ampliada) y esta igualdad no se cumple para ningún valor posible de las incógnitas. Ejemplo { 2x + y = 2 2x + y = 5 (A B)= ( ) ( ) { 2x + y = 2 = 5 sist. equivalente sin solución Nota: Si el sistema tiene solución, por ser los elementos principales no nulos se garantiza que las incógnitas principales pueden despejarse (como valor concreto o en función de las incógnitas no principales) y pueden despejarse tantas incógnitas como elementos principales haya. Luego Si el número de elementos principales es igual al número de incógnitas el sistema tiene solución única. Si el número de elementos principales es menor que el número de incógnitas el sistema tiene infinitas soluciones. (Las soluciones quedan en función de las incógnitas no despejadas. Ver ejemplo 212.) Sistemas homogéneos Definición Un sistema de ecuaciones lineales se dice que es homogéneo si tiene todos los términos independientes cero; es decir, un sistema de la forma AX =. Un sistema homogéneo siempre tiene solución pues X = es una solución del sistema. A esta solución suele llamarse la solución trivial y de cualquier otra solución distinta de ésta se dice solución no trivial.

6 13 Fundamentos de Matemáticas : Álgebra Lineal 8.2 Sistemas de ecuaciones lineales Método de Gauss-Jordan El método de Gauss-Jordan continúa el método de Gauss, haciendo operaciones elementales para conseguir una matriz escalonada reducida: los elementos principales son 1 y en las columnas de dichos unos todos los demás elementos son cero; es decir, despeja las incógnitas principales. Ejemplo 214 Continuando con el sistema del ejemplo 212 (quitada la fila de ceros, que no interviene): Hacemos 1 los elementos principales multiplicando 1 5 F 2 y 1 6 F 3 hay que hacer cero el 3 de F 2 y C 6 (a 26 ): F 2 3F 3 hay que hacer cero el 2 de F 1 y C 3 (a 13 ): F 1 + 2F 2 x 1 = 3x 2 4x 4 2x 5 luego x 3 = 2x 4 x 6 = 1 3 obteniéndose, naturalmente, las mismas soluciones que antes. Nota: La reordenación y simplificación de las filas puede dar lugar a distintas matrices escalonadas, pero la escalonada reducida es única (si no se cambian de orden las incógnitas), puesto que se tiene la misma solución despejando las mismas incógnitas Rango de una matriz y Teorema de Rouché Definición 215 (1 a definición del rango).- Se llama rango de una matriz A y se denota por rg(a) al número de filas distintas de cero que aparecen en alguna de las formas escalonadas de la matriz A. Teorema de Rouché Sea el sistema AX = B, sistema de m ecuaciones con n incógnitas. Entonces AX = B tiene solución si, y sólo si, rg(a) = rg(a B). Si rg(a) = rg(a B) = r, toda solución puede expresarse en la forma X = V +t 1 V 1 +t 2 V 2 + +t n r V n r, con V una solución particular de AX = B y las n-úplas V 1,..., V n r soluciones del homogéneo AX =. Resumiendo: En un sistema AX = B de m ecuaciones con n incógnitas, { r = n Solución única. si r = rg(a) = rg(a B) = r = Sist. Compatible (con sol.) r < n Infinitas soluciones. si r = rg(a) rg(a B) = r + 1 = Sist. Incompatible (no tiene solución). Ejemplo Tomemos la solucion obtenida en el ejemplo 212: ( 3x 2 4x 4 2x 5, x 2, 2x 4, x 4, x 5, 1 3 ), para todo x 2, x 4 y x 5. Podemos escribirla en la forma x 1 3x 2 4x 4 2x x 2 + x 2 + x 4 + x 5 1 x 3 x 4 = + x 2 2x 4 + x 5 + x 2 + x 4 + x 5 = + x 2 + x x 5 = V + t 1 V 1 + t 2 V 2 + t 3 V 3 x 5 + x 2 + x 4 + x x x x 4 + x 5 3 y X = V + t 1 V 1 + t 2 V 2 + t 3 V 3 es solucion para todo t 1, t 2 y t 3. Entonces, para t 1 = t 2 = t 3 =, X = V es solución del sistema luego AV = B ; para t 1 = 1 y t 2 = t 3 =, X = V + V 1 es solución del sistema, luego B = A(V + V 1 ) = AV + AV 1 = B + AV 1 de donde AV 1 = por lo que V 1 es solución del sistema homogéneo AX = ; y análogamente para V 2 y V 3.

7 131 Fundamentos de Matemáticas : Álgebra Lineal 8.3 Matrices cuadradas 8.3 Matrices cuadradas Una matriz cuadrada A se dice triangular superior, si todos los elementos por debajo de la diagonal principal son nulos, es decir: a ij =, para cualquier ij tal que i > j. Una matriz cuadrada A se dice triangular inferior, si todos los elementos por encima de la diagonal principal son nulos, es decir, a ij =, para cualquier ij tal que i < j. Una matriz cuadrada A se dice que es diagonal, si es triangular superior e inferior, es decir, si son cero todos los elementos que no están en la diagonal principal. Una matriz cuadrada A se dice simétrica si A = A t, es decir, si a ij = a ji para todo ij ; y se dice antisimétrica si A = A t, es decir si a ij = a ji para todo ij Matrices inversibles Definición Si A es una matriz cuadrada de orden n, A n n, y existe B n n dice que A es inversible y que B es inversa de A. tal que AB = BA = I se Nota: Es claro de la definición que también B es inversible y A una inversa de B. Por definición, se ha de verificar que AB = I y también que BA = I ; sin embargo es suficiente con que se verifique una de ellas para que la otra también se verifique (se verá en el Corolario 226). Proposición Si una matriz cuadrada A tiene inversa, esta es única. Y la denotaremos por A 1. Supongamos que B y C son inversas de A. Al ser B inversa de A es I = AB, multiplicando a esta igualdad por C y teniendo en cuenta que C es inversa de A obtenemos que C = C(AB) = (CA)B = IB = B. De los comentarios hechos en la Observación 29, es claro el siguiente resultado para matrices elementales. Proposición Las matrices elementales son inversibles y sus inversas son también elementales: De intercambiar dos filas, intercambiarlas de nuevo. De multiplicar una fila por k, multiplicar esa fila por 1/k. De sumar a una fila un múltiplo de otra, restar a esa fila el múltiplo sumado. Teorema 22.- Si A y B son dos matrices inversibles, entonces AB es inversible y Basta comprobarlo: (AB) 1 = B 1 A 1. Y en general, (A 1 A 2 A k ) 1 = A 1 k A 1 2 A 1 1 { (AB)(B 1 A 1 ) = A(BB 1 )A 1 = AIA 1 = AA 1 = I (B 1 A 1 )(AB) = B 1 (A 1 A)B = B 1 IB = B 1 B = I. Propiedades a) (A 1 ) 1 = A b) (A n ) 1 = (A 1 ) n c) (ka) 1 = 1 k A 1 Definición Una matriz cuadrada, A, se dice ortogonal si A 1 = A t. Teorema Sea A una matriz cuadrada de orden n. Son equivalentes: a) A es inversible. b) El sistema AX = B tiene solución única para todo B n 1. c) El sistema homogéneo AX = tiene solución única. d) Por operaciones elementales en A puede llegarse a la identidad. a) b) A es inversible, luego existe A 1. Si se multiplica por A 1 en la igualdad AX = B se tiene que A 1 AX = A 1 B, luego X = A 1 B es la solución del sistema y es la única.

8 132 Fundamentos de Matemáticas : Álgebra Lineal 8.4 Determinante de una matriz cuadrada. b) c) Es un caso particular. c) d) Como la solución del sistema AX = es única, al aplicar el método de Gauss-Jordan a la matriz A la escalonada reducida tiene que ser, necesariamente I (ver observación 224 siguiente). d) a) Si existen matrices elementales tales que E k E 2 E 1 A = I, multiplicando sucesivamente en la igualdad por sus inversas, se obtiene A = E1 1 E 1 2 E 1 k I como producto de matrices inversibles y, por tanto, es inversible. Además, A 1 = E k E 2 E 1. Observación Para una matriz cuadrada, cualquier matriz escalonada obtenida de ella es triangular superior (tiene ceros por debajo de la diagonal), pues el elemento principal de la fila 1 está en la posición 11 o más a la derecha, luego el elemento principal de la fila 2 está en la posición 22 o más a la derecha, y en general el elemento principal de la fila i está en la posición ii o más a la derecha. Luego para toda fila i, los elementos a ij con j < i son cero, que es la caracterización de matriz triangular superior. Así pues, una matriz escalonada cuadrada, o tiene elemento principal en cada fila (y en consecuencia están todos en la diagonal principal de la matriz) o tiene al menos una fila de ceros. Luego si es una matriz escalonada reducida, o es la matriz identidad o tiene al menos una fila de ceros. Corolario Una matriz A n n, es inversible rg(a) = n Corolario Sea A una matriz cuadrada. Entonces a) Si existe B tal que BA = I, entonces A es inversible y B = A 1. b) Si existe B tal que AB = I, entonces A es inversible y B = A 1. Si BA = I, consideremos el sistema AX =. Multiplicando por B en ambos lados se tiene que BAX = B =, pero al ser BA = I, X = es la única solución del sistema y, por tanto, A es inversible. Entonces, A 1 = IA 1 = BAA 1 = B. Analogamente, en b). Corolario 227 (Cálculo de A 1 por el método de Gauss-Jordan).- Si A es inversible, su matriz escalonada reducida es la identidad, I, luego aplicando Gauss-Jordan a la matriz A ampliada con I, se ( ) ( obtendrán I y la inversa A 1 : ) A I I A 1 Claramente, el método no hace más que resolver n sistemas lineales con la misma matriz de coeficientes, A, y por términos independientes las n columnas de I. 1 2 Ejemplo Sea la matriz A = 2 1. Encontremos A 1 : (A I) = F3 F F2 F F3 F F 3 F F1+2F3 8.4 Determinante de una matriz cuadrada = (I A 1 ) Definición Sea A una matriz cuadrada de orden n. Llamaremos producto elemental en A al producto ordenado de un elemento de cada fila, cada uno de los cuales pertenece a columnas distintas. Es decir, una expresión de la forma a 1j1 a 2j2 a njn con todos los j k distintos. Llamaremos producto elemental con signo al valor ( 1) N a 1j1 a 2j2 a njn donde el número N, para cada producto elemental, es el número de inversiones del orden en el conjunto de las columnas {j 1, j 2,..., j n }, es decir, el número de veces que cada índice j k es menor que los anteriores a él.

9 133 Fundamentos de Matemáticas : Álgebra Lineal 8.4 Determinante de una matriz cuadrada. Ejemplo 229 {2, 4, 1, 3}. Para calcular las inversiones tenemos que ver cuantas veces 4, 1 y 3 son menores que sus anteriores. Para el 4, hay inversión cuando 4 < 2, no. Para el 1, cuando 1 < 2, si; y cuando 1 < 4, si. Y para el 3, cuando 3 < 2, no; 3 < 4, si; y 3 < 1, no. El conjunto presenta entonces tres inversiones, N = 3. Definición 23.- Definimos la función determinante en el conjunto de las matrices de orden n, como la función que asigna a cada matriz A el número real, que denotaremos por det(a) ó det A ó A, y cuyo valor es la suma de todos los productos elementales con signo que se pueden formar en A: det(a) = A = ( 1) N a 1j1 a 2j2 a njn. (j 1,j 2,...,j n) Expresión del determinante de las matrices de orden 1, 2 y 3. Los determinantes de las matrices de los primeros órdenes de magnitud se obtienen de la forma: a 11 = a11 y a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32 Estas expresiones admiten una regla nemotécnica gráfica para recordar la construcción de los productos elementales y el signo, siguiendo las direcciones de las diagonales principal y secundaria (para matrices de orden 3 se conoce como Regla de Sarrus): sign( ) = + sign( ) = Observación: Cada uno de los productos elementales con a 12 signo se corresponde con el determinante de una matriz que se forma haciendo cero todos los elementos que no ( 1) 3 a 12 a 24 a 31 a 43 = a 24 a 31 estan en el producto. Es claro, pues cualquier otro producto a 43 tendrá alguno de sus factores distinto de estos y, en consecuencia, será. De manera similar son inmediatos los dos resultados recogidos en la proposición siguiente. Proposición Si A es una matriz que tiene una fila o una columna de ceros, entonces A =. 2.- Si A es una matriz triangular superior o triangular inferior, A es el producto de los elementos de la diagonal principal, es decir, A = a 11 a 22 a nn. (En todos los demás productos elementales aparece al menos un : si hay algún elemento por encima de la diagonal, hay alguno por debajo.) Determinantes y operaciones elementales Teorema Sea A n n una matriz. Se tiene que: a) si A es la matriz obtenida al multiplicar una fila de A por un valor λ, entonces det(a ) = λ det(a) b) si A es la matriz resultante de intercambiar dos filas de A, entonces det(a ) = det(a) c) si A es la matriz que resulta de sumar a la fila k un múltiplo de la fila i, entonces det(a ) = det(a) Corolario Una matriz con dos filas iguales tiene determinante cero.

10 134 Fundamentos de Matemáticas : Álgebra Lineal 8.4 Determinante de una matriz cuadrada. Corolario a) Si la matriz elemental E resulta de multiplicar una fila de I por k R, entonces det(e) = k det(i) = k b) Si la matriz elemental E resulta de intercambiar dos filas de I, entonces det(e) = det(i) = 1 c) Si E resulta de sumar a una fila k un múltiplo de la fila i de I, entonces det(e) = det(i) = Cálculo de determinantes por reducción a la forma escalonada El teorema anterior nos ofrece la posibilidad de calcular el determinante de una matriz usando el método de Gauss. Si tenemos que E k E 2 E 1 A = R, donde R es la matriz escalonada que se obtiene al aplicar el método de Gauss, se tiene que det(r) = det(e k E k 1 E k 2 E 1 A) = δ k det(e k 1 E k 2 E 1 A) = δ k δ k 1 det(e k 2 E 1 A) = = δ k δ k 1 δ k 2 δ 1 det(a), donde δ i es k, 1 ó 1, según la operación elemental que represente E i. Luego det(a) = 1 δ 1 1 δ k det(r) = 1 δ 1 1 δ k r 11 r 22 r nn pues R es una matriz triangular superior (recordar observación 224 de pág. 132) y det(r) = r 11 r 22 r nn Otras propiedades del determinante Teorema Si A y B son matrices cuadradas de orden n, entonces det(ab) = det(a) det(b) Teorema Sea A n n entonces, A es inversible det(a). Si A es inversible I = AA 1, luego det(i) = det(aa 1 ) = det(a) det(a 1 ), pero al ser det(i) = 1, necesariamente ha de ser det(a). Si A no es inversible, por la parte 3 de la demostración del Teorema 235 (Anexo, pág. 177), se tiene que det(ai) = = det(a) det(i) y como det(i) = 1, debe ser det(a) =. Corolario Si A es inversible, A 1 = A 1. Teorema Si A es una matriz cuadrada, entonces A t = A Desarrollo por cofactores Definición Sea A una matriz cuadrada, llamaremos menor del elemento a ij, y lo denotaremos por M ij, al determinante de la submatriz que se forma al suprimir en A la fila i y la columna j. Al número ( 1) i+j M ij lo llamaremos cofactor del elemento a ij y lo denotaremos por C ij. Ejemplo A partir de la matriz A de abajo, construimos los cofactores C 21, eliminando la fila 2 y la columna 1, y C 34, eliminando la fila 3 y columna 4: A = C 21 = ( 1) C 34 = ( 1)

11 135 Fundamentos de Matemáticas : Álgebra Lineal 8.4 Determinante de una matriz cuadrada. Teorema 24.- El determinante de una matriz A se puede calcular multiplicando los elementos de una fila (o de una columna) por sus cofactores correspondientes y sumando todos los productos resultantes; es decir, para cada fila 1 i n y para cada columna 1 j n: det(a) = a i1 C i1 + a i2 C i2 + + a in C in y det(a) = a 1j C 1j + a 2j C 2j + + a nj C nj Ejemplo a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 21( 1) 2+1 a 12 a 13 a 32 a 33 + a 22( 1) 2+2 a 11 a 13 a 31 a 33 + a 23( 1) 2+3 a 11 a 12 a 31 a 32 = a 13 ( 1) 1+3 a 21 a 22 a 31 a 32 + a 23( 1) 2+3 a 11 a 12 a 31 a 32 + a 33( 1) 3+3 a 11 a 12 a 21 a 22 Corolario Si desarrollamos una fila de una matriz A por los cofactores de otra distinta, el resultado es cero; es decir, a i1 C j1 + a i2 C j2 + + a in C jn =, si i j. Idéntico resultado para las columnas. Es claro, pues si en A hacemos la fila j igual a la fila i, la matriz obtenida A tiene determinante cero y = A = a j1 C j1 + a j2 C j2 + + a jn C jn = a i1c j1 + a i2 C j2 + + a in C jn Definición Dada una matriz A cuadrada de orden n, llamaremos matriz de cofactores de A a la matriz que tiene por elementos los cofactores de A, C = (C ij ), y llamaremos matriz adjunta de A a la matriz de cofactores traspuesta, Adj(A) = C t. Nota: También es usual utilizar las denominaciones de menor adjunto para el cofactor y matriz adjunta para la matriz de cofactores (sin trasponer). En este caso, los resultados son idénticos a los que aquí se presentan con la única consideración a tener en cuenta es que donde aparece Adj(A) tendrá que aparecer Adj(A) t. Teorema Si A es una matriz inversible, entonces A 1 = 1 A Adj(A). Si probamos que A Adj(A) = A I entonces, como A =, será A Adj(A) A = I y A 1 = 1 A Adj(A). En efecto, aplicando el teorema 24 y el corolario 241 anteriores, a 11 a 12 a 1n C 11 C 21 C n1 A A Adj(A) = AC t a 21 a 22 a 2n C 12 C 22 C n2 = = A = A I a n1 a n2 a nn C 1n C 2n C nn A Ejemplo A = ; A 1 = A t = Regla de Cramer Sea AX = B, un sistema de n ecuaciones con n incógnitas, tal que A es inversible, entonces el sistema tiene como única solución: b 1 a 12 a 1n a 11 b 1 a 1n a 11 a 12 b 1 b 2 a 22 a 2n a 21 b 2 a 2n a 21 a 22 b b n a n2 a nn a n1 b n a nn a n1 a n2 b n x 1 =, x 2 =,..., x n =. A A A

12 136 Fundamentos de Matemáticas : Álgebra Lineal 8.4 Determinante de una matriz cuadrada Rango de una matriz Definición 245 (Segunda definición del rango).- Se llama rango de una matriz A m n, rang(a) ó rg(a), al máximo orden que resulta de considerar todas las submatrices cuadradas que pueden formarse eliminando filas y columnas completas de A y cuyo determinante sea distinto de cero. Del determinante de una submatriz cuadrada de orden r de A, formada eliminando filas y columnas completas, de suele decir que es un menor de orden r de A, por analogía a la denominación dada en la definición 239 a los menores de un elemento. Resulta evidente que para A m n, se tiene rg(a) min{m, n}. Esta nueva definición de rango de una matriz es equivalente a la dada anteriormente: el rango de una matriz es el número de filas distintas de cero que aparecen en alguna de las formas escalonadas de la matriz, puesto que el menor formado con las filas y columnas que contienen a los elementos principales de la matriz escalonada es distinto de, y cualquier menor de orden mayor es cero. Corolario Si A es una matriz, rg(a) = rg(a t ). De la nueva definición de rango y de M = M t para cualquier submatriz cuadrada de A. Proposición Sea A una matriz m n, entonces a) Si existe un menor de orden r distinto de cero el rg(a) r. b) Si todos los menores de orden r son cero el rg(a) < r. a) es claro, pues como r es el orden de un menor distinto de cero, el máximo de los órdenes de los menores distintos de cero es al menos r. b) Si todos los menores de orden r son cero, como un menor de orden r + 1 puede descomponerse como suma de menores de orden r por constantes, todos los menores de orden r + 1 son cero y, también todos los menores de orden mayor. Luego rg(a) < r En una matriz m n, el número de menores de orden r que podemos formar puede ser muy alto, de hecho es ( m ) ( n ) = r r m! r!(m r)! n! r!(n r)!, es decir, todas las posibles elecciones de r filas de entre las m y de r columnas de entre las n. Por tanto, para ver que una matriz tiene rango menor que r usando los menores, hemos de comprobar que cada uno de los m! n! r!(m r)! r!(n r)! menores son cero. Sin embargo, el coste de la evaluación por menores, puede reducirse usando el siguiente resultado: Orlado de menores Sea A m n una matriz, y M r r una submatriz de A con determinante distinto de cero. Entonces, si el determinante de todas las submatrices de orden r + 1 que se pueden conseguir en A añadiendo una fila y una columna a M son cero, el rango de A es r. Este resultado nos indica el método conocido como orlado de menores para encontrar el rango de una matriz usando los menores: Buscamos un menor de orden uno distinto de cero: si no existe rg(a) = ; si existe M 1 entonces rg(a) 1, y buscamos un menor de orden 2 distinto de cero de entre los que orlan al anterior: si todos ellos son cero, por el resultado anterior, el rg(a) = 1; si algún M 2 entonces rg(a) 2, y buscamos un menor de orden 3 distinto de cero de entre los que orlan a M 2 : si no existe rg(a) = 2, y si existe M 3 entonces rg(a) 3, y buscamos....

13 137 Fundamentos de Matemáticas : Álgebra Lineal 8.5 Ejercicios 8.5 Ejercicios 8.29 Sean las matrices A= B =( ) ( ) C = D = E = a) Calcular cuando se pueda: 3C D, (AB)C, A(BC), ED, DE, (4B)C + CA y CA + B 2. Indicar porqué no es posible en los otros casos. b) Calcular, haciendo el menor número de operaciones posible, la fila 1 de CA, la columna 2 de CD y los elementos 23 y 12 de la matriz CDE. c) Hallar para cada una de ellas una matriz escalonada e indicar cual es su rango Encontrar las operaciones elementales en las filas que llevan la matriz 1 2 a una matriz escalonada. 1 3 Construir una matriz elemental para cada operación y comprobar que al multiplicar por esas matrices (Teorema 28) se obtiene esa matriz escalonada x + 2y z t = Considerar el sistema x + z t = 2 (1) x + 2y 3z + t = 4 a) ( 2, 2, 2, ) y (1,, 1, 2) son solución del sistema (1)? b) Encontar todas las soluciones de (1) c) Encontar todas las soluciones del sistema x y + z t = 3 x + 6y 5z t = 4 d) Qué soluciones de (1) son también solución de (2)? Tiene (2) alguna solución que no lo sea de (1)? Escribir los sistemas como operaciones matriciales AX = B, estudiar si tienen solución (Th. de Rouché 216) y resolverlos { 2x + 4y = 18 x + 2y z + t = 2x + 3y = 1 a) b) 4x + 5y = 24 c) x + 4y 5z + 7t = 2 7x + 4y = 47 3x + y = 4 2x + y + z 2t = 1 x + y + z + t + u = 1 x + y + z = 3 x + y + z = 2 x + 2y z = 2 2x + 3z = 4 d) y z = 1 e) 2x + y + z = 1 f) 3x + y + 4z = 7 x + 2y = 3x + 3y + 2z = 1 5x + y + 7z = 9 3t u = 4 } (2) Expresar el sistema con operaciones de matrices AX = B a) Usar el método de Guass para comprobar que rg(a) = rg(a B) e indicar de cuantos parámetros dependerá la solución b) Completar el método de Gauss-Jordan para resolver el sistema c) Expresar la solución según el Th de Rouché (216): X = V + t 1 V 1 d) Comprobar que V es solución de AX = B y que V 1 lo es de AX = x + y + z + u = 1 x + y + z = 1 y z = 1 2y + x = 3t u = Para los sistemas del ejercicio con solución, expresarla en la forma descrita por el Th de Rouché Estudiar el rango de las matrices siguientes en función de los valores de su parámetro: a) a a 1 a a b) b 6 3 b 9 b c) c c c

14 138 Fundamentos de Matemáticas : Álgebra Lineal 8.5 Ejercicios Estudiar cada uno de los sistemas siguientes, según los valores de los parámentros: a) c) x + 2y z = a 2x + y + z = 1 a 3x + (1 + a)y + az = 1 a x + y + z = a 3 ax + y = ax + y + az = b) d) x + 2y + 4z = 1 x + 2y + 2az = 2 ax + 4y + 4az = 4a 5x (a + b)y + 7z = 8 + b 2x ay + 3z = 4 x + y + z = 3 3x 3y + 4z = Estudiar y resolver los siguientes sistemas a) 2x + 2y + 4z = 16 x 2y + 3z = 1 3x 7y + 4z = 1 b) 2x + 2y + 4z = 2 x 2y + 3z = 3x 7y + 4z = 26 c) 2x + 2y + 4z = 2 x 2y + 3z = 2 3x 7y + 4z = Usar el método de Gauss para saber cuales de las siguientes matrices tienen inversa y calcularlas: a) b) c) d) Hallar una matriz P tal que: Considerar las matrices A = P y B = ( ) = a) Hallar todas las matrices columna X 3 1 que verifican la igualdad ABX = BAX. b) Los sistemas BX = y B t X = tienen las mismas soluciones? Justificar la respuesta Encontrar los coeficientes de las descomposiciones en fraciones simples del ejercicio.33 de polinomios: a) X 2 +1 X 4 6X 3 16X 2 +54X+63 b) X 5 (X 1)(X 3 1) c) X+5 2X 4 X 3 4X 2 +1X 4 X d) 2 +2 X X 5 +7X 4 +16X 3 +8X 2 16X 16 e) 3 3X 2 +X 3 X X 5 +3X 4 +3X 3 +3X 2 +2X f) 5 +3X 4 +3X 3 +3X 2 +2X (X 3 3X 2 +X 3) Probar que si A es cuadrada, la matriz S = A+A t es simétrica y la matriz T = A A t es antisimétrica Probar que la diagonal principal de T está formada únicamente por ceros Sea A = a) Encontar todas las matrices B 3 3 tales que AB =. Qué relación tienen estas matrices con las soluciones del sistema AX =? b) Encontar todas las matrices C 3 3 tales que CA =. c) Encontar todas las matrices D 3 3 tales que AD DA = Sean A y B matrices cuadradas tales que AB =. Demostrar que si A es inversible entonces B = Sean A y B matrices cuadradas tales que AB =. Demostrar que si B, entonces A no es inversible Sea A una matriz cuadrada y E una matriz elemental. Comprobar que AE t realiza sobre las columnas de A la misma operación elemental que hace EA sobre las filas de A (ver el teorema 28 y el ejemplo siguiente de pág. 127).

15 139 Fundamentos de Matemáticas : Álgebra Lineal 8.5 Ejercicios Suponiendo que det(a) = 5, siendo A = a b c d e f, calcular g h i a) e) d e f g h i a b c a g h b h e c i f b) f) a b c 2d 2e 2f g h i 2a d d g 2b e e h 2c f f i Hallar el valor exacto del determinante de la derecha: a) Usando únicamente el método de Gauss b) Mediante el desarrollo por cofactores c) a+d b+e c+f d e f g h i c) Aplicando simultaneamente ambas técnicas para resolverlo más rápida y fácilmente. a b c d) d 3a e 3b f 3c 2g 2h 2i g) det(3a) h) det(2a 1 ) i) det((2a) 1 ) Desarrollar por cofactores para calcular el determinante de las matrices del ejercicio Usar el método de Gauss para calcular el determinante de cada una de las matrices del ejercicio Usar el orlado de menores para calcular el rango de Usar las propiedades y desarrollos del determinante para resolver las siguientes ecuaciones: x 2 x x x x+1 x 1 a) x =x b) x+2 x 1 x+2 =3 c) 2 x 1 2 = d) x 1 x x 2 x+2 x x 1 x 1 =8 1 x Sean A y B matrices de orden n tales que A, B y AB =. Probar que det(a)=det(b)= Sea A una matriz antisimétrica de orden n impar. Demostrar que det(a) = Sea A una matriz cuadrada de orden n tal que la suma de los elementos de cada fila es cero. Demostrar que A no es inversible Calcular los posibles valores del determinante de una matriz ortogonal