Matrices, Sistemas y Determinantes.

Transcripción

1 Tema 2 Matrices, Sistemas y Determinantes 21 Matrices 211 Definiciones básicas Una matriz es una tabla rectangular de números, es decir, una distribución ordenada de números Los números de la tabla se conocen con el nombre de elementos de la matriz El tamaño de una matriz se describe especificando el número de filas y columnas que la forman Si A es una matriz de m filas y n columnas, A m n, se usará a ij para denotar el elemento de la fila i y la columna j y, en general, se representará por A = (a ij ) 1 i m 1 j n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n = (a ij ) m n = a m1 a m2 a mn Se dice que dos matrices son iguales si tienen el mismo tamaño y los elementos correspondientes en ambas matrices son iguales Una matriz A n n (ó A n ) se denomina matriz cuadrada de orden n y de los elementos de la matriz a 11, a 22,, a nn se dice que forman la diagonal principal De una matriz A 1 n se dice que es una matriz fila y de una matriz A m 1 que es una matriz columna 212 Operaciones con las matrices Suma: Si A y B son dos matrices del mismo tamaño, m n, la suma A+B es otra matriz de tamaño m n donde el elemento ij de A + B se obtiene sumando el elemento ij de A con el elmento ij de B Es decir, si A = (a ij ) m n y B = (b ij ) m n, entonces A + B = (a ij + b ij ) m n El neutro de la suma es la matriz cero, 0, con todos sus elementos cero, y la matriz opuesta de A, se designa por A, y es A = ( a ij ) m n Producto por escalares: Si A es una matriz m n y k IR un escalar, el producto ka es otra matriz del mismo tamaño donde cada elemento de A aparece multiplicado por k Es decir, ka = (ka ij ) m n Producto de matrices: Si A m n y B n p el producto AB es otra matriz de tamaño m p tal que, el elemento ij de AB se obtiene sumando los productos de cada elemento de la fila i de A por el elemento correspondiente de la columna j de B Es decir, ( c ij = Fi A Cj B = ) a i1 a i2 a in b 1j b 2j b nj = a i1b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj = a ik b kj k=1 (lo denotaremos por c ij = F A i CB j cuando queramos significar la fila y columna que intervienen) Preliminares 17

2 2 Matrices, Sistemas y Determinantes La matriz cuadrada I = I n =, formada por ceros excepto en la diagonal principal que tiene unos, de llama matriz identidad y verifica que para toda A m n se tiene que I m A m n = A m n y A m n I n = A m n Es decir, es el neutro del producto de matrices Observación: La definición dada de producto de matrices requiere que el número de columnas de la primera matriz, A, sea igual que el número de filas de la segunda matriz, B, puesto que para el cálculo de c ij ha de haber tantos elementos en la fila i (número de columnas de A) como en la columna j (número de filas de B ) En forma sinóptica con los tamaños (m n) (n p) = (m p) Propiedades de las operaciones 21 a) A + B = B + A (conmutativa de la suma) b) A + (B + C) = (A + B) + C (asociativa de la suma) c) A(BC) = (AB)C (asociativa del producto) d) A(B + C) = AB + AC (distributiva por la izquierda) e) (A + B)C = AC + BC (distributiva por la derecha) f) a(b + C) = ab + ac ; a IR g) (a + b)c = ac + bc ; a, b IR h) a(bc) = (ab)c = B(aC); a IR En general, NO es cierto que: AB = BA Si AB = AC necesariamente sea B = C Si AB = 0 necesariamente sea A = 0 ó B = 0 ( ) ( ) ( ) Ejemplo 22 Con A =, B = y C = obtenemos que AB = ( ) ( ) BA = es decir AB BA y AB = 0 con A 0 y B 0 Además AC = 0 = AB y B C 22 Lenguaje matricial de los sistemas de ecuaciones Si consideramos un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m éste puede escribirse como AX = B donde A = (a ij ) m n, X = (x i ) n 1 y B = (b j ) m 1 La matriz A se denomina matriz de los coeficientes, la matriz columna B se denomina matriz de los términos independientes y la matriz A B, añadiendo a A la matriz columna B, se denomina matriz ampliada del sistema 18 Preliminares

3 22 Lenguaje matricial de los sistemas de ecuaciones 221 Matrices elementales Definición 23 Llamaremos operación elemental en las filas de las matrices, alguna de las siguientes: a) Intercambiar la posición de dos filas b) Multiplicar una fila por una constante distinta de cero c) Sumar a una fila un múltiplo de otra fila Definición 24 Se dice que una matriz cuadrada E n n es una matriz elemental si se obtiene de efectuar una sola operación elemental sobre la matriz identidad I n n Teorema 25 Si la matriz elemental E m m resulta de efectuar cierta operación elemental sobre las filas de I m y si A m n es otra matriz, el producto EA es la matriz m n que resulta de efectuar la misma operación elemental sobre las filas de A Ejemplo- Son matrices elementales las matrices E 1 = 1 0 0, E 2 = y E 3 = , que se obtienen de I 3, intercambiando la primera con la segunda fila (F 1 F 2 ), multiplicando la segunda fila por 2 (2F 2 ) y sumando a la tercera fila la primera fila multiplicada por 3 (F 3 +3F 1 ), respectivamente Y si A = (a ij ) 3 4, se tiene E 1 A = E 3 A = a 21 a 22 a 23 a 24 a 11 a 12 a 13 a 14, E 2 A = a 31 a 32 a 33 a 34 a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 +3a 11 a 32 +3a 12 a 33 +3a 13 a 34 +3a 14 a 11 a 12 a 13 a 14 2a 21 2a 22 2a 23 2a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 y Observación 26 Es claro, que una vez realizada una operación elemental puede deshacerse mediante otra operación elemental: así, si intercambiamos la fila i con la fila j, la operación elemental que lo deshace es intercambiar de nuevo la fila i con la fila j ; si multiplicamos la fila i por k 0 se deshace multiplicándola de nuevo por 1 k y si sumamos a la fila i la fila j multiplicada por k lo deshacemos restando a la fila i la fila j multiplicada por k (sumando la fila j multiplicada por k) Denotando por E1, E 2 y E 1 a las matrices elementales que deshacen las operaciones elementales dadas por las matrices elementales E 1, E 2 y E 3 del ejemplo anterior, tenemos que E 1 = = E 1, E2 = y E3 = Teorema 27 Si E es una matriz elemental, los sistemas AX = B y EAX = EB, tienen las mismas soluciones Preliminares 19

4 2 Matrices, Sistemas y Determinantes En efecto, si X 0 es solución del sistema AX = B se cumple la igualdad AX 0 = B, entonces (EA)X 0 = E(AX 0 ) = E(B) = EB, luego X 0 es también solución del segundo sistema Recíprocamente, si X 0 es solución del sistema (EA)X 0 = (EB) y E es la matriz elemental que deshace la operación elemental realizada en E (ver la observación 26 previa), entonces, por lo anterior, X 0 es solución del sistema E (EA)X = E (EB) Como E deshace la operación elemental, E EA = A y E EB = B, luego X 0 es solución del sistema AX = B Nota: Con este resultado, multiplicando sucesivamente en la igualdad AX = B por matrices elementales adecuadas E 1 AX =E 1 B E 2 E 1 AX =E 2 E 1 B E k E 2 E 1 AX =E k E 2 E 1 B se llega a un sistema equivalente RX = L (es decir, con las mismas soluciones), pero más sencillo a la hora de encontrar las soluciones Esto es lo que hace el metodo siguiente: 222 Método de Gauss Buscaremos una matriz escalonada, con ceros por debajo de la escalera, que permite una resolución sencilla (como veremos luego) Esta matriz reducida debe cumplir: a) Si una fila consta únicamente de ceros debe ir en la parte inferior de la matriz b) Si dos filas seguidas no constan solo de ceros, el primer elemento distinto de cero de la fila inferior debe encontrarse más a la derecha que el primer elemento distinto de cero de la fila superior La búsqueda de estas matrices se conoce con el nombre de método de Gauss Ejemplo 28 5x x x 6 = 5 x 1 + 3x 2 2x 3 + 2x 5 = 0 2x 1 + 6x 2 5x 3 2x 4 + 4x 5 3x 6 = 1 2x 1 + 6x 2 + 8x 4 + 4x x 6 = 6 Apliquemos sobre este sistema el método de Gauss, es decir hagamos operaciones elementales, sobre la matriz A de los coeficientes y, como vimos, también sobre B para que se mantenga la igualdad Por comodidad efectuamos las operaciones elementales sobre la matriz ampliada para con ello realizar las operaciones sobre A y B de una sola vez A B = Por la operación (a) cambiamos la fila 1 por la fila 2 (F 1 F 2 ) Por (b) hacemos cero el 2 de F 3 (F 3 2F 1 ) y el de F 4 (F 4 2F 1 ) Hacemos 0 el 1 de F 3 (F F 2) y el 4 de F 4 (F F 2) 20 Preliminares

5 22 Lenguaje matricial de los sistemas de ecuaciones Cambiamos F 3 por F 4 (F 3 F 4 ) Esta matriz es escalonada, y nos proporciona el sistema x 1 + 3x 2 2x 3 + 2x 5 = 0 5x x x 6 = 5 6x 6 = 2 0 = 0 cuyas soluciones se encuentran fácilmente sustituyendo de abajo hacia arriba, obteniéndose: x 6 = 1 3, x 3 = 2x 4, x 1 = 3x 2 4x 4 2x 5, donde x 2, x 4 y x 5 pueden tomar cualquier valor Las soluciones son: ( 3x 2 4x 4 2x 5, x 2, 2x 4, x 4, x 5, 1 3 ) para todo x 2, x 4 y x 5 El primer elemento distinto de cero de cada fila lo llamaremos elemento principal y las incógnitas correspondientes a estos elementos incógnitas principales Si en alguna fila el elemento principal está en la columna ampliada, el sistema no tiene solución claramente una de las ecuaciones equivalentes será 0x x n = k (con k 0 por ser un elemento principal de la ampliada) y esta igualdad no puede cumplirse para ningún valor que demos a las incógnitas Si el sistema tiene solución, tenemos dos casos: Si el número de elementos principales es igual que el número de incógnitas el sistema tiene solución única Supongamos que la matriz escalonada obtenida es , el sistema x 1 = 2x 2 5x 2 = 5 15x 3 6x 3 = 2 y se obtiene x 1 = 0 x 2 = 0 x 3 = 1 2 solución única Si el número de elementos principales es menor que el número de incógnitas el sistema tiene infinitas soluciones Basta observar el ejemplo 28 anterior, tenemos una solución para cada uno de los posibles valores de x 2, x 4 y x Sistemas homogéneos Un sistema de ecuaciones lineales se dice que es homogéneo si tiene todos los términos independientes cero; es decir, un sistema de la forma AX = 0 Un sistema homogéneo siempre tiene solución pues X = 0 es una solución del sistema A esta solución suele llamarse la solución trivial y de cualquier otra solución distinta de ésta se dice solución no trivial 223 Método de Gauss-Jordan El método de Gauss-Jordan continúa el método de Gauss, haciendo operaciones elementales para conseguir una matriz escalonada reducida que tiene unos por elementos principales y en las columnas que contienen a dichos unos todos los demás elementos son cero Preliminares 21

6 2 Matrices, Sistemas y Determinantes Ejemplo 29 Continuando con el sistema del ejemplo 28 anterior Hacemos 1 los elementos principales multiplicando F 2 y 1 6 F hay que hacer cero el 3 de F 2 y C 6 (a 26 ): F 2 3F 3 hay que hacer cero el 2 de F 1 y C 3 (a 13 ): F 1 + 2F 2 x 1 = 3x 2 4x 4 2x 5 luego x 3 = 2x 4 x 6 = 1 3 obteniéndose, naturalmente, las mismas soluciones que antes 23 Matriz transpuesta Definición 210 Si A es una matriz m n llamamos matriz transpuesta de A a la matriz A t de tamaño n m que tiene por filas las columnas de A y por columnas las filas de A Es decir, el elemento ij de A t coincide con el elemento ji de A Proposición 211 Se verifican las siguientes propiedades: a) (A t ) t = A b) (A + B) t = A t + B t c) (ka) t = ka t d) (AB) t = B t A t (y, en general, (A 1 A 2 A n ) t = A t n A t 2 At 1 ) Las tres primeras son claras Veamos la cuarta: el elemento ij de B t A t se obtiene como Fi Bt Cj At = Ci B Fj A = Fj A Ci B = c ji de AB Luego B t A t = (AB) t 24 Matrices cuadradas Una matriz cuadrada A se dice triangular superior, si todos los elementos por debajo de la diagonal principal son nulos, es decir: a ij = 0, para cualquier i,j tal que i > j Una matriz cuadrada A se dice triangular inferior, si todos los elementos por encima de la diagonal principal son nulos, es decir, a ij = 0, para cualquier i,j tal que i < j Una matriz cuadrada A se dice que es diagonal, si es triangular superior e inferior, es decir, si son cero todos los elementos que no están en la diagonal principal A la suma de los elementos de la diagonal principal de una matriz cuadrada A se le llama traza de A, es decir, T raza(a) = a 11 + a a nn 22 Preliminares

7 24 Matrices cuadradas Una matriz cuadrada A se dice simétrica si A = A t, es decir, si a ij = a ji para todo i,j Se dice antisimétrica si A = A t, es decir si a ij = a ji para todo i,j 241 Matrices inversibles Definición 212 Si A es una matriz cuadrada de orden n, A n n, y existe B n n AB = BA = I se dice que A es inversible y que B es inversa de A tal que Observación: Es claro de la definición que también B es inversible y A una inversa de B Nota: Por la definición, para que una matriz sea inversible se ha de verificar AB = I y también BA = I Sin embargo es suficiente con que se verifique una de ellas para que la otra también se verifique como veremos en la proposición 220 Proposición 213 Si una matriz cuadrada A tiene inversa, esta es única Y la denotaremos por A 1 Supongamos que B y C son inversas de A Al ser B inversa de A es I = AB, multiplicando a esta igualdad por C y teniendo en cuenta que C es inversa de A obtenemos que C = C(AB) = (CA)B = IB = B Recordando los comentarios hechos en la observación 26, es claro el siguiente resultado para matrices elementales Proposición 214 Las matrices elementales son inversibles y sus inversas son también elementales: De intercambiar dos filas, intercambiarlas de nuevo De multiplicar una fila por k 0, multiplicar esa fila por 1/k De sumar a una fila un múltiplo de otra, restar a esa fila el múltiplo sumado Teorema 215 Si A y B son dos matrices inversibles, entonces AB es inversible y (AB) 1 = B 1 A 1 En general, (A 1 A 2 A k ) 1 = A 1 k A 1 2 A 1 1 { (AB)(B Basta con operar: 1 A 1 ) = A(BB 1 )A 1 = AA 1 = I (B 1 A 1 )(AB) = B 1 (A 1 A)B = B 1 B = I La generalización es inmediata Propiedades 216 a) (A 1 ) 1 = A b) (A n ) 1 = (A 1 ) n c) (ka) 1 = 1 k A 1 Definición 217 Una matriz cuadrada, A, se dice ortogonal si A 1 = A t Preliminares 23

8 2 Matrices, Sistemas y Determinantes Teorema 218 Sea A una matriz cuadrada de orden n Son equivalentes: a) A es inversible b) El sistema AX = B tiene solución única para todo B n 1 c) El sistema homogéneo AX = 0 tiene solución única d) Por operaciones elementales en A puede llegarse a la identidad a) b) A es inversible, luego existe A 1 Si se multiplica por A 1 en la igualdad AX = B se tiene que A 1 AX = A 1 B, luego X = A 1 B es solución del sistema y es la única b) c) Es un caso particular c) d) Como la solución del sistema AX = 0 es única, al aplicar el método de Gauss-Jordan a la matriz A la escalonada reducida tiene que ser, necesariamente I d) a) Existen matrices elementales de forma que E k E 2 E 1 A = I, luego multiplicando sucesivamente en la igualdad por las inversas de las matrices elementales, se llega a que A = E1 1 E 1 2 Ek 1, es decir, A es producto de matrices inversibles y, por tanto, es inversible Corolario 219 (Cálculo de A 1 por el método de Gauss) Si A es inversible, hemos visto que E k E 2 E 1 A = I, luego A 1 = E k E 2 E 1 Puede fácilmente calcularse la inversa a partir de las operaciones elementales, sin más que realizar sobre I las mismas operaciones elementales que efectuemos sobre A para llegar a la identidad Es decir, (A I) (E 1 A E 1 I) (E 2 E 1 A E 2 E 1 I) (E k E 1 A E k E 1 I) = (I A 1 ) Proposición 220 Sea A una matriz cuadrada Entonces a) Si existe B tal que BA = I, entonces A es inversible y B = A 1 b) Si existe B tal que AB = I, entonces A es inversible y B = A 1 a) Consideremos el sistema AX = 0 Multiplicando por B en ambos lados se tiene que BAX = B0 = 0, pero al ser BA = I, X = 0 es la única solución del sistema y, por tanto, A es inversible Multiplicando en I = BA por A 1, obtenemos que A 1 = BAA 1 = B b) Analogo al anterior 242 Determinante de una matriz cuadrada Definición 221 Sea A una matriz cuadrada de orden n Llamaremos producto elemental en A al producto ordenado de un elemento de cada fila, cada uno de los cuales pertenece a columnas distintas Es decir, una expresión de la forma a 1j1 a 2j2 a njn con todos los j k distintos Definición 222 Llamaremos producto elemental con signo al valor ( 1) N a 1j1 a 2j2 a njn donde el número N, para cada producto elemental, es el número de inversiones del orden en el conjunto de las columnas {j 1, j 2,, j n }, es decir, el número de veces que cada elemento j k es menor que alguno de los anteriores a él 24 Preliminares

9 24 Matrices cuadradas Ejemplo 223 {2, 4, 1, 3} Para calcular las inversiones tenemos que ver cuantas veces 4, 1 y 3 son menores que sus anteriores Para el 4, hay inversión cuando 4 < 2, no Para el 1, cuando 1 < 2, si; y cuando 1 < 4, si Y para el 3, cuando 3 < 2, no; 3 < 4, si; y 3 < 1, no El conjunto presenta entonces tres inversiones, N = 3 Definición 224 Definimos la función determinante en el conjunto de las matrices de orden n, como la función que asigna a cada matriz A el número real, que denotaremos por det(a) ó det A ó A, y cuyo valor es la suma de todos los productos elementales con signo que se pueden formar en A Es decir: det(a) = A = ( 1) N a 1j1 a 2j2 a njn Dos resultados inmediatos: Proposición 225 (j 1,j 2,,j n) a) Si A es una matriz que tiene una fila o una columna de ceros, entonces A = 0 b) Si A es una matriz triangular superior o triangular inferior, A es el producto de los elementos de la diagonal principal, es decir, A = a 11 a 22 a nn (En todos los demás productos elementales aparece al menos un 0) 2421 Determinantes y operaciones elementales Teorema 226 Sea A n n una matriz Se tiene: a) que si A es la matriz que resulta de multiplicar una fila de A por una constante k, entonces det(a ) = k det(a) b) que si A es la matriz que resulta de intercambiar dos filas de A, entonces det(a ) = det(a) c) que si A es la matriz que resulta de sumar a una fila k un múltiplo de la fila i, entonces det(a ) = det(a) a) det(a ) = ( 1) N a 1j1 ka iji a njn = k ( 1) N a 1j1 a iji a njn = k det(a) b) Previamente necesitamos el siguiente resultado: Lema 227 Si en el conjunto {j 1,, j n } intercambiamos dos elementos el número de inversiones de signo cambia de paridad (de par a impar, o viceversa) Si intercambiamos los elementos consecutivos j i y j i+1 cambia la paridad, pues si antes era j i < j i+1 ahora es j i+1 > j i, produciéndose una inversión donde antes no la había, y si era j i > j i+1 ahora j i+1 < j i, con lo que se elimina una inversión que antes había Como con el resto de los elementos no se producen modificaciones, si teníamos N inversiones ahora tendremos N +1 ó N 1, luego se cambia de paridad Si intercambiamos los elementos j i y j k no consecutivos, podemos hacerlo repitiendo el proceso comentado arriba, yendo paso a paso intercambiando términos consecutivos Hacemos por lo tanto k i intercambios consecutivos para llevar el elemento Preliminares 25

10 2 Matrices, Sistemas y Determinantes j i a la posición k y haremos k i 1 intercambios para llevar j k (que ahora está en la posición k 1) a la posición i Luego hay 2(k i) 1, un número impar, de cambios de paridad y, por tanto, cambia la paridad al intercambiar dos elementos cualesquiera Con este resultado, para probar b) basta observar que los productos elementales que aparecen en el det(a ) son los mismos que aparecen en el det(a), aunque intercambiadas las posiciones de los elementos de las filas en cuestión, es decir, los productos elementales a 1j1 a kjk a iji a njn de A y a 1j1 a iji a kjk a njn de A son iguales Pero como los índices j i y j k aparecen intercambiando las posiciones, en el desarrollo del los determinantes tendrán signos contrarios, luego det(a ) = det(a) Corolario 228 Una matriz con dos filas iguales tiene determinante cero Sea B una matriz cuadrada que tiene la fila i y la fila k iguales, entonces por la parte b) anterior, si intercambiamos las filas i y k que son iguales se obtiene que det(b) = det(b) es decir que det(b) = 0 c) det(a ) = ( 1) N a 1j1 a iji (a kjk + ka ijk ) a njn = ( 1) N a 1j1 a iji a kjk a njn + ( 1) N a 1j1 a iji ka ijk a njn = det(a) + k ( 1) N a 1j1 a iji a ijk a njn Como este último sumatorio, que es el determinante de una matriz que tiene la fila i y la fila k iguales, vale 0, se tiene que det(a ) = det(a) Corolario 229 a) Si E es la matriz elemental resulta de multiplicar una fila de I por una constante k, entonces det(e) = k b) Si E es la matriz elemental que resulta de intercambiar dos filas de I, entonces det(e) = 1 c) Si E es la matriz que resulta de sumar a una fila k un múltiplo de la fila i, de I, entonces det(e) = 1 Cálculo de determinantes por reducción a la forma escalonada El teorema anterior nos ofrece la posibilidad de calcular el determinante de una matriz usando el método de Gauss Si tenemos que E k E 2 E 1 A = R, donde R es la matriz escalonada que se obtiene al aplicar el método de Gauss, se tiene que det(r) = det(e k E k 1 E k 2 E 1 A) = δ k det(e k 1 E k 2 E 1 A) = δ k δ k 1 det(e k 2 E 1 A) = = δ k δ k 1 δ k 2 δ 1 det(a), donde δ i es k, 1 ó 1, según la operación elemental que represente E i Luego det(a) = 1 δ 1 1 δ k det(r) y como R es una matriz cuadrada escalonada, es una matriz triangular superior (ver nota siguiente), y det(r) = r 11 r 22 r nn 26 Preliminares

11 24 Matrices cuadradas Nota: Es claro que si una matriz cuadrada la llevamos a una matriz escalonada, ésta ha de ser triangular superior, pues el elemento principal de la fila 1 está en la posición 11 o más a la derecha, el elemento principal de la fila 2 está en la posición 22 o más a la derecha, y en general el elemento principal de la fila i está en la posición ii o más a la derecha Luego para toda fila i, los elementos a ij con i > j son cero, que es la caracterización de matriz triangular superior Así pues, una matriz escalonada cuadrada, o tiene elemento principal en cada fila (y en consecuencia están todos en la diagonal principal de la matriz) o tiene al menos una fila de ceros En particular, si llevamos la matriz cuadrada a la forma de matriz escalonada reducida, esta escalonada reducida o es la matriz identidad o tiene al menos una fila de ceros 2422 Otras propiedades del determinante Teorema 230 Si A y B son matrices cuadradas de orden n, entonces det(ab) = det(a) det(b) La demostración se hace en tres pasos Primero el caso particular en que A sea una matriz elemental y luego los casos generales, que A sea una matriz inversible o que no lo sea 1 Si A es una matriz elemental, por el teorema 226 y corolario 229 anteriores, se tiene que: a) det(ab) = k det(b) = det(a) det(b) b) det(ab) = det(b) = ( 1) det(b) = det(a) det(b) c) det(ab) = det(b) = 1 det(b) = det(a) det(b) según el tipo de matriz elemental que sea A 2 Si A es inversible es producto de matrices elementales (teorema 218) y por la parte 1, det(ab) = det(e k E k 1 E 1 B) = det(e k ) det(e k 1 E 1 B) = = det(e k ) det(e 2 ) det(e 1 ) det(b) = det(e k ) det(e 2 E 1 ) det(b) = = det(e k E 1 ) det(b) = det(a) det(b) 3 Si A no es inversible, la matriz escalonada reducida, R, obtenida de A no es la identidad, luego tiene al menos una fila de ceros Entonces, si E k E 1 A = R se tiene que A = E1 1 Ek 1 R = E 1 R, donde E 1 = E1 1 Ek 1 es inversible por ser producto de inversibles Por la parte 2, det(a) = det(e 1 ) det(r) = 0 ya que det(r) = 0 al tener una fila de ceros Luego det(a) det(b) = 0 det(b) = 0 Con la notación anterior, AB = E 1 RB de donde det(ab) = det(e 1 ) det(rb) Ahora bien, como R tiene al menos una fila de ceros, la matriz RB tiene al menos una fila de ceros y, por tanto, det(rb) = 0 En consecuencia, det(ab) = 0 = det(a) det(b) Teorema 231 Sea A n n entonces, A es inversible det(a) 0 Si A es inversible I = AA 1, luego det(i) = det(aa 1 ) = det(a) det(a 1 ), pero al ser det(i) = 1 0, necesariamente ha de ser det(a) 0 Como en la parte 3 de la demostración del teorema anterior ya hemos visto que si A no es inversible entonces det(a) = 0, queda probado el teorema Preliminares 27

12 2 Matrices, Sistemas y Determinantes Teorema 232 Si A es una matriz cuadrada, entonces det(a t ) = det(a) Es claro que los productos elementales que aparecen en ambos determinantes son los mismos, luego basta probar que además tienen el mismo signo Si en la matriz A hacemos cero todos los elementos excepto los que intervienen en un producto elemental dado, obtenemos una matriz B cuyo determinante es precisamente ese producto elemental con signo, es decir det(b) = ( 1) N a 1j1 a njn ; si en A t hacemos cero los elementos que no intervienen en ese mismo producto elemental se obtiene precisamente B t, y det(b t ) = ( 1) N a 1j1 a njn Entonces, 0 0 a 3j a 1j a 2j a njn BB t = a 3j a 1j a njn a 2j2 0 0 a 2 1j a 2 2j = 0 0 a 2 3j 3 0 = a 2 1j 1 a 2 2j 2 a 2 3j 3 a 2 nj n 0, a 2 nj n y, por tanto, det(b) det(b t ) = det(bb t ) 0 y ambos factores tienen el mismo signo 2423 Desarrollo por cofactores Definición 233 Sea A una matriz cuadrada, llamaremos menor del elemento a ij y lo denotaremos por M ij, al determinante de la submatriz que se forma al suprimir en A la fila i y la columna j Al número ( 1) i+j M ij lo llamaremos cofactor del elemento a ij y lo denotaremos por C ij Teorema 234 El determinante de una matriz A se puede calcular multiplicando los elementos de una fila (o de una columna) por sus cofactores correspondientes y sumando todos los productos resultantes; es decir, para cada 1 i n y para cada 1 j n: det(a) = a i1 C i1 + a i2 C i2 + + a in C in y det(a) = a 1j C 1j + a 2j C 2j + + a nj C nj Sopongamos que desarrollamos por la fila 1 involucran a cada a 1k, tenemos que A = ( 1) N a 11 a 2j2 a njn + + = (1,j 2,,j n) k=1 (k,j 2,,j n) ( 1) N a 1k a 2j2 a njn Por otra parte como C 1k = ( 1) 1+k M 1k = ( 1) 1+k Si en det(a) agrupamos los términos que ( 1) N a 1n a 2j2 a njn (n,j 2,,j n) = a 1k k=1 (k,j 2,,j n) (j 2,,jn) j i k ( 1) N a 2j2 a njn ( 1) N k a 2j2 a njn, basta comprobar que este valor coincide con el que aparece entre paréntesis en el sumatorio anterior 28 Preliminares

13 24 Matrices cuadradas Para cada k, en el conjunto {k, j 2,, j n } aparecen k 1 inversiones más que en {j 2,, j n }, pues están todas aquellas que se producen entre los j i más las que se produzcan con el primer elemento k En efecto, como en el conjunto {j 2,, j n } aparecen los valores 1, 2,, k 1, y se tiene que k > 1, k > 2,, k > k 1, aparecen exactamente k 1 inversiones más Es decir, ( 1) N = ( 1) k 1 ( 1) N k, luego A = ( 1) N a 2j2 a njn = ( 1) k 1 ( 1) N k a 2j2 a njn a 1k k=1 (k,j 2,,j n) = a 1k ( 1) k 1 = k=1 k=1 (j 2,,j n) a 1k ( 1) k+1 M 1k = k=1 a 1k k=1 ( 1) N k a 2j2 a njn = a 1k C 1k (j 2,,j n) a 1k ( 1) k 1 M 1k Para desarrollar por una fila k cualquiera, basta llevar ésta a la fila 1 y aplicar lo anterior En efecto, si vamos intercambiando la fila k con cada una de las anteriores, obtenemos una matriz A que tiene por fila 1 la fila k de A, por fila 2 la fila 1 de A,, por fila k la fila k 1 de A, y las demás igual Luego hemos hecho k 1 cambios de fila y, por tanto, A = ( 1) k 1 A Si desarrollamos det(a ) por la primera fila, tenemos que n A = ( 1) k 1 A = ( 1) k 1 a 1j ( 1)1+j M 1j = n ( 1)k 1 a kj ( 1) 1+j M kj j=1 j=1 = a kj ( 1) k 1 ( 1) 1+j M kj = a kj ( 1) k+j M kj = a kj C kj j=1 j=1 j=1 k=1 Para el desarrollo por columnas basta recordar que A = A t Corolario 235 Si desarrollamos una fila de una matriz A por los cofactores de otra distinta, el resultado es cero; es decir, a i1 C j1 + a i2 C j2 + + a in C jn = 0, si i j Idéntico resultado para las columnas Es claro, pues si en A hacemos la fila j igual a la fila i, la matriz obtenida A determinante cero y tiene 0 = A = a j1c j1 + a j2c j2 + + a jnc jn = a i1 C j1 + a i2 C j2 + + a in C jn Definición 236 Dada una matriz A cuadrada de orden n, llamaremos matriz de cofactores de A a la matriz que tiene por elementos los cofactores de A, C = (C ij ), y llamaremos matriz adjunta de A a la matriz de cofactores traspuesta, Adj(A) = C t Teorema fundamental 237 Si A es una matriz inversible, entonces A 1 = 1 A Adj(A) Si probamos que A Adj(A) = A I entonces, como A 0, será A Adj(A) A = I y A 1 = 1 A Adj(A) En efecto, aplicando el teorema 234 y el corolario 235 anteriores, a 11 a 12 a 1n C 11 C 21 C n1 A Adj(A) = A C t a 21 a 22 a 2n C 12 C 22 C n2 = = A I a n1 a n2 a nn C 1n C 2n C nn Preliminares 29

14 2 Matrices, Sistemas y Determinantes Regla de Cramer 238 Sea AX = B, un sistema de n ecuaciones con n incógnitas, tal que A es inversible, entonces el sistema tiene como única solución: b 1 a 12 a 1n a 11 b 1 a 1n a 11 a 12 b 1 b 2 a 22 a 2n a 21 b 2 a 2n a 21 a 22 b 2 b n a n2 a nn a n1 b n a nn a n1 a n2 b n x 1 =, x 2 =,, x n = A A A Si A es inversible la solución única es X = A 1 B = C 11 C 21 C n1 b 1 b Adj(A) B = 1 1 C 11 + b 2 C b n C n1 C 12 C 22 C n2 b 2 A A = 1 b 1 C 12 + b 2 C b n C n2 A a 1n a 2n a nn b n b 1 C 1n + b 2 C 2n + + b n C nn luego cada x j = b 1C 1j + b 2 C 2j + + b n C nj A, como queríamos probar 25 Rango de una matriz Teorema de Rouché Definición 239 Se llama rango de una matriz A m n, rang(a) ó rg(a), al máximo orden que resulta de considerar todas las submatrices cuadradas que pueden formarse eliminando filas y columnas completas de A y cuyo determinante sea distinto de cero Del determinante de una submatriz cuadrada de orden r de A, formada eliminando filas y columnas completas, de suele decir que es un menor de orden r de A, por analogía a la denominación dada en la definición 233 a los menores de un elemento Resultan evidentes, estos resultados: - Si A es m n, entonces: rg(a) min{m, n} - Si A es n n, entonces: rg(a) = n det(a) 0 Dado que el rango de una matriz no varía realizando en ella operaciones elementales puede definirse también el rango de una matriz es el número de filas distintas de cero que aparecen en alguna de las formas escalonadas de la matriz, puesto que el menor formado con las filas y columnas que contienen a los elementos principales de la matriz escalonada es distinto de 0, y cualquier menor de orden mayor es cero Proposición 240 Sea A una matriz m n, entonces a) Si existe un menor de orden r distinto de cero el rg(a) r b) Si todos los menores de orden r son cero el rg(a) < r 30 Preliminares

15 25 Rango de una matriz Teorema de Rouché a) es claro, pues como r es el orden de un menor distinto de cero, el máximo de los órdenes de los menores distintos de cero es al menos r b) Si todos los menores de orden r son cero, como un menor de orden r + 1 que es un determinante puede descomponerse como suma de menores de orden r por constantes, todos los menores de orden r + 1 son cero y, por tanto, todos los menores de orden mayor que r son cero Luego rg(a) < r En una matriz m n, el número de menores de orden r que podemos formar puede ser muy alto, de hecho es ( ) ( ) m n m! n! = r r r!(m r)! r!(n r)!, es decir, todas las posibles elecciones de r filas de entre las m, ( m) r, y para cada una de estas elecciones todas las posibles elecciones de r columnas de entre la n, ( n) r Por tanto, para ver que una matriz tiene rango menor que r usando los menores, hemos de comprobar que cada m! n! uno de los r!(m r)! r!(n r)! menores son cero Es claro, por tanto, que cuanto mayor sea la matriz resulta menos costoso evaluar el rango de una matriz llevandola a una forma escalonada que usar la definición Sin embargo, el coste de la evaluación por menores, puede reducirse usando el siguiente resultado: Proposición 241 Sea A m n una matriz, y M r r una submatriz de A con determinante distinto de cero Entonces, si el determinante de todas las submatrices de orden r + 1 que se pueden conseguir en A añadiendo una fila y una columna a M son cero, el rango de A es r Supongamos, por simplicidad en la notación, que M es el menor formado por las primeras r filas y columnas Consideremos la matriz a 11 a 1r a 1r+1 a 1r+2 a 1n a r1 a rr a rr+1 a rr+2 a rn a r+11 a r+1r a r+1r+1 a r+1r+2 a r+1n donde las líneas verticales significan respectivamente M y este menor ampliado a la fila r + 1 y a cada una de las demás columnas de A Si hacemos operaciones elementales en las filas, obtenemos a 11 a 1r a 1r+1 a 1r+2 a 1n 0 a rr a rr+1 a rr+2 a rn 0 0 a r+1r+1 a r+1r+2 a r+1n y los menores que tenemos ahora son o no cero según lo fueran o no antes Como M es distinto de cero ha de ser a 11 a 22 a rr 0 y como cada uno de los menores ampliados son cero han de ser a 11 a 22 a rra r+1r+1 = 0, a 11 a 22 a rra r+1r+2 = 0,, a 11 a 22 a rra r+1n = 0 Luego, a r+1r+1 = a r+1r+2 = = a r+1n = 0 y la matriz escalonada queda a 11 a 1r a 1r+1 a 1r+2 a 1n 0 a rr a rr+1 a rr+2 a rn Preliminares 31

16 2 Matrices, Sistemas y Determinantes Haciendo el mismo proceso para las filas r + 2 hasta m, tenemos que una forma escalonada de A sería a 11 a 1r a 1r+1 a 1r+2 a 1n 0 a rr a rr+1 a rr+2 a rn y el rango de A es por tanto r Con este resultado podemos dar un método que se conoce con el nombre de orlado de menores para encontrar el rango de una matriz usando los menores: Buscamos un menor de orden uno distinto de cero: si no existe rg(a) = 0; si existe M 1 0 entonces rg(a) 1, y buscamos un menor de orden 2 distinto de cero de entre los que orlan al anterior: si todos ellos son cero, por el resultado anterior, el rg(a) = 1; si algún M 2 0 entonces rg(a) 2, y buscamos un menor de orden 3 distinto de cero de entre los que orlan a M 2 : si no existe rg(a) = 2, y si existe M 3 0 entonces rg(a) 3, y buscamos Teorema de Rouché 242 Sea el sistema AX = B, sistema de m ecuaciones con n incógnitas Entonces AX = B tiene solución si, y sólo si, rg(a) = rg(a B) En caso de tener solución, si rg(a) = r, toda solución puede expresarse en la forma X = V 0 + t 1 V 1 + t 2 V t n r V n r, siendo V 0 una solución particular de AX = B y los V 1,, V n r soluciones del sistema homogéneo asociado AX = 0 Reduciendo la matriz ampliada del sistema por operaciones elementales según el método de Gauss-Jordan, podemos llegar a un sistema equivalente cuya matriz ampliada sea: a 1r+1 a 1n b a 2r+1 a 2n b a rr+1 a rn b r b r b m En forma más escueta indicando los tamaños podemos escribirla así: ( ) Ir r A r n r B r 1 0 m r r 0 m r n r B m r 1 Nota: Los coeficientes a ij, b k de esta matriz no serán los iniciales sino los resultantes después de hacer las operaciones elementales Además, para conseguir que en la matriz aparezcan todos los elemetos principales en las primeras r columnas puede hacer falta intercambiar columnas, pero esto únicamente supone cambiar el orden de las incógnitas del sistema Las soluciones son las mismas pero en orden distinto Obviamente el rango de la matriz de los coeficientes es r y el sistema tendrá solución si y sólo si b r+1 = b r+2 = = b m = 0, es decir si el rango de la ampliada también es r En este caso la solución será (con posibles cambios en el orden de las incógnitas) 32 Preliminares

17 26 Ejercicios x 1 = b 1 t 1 a 1r+1 t 2 a 1r+2 t n r a 1n x 2 = b 2 t 1 a 2r+1 t 2 a 2r+2 t n r a 2n x r = b r t 1 a rr+1 t 2 a rr+2 t n r a rn x r+1 = t 1 x n = t n r x 1 x r x r+1 x n b 1 a 1r+1 a 1n b = r a +t rr+1 a t rn 1 n r que también podemos escribir en forma matricial teniendo en cuenta que x r+i = 0 + t t i t n r 0 y llamando V i a las matrices columna, podemos escribir X = V 0 + t 1 V t n r V n r como enunciábamos Fijándonos en las soluciones se observa que haciendo t 1 = = t n r = 0, V 0 es una solución de AX = B Si consideramos el sistema homogéneo asociado AX = 0, ha de ser V 0 = 0 y como solución genérica obtendremos X = t 1 V t n r V n r Luego haciendo t i = 1 y t k = 0, para k i, vemos que X = V i es solución del sistema homogéneo AX = 0 Resumiendo: Si rg(a) = r, entonces: rg(a) = rg(a B) = Sist Compatible (con sol) { r = n Solución única r < n Infinitas soluciones rg(a) rg(a B) = Sist Incompatible (no tiene solución) 26 Ejercicios 21 Sean las matrices A = D = B = ( ) E = C = ( a) Calcular cuando se pueda: 3C D, (AB)C, A(BC), ED, DE, (4B)C + CA y CA + B 2 b) Calcular, haciendo el menor número de operaciones posible, la fila 1 de CA, la columna 2 de CD y los elementos 23 y 12 de la matriz CDE 22 Sean A y B dos matrices de tamaño m n Probar que si AX = BX para todas las matrices X n 1, entonces A = B Indicación: usar las matrices X i = (0,, 1,, 0) t, todo ceros y un 1 en la fila i ) Preliminares 33

18 2 Matrices, Sistemas y Determinantes 23 Encontrar las matrices elementales que llevan la matriz A = escalonada a una matriz 24 Demostrar que si la ecuación lineal x+b 1 y = c 1 tiene las mismas soluciones que la ecuación x + b 2 y = c 2, las dos ecuaciones son idénticas Ocurre lo mismo si las ecuaciones son a 1 x + b 1 y = c 1 y a 2 x + b 2 y = c 2? 25 Hallar una matriz P tal que AP B = C donde 1 4 ( A = 2 3 B = ) C = Estudiar cada uno de los siguientes sistemas: a) x + 2y z = 2 2x + y + z = 1 3x + 3y + 2z = 1 b) x + y + z = 3 2x + 3z = 4 3x 3y + 4z = 7 5x + y + 7z = 9 27 Estudiar cada uno de los sistemas siguientes, según los valores de los parámentros x + 2y + 4z = 1 x + y + z = b 3 a) x + 2y + 2az = 2 b) bx + y = 0 ax + 4y + 4az = 4a bx + y + bz = 0 28 Sean A y B dos matrices cuadradas de orden n, demostrar que T raza(a + B) = T raza(a) + T raza(b) y que T raza(ab) = T raza(ba) Es posible encontrar matrices A y B tales que AB BA = I? 29 Probar que si A es una matriz cuadrada, A+A t es simétrica y que A A t es antisimétrica Demostrar que toda matriz cuadrada se puede escribir de forma única como suma de una matriz simétrica y una antisimétrica 210 Probar que en una matriz cuadrada antisimétrica la diagonal principal está formada únicamente por ceros 211 Encontrar las matrices elementales que llevan la matriz A del ejercicio 23 a una matriz escalonada reducida Puede escribirse A como producto de matrices elementales? 212 Sea A una matriz idempotente (A 2 = A) Probar que la matriz B = I A es idempotente y que AB = BA = 0 Qué puede decirse de A si es inversible? 213 Sean A y B matrices cuadradas tales que AB = 0 Demostrar que A no puede ser inversible a menos que B sea la matriz nula 214 Demostrar que (A t ) n = (A n ) t, y también que (A t ) 1 = (A 1 ) t a b c 215 Suponiendo que det(a) = 5, siendo A = d e f, calcular g h i (a) d e f g h i a b c (b) a b c 2d 2e 2f g h i (c) a + d b + e c + f d e f g h i 34 Preliminares

19 26 Ejercicios (d) a b c d 3a e 3b f 3c 2g 2h 2i (e) a g h b h e c i f (f) 2a d d g 2b e e h 2c f f i (g) det(3a) (h) det(2a 1 ) (i) det((2a) 1 ) 216 Sea A una matriz cuadrada de orden n tal que la suma de los elementos de cada fila es cero Demostrar que A no es inversible 217 Sean A y B matrices de orden n tales que A 0, B 0 y AB = 0 Demostrar que det(a) = det(b) = Calcular los posibles valores del determinante de una matriz ortogonal 219 Sea A una matriz antisimétrica de orden n impar Demostrar que det(a) = Si A es una matriz de orden n probar que Adj(A) = A n 1 ax + by + cz = u 221 Demostrar que el sistema y + gz = v posee solución única para todo y + kz = w u, v, w IR si, y sólo si, a(k + g) 0 Si a(k + g) = 0 y v = w = 0, en qué condiciones el sistema es compatible? 222 Estudiar, según los valores de los parámetros, los rangos de las matrices asociadas a cada uno de los sistemas siguientes: a) x + 2y z = a 2x + y + z = 1 a 3x + (1+a)y + az = 1 a b) x + ay + a 2 z = 1 x + ay + abz = a d) bx + a 2 y + a 2 bz = ba 2 x + y + z = 3 2x ay + 3z = 4 3x 3y + 4z = 7 5x (a+b)y + 7z = 8+b Indicar en qué casos tienen solución los sistemas y expresarla en la forma descrita en el teorema de Rouché Dada la matriz A de orden n 2, calcular el rango de A según los valores de a y b Siendo a a a a a a b a 0 b a 0 0 b 0 0 a A = a b a Preliminares 35