ÁLGEBRA LINEAL Problemas, 2006/2007

Transcripción

1 ÁLGEBRA LINEAL Problemas, 2006/2007 Nota: si no se especifíca lo contrario suponemos que las matrices y espacios vectoriales están definidos sobre un cuerpo K arbitrario 1 Una matriz A de orden n n se dice idempotente si se cumple que A 2 = A Probar que los únicos posibles valores propios de A son 1 y 0 2 Una matriz A de orden n n se dice nilpotente si se cumple que A k = 0 para cierto k Probar que 0 es el único valor propio de A 3 Sea A una matriz cuadrada Probar que A es invertible si y solo si 0 no es un valor propio de A 4 Sea A una matriz cuadrada y λ un valor propio suyo Probar que λ 1 es un valor propio de A 1 Y que λ k un valor propio de A k Y que para cada polinomio se P (x) K[x] cumple que P (λ) es un valor propio de la matriz P (A) 5 Sea A una matriz compleja de orden n n que cumple A 4 = I n Probar que sus valores propios pertenecen al conjunto {1, 1, i, i} 6 Sea A una matriz cuadrada simétrica real Probar que tiene todos sus valores propios reales y que su polinomio característico descompone totalmente en factores lineales en R[x] 7 Consideramos la matriz A M 3 3 (R) Diagonalizar dicha matriz, y usar la matriz diagonal para el cálculo de A 30 Hacer lo mismo con cada una de las otras matrices , B = , C = , F = Determinar si las siguientes matrices A, B, C M 4 4 (Z/(7)) son diagonalizables ó no lo son: , B = , C = Determinar una matriz triangular semejante a la matriz A M 3 3 (Z/(5)) Indicar por qué esta matriz no es diagonalizable 10 Determinar si las siguientes matrices definidas sobre el cuerpo de los reales R son diagonalizables ó no lo son , B = , F = Sean A, B M n n (K) Si A es una matriz diagonal con todos los valores de la diagonal distintos y AB = BA, probar que B es una matriz diagonal 12 Sean A, B M n n (K) Si AB = BA y A tiene n valores propios distintos, probar que A y B tienen asociado un mismo conjunto de n vectores propios linealmente independientes 13 Sean A, B M n n (K) Probar que si A y B son semejantes, para cada polinomio S(x) K[x], las matrices S(A) y S(B) son semejantes 1

2 14 Sean A, B M n n (R) matrices semejantes en M n n (C); es decir, existe P M n n (C) tal que P 1 AP = B Probar que A y B son semejantes en M n n (R); es decir, que existe Q M n n (R) tal que Q 1 AQ = B Indicación: Sea P = R+iS donde R, S M n n (R) Probar que AR = RB, AS = BS Si, ni R ni S son invertibles, entonces R + αs es invertible para algún α R Para ello obsérvese que (R + αs) es un polinomio no constante en α 15 Deteminar si las siguientes matrices de M 4 4 (Z/(5)) son diagonalizables ó no lo son En el caso de que lo sean escribir la correspondiente matriz diagonal semejante a ella [No es necesario indicar la matriz P que da la relación de semejanza] C = , B = , Decimos que una matriz A es de orden m n si tiene m filas y n columnas 16 Teorema de Sylvester: Sea A una matriz de orden m n y B una matriz de orden n m, suponemos m n Entonces AB es una matriz de orden m m y BA es una matriz de orden n n Consideramos los polinomios característicos P AB (x) y P BA (x); entonces se cumple que P AB (x) = x m n P BA (x) Demostración: Consideramos las siguientes matrices de orden (n + m) (n + m) definidas por cajas: ( ) ( ) ( ) Im A xim A xim AB O = (1) O xi n B I n xb xi n ( ) ( ) ( ) Im O xim A xim A = (2) B xi n B I n O xi n BA Tomo erminantes en las igualdades (1) y (2), obteniendo, respectivamente las igualdades: ( ) x n xim A = (xi B I m AB)x n n ( ) x n xim A = x m (xi B n BA) De ambas igualdades obtenemos la expresión: I n x n (xi m AB) = x m (xi n BA) probado 17 Suponemos que B, C, D son matrices cuadradas de orden n; es bien conocido el siguiente resultado sobre matrices definidas por cajas: ( ) B C = (B) (D) D Veamos un resultado más curioso: ( ) In B = (I C D n D CB) = (D CB) O n Demostración: Basta considerar el siguiente producto de matrices de orden 2n 2n definidas por cajas y tomar erminante en ambos lados de la igualdad: ( ) ( ) ( ) In O n In B In B = C C D CB + D I n 2 O n

3 18 Sean A, B, C, D cuatro matrices de orden n n Suponemos que (A) 0 y que AC = CA Probar que se cumple ( ) A B = (AD CB) C D Solución: Consideramos el producto de matrices: ( ) ( ) ( In O n A B A = C A C D CA + AC ) ( B A B = CB + AD CB + AD Tomamos erminantes en los dos extremos de la igualdad y obtenemos: ( ) A B (A) = (A) ( CB + AD) C D De aquí concluímos el resultado pedido probado Nota: el resultado anterior no es cierto si las matrices A y C no conmutan Es cierto aunque (A) = 0 [sustituir en el razonamiento A por A xi n ] ( ) A A 19 Sea A un matriz de orden n n Determinar los valores propios de la matriz F = A A en función de los valores propios de A Se( puede usar ) el resultado ( del ejercicio ) anterior A A A In Realizar lo mismo para las matrices G = y H = A A A I n 20 Sean A, B M n n (R) Probar que ( ) A B = (A + ib) 2 B A O n ) Solución: Téngase en cuenta que ( ) ( A B A + ib B + ia = B A B A ) ( A + ib O = B A ib ) 21 Sean A, B M n n (C) Probar que ( A B B A ) = (A + B) (A B) Probar que los valores propios de la matriz de la izquierda son los mismos que los valores propios de A + B junto con los de A B (contando multiplicidades) Solución: Téngase en cuenta que ( ) A B = B A ( A + B B B + A A ) ( A + B B = O A B 22 Sea el polinomio P (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n 1 x n 1 + x n K[x] Se define su matriz compañera como a a a 2 Probar que el polinomio mínimo de A es justamente P (x) a n a n 1 3 )

4 23 Sea A M n n (C) una matriz que cumple A k = I n para cierto k Probar que A es una matriz diagonalizable 24 Sean A, B, X M n n (C) Probar que si AX XB = O, entonces para cada polinomio f(x) C[x] se cumple que f(a)x Xf(B) = O Además, si A y B no tienen ningún valor propio común entonces AX XB = O solo tiene la solución X = O 25 Dadas las matrices de orden n n , B =, probar que son diagonalizables, erminar su forma diagonal, e indicar una base respecto de la cual cada matriz tiene forma diagonal 26 Probar que ninguna de las siguientes matrices de M 4 4 (Z/(3)) son diagonalizables: H = Polinomios irreducibles en K[x], F = Todo polinomio de grado 1 es irreducible , E = Si un polinomio de grado mayor ó igual que 2 es irreducible, entonces no tiene raíces en el propio cuerpo K Un polinomio de grado 2 ó 3 es irreducible si y solo si no tiene raíces Para bastantes cuerpos K existen polinomios de grado 4 (ó mayor que 4) que no tienen raíces y son reducibles Ejemplo: x 4 + 4x = (x 2 + 1)(x 2 + 3) R[x] En R[x] los polinomios irreducibles son exactamente los polinomios de grado 1 y los polinomios de grado 2 sin raíces reales En C[x] los polinomio irreducibles son exactamente los polinomios de grado 1 Polinomios irreducibles en Z/(3)[x] Hay polinomios irreducibles de cada grado (se probará en cuarto curso) Los únicos polinomios irreducibles mónicos de grado 2 son x 2 + 1, x 2 + x + 2, x 2 + 2x + 2 Z/(3)[x] Un polinomio P (x) Z/(3)[x] de grado 4 ó 5 es irreducible si y solo si no tiene raíces y no es divisible por ninguno de los tres polinomios escritos antes 4

5 28 Determinar el polinomio mínimo de las matrices de M 4 4 (Z/(3)) del ejercicio Determinar el polinomio mínimo de cada una de las matrices de M 4 4 (R) , B = , C = , F = Probar que las matrices siguientes son diagonalizables Determinar la matriz diagonal D semejante a ella y la matriz P que establece la relación D = P 1 CP Lo mismo para F y para G C = , F = , G = Determinar el polinomio mínimo de las siguientes matrices de M 3 3 (Z/(5)) , B = 4 2 0, C = 2 0 2, E = Determinar el polinomio mínimo de cada una de las siguientes matrices de M 5 5 (R) Concluír cuáles de ellas son diagonalizables: E =, G = , H = Sea A M n n (R) Probar que rango(a) = rango(a t A) = rango(aa t ) Solución: Veamos que los dos sistemas de ecuaciones { Av = 0 A t v, 0 vectores columna Av = 0 tienen exactamente el mismo subespacio de soluciones [por lo cual, el rango de ambas matrices coincide] Si Av = 0, es claro que A t Av = 0 Si A t Av = 0, sea Av = z, [obviamente z vector columna] Tenemos que A t z = A t Av = 0 En consecuencia 0 = v t 0 = v t A t Av = z t z Véase que, si z t = (z 1, z 2,, z n ), entonces z t z = z1 2 +z zn 2 Por lo tanto z = 0 Ó sea, Av = 0 Hemos probado que rango(a) = rango(a ( t A) (A Análogamente rango(a t t ) = rango ) t A t) = rango(aa t ) Como bien sabemos, rango(a) = rango(a t ) Por lo tanto, rango(a t A) = rango(aa t ) 34 Sea A M n n (C) No tiene por qué cumplirse la igualdad rango(a t A) = rango(aa t ) Ejemplo: Sean [ i 1 i 1 ] [ i i, A t = ]

6 Tenemos que AA t = [ ] [ 2 2i, A t 2i 2 Es claro que rango(aa t ) = 0 1 = rango(a t A) En particular AA t A t A 35 Si A M n n (C), no tiene por qué cumplirse que rango(a) = rango(a t A) Ejemplo: 0 i 1 i Sea A M n n (C) Probar que AA es semejante a AA 37 Sea A M n n (R) Probar que A t A es semejante a AA t en M n n (R) 38 Sean A, B M n n (C) sin valores propios comunes, sea X M n n (C) una matriz cualquiera Probar que las dos matrices ( ) ( ) A X A O, M O B O B 2n 2n (C) son semejantes 39 Determinar la forma canónica de Jordan de las siguientes matrices de M 6 6 (Q) , B = ] Sea A M 6 6 (Q) cuyos polinomios característico y mínimo son, respectivamente, P A (x) = (x 2) 3 (x 5) 2 (x 6), m A (x) = (x 2) 2 (x 5) 2 (x 6) Escribir su forma canónica de Jordan 41 Sea A M 5 5 (Q) cuyos polinomios característico y mínimo son, respectivamente, P A (x) = (x 4) 5, m A (x) = (x 4) 2 Escribir todas sus posibles formas canónicas de Jordan 42 Determinar la forma canónica de Jordan de las siguientes matrices de M 5 5 (C) F = , B =, G = , C =, H = , 6

7 43 Dada la matriz B = M 3 3 (R), Determinar una matriz diagonal D semejante a ella y la matriz P que cumple D = P 1 BP 44 Determinar razonadamente el polinomio mínimo de las siguientes matrices de M 5 5 (R) Concluír cuáles de ellas son diagonalizables , B = , C = Determinar el polinomio mínimo de las siguientes matrices de M 4 4 (Z/(5)) Concluír cuáles de ellas son diagonalizables: F = , H = , M = , R = Determinar la forma canónica de Jordan de las siguientes matrices de M 3 3 (Z/(5)), y la correspondiente base respecto de la cual tienen esa forma canónica Nótese que damos por supuesto que los polinomios característicos factorizan completamente en Z/(5)[x] H = , E = , F = , B = El polinomio característico de todas las matrices de M 4 4 (Q) siguientes es (x 4) 4 ; su único valor propio es λ = 4 con multiplicidad algebraica 4 Con este dato calcular la forma canónica de Jordan de esas matrices: F = , E = , B = El polinomio característico de todas las matrices de M 5 5 (Q) siguientes es (x + 2) 5 ; su único valor propio es λ = 2 con multiplicidad algebraica 5 Con este dato calcular la forma canónica de Jordan de esas matrices: B = E = , F =, ,

8 49 Dada la matriz A M 3 3 (R) , erminar su forma canónica de Jordan J, y la matriz P tal que J = P 1 AP Calcular las matrices A 20 y e A 50 Determinar la forma canónica de Jordan de la siguiente matriz C = M 4 4(R), junto con la base respecto de la cual tiene dicha forma 51 Dadas las matrices de M 3 3 (R), cuyo polinomio característico es (x 3) 3, calcular su forma canónica de Jordan, la correspondiente matriz de cambio de base, y la exponencial de la matriz propuesta , B = , E = Dadas las siguientes matrices en M 4 4 (Q), cuyo polinomio característico es (x 2) 4, erminar su forma canónica de Jordan J, y erminar la correspondiente matriz P tal que J = P 1 AP , B = , C = Dada la matriz A M 3 3 (R), con polinomio característico P A (x) = (x 4)(x 3) 2, , erminar su forma canónica de Jordan J, y la matriz P tal que J = P 1 AP Calcular una matriz F tal que F 2 = E Descomponer A en la suma de una matriz diagonalizable y otra nilpotente que conmuten entre sí 54 Sea A M n n (R) una matriz cuyo polinomio característico es (x 1) n Probar que A es semejante a A 2 55 Dadas las matrices de M 3 3 (R), cuyo polinomio característico es (x 1) 3, , B = , E = Determinar su forma canónica de Jordan J, la correspondiente matriz P tal que J = P 1 AP Usando la información anterior calcular A 20, calcular una matriz H tal que H 2 = A, y calcular exp(a) Hacer lo mismo para B y E 8

9 56 Sea A M n n (C) una matriz nilpotente tal que A O Probar que A no es semejante a A 2 57 Sea la matriz A M n n (C) Probar que las dos afirmaciones siguientes son equivalentes: A es semejante a A A es semejante a una matriz real B M n n (R) 58 Recordamos que, si S(x) C[x] y λ es un autovalor la matriz A M n n (C), entonces S(λ) es un autovalor de la matriz S(A) ( ) A A Dada una matriz A M n n (C), calcular los valores propios de la matriz E = en I n A función de los valores propios de A Consultar ejercicio Sea A M n n (R) cuyo polinomio característico es P A (x) = (x + 1) n Probar que A es semejante a A 1 Mismo resultado si P A (x) = (x 1) n ; y si P A (x) = (x 1) t (x + 1) s con s + t = n 60 Determinar la forma canónica de Jordan J de las matrices siguientes A M 3 3 (Z/(5)) junto con la matriz P tal que J = P 1 A P El correspondiente polinomio característico debe factorizar completamente , B = 1 3 4, F = 4 1 1, G = Consideramos las tres matrices de M 3 3 (R), cuyo polinomio característico es (x 1)(x + 1) 2, A 1 = 7 8 1, A 2 = 0 3 4, A 3 = Calcular la forma canónica de Jordan J i de cada A i, la correspondiente matriz P i tal que J i = P 1 i A i P i, y la matriz A 45 i 62 Dadas las matrices de M 4 4 (Q) cuyo polinomio característico es (x 2) 2 (x 1) 2, erminar su forma canónica de Jordan J, y la correspondiente matriz P tal que J = P 1 AP , B = , C = Dadas las matrices de M 3 3 (R) cuyo polinomio característico es (x 2 + x + 2)(x 3), erminar su forma canónica racional J y la correspondiente matriz P tal que J = P 1 AP , B = 2 0 2, C = 2 3 1, E = Dadas las matrices de M 3 3 (Q) cuyo polinomio característico es x 3 + 2x 2 + 2x + 2, erminar su forma canónica racional J y la correspondiente matriz P tal que J = P 1 AP , B = 0 2 2, C = 0 0 1, E =

10 65 Dadas las matrices A i de M 3 3 (Z/(5)), cuyo polinomio característico es x 3 + x 2 + x + 3 Z/(5)[x], erminar su forma canónica racional R, y la correspondiente matriz P tal que R = P 1 A i P A 1 = , A 3 = , A 4 = , A 8 = Dadas las matrices A i de M 4 4 (Z/(5)), cuyo polinomio característico es (x 2 +2)(x 2 +x+1) Z/(5)[x], erminar su forma canónica racional R, y la correspondiente matriz P tal que R = P 1 A i P A 1 = , A 2 = , A 3 = Nótese que estas tres matrices son semejantes entre sí 67 Dadas las matrices A i de M 4 4 (Z/(5)), cuyo polinomio característico es (x 2 + x + 1) 2 = x 4 + 2x 3 + 3x 2 + 2x + 1 Z/(5)[x], erminar su forma canónica racional R, y la correspondiente matriz P tal que R = P 1 A i P A 1 = , A 2 = , A 3 = Dadas las matrices A i de M 4 4 (Z/(5)), cuyo polinomio característico es (x 2 + x + 1) 2 = x 4 + 2x 3 + 3x 2 + 2x + 1 Z/(5)[x], erminar su forma canónica racional R, y la correspondiente matriz P tal que R = P 1 A i P A 1 = , A 2 = , A 3 = Determinar cuál es el polinomio característico y mínimo de las siguientes matrices definidas sobre R [sin hacer cálculos] , B = , C = Comprobar que la matriz H M 6 6 (R) cumple H 2 + 2I 6 = O Con este dato, erminar su forma canónica racional R, junto con la correspondiente matriz P tal que R = P 1 H P H =

11 71 Sea A M n n (C) tal que rango(a) = rango(a 2 ) Probar que rango(a k ) = rango(a) para todo k 1 Nota: si rango(a) = n, el resultado ya es conocido Sugerencia: razonar usando la forma canónica de Jordan de A 72 Comprobar que la matriz A M 6 6 (Q) cumple A 3 + 2I 6 = O Con este dato, erminar su forma canónica racional R, junto con la correspondiente matriz P tal que R = P 1 A P Sin hacer ninguna cuenta ni cálculo, Cuál es el polinomio característico de A? 73 Comprobar que la siguiente matriz satisface B 2 +I 4 = O con esta información calcular su forma canónica racional R, junto con la matriz de cambio de base P que comple R = P 1 B P B = Consideramos R 4 y el subespacio vectorial W = (1, 1, 1, 1), (1, 3, 1, 1) Determinar razonadamente una base del espacio vecorial cociente R 4 /W 75 Consideramos la aplicación lineal f : R 3 R 2 (a, b, c) (a + 2c, 2a + b) Determinar una base del espacio vectorial cociente R 3 / ker(f) 76 Consideramos la aplicación lineal h : R 4 R 2 (a, b, c, d) (a + b, 2c + d) Determinar una base del espacio vectorial cociente R 4 / ker(h) 77 Consideramos la aplicación lineal f : R 2 R 2 R que satisface f((a, b) (c, d)) = ac + bd Determinar razonadamente una base de ker(f) 78 Consideramos la aplicación lineal h : R 2 R 2 R 2 que satisface h((a, b) (c, d)) = (ac bc, ad) Determinar razonadamente una base de ker(h) 79 Consideramos la aplicación lineal φ : R 2 R 2 R 3 que satisface Determinar razonadamente una base de ker(φ) h((a, b) (c, d)) = (ad, 3ac, 2b(c + d)) 11

12 80 comprobar que no existe ninguna aplicación lineal f : R 2 R 2 R que satisfaga f((a, b) (c, d)) = a + b + c + d 81 Razonar por qué la aplicación g : R 3 R 2 R 2 definida por g(a, b, c) = (a, d) (c, c) no es una aplicación lineal 82 Consideramos R 2 R 3 Sea S el subespacio vectorial generado por los vectores (3, 3) (1, 2, 3), (2, 2) (3, 2, 1), (1, 1) ( 1, 6, 13) Determinar una base de S 83 Consideramos R 3 R 2 Sea W el subespacio vectorial generado por todos los vectores de la forma (a, a, a) (b, b) a, b R Determinar una base de W y su dimensión [cuidado!] 84 Consideramos R 2 R 2 Una base de este espacio vectorial es B = { (1, 0) (1, 0), (1, 0) (0, 1), (0, 1) (1, 0), (0, 1) (0, 1) } Todo vector α R 2 R 2 se puede expresar como una suma α = s u i v i, con u i, v i R 2 i=1 Un vector β R 2 R 2 se denomina descomponible si es justamente β = u v, u, v R 2 Probar que si un vector γ R 2 R 2 es descomponible, y [a 11, a 12, a 21, a 22 ] son sus coordenadas en la base B, entonces a 11 a 12 a 21 a 22 = 0 85 Aplicando el resultado del ejercicio previo, comprobar que el vector w = (1, 2) (2, 3) + (0, 1) ( 1, 1) R 2 R 2 no es descomponible 86 Consideramos R 2 R 2 Sea W el subespacio vectorial generado por todos los vectores de la forma (a, b) (c, 0) a, b, c R Determinar una base de W y su dimensión [cuidado!] 87 Consideramos el siguiente isomofismo de Z-módulos f : Z/(175) Z/(7) Z/(25) ā (a + (7), a + (25)) Determinar la antiimagen de ( 3, 4) Z/(7) Z/(25) 88 Determinar todos los Z-módulos que hay (salvo isomorfismo) con 3 6 elementos 89 Determinar todos los Z-módulos que hay (salvo isomorfismo) con elementos 12