INGENÍERIA INFORMÁTICA. PROBLEMAS DE ALGEBRA

Transcripción

1 INGENÍERIA INFORMÁTICA. PROBLEMAS DE ALGEBRA C. Galindo 1. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones x 1 + 3x 2 2x 3 + 2x 5 = 0 2x 1 + 6x 2 5x 3 2x 4 + 4x 5 3x 6 = 1 5x x x 6 = 5 2x 1 + 6x 2 + 8x 4 + 4x 5 18x 6 = 6 2. Calcular la inversa de la matriz siguiente, en función del parámetro a, indicando para qué valores de a no es inversible. 0 1 a Resolver el siguiente sistema matricial de ecuaciones: { 3A + 4B = X 5A 3B = Y, donde X = y Y = Dada la matriz M = 0 bd ce bc ae 0 ce ac af bf 0 ab ef df de 0, hallar M 2 sabiendo que bcef + acdf + abde = 1. 1

2 5. Encontrar todas las matrices reales de orden 2 tales que A 2 = A. 6. Sea I la matriz identidad 4 4 y A la matriz Calcular (I + A) 12 y el valor de su determinante. 7. Calcular la matriz A n, sabiendo que 1 1/n 1/n A = ( ) a b Hacer el mismo cálculo con A =. 0 c 8. Una matriz A cuadrada de orden n con coeficientes en R se dice simétrica si A t = A, se dice antisimétrica si A t = A. Probar que si A es un matriz cuadrada de orden r cualquiera, se tiene que A + A t es simétrica y que A A t es antisimétrica. Poner ejemplos. 9. Sean S(n) (A(n), respectiv.) el conjunto de matrices simétricas (antisimétricas, respect.). Probar que M n n (R) = S(n) A(n). Y también que para toda matriz A cuadrada de orden n, se tiene A = A + At 2 + A At Sea A una matriz de orden n cuadrada e inversible sobre R. Probar: (a) Si B, C M n n (R) y BA = CA, entonces B = C. (b) Si B, C M n n (R) y AB = AC, entonces B = C. (c) Si A, BM n n (R) y AB = BA, se tiene que (A + B) 2 = A 2 + B 2 + 2AB. 11. Para qué valores de a R, la matriz 1 1 a A = es inversible? Calcular la inversa para dichos valores. 2

3 12. Hallar todas las matrices reales 2 2 tales que sus (a) cuadrados son la matriz nula. (b) sus cubos son la matriz nula. (c) sus cuadrados son la matriz identidad. 13. Dados los siguientes sistemas de ecuaciones, indíquese su compatibilidad y, si existe, su solución. (a) x + 2z + 3t = 0 4x + y + z + 2t = 1 5x + y + 3z + 5t = 1 3x + y z t = 1 (b) 3x + y + 2z + 4t + 3v = 1 x y + v = 1 x + z + 2t + 2v = De los siguientes subconjuntos de R 4, indicar cuales son s.v. y, en caso afirmativo, dar una base de los mismos. (a) E 1 := {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) x 1 + x 2 = 1}. (b) E 2 := {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) x 1 + x 2 = x 3 + x 4 }. (c) E 3 := {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) x 2 x 3 = 0}. (d) E 4 := {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) x 1 Q}. 15. Considérese el conjunto A = Aplic(R, R). Probar que es un espacio vectorial sobre el cuerpo R. Cuáles de los siguientes subconjuntos son subespacios vectoriales de A? (a) {f A f(x 2 ) = f(x) 2 }. (b) {f A f(0) = f(1)}. (c) {f A f(x 2 ) = f(x) 2 }. (d) {f A f( 1) = 0}. (e) {f A f es continua}. (f) {f A f es una función continua en todo R}. 3

4 (g) {f A f es derivable hasta el orden r y la r-ésima derivada es continua}. 16. Es el siguiente subconjunto del espacio vectorial A del problema anterior libre? {f(x) = e 2x, g(x) = x 2, h(x) = x}. 17. Calcular a, b R tales que (a) (1, a, 5) L({(1, 2, 3), (1, 1, 1)}) en R 3. (b) (1, b, 2, 0) L({(1, 1, 4, 0), (0, 2, 0, 1), (1, 1, 0, 2)}) en R Se consideran en R 4 los vectores v 1 = (1, 0, 0, 1), v 2 = (2, 1, 1, 0), v 3 = (1, 1, 1, 1), v 4 = (1, 2, 3, 4) y v 5 = (0, 1, 2, 3). Determinar un subconjunto maximal E de entre ellos que sea libre y establecer relaciones de dependencia entre los que no pertenezcan a E y los de E. 19. Demostrar que si los vectores {v 1, v 2,..., v n } de un e.v. V son l.i., entonces también lo son {v 1, v + v 2,..., v 1 + v v n }. 20. Hallar la intersección y la suma de los subespacios vectoriales engendrados por los sistemas de vectores de R 3 : {(1, 0, 1), (1, 1, 0)} y {(1, 2, 3), (0, 0, 1)}. 21. Consideremos el producto cartesiano E 1 E 2 de dos e.v. Demuéstrese que el subconjunto del producto anterior E 1 {0} := {(x, 0)/x E} que representaremos E 1 es un subespacio de E 1 E 2. Pruébese que E 1 = E Pruébese que ningún subcuerpo de un cuerpo K diferente de K es un s.v. del e.v. K. En particular, R no es s.v. de C. 23. Consideramos en R 2 el subespacio vectorial F = {(x, y) R 2 x = y}. Obsérvese que todo vector de F es combinación lineal del sistema de vectores {(1, 0), (0, 1)} pero que F L({(1, 0), (0, 1)}). 24. En las condiciones del ejercicio 21, si E 2 = {0} E 2, demostrar que E 1 E 2 = E 1 E Si E 1 y E 2 son dos e.v. de dimensión finita. Cuál es la dimensión de E 1 E 2? 26. Son isomorfos los e.v. sobre el cuerpo R: R 2 y R 3? 27. Busquese una base del subespacio vectorial de R, F del ejercicio 23 y amplíese a una base de R 2. 4

5 28. Considérense los s.v. de R 3 F = {(x, y, z) R 3 x = 0} y G = {(x, y, z) R 3 z = 0}. Pruébese que {(0, 0, 1), (0, 1, 0)} y {(1, 0, 0), (1, 1, 0)} son bases de F y G respectivamente, pero que la reunión de los cuatro vectores no es una base de R 3. Es F G igual a R 3? 29. Sea V un e.v., L un s.v. de V y u V. Definimos u+l = {u+v v L}. Se pide: (a) Demostrar que u + L es un subespacio de V si, y sólo si, u L. (b) Demostrar que si L 1 L 2, u, v V, se cumple u + L 1 v + L 2 o bien (u + L 1 ) (v + L 2 ) =. 30. Se considera el anillo de polinomios en una variable X y grado menor o igual que n, R[X], con coeficientes en R con estructura de R-espacio vectorial. (a) Probar que B = {X i } 0 i n es una base de R[X]. (b) Si a es un número real, probar que el conjunto de polinomios B a = {(X a) i } 0 i n es una base de R[X]. (c) Escribir las coordenadas de los vectores de B en función de los de B a. (d) Qué puede decirse si se suprime la hipótesis del grado? 31. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K, y x, y, z tres vectores de V linealmente independientes. Se consideran los vectores u = ax + (l a)y; v = ay + (l a)z; w = az + (l a)x. (a) Demostrar que si el cuerpo K es el de los números reales, entonces u, v, w son linealmente independientes para todo a número real. (b) Si K es el cuerpo de los complejos, Hallar a para que u, v, w sean linealmente independientes? 32. Si {v 1, v 2, v 3 } es una base de R 3, Es base alguno de los siguientes conjuntos: {v 1 v 2 2v 3, v 1 v 2 v 3, v 1 + v 3 }, {v 1 + v 2 3v 3, v 1 3v 2 v 3, v 2 + v 3 }? 33. Dado el conjunto de vectores de R 3, {(x, x, x), (1, x, x), (1, 1, 1 + x)}, Para qué valores de x dicho conjunto es una base de R 3? 34. Dar una base del subespacio vectorial de R 5 cuyas ecuaciones son 2x y + (4/3)z t = 0 x + (2/3)z s = 0 9x 3y + 6z 2t 3s = 0. 5

6 35. Se considera en R 3 el conjunto W = {(x, y, z) x+y z = 0; x+y +z = 0}. (a) Comprobar que W es un s.v. de R 3. (b) Hallar una base de W. (c) Hallar unas ecuaciones paramétricas y unas generales de W. (d) Hallar un subespacio complementario de W y unas ecuaciones generales y paramétricas de él. (e) Descomponer el vector (1, 2, 1) como suma de vectores de W y del complementario obtenido en el apartado anterior. 36. Un endomorfismo de un K-espacio vectorial es una aplicación f : V V verificando f(u + v) = f(u) + f(v) y f(au) = af(u) para u, v V y a K. Demostrar que el conjunto de vectores {u f(u) = u} es un s.v. de V. 37. Pruébese que C con su suma ordinaria y la operación externa: R C C, (a, z) az, consistente en el producto ordinario de un número real por un complejo, es un espacio vectorial sobre R. El espacio vectorial así formado suele representarse por CR para diferenciarlo de C, que representa el espacio vectorial C sobre sí mismo en la forma usual. 38. Sea R[X] el espacio vectorial de los polinomios con coeficientes reales. Pruébese que la aplicación D que envía a cada polinomio, en su derivada formal es un endomorfismo de R[X] y es sobre. Se trata de un automorfismo? 39. Consideremos el espacio vectorial formado por las sucesiones de elementos de un cuerpo K (K es el cuerpo de los números reales o el de los complejos) y los subespacios C 00 y C 0 formados por las sucesiones finitas y por las que convergen a 0. Se definen los siguientes subconjuntos del espacio anterior: C formado por las sucesiones que son convergentes. L formado por las sucesiones (x n ), tales que la serie x n es convergente. A formado por las sucesiones acotadas. Probar que C, L y A son subespacios vectoriales del espacio de sucesiones anterior. Pruébese que C 00 L C 0 C A. 6

7 40. Pruébese que en K[X] ningún sistema finito puede generar todo el espacio vectorial, o sea que, K[X] no es de dimensión finita. 41. La aplicación p i : K n K, dada por (x 1, x 2,..., x n ) x i se denomina proyección i-ésima de K n. Hay n de estas proyecciones. Pruébese que cada una de ellas es lineal y sobre, pero que no es inyectiva cuando n es mayor o igual que dos. 42. Sea E un espacio vectorial y R una relación de equivalencia sobre E. Decimos que R es compatible con la estructura de espacio vectorial de E cuando se satisfacen las dos condiciones siguientes: x R y y x Ry implica x + x R y + y. x R y y a R implica ax R ay. Suponiendo que R es compatible, demuéstrese que: (a) x R y y x R y implica x x R y y. (b) x R x si, y sólo si, x x R 0. (c) La clase 0, definida por el cero de E, es un subespacio vectorial de E. (d) x R y si, y sólo si, x y [0]. 43. Consideremos los espacios vectoriales CR y C. Pruébese que el sistema de dos vectores {1, i} es una base de CR. Pruébese que todo sistema libre de C es un sistema libre de CR y compruébese que no es cierto el recíproco. 44. En el espacio vectorial de polinomios con coeficientes reales de grado menor o igual que 2, se considera el subespacio: F = L(1 + 2X, 2 + X 2, 3 + 2X + X 2, 4 + 4X + X 2 ). Calcúlense en la base {1, X, X 2 } del espacio vectorial anterior las coordenadas de los cuatro polinomios que generan F. Búsquese una base de F. 45. Se consideran los s.e.v. de R 4 W = L({(1, 2, 1, 0), ( 1, 1, 1, 1)}), U = L({(2, 1, 0, 1), (1, 1, 3, 7)}). Obtener una base, dimensión y unas ecuaciones de los espacios W + U y W U. 46. En el R-e.v. R 4 se consideran los s.e.v. W = {(x, y, z, t) x z = 0, t = 2x} y U = {(x, y, z, t) x = z, t = 0}. Obtener otro s.e.v. que satisfaga: 7

8 dim H = 2. dim(h W ) = 1. dim(h U) = Sean V y W dos espacios vectoriales de dimensiones 2 y 3 respectivamente. Sean B 1 = {v 1, v 2 } y B 2 = {w 1, w 2, w 3 } dos bases de V y W. Supongamos que f : V W es un homomorfismo de e.v. dado por f(v 1 ) = w 1 w 2 + w 3 y f(v 2 ) = w 1 + 3w 3. Sean ahora B 1 = {v 1, v 2 } y B 2 = {w 1, w 2, w 3 } nuevas bases dadas por v 1 = v 1 + v 2 ; v 2 = 2v 2 v 1 ; w 1 = w 1 + w 2 ; w 2 = w 1; w 3 = w 1 + w 2 + w 3. Se pide: (a) Ecuación matricial de f respecto a las bases B 1 B 2. (b) Ecuación matricial del cambio de base B 1 B 1 y B 2B 2. (c) Ecuación matricial de f respecto de las bases B 1 B Se consideran en los R-espacios vectoriales R 4 y R 3 las bases canónicas {e i }4 i=1 y {e i} 3 i=1 y el homomorfismo f : R3 R 4 dado por f(e 1 ) = (1, 0, 0, 1); f(e 2 ) = (0, 1, 0, 0); f(e 3 ) = ( 1, 0, 0, 1). Hállese la imagen por f de un vector (x, y, z) de R 3. Calcúlese una base de ker f y una de imag f. 49. Sea E un espacio vectorial de dimensión finita. F 1 y F 2 dos subespacios vectoriales de E. Consideremos la aplicación lineal f : F 1 F 2 E dada por f(x, y) = x + y. Probar: (a) ker f = {(x, x) x F 1 F 2 }. (b) ker f = F 1 F 2. (c) imag g = F 1 + F 2. (d) dim F 1 + dim F 2 = dim(f 1 + F 2 ) + dim(f 1 F 2 ). (e) f es inyectiva si y sólo si F 1 + F 2 = F 1 F Sea A = (a ij ) una matriz cuadrada de orden n con coeficientes complejos. Escríbase Ā = (ā ij), donde ā ij es el complejo conjugado de a ij. Probar (Ā)t = (A) t, esta matriz se llamará adjunta de A y se escribirá A. Probar que (A ) = A. Si A = A, la matriz A se denomina autoadjunta (o hermítica). Pruébese que A es autoadjunta si y sólo si A t = Ā. Pruébese que los elementos diagonales de una matriz autoadjunta son todos reales. 8

9 51. Sean la aplicaciones lineales f : R 2 R 3 y g : R 3 R dadas de la forma f(x, y) = (x + y, 0, 3y); g(x, y, z) = 2x + y z. Obtener las matrices de f y de g en las bases canónicas. Obtener g f y la matriz de esta aplicación en las bases canónicas. Comentar el resultado. 52. Para la matriz A = con coeficientes en R, se considera el homomorfismo f End(R 3 ) dado por A en la base canónica. Hallar: (a) La imagen por f de un vector (x, y, z) R 3. (b) f(e 1 ), f(e 2 ), f(e 3 )}, siendo {e 1, e 2, e 3 } la base canónica de R 3. (c) Una ecuación paramétrica de imag f (d) Una base de imag f y de ker f. (e) Una ecuación implícita de ker f. 53. Sea f Hom(R, R) dado por la matriz A = ( ) t. (a) Probar que f es sobre y que dim ker f = l. (b) Buscar una base {u, v, w} de R con w ker f. (c) Obtener la matriz de f en la base anterior de R 3 y la canónica de R Calcular el rango de la siguiente matriz Obtener el determinante de la siguiente matriz usando la definición

10 56. Sea A una matriz cuadrada real de orden n, probar que det( A) = ( 1) n det A. Además si A es antisimétrica y n es impar, probar que det A = Probar que det A = 0, si 1 n n n n. 58. Si a, b, c son números reales el determinante de la matriz 1 a a 2 1 b b 2 1 c c 2 vale (c b)(c a)(b a). Probar el resultado anterior y generalizar. El determinante anterior se denomina de Vandermonde de orden Probar que el endomorfismo de R 3 siguiente f(x, y, z) = (y + z, x + y, x + z) es un automorfismo. Obtener f Determinar el rango de las siguientes matrices: A = B = a 0 C = 2 a a

11 D = a b Dados a = (1, 1, 0); b = (0, 1, 2); c = (1, 0, 2) y d = (0, 1, 2) vectores de R 3, determinar una base de L(a, b, c, d). 62. Dados los sistemas de ecuaciones lineales siguientes, indíquese su compatibilidad y hállese la solución si existe. (a) x + 2z + 3t = 0 4x + y + z + 2t = 1 5x + y + ez + 5t = 1 3x + y z t = 1 (b) 3x + y + 2z + 4t + 3v = 1 x y + v = 1 x + z + 2t + 2v = Búsquese una condición del tipo Aa + Bb + Cc = 0, A, B, C números reales, necesaria y suficiente para que el sistema de coeficientes reales siguiente sea compatible: 2x + y = a x + y = b x + 2y = c 64. Se considera la aplicación f : R 3 [X] R 2 [X] definida así: f(x 3 + X 2 + X + 1) = X 2, f(x 2 + 1) = X 2 + X 1, f(x 2 + X + 1) = X 2 y f(2x 1) = X 2 + X + 1. (a) Justificar que f es una aplicación lineal. (b) Hallar ker f e Imf. (c) Dadas las matrices B = {X 3 + X 2 + X + 1, X 2 + 1, X 2 + X + 1, 2X 1} y B = {X 2 + X + 1, X + 1, 2X 1} de los espacios vectoriales R 3 [X] y R 2 [X] respectivamente. se pide la matriz de f en las bases canónicas, en las bases B y canónica de R 2 [X] y en las bases B y B. 11

12 65. Se consideran los endomorfismos f y g de R 3 dados por f(x, y, z) = (x y, y, z) y por la matriz de g en la base B = {(0, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1)} que es A = 1 1 0, Calcular (a) 2f + g y f g. (b) La imagen por las funciones anteriores del vector (0, 1, 2) expresado en la base B y de aquel que tiene las mismas coordenadas en la base canónica. 66. Sea A una matriz cuadrada de orden n con coeficientes números complejos, A = (a ij ). A se llama unitaria si cumple una de las cinco propiedades siguientes: (a) A A = I n, siendo I n la matriz identidad n n y A la adjunta de A. (b) AA = I n. (c) A es inversible y A 1 = A. (d) n k=1 a ik 2 = 1 para todo i, y i j implica n k=1 a ika kj = 0. (e) n k=1 a ik 2 = 1 para todo i, y i j implica n k=1 a kia kj = 0. Probar que las anteriores condiciones son equivalentes. La matriz A se dice normal si AA = A A. 67. Sea A una matriz cuadrada de orden n con coeficientes números reales, A = (a ij ). A se llama ortogonal si cumple una de las cinco propiedades siguientes: (a) A t A = I n, siendo I n la matriz identidad n n y A t la transpuesta de A. (b) AA t = I n. (c) A es inversible y A 1 = A t. (d) n k=1 (a ik) 2 = 1 para todo i, y i j implica n k=1 a ika kj = 0. (e) n k=1 (a ik) 2 = 1 para todo i, y i j implica n k=1 a kia kj = 0. Probar que las anteriores condiciones son equivalentes. 12

13 68. Sea E un e.v. de dimensión finita, F un s.e.v. de E, Probar: (a) F es de dimensión finita y dim F dim E. (b) Si dim F = dim E, entonces F = E. Además si E = F 1 F 2, entonces probar que dim E = dim F 1 + dim F Sea V un e.v. sobre R de dimensión 5. Si B es una base de V y L 1 y L 2 las variedades lineales que se dan a continuación respecto de B. Hallar la dimensión, una base y unas ecuaciones implícitas independientes de L 1, L 2, L 1 L 2 y L 1 + L 2. (a) L 1 = L(a, b, c), L 2 = L(d, e, f); a = (1, 2, 0, 1, 0), b = (2, 2, 0, 1, 1), c = (0, 1, 3, 0, 1), d = (4, 6, 0, 3, 1), e = (2, 1, 1, 3, 1), f = (1, 0, 1, 0, 1). (b), L 1 = L(a, b, c): a = (1, 1, 2, 2, 0), b = (2, 1, 2, 1, 2), c = (5, 3, 6, 4, 4). L 2 con coordenadas (x, y, z, t, u) viene dado por las ecuaciones 2x + y t + 3u = 0 x + 2y + z u = 0 x + y 2t + u = 0 (c) L 1 y L 2 con coordenadas (x, y, z, t, u) dados por los siguientes sistemas x z u = 0 x + y 2z + t + 2u = 0 2x y z t 5u = 0 y y + z + u = 0 x 2z + u = 0 2x + 2y 2z + 2t + 4u = Calcular det 1 2 n n + 1 n + 2 2n... n(n 1) + 1 n(n 1) + 2 n Demostrar la siguiente igualdad: cos a cos a 1 0 cos na = det cos a cos a 13

14 72. Se considera la aplicación f : R 3 R 3 dada por f(1, 1, 1) = (1, 1, 0), f 2 (1, 1, 1) = (1, 0, 0) y f 3 (1, 1, 1) = (0, 1, 1). (a) Comprobar que f es lineal. (b) Hallar la matriz de f en las bases canónicas. (c) Hallar la matriz de f respecto a las bases B = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} y B = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 1)}. (d) Dar las coordenadas en la base B, del vector (1, 1, 1) expresado en la base B y de la imagen del mismo. (e) Decidir si f es mono, epi o iso-morfismo 73. Sea f un endomorfismo de R 4 tal que f 2 = f ker f = {(x, y, z, t) x = z, y = t} La unión entre una base D de ker f y los vectores v = (1, 0, 1, 0) y w = (0, 0, 0, 1) es una base B de R 4. imagf = {(x, y, z, t) x+y = 0, x t = 0}, donde las coordenadas se han tomado en la base B. Se pide (a) Razonar si R 4 = ker f imagf. (b) Si B es el conjunto formado por la base anterior D y v y resulta que el espacio A generado por B es invariante para f, siendo la matriz respecto a la base B de la restricción de f a A la siguiente a b , calcúlese a y b y la matriz de f en la base B. 74. Demuéstrese que si A es una matriz diagonalizable, entonces A 2 lo es también. Ver que, si además A es inversible, entonces A 1 es también diagonalizable. 75. Es diagonalizable la matriz real A = 1 3 1?

15 76. Es diagonalizable la matriz real A = 3 8 2? Si A o A son diagonalizables, obténgase dicha diagonal, y la matriz de cambio de base que la lleva a la diagonal. 78. Sea f el endomorfismo de R 3 dado por la matriz A = Calcúlese el polinomio característico de f y sus valores propios. Calcúlese un vector propio no nulo de R para cada valor propio. Sea g el endomorfismo de C dado por la matriz A. Calcúlese el polinomio característico de g y sus valores propios. Calcúlese un vector propio no nulo de C para cada valor propio. Obténgase una base de C 3 formada por vectores propios de g. Compruébese que en dicha base, g es diagonal y que su diagonal está formada por los valores propios de g. 79. Sea f un endomorfismo de R 3, pruébese la equivalencia de las dos afirmaciones siguientes: Los únicos subespacios invariantes de f son los triviales f no posee valores propios. 80. Probar que si A es una matriz cuadrada triangular, sus valores propios son los elementos de la diagonal. 81. Demostrar que la matriz ( no es diagonalizable ni en R ni en C. ) 82. Dada la matriz A =

16 Pruébese que es diagonalizable en R y búsquese una matriz 3 3 sobre R, P inversible con A = P AP 1 y A diagonal. Indíquese quien es A. 83. Sea A una matriz cuadrada de orden n con elementos en un cuerpo K y sea λ K un valor propio de A. Pruébese que n r es la dimensión del subespacio propio asociado a λ, V (λ), donde r es el rango de la matriz A λi, (I es la matriz identidad de tamaño n). 84. Obtener el polinomio característico de las matrices A = y Son semejantes A y B? B = Sean F y G dos subespacios de V invariantes para f End (V ). Demostrar que F G y F + G son también invariantes. 86. Sea V un e.v. Una proyección de V es un endomorfismo p End (V ) que cumple p p = p. Probar que si p es una proyección: (a) Imag p = {x V p(x) = x}. (b) Para todo x V, entonces x = p(x) + z con z ker p. (c) V = Imag p ker p. (d) Si V tiene dimensión n, entonces existe una base de V en que la matriz de p es diagonal. 87. Sea f End (V ) y x V, probar que las dos condiciones siguientes son equivalentes: x es vector propio. El subespacio de V cuya base es {x} es invariante. 88. Siendo A y B matrices cuadradas de orden n sobre un cuerpo K. Pruébese que tr(a + B) = tr A+ tr B y que tr(λa) = λ tr A. Pero que en general tr(ab) tr (A) tr (B). Además probar que tr(ab) = tr (BA). 16

17 89. Sea f la forma bilineal sobre R 3 dada por f[(x 1, x 2, x 3 ), (y 1, y 2, y 3 )] = x 1 y 1 x 2 y 2 + 2x 1 y 3. Construir la matriz de f en la base {a 1, a 2, a 3 } dada por a 1 = (1, 1, 0); a 2 = (1, 1, 1); a 3 = (0, 1, 1). Probad que f no es simétrica encontrando vectores u y v con f(u, v) f(v, u). 90. Sea V un e.v. sobre un cuerpo K, W y W dos subespacios tales que V = W W. Sea f una forma bilineal sobre W y g otra sobre W. Defínase h : V V K así h(u, v) = f(u 1, v 1 ) + g(u 2, v 2 ), donde u = u 1 +u 2 y v = v 1 +v 2 son las descomposiciones relativas a W W. (a) Pruébese que h es una forma bilineal sobre V, cuyas restricciones a W y W son f y g. (b) Pruébese que si w W, w W, entonces h(w, w ) = h(w, w). (c) Si construimos una base de V completando una de W. matriz aparecerá? Qué 91. Sean M y M dos matrices congruentes. Pruébese que M es simétrica (antisimétrica) si y sólo si lo es M. 92. Sea V un e.v. de dimensión dos. B = {u 1, u 2 } una base de V y f una forma antisimétrica. Sean u = (x 1, x 2 ) y v = (y 1, y 2 ) en B. Probad que f(u, v) = λ(x 1 y 2 x 2 y 1 ) siendo λ = f(u 1, u 2 ). 93. Sea en R 2 la forma bilineal f[(x 1, x 2 ), (y 1, y 2 )] = x 2 y 1 + 2x 1 y 2. Probad que f no es simétrica pero que coinciden su núcleo a izquierda y derecha. 94. Sea f una forma bilineal y simétrica en R 2 : f[(x 1, x 2 ), (y 1, y 2 )] = x 1 y 1 x 2 y 2. Considérense los subespacios de R 2, G = {(x 1, x 2 ) x 2 = 0}, H = {(x 1, x 2 ) x l = x 2 } y sean g y h las restricciones de f en G y a H respectivamente. Probad: f es no degenerada. g es no degenerada. h = Sea V un e.v., W un subespacio de V, f una forma bilineal simétrica definida en V y g la restricción en W, de f. Sea W 0 = {v V f(v, w) = 0 para todo w de W } 17

18 (a) Probad que W es una variedad lineal. (b) Probad la equivalencia de las dos afirmaciones siguientes: W W 0 = {0}. g es no degenerada. 96. Dada la forma cuadrática en R 3, q(a 1, a 2, a 3 ) = a a 1 a 2 + a 1 a 3 2a 3 a 2. Obténgase la forma bilineal simétrica asociada y la matriz de q en la base canónica y en la base {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}. 97. Sea f una forma bilineal no necesariamente simétrica. Sea q : V K dada por q(u) = f(u, u). (a) Probad que q es la forma cuadrática asociada a la forma bilineal simétrica g dada por g(u, v) = (f(u, v) + f(v, u))/2. (b) Probad la equivalencia de las afirmaciones siguientes: Para todo u, v vectores de V, f(u, v) = (1/4)q(u + v) (1/4)q(u v). f es simétrica. (c) Probad la equivalencia de las aseveraciones siguientes: q = 0. f es antisimétrica. 98. Probad que la aplicación q : R 2 R, q(x, y) = x no es una forma cuadrática. 99. En R 4 se considera la forma cuadrática q(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = x x2 4 + x 1 x 2 4x 3 x 4. Calcúlese la matriz de q en la base canónica. Si f es la forma polar de q, obténgase f(u, v) para u = (1, 1, 1, 1) y v=(0, 0, 1, 1), sabiendo que estos últimos vectores están expresados en la base {1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 1), (0, 0, 2, 3)} Se considera en R 3 la forma cuadrática q(a 1, a 2, a 3 ) = 4a 1 a 2. Obténgase la matriz de q en la base canónica de R 3 y la de q en la base {(1/2, 1/2, 0), (1/2, 1/2, 0), (0, 0, 1)}. Si f es la forma polar de q, calcúlese f(u, v) para u = (2, 2, 0), v = (0, 2, 2). 18

19 101. Sea V un e.v. de dimensión n 0, f una forma bilineal. Supongamos que existe una base {v 1,..., v n } de V que verifica, para i j, f(v i, v j ) = 0. Probad que f es simétrica Considérese en R 3, la forma cuadrática q(x 1, x 2, x 3 ) = x x x 2 3. Búsquese una base de R 3 ortogonal para q y tal que el primer vector de la base sea (1, 1, 1). Obténgase el rango de q Sea M una matriz cuadrada de orden n sobre un cuerpo K. Probad que si existe otra matriz P de orden n inversible tal que P MP t es diagonal, entonces M es simétrica Comprobad que la matriz M = ( 2 i i 0 ) no es diagonalizable, pero existe una matriz P de tamaño 2 2 sobre C inversible tal que P MP t es diagonal Sea f una forma bilineal simétrica sobre R. Sea (s, t) la signatura de f, probad que existen subespacios de V : W 1, W 2 y W 3 con dim W 1 = s; dim W 2 = t y dim W 3 = n s t tales que W = W 1 W 2 W 3, satisfaciendo que si 0 x W 1 se tiene f(x, x) > 0, si 0 x W 2 se tiene f(x, x) < 0 y que si x W 3 se tiene f(x, x) = Clasificad la forma cuadrática x x 1x 2 + 3x x2 3 2x 2x 3 y encontrad una base ortonormal para la misma, así como su matriz de paso. 19