Espacios vectoriales (Curso )

Transcripción

1 ÁLGEBRA Práctica 5 Espacios vectoriales (Curso ) 1. En el espacio vectorial real IR 2 consideramos los siguientes subconjuntos: (a) A = {(x, y) IR 2 x 2 + y 2 = 1}. (b) B = {(x, y) IR 2 x = 3y}. (c) C = {(x, y) IR 2 x + y = 1} (d) D = {(x, y) IR 2 x = y; e y 0}. (e) E = {(x, y) IR 2 x 2 + y 2 0}. - Representarlos gráficamente. - Basándose en su representación gráfica deducir cuales son subespacios vectoriales y cuáles no. - Probarlo. 2. Comprobar que el conjunto V de las funciones f : IR IR, con las operaciones habituales de suma de funciones y producto de un número real por una función, tiene estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo IR. Decidir cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales de V : (a) Funciones f tales que f(1) = f(0) + 1. (b) Funciones f tales que f(x) = f( x) x IR. 3. En IR 4, se consideran los sistemas S = { x 1, x 2, x 3, x 4 } y T = {ȳ 1, ȳ 2, ȳ 3, ȳ 4, ȳ 5 }, donde: x 1 = (1, 2, 1, 1), x 2 = (1, 1, 2, 1), x 3 = (2, 5, 1, 3), x 4 = (0, 1, 3, 2), ȳ 1 = ( 2, 1, 3, 2), ȳ 2 = (1, 0, 1, 1), ȳ 3 = (3, 2, 1, 0), ȳ 4 = (0, 4, 2, 1), ȳ 5 = (1, 0, 1, 0). Comprobar si S y T son sistemas equivalentes. Hallar bases de L(S) y de L(T ). 4. Llamamos P n (x), al conjunto de los polinomios en x de coeficientes reales y de grado menor o igual que n. (a) Demostrar que P n (x) tiene estructura de espacio vectorial sobre IR. (b) Demostrar que el sistema formado por un polinomio y sus derivadas no nulas es libre. (c) Para qué polinomios p(x) P n (x) el sistema es una base de P n (x)? B = {p(x), p (x), p (x),..., p (n) (x)} (d) Siendo n = 3 y p(x) = x 3 x, dar las fórmulas que transforman las coordenadas contravariantes de un polinomio con respecto a la base canónica en las coordenadas contravariantes con respecto a la base {p(x), p (x), p (x), p (x)}, y viceversa.

2 5. En el espacio vectorial real IR 3 consideramos las siguientes bases: - la base canónica C = {ē 1, ē 2, ē 3 } = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}. - la base B = {ū 1, ū 2, ū 3 } = {(0, 1, 1), (2, 0, 0), (1, 0, 1)}. - la base B = { v 1, v 2, v 3 } = {(1, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 1)}. (a) Si (1, 3, 2) es un vector de IR 3 calcular sus coordenadas en cada una de las bases anteriores. (b) Denotamos por (y 1, y 2, y 3 ) las coordenadas de un vector en la base B. Consideramos el subespacio vectorial dado por la ecuacón: y 1 + y 2 + y 3 = 0 Calcular las ecuaciones paramétricas y cartesianas de este subespacio con respecto a cada una de las bases dadas. 6. Sea P 3 (IR) el espacio vectorial de polinomios de grado menor o igual que 3 con coeficientes reales. a) Estudiar cuales de los siguientes subconjuntos son subespacios vectoriales: i) U 1 = {p(x) P 3 (IR) p(0) = 0, p (1) = 0}. ii) U 2 = {p(x) P 3 (IR) p(1) 0}. iii) U 3 = {p(x) P 3 (IR) 1 0 p(t)dt = 0}. b) En los casos en que si sean subespacios escribir sus ecuaciones paramétricas e implícitas respecto de la base canónica. c) Sea q(x) = x 3 x. Probar que los polinomios B = {q(x), q (x), q (x), q (x)} son una base de P 3 (IR). d) Calcular las ecuaciones implícitas de U 1 U 3 respecto de la base B. (Primer parcial, enero 2009) 7. En el espacio vectorial real V de las funciones continuas de [0, 1] en IR, se consideran los dos conjuntos siguientes: U 1 = { f V : 1 0 } f(x) dx = 0 U 2 = {f V : f es constante} (a) Comprobar que U 1 y U 2 son subespacios vectoriales de V. (b) Analizar si U 1 y U 2 son subespacios suplementarios de V. (c) Hallar, si existe, la proyección de h(x) = 1 + 2x sobre U 1 paralelamente a U 2. (Examen final, setiembre 2002)

3 8. En IR 3 y para cada a IR, consideramos los subespacios vectoriales: U = L{(a, 1, 0), (0, a, 1), (1, 0, 1)}, V = L{(a, 0, 1), (a 1, 0, 2a)}. (a) Hallar la dimensión de U, V, U + V y U V en función de los valores de a. (b) Para qué valores de a los subespacios U y V son suplementarios?. (c) Para los valores de a para los cuales sea posible, calcular la matriz asociada respecto de la base canónica de la aplicación proyección sobre U paralelamente a V. (d) Para a = 0, es posible descomponer el vector (1, 1, 1) como suma de un vector de U y otro de V?. Si existe, es única esta descomposición?. (Primer parcial, enero 2009) 9. En el espacio vectorial real de las matrices 2 2 con elementos reales, M 2 2 (IR), se consideran los subconjuntos U = {A M 2 2 (IR) traza(a) = 0} V = L{Id} (a) Probar que U es un subespacio vectorial de M 2 2 (IR). (b) Probar que U y V son subespacios suplementarios. (e) Sea H M 2 2 (IR) el subespacio vectorial de matrices antisimétricas. Calcular las ecuaciones paramétricas e implícitas de H + V y (H + V ) U. (Primer parcial, enero 2008) 10. En IR 4 consideramos los subespacios vectoriales: U = L{(b, b, 1, 1), (1, 0, 1, 1), (1, 1, 1, 1)} V = L{(0, 0, 1, 1), (0, a, 1, 1), (0, 0, 0, 1)} (a) Calcular la dimensión de U V en función de a y b. (c) Para a = 1 y b = 0 escribir las ecuaciones implícitas de U V respecto de la base canónica. (Examen final, junio 2008) 11. En el espacio vectorial real de las matrices 2 2 con elementos reales, M 2 2 (IR), se consideran los subespacios { } x y U =, x + y 2z = t z t { } 3a + b b V =, a, b IR a a + b {} W = L 0 1 (a) Hallar la dimensión y una base de U, V y W. (b) Hallar, en la base canónica, ecuaciones paramétricas y cartesianas de U V

4 (c) Hallar, en la base B = { 1 0, 0 0, 0 0, 0 1 }, las ecuaciones paramétricas y cartesianas de V + W (Primer parcial, enero 2007) 12. Sea V un espacio vectorial real y U 1, U 2, U 3 subespacios vectoriales. Razonar la falsedad o veracidad de las siguientes afirmaciones probando aquellas que sean ciertas y descartando con un contraejemplo las falsas. (a) (U 1 + U 2 ) (U 1 + U 3 ) U 1 + (U 2 U 3 ). (b) U 1 + (U 2 U 3 ) (U 1 + U 2 ) (U 1 + U 3 ). (Primer parcial, enero 2009) 13. Sea P 2 (IR) el espacio vectorial de polinomios de grado menor o igual que 2 con coeficientes reales. Consideramos los subconjuntos: U = {p(x) P 2 (IR) 1 es raíz de p(x)}. W = {p(x) P 2 (IR) grado p(x) 1}. V = {p(x) P 2 (IR) 0 y 1 son raíces de p(x)}. (a) Probar que U, V y W son subespacios vectoriales de P 2 (IR). (b) Estudiar si tiene sentido plantear las siguientes proyecciones: - La proyección del polinomio x 2 + x + 1 sobre U paralelamente a V. - La proyección del polinomio x 2 + x + 1 sobre U paralelamente a W. En caso afirmativo, calcular dicha proyección. (Primer parcial, enero 2007) 14. Encontrar la (única) respuesta correcta, de entre las indicadas, a las siguientes cuestiones: (a) Sean U y V subespacios vectoriales de un espacio vectorial E de dimensión finita. Si dim(u) + dim(v ) = dim(u + V ), entonces U y V son suplementarios. Si dim(u) = dim(v ) = dim(u V ), entonces U = V. Si dim(u + V ) = dim(e), entonces U y V son suplementarios. Ninguna de las anteriores respuestas es correcta. (Primer parcial, enero 2008) (b) Sean F y G dos subespacios vectoriales de IR 100 de dimensiones 80 y 50, respectivamente. dim (F G) 30. F + G = IR 100. F G = G

5 dim (F G) 30. (Primer parcial, febrero 2001) (c) Sea U un espacio vectorial real y {ū 1, ū 2, ū 3 } un conjunto de vectores linealmente independientes de U. dim(u) = 3. dim(u) > 3. {ū 1, ū 1 + ū 2, ū 1 + ū 2 + ū 3 } pueden ser linealmente dependientes. Ninguna de las respuestas anteriores es correcta. (Primer parcial, enero 2008) (d) Sea V un espacio vectorial cualquiera. Dados tres subespacios vectoriales A, B, C siempre se cumple: (A + B) C (A C) + (B C). (A + B) C (A C) + (B C). (A + B) C (A C) + (B C). (A + B) C = (A C) + (B C). (Primer parcial, enero 2007) (e) Sean U y W subespacios distintos de { 0} de un espacio vectorial real V. Entonces Siempre podemos plantear la proyección p sobre U paralelamente a W. De ser posible plantear la proyección p sobre U paralelamente a W, Im(p) + W = V. De ser posible plantear la proyección p sobre U paralelamente a W, es un monomorfismo. Ninguna de las anteriores afirmaciones es correcta. (Primer parcial, enero 2007) (f) Sea V un espacio vectorial. Consideramos las bases B 1 = {ū 1, ū 2,..., ū n } y B 2 = {ū n, ū n 1,..., ū 1 }. Sea M B1 B 2 la matriz de cambio de base de una a otra. det(m B1 B 2 ) = 1. det(m B1 B 2 ) = 1. det(m B1 B 2 ) = ( 1) n+1. Ninguna de las anteriores respuestas es correcta. (Primer parcial, enero 2008)

6 ÁLGEBRA Problemas adicionales Espacios vectoriales (Curso ) I. Decidir cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales del espacio vectorial V de las funciones f : IR IR: (a) Funciones f tales que 2f(0) = f(1). (b) Funciones que toman valores distintos de 0 en todo punto. (c) Funciones f tales que f(0) es un número racional. II. En el espacio vectorial real de las matrices 2 2 con elementos reales, M 2 2 (IR), se consideran los subespacios { } U = L,, { } a + b a b V =, a, b IR a 2a + b (a) Determinar α y β para que pertenezca a U la matriz α 1. β 0 (b) Determinar α y β para que pertenezca a V la matriz 1 0. α β (c) Hallar la dimensión y una base de U. (d) Hallar la dimensión y una base de V. (e) Hallar, en la base canónica, ecuaciones paramétricas y cartesianas de U V (f) Hallar, en la base canónica, ecuaciones paramétricas y cartesianas de U + V III. Sea M n n (IR) el espacio vectorial de las matrices cuadradas de elementos reales y dimensión n. (a) Demostrar que si A M n n (IR) es una matriz fija, el conjunto es un subespacio vectorial de M n n (IR). S = {B M n n (IR) : AB = Ω} (b) Si n = 2 y A es de la forma α 1 β 1 donde α, β son números reales, calcular en función de α, β la dimensión y una base de S y las ecuaciones implícitas de un subespacio suplementario de S.

7 IV. En el espacio vectorial real de las matrices simétricas 3 3 con elementos reales, S 3, decidir cuáles de los siguientes subconjuntos son subespacios vectoriales, y para los que lo sean hallar una base, así como unas ecuaciones (paramétricas e implícitas) en la base canónica y en la base B = 0 0 0, 1 0 0, 1 0 0, 0 1 0, 0, (a) Matrices regulares. (b) Matrices con traza nula. (c) Matrices cuyas dos primeras filas son iguales. V. Si W 1, W 2 y W 3 son subespacios vectoriales de un espacio vectorial V, estudiar si son ciertas las fórmulas: (a) (W 1 + W 2 ) W 3 (W 1 W 3 ) + (W 2 W 3 ). (b) (W 1 W 3 ) + (W 2 W 3 ) (W 1 + W 2 ) W 3. (Examen final, junio 2005) VI. Sea U el subespacio de IR 3 dado por las ecuaciones cartesianas: { x + y + z = 0 U z = 0 Es posible determinar un subespacio V de IR 3 de forma que U V = { 0} y U +V x+y+z = 0?. Justifica tu respuesta. (Examen final, junio 2006) VII. En un espacio vectorial real E de dimensión 4 se consideran dos subespacios vectoriales V y W que con respecto a determinada base de E vienen descritos por las ecuaciones V : { x ay + z + bt = 0 y t = 0 W : { ax y bz + t = 0 x + z = 0 donde a, b son dos números reales arbitrarios. En función de a y b, calcular las dimensiones de los subespacios V, W, V W y V + W. (Examen final, julio 2002) VIII. Sea M 2 2 (IR) el espacio vectorial de matrices reales de dimensión 2 2. Consideramos el conjunto de matrices: { } B =,,, (a) Probar que las matrices de B forman una base de M 2 2 (IR). (b) Sea S 2 M 2 2 (IR) el subespacio vectorial de matrices simétricas reales de dimensión 2 2. Escribir las ecuaciones cartesianas de S 2 en la base canónica y en la base B.

8 (c) Definimos el conjunto: Probar que es un subespacio vectorial. W = {A M 2 2 (IR) ()A = (0 0)}. (d) Calcular las ecuaciones paramétricas y cartesianas de W y W S 2 en la base canónica y en la base B. (Primer parcial, enero 2005) IX. En IR 4 se define el subespacio F engendrado por los vectores: u 1 = (1, 0, 1, 3), u 2 = (2, 1, 0, 7), u 3 = (3, 1, 5, 0). Además, se define la relación: Es R una relación de equivalencia? cociente. u, v IR 4, urv v u F. (Examen extraordinario, diciembre 2005) Si lo es, hallar las clases de equivalencia del espacio X. Consideremos los subespacios U y W de IR 3 tales que U está generado por los vectores (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 2) y la ecuación implícita de W es x y + 2z = 0. Se pide: (a) Bases de U, W, U + W y U W. (b) Ecuaciones implícitas de U W. (c) Base de un subespacio H suplementario de U W. (d) Proyección del vector (2, 3, 5) sobre el subespacio U W paralelamente a H. (Examen final, junio 2006) XI. En el espacio vectorial IR 3, dados dos valores reales a, b R se definen los subespacios: U = L{(1, a, 1), (b, 1, a)}, V = L{(0, 1, 1), (a 1, 1, b)}. (a) Calcular en función de a y b la dimensión de U V. (b) Calcular los valores de a y b para los cuales los subespacios son suplementarios. (d) Para a = b = 0 calcular las ecuaciones cartesianas y paramétricas de U V. (Examen final, septiembre 2008) XII. Encontrar la (única) respuesta correcta, de entre las indicadas, a las siguientes cuestiones: (a) Sea S = { x 1,..., x p } sistema ligado de vectores de un espacio vectorial V. Cualquier vector de S se puede poner como combinación lineal de los restantes. S contiene alguna base de V. dim L(S) < p S se puede completar a una base de V. (b) Si L 1 y L 2 son dos subespacios de un espacio vectorial V, se tiene

9 si diml 1 +diml 2 > dimv, entonces L 1 L 2 { 0}. si dim(l 1 + L 2 ) =dimv, entonces L 1 L 2 = { 0}. si L 1 L 2 { 0}, entonces diml 1 +diml 2 > dimv. si L 1 L 2 = { 0}, entonces dim(l 1 + L 2 ) =dimv. (Examen final, junio 2000) (c) Sea V un espacio vectorial sobre IC y { a, b, c} una base suya V no es un espacio vectorial sobre IR. La dimensión del espacio vectorial V sobre IR es seis. { a, b, c} es una base del espacio vectorial V sobre IR. { a, b, c, a b + ci} es un sistema ligado del espacio vectorial V sobre IR. (Primer parcial, enero 2004) (d) En el espacio vectorial V de las matrices cuadradas reales n n. Llamamos S al subconjunto formado por todas las matrices ortogonales. S es un subespacio vectorial de V de dimensión n (n+1) 2. S es un subespacio vectorial de V de dimensión n (n 1) 2. S no es un subespacio vectorial de V. Ninguna de las anteriores es correcta. (Primer parcial, enero 2005) (e) Sea V un espacio vectorial real de dimensión 127. Puedo escoger 128 vectores de V que sean linealmente independientes. En un conjunto de 200 vectores de V siempre puedo seleccionar 127 que sean linealmente independientes. Toda aplicación lineal entre V y IR 127 es un isomorfismo. Ninguna de las anteriores afirmaciones es correcta. (Primer parcial, enero 2006) (f) En IR 2 consideramos las bases C = {(1, 0), (0, 1)}, B 1 = {(1, 2), (3, 5)} y B 2 = {(3, 1), (2, 1)}. Sean las matrices: A 1 = ; A = ; 2 1 Entonces si (x, y) son las coordenadas de un vector en la base B 1, las coordenadas de dicho vector en la base B 2 se obtienen mediante el producto: ( x y ) A 1 A 2. ( x ( x ( x y ) A 1 1 A 2. y ) A 1 A 1 2. y ) A 1 1 A 1 2. (Primer parcial, enero 2004)