Espacios vectoriales (Curso )

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1 ÁLGEBRA Práctica 5 Espacios vectoriales (Curso ) 1. En el espacio vectorial real IR 2 consideramos los siguientes subconjuntos: (a) A = {(x y) IR 2 x 2 + y 2 = 1}. (b) B = {(x y) IR 2 x = 3y}. (c) C = {(x y) IR 2 x + y = 1} (d) D = {(x y) IR 2 x = y; e y 0}. (e) E = {(x y) IR 2 x 2 + y 2 0}. - Representarlos gráficamente. - Basándose en su representación gráfica deducir cuales son subespacios vectoriales y cuáles no. - Probarlo. 2. Comprobar que el conjunto V de las funciones f : IR IR con las operaciones habituales de suma de funciones y producto de un número real por una función tiene estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo IR. Decidir cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales de V : (a) Funciones f tales que f(1) = f(0) + 1. (b) Funciones f tales que f(x) = f( x) x IR. 3. En IR 4 se consideran los sistemas S = { x 1 x 2 x 3 x 4 } y T = {ȳ 1 ȳ 2 ȳ 3 ȳ 4 ȳ 5 } donde: x 1 = ( ) x 2 = ( ) x 3 = ( ) x 4 = ( ) ȳ 1 = ( ) ȳ 2 = ( ) ȳ 3 = ( ) ȳ 4 = ( ) ȳ 5 = ( ). Comprobar si S y T son sistemas equivalentes. Hallar bases de L(S) y de L(T ). 4. Llamamos P n (x) al conjunto de los polinomios en x de coeficientes reales y de grado menor o igual que n. (a) Demostrar que P n (x) tiene estructura de espacio vectorial sobre IR. (b) Demostrar que el sistema formado por un polinomio y sus derivadas no nulas es libre. (c) Para qué polinomios p(x) P n (x) el sistema es una base de P n (x)? B = {p(x) p (x) p (x)... p (n) (x)} (d) Siendo n = 3 y p(x) = x 3 x dar las fórmulas que transforman las coordenadas contravariantes de un polinomio con respecto a la base canónica en las coordenadas contravariantes con respecto a la base {p(x) p (x) p (x) p (x)} y viceversa.

2 5. En el espacio vectorial real IR 3 consideramos las siguientes bases: - la base canónica C = {ē 1 ē 2 ē 3 } = {(1 ) (0 1 0) ( 1)}. - la base B = {ū 1 ū 2 ū 3 } = {(0 1 1) (2 ) (1 0 1)}. - la base B = { v 1 v 2 v 3 } = {(1 1 0) ( 1) (1 1 1)}. (a) Si (1 3 2) es un vector de IR 3 calcular sus coordenadas en cada una de las bases anteriores. (b) Denotamos por (y 1 y 2 y 3 ) las coordenadas de un vector en la base B. subespacio vectorial dado por la ecuacón: y 1 + y 2 + y 3 = 0 Consideramos el Calcular las ecuaciones paramétricas y cartesianas de este subespacio con respecto a cada una de las bases dadas. 6. En el espacio vectorial real V de las funciones continuas de [0 1] en IR se consideran los dos conjuntos siguientes: U 1 = { f V : 1 0 } f(x) dx = 0 U 2 = {f V : f es constante} (a) Comprobar que U 1 y U 2 son subespacios vectoriales de V. (b) Analizar si U 1 y U 2 son subespacios suplementarios de V. (c) Hallar si existe la proyección de h(x) = 1 + 2x sobre U 1 paralelamente a U 2. (Examen final setiembre 2002) 7. Sea M 2 2 (IR) el espacio vectorial de matrices reales de dimensión 2 2. Consideramos el conjunto de matrices: B = { ( 0 )} 0 (a) Probar que las matrices de B forman una base de M 2 2 (IR). (b) Sea S 2 M 2 2 (IR) el subespacio vectorial de matrices simétricas reales de dimensión 2 2. Escribir las ecuaciones cartesianas de S 2 en la base canónica y en la base B. (c) Definimos el conjunto: Probar que es un subespacio vectorial. W = {A M 2 2 (IR) ()A = ()}. (d) Calcular las ecuaciones paramétricas y cartesianas de W y W S 2 en la base canónica y en la base B. (Primer parcial enero 2005)

3 8. En el espacio vectorial real de las matrices 2 2 con elementos reales M 2 2 (IR) se consideran los subconjuntos U = {A M 2 2 (IR) traza(a) = 0} V = L{Id} (a) Probar que U es un subespacio vectorial de M 2 2 (IR). (b) Probar que U y V son subespacios suplementarios. (e) Sea H M 2 2 (IR) el subespacio vectorial de matrices antisimétricas. Calcular las ecuaciones paramétricas e implícitas de H + V y (H + V ) U. (Primer parcial enero 2008) 9. En IR 4 consideramos los subespacios vectoriales: U = L{(b b 1 1) ( ) ( )} V = L{( 1 1) (0 a 1 1) ( 0 1)} (a) Calcular la dimensión de U V en función de a y b. (c) Para a = 1 y b = 0 escribir las ecuaciones implícitas de U V respecto de la base canónica. (Examen final junio 2008) 10. En el espacio vectorial real de las matrices 2 2 con elementos reales M 2 2 (IR) se consideran los subespacios { } x y U = x + y 2z = t z t { } 3a + b b V = a b IR a a + b W = L (a) Hallar la dimensión y una base de U V y W. {} 0 1 (b) Hallar en la base canónica ecuaciones paramétricas y cartesianas de U V (c) Hallar en la base B = { } las ecuaciones paramétricas y cartesianas de V + W (Primer parcial enero 2007)

4 11. Sea P 2 (IR) el espacio vectorial de polinomios de grado menor o igual que 2 con coeficientes reales. Consideramos los subconjuntos: U = {p(x) P 2 (IR) 1 es raíz de p(x)}. W = {p(x) P 2 (IR) grado p(x) 1}. V = {p(x) P 2 (IR) 0 y 1 son raíces de p(x)}. (a) Probar que U V y W son subespacios vectoriales de P 2 (IR). (b) Estudiar si tiene sentido plantear las siguientes proyecciones: - La proyección del polinomio x 2 + x + 1 sobre U paralelamente a V. - La proyección del polinomio x 2 + x + 1 sobre U paralelamente a W. En caso afirmativo calcular dicha proyección. (Primer parcial enero 2007) 12. Encontrar la (única) respuesta correcta de entre las indicadas a las siguientes cuestiones: (a) Sean U y V subespacios vectoriales de un espacio vectorial E de dimensión finita. Si dim(u) + dim(v ) = dim(u + V ) entonces U y V son suplementarios. Si dim(u) = dim(v ) = dim(u V ) entonces U = V. Si dim(u + V ) = dim(e) entonces U y V son suplementarios. Ninguna de las anteriores respuestas es correcta. (Primer parcial enero 2008) (b) Sean F y G dos subespacios vectoriales de IR 100 de dimensiones 80 y 50 respectivamente. dim (F G) 30. F + G = IR 100. F G = G dim (F G) 30. (Primer parcial febrero 2001) (c) Sea U un espacio vectorial real y {ū 1 ū 2 ū 3 } un conjunto de vectores linealmente independientes de U. dim(u) = 3. dim(u) > 3. {ū 1 ū 1 + ū 2 ū 1 + ū 2 + ū 3 } pueden ser linealmente dependientes. Ninguna de las respuestas anteriores es correcta. (Primer parcial enero 2008)

5 (d) Sea V un espacio vectorial cualquiera. Dados tres subespacios vectoriales A B C siempre se cumple: (A + B) C (A C) + (B C). (A + B) C (A C) + (B C). (A + B) C (A C) + (B C). (A + B) C = (A C) + (B C). (Primer parcial enero 2007) (e) Sean U y W subespacios distintos de { 0} de un espacio vectorial real V. Entonces Siempre podemos plantear la proyección p sobre U paralelamente a W. De ser posible plantear la proyección p sobre U paralelamente a W Im(p) + W = V. De ser posible plantear la proyección p sobre U paralelamente a W es un monomorfismo. Ninguna de las anteriores afirmaciones es correcta. (Primer parcial enero 2007) (f) Sea V un espacio vectorial. Consideramos las bases B 1 = {ū 1 ū 2... ū n } y B 2 = {ū n ū n 1... ū 1 }. Sea M B1 B 2 la matriz de cambio de base de una a otra. det(m B1 B 2 ) = 1. det(m B1 B 2 ) = 1. det(m B1 B 2 ) = ( 1) n+1. Ninguna de las anteriores respuestas es correcta. (Primer parcial enero 2008)

6 ÁLGEBRA Problemas adicionales Espacios vectoriales (Curso ) I. Decidir cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales del espacio vectorial V de las funciones f : IR IR: (a) Funciones f tales que 2f(0) = f(1). (b) Funciones que toman valores distintos de 0 en todo punto. (c) Funciones f tales que f(0) es un número racional. II. En el espacio vectorial real de las matrices 2 2 con elementos reales M 2 2 (IR) se consideran los subespacios { } 2 2 U = L { } a + b a b V = a b IR a 2a + b (a) Determinar α y β para que pertenezca a U la matriz α 1. β 0 (b) Determinar α y β para que pertenezca a V la matriz 1 0. α β (c) Hallar la dimensión y una base de U. (d) Hallar la dimensión y una base de V. (e) Hallar en la base canónica ecuaciones paramétricas y cartesianas de U V (f) Hallar en la base canónica ecuaciones paramétricas y cartesianas de U + V III. Sea M n n (IR) el espacio vectorial de las matrices cuadradas de elementos reales y dimensión n. (a) Demostrar que si A M n n (IR) es una matriz fija el conjunto es un subespacio vectorial de M n n (IR). S = {B M n n (IR) : AB = Ω} (b) Si n = 2 y A es de la forma α 1 β 1 donde α β son números reales calcular en función de α β la dimensión y una base de S y las ecuaciones implícitas de un subespacio suplementario de S.

7 IV. En el espacio vectorial real de las matrices simétricas 3 3 con elementos reales S 3 decidir cuáles de los siguientes subconjuntos son subespacios vectoriales y para los que lo sean hallar una base así como unas ecuaciones (paramétricas e implícitas) en la base canónica y en la base 1 1 B = (a) Matrices regulares. (b) Matrices con traza nula. (c) Matrices cuyas dos primeras filas son iguales. V. Si W 1 W 2 y W 3 son subespacios vectoriales de un espacio vectorial V estudiar si son ciertas las fórmulas: (a) (W 1 + W 2 ) W 3 (W 1 W 3 ) + (W 2 W 3 ). (b) (W 1 W 3 ) + (W 2 W 3 ) (W 1 + W 2 ) W 3. (Examen final junio 2005) VI. Sea U el subespacio de IR 3 dado por las ecuaciones cartesianas: { x + y + z = 0 U z = 0 Es posible determinar un subespacio V de IR 3 de forma que U V = { 0} y U +V x+y+z = 0?. Justifica tu respuesta. (Examen final junio 2006) VII. En un espacio vectorial real E de dimensión 4 se consideran dos subespacios vectoriales V y W que con respecto a determinada base de E vienen descritos por las ecuaciones V : { x ay + z + bt = 0 y t = 0 W : { ax y bz + t = 0 x + z = 0 donde a b son dos números reales arbitrarios. En función de a y b calcular las dimensiones de los subespacios V W V W y V + W. (Examen final julio 2002) VIII. En IR 4 se define el subespacio F engendrado por los vectores: u 1 = ( ) u 2 = ( ) u 3 = ( ). Además se define la relación: Es R una relación de equivalencia? cociente. u v IR 4 urv v u F. (Examen extraordinario diciembre 2005) Si lo es hallar las clases de equivalencia del espacio

8 IX. Consideremos los subespacios U y W de IR 3 tales que U está generado por los vectores (1 0 1) (0 1 1) (1 1 2) y la ecuación implícita de W es x y + 2z = 0. Se pide: (a) Bases de U W U + W y U W. (b) Ecuaciones implícitas de U W. (c) Base de un subespacio H suplementario de U W. (d) Proyección del vector (2 3 5) sobre el subespacio U W paralelamente a H. (Examen final junio 2006) X. En el espacio vectorial IR 3 dados dos valores reales a b R se definen los subespacios: U = L{(1 a 1) (b 1 a)} V = L{(0 1 1) (a 1 1 b)}. (a) Calcular en función de a y b la dimensión de U V. (b) Calcular los valores de a y b para los cuales los subespacios son suplementarios. (d) Para a = b = 0 calcular las ecuaciones cartesianas y paramétricas de U V. (Examen final septiembre 2008) XI. Encontrar la (única) respuesta correcta de entre las indicadas a las siguientes cuestiones: (a) Sea S = { x 1... x p } sistema ligado de vectores de un espacio vectorial V. Cualquier vector de S se puede poner como combinación lineal de los restantes. S contiene alguna base de V. dim L(S) < p S se puede completar a una base de V. (b) Si L 1 y L 2 son dos subespacios de un espacio vectorial V se tiene si diml 1 +diml 2 > dimv entonces L 1 L 2 { 0}. si dim(l 1 + L 2 ) =dimv entonces L 1 L 2 = { 0}. si L 1 L 2 { 0} entonces diml 1 +diml 2 > dimv. si L 1 L 2 = { 0} entonces dim(l 1 + L 2 ) =dimv. (Examen final junio 2000) (c) Sea V un espacio vectorial sobre IC y { a b c} una base suya V no es un espacio vectorial sobre IR. La dimensión del espacio vectorial V sobre IR es seis. { a b c} es una base del espacio vectorial V sobre IR. { a b c a b + ci} es un sistema ligado del espacio vectorial V sobre IR. (Primer parcial enero 2004) (d) En el espacio vectorial V de las matrices cuadradas reales n n. Llamamos S al subconjunto formado por todas las matrices ortogonales. S es un subespacio vectorial de V de dimensión n (n+1) 2.

9 S es un subespacio vectorial de V de dimensión n (n 1) 2. S no es un subespacio vectorial de V. Ninguna de las anteriores es correcta. (Primer parcial enero 2005) (e) Sea V un espacio vectorial real de dimensión 127. Puedo escoger 128 vectores de V que sean linealmente independientes. En un conjunto de 200 vectores de V siempre puedo seleccionar 127 que sean linealmente independientes. Toda aplicación lineal entre V y IR 127 es un isomorfismo. Ninguna de las anteriores afirmaciones es correcta. (Primer parcial enero 2006) (f) En IR 2 consideramos las bases C = {(1 0) (0 1)} B 1 = {(1 2) (3 5)} y B 2 = {(3 1) (2 1)}. Sean las matrices: A 1 = ; A = ; 2 1 Entonces si (x y) son las coordenadas de un vector en la base B 1 las coordenadas de dicho vector en la base B 2 se obtienen mediante el producto: ( x y ) A 1 A 2. ( x ( x ( x y ) A 1 1 A 2. y ) A 1 A 1 2. y ) A 1 1 A 1 2. (Primer parcial enero 2004)