{ } { 1, 0, 0, 0, 0,1,1,1,(1,1,1,1)} ( ) ( ) ( )

Transcripción

1 .- Se considera R con la suma habitual con el producto por un escalar que se indica en los casos siguientes. Prueba que en ninguno de ellos, (R,+, ) es espacio vectorial señalando alguna propiedad del producto que no se cumpla: λ,, z = λ, λ, z a) ( ) ( ) b) λ (,,z) = (,,) c) λ (,,z) = ( λ,λ,λ z).- Definimos en R las operaciones siguientes:, + ',' = + ', + ' + ( ) ( ) ( ) λ (, ) = ( λ, λ +λ ) Determinar, para la suma, el elemento neutro el elemento opuesto de (, ) Probar que R con dichas operaciones es un espacio vectorial..- En cada caso, determinar si F es un subespacio vectorial de R. En caso afirmativo, buscar una base unas ecuaciones implícitas paramétricas de F. a) F = { (, αβ, ) R / αβ, R} b) F = { (, αβ, ) R / αβ, R} c) F = { (,, z ) R / + + z = } d) F = ( α, β, γ) R / α, β, γ R { } e) F = {(,,z) R / ++z =, z = - } f) F = {(,,z) R /,, z } g) F= {(,,z) R / má(,,z)<}.- Sea A={(,,), (-,,), (-,,), (5,,)}. Indicar si son correctas o falsas las siguientes cuestiones: a) A es libre. b) A es sistema generador de un subespacio vectorial. c) A es una base de R. d) rango(a)=. e) El vector (,,) es combinación lineal de los vectores de A. f) El vector (,,) < A >. 5.- Qué valores deben tener m n para que el vector {,,,,,,,,(,,,)} (-,m,n,m-n) ( ) ( ) < >? U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia Cartografía.

2 6.- Sea Pn() el espacio vectorial de los polinomios con coeficientes reales de grado menor o igual que n. Demostrar que el polinomio n sus n primeras derivadas forman una base de Pn() e indicar las coordenadas del polinomio ++ en esta base. 7.- Determinar si los conjuntos siguientes G G generan el mismo subespacio vectorial de R o subespacios distintos G={(,,-), (,,-)} G = {(,,-), (,,-), (,,-)} 8.- Sea el subespacio vectorial E formado por el conjunto de matrices cuadradas que permutan con la matriz A =. Y sea el subespacio vectorial F= a b / a, b, c R Se pide: c a a) Demostrar que E es un subespacio vectorial. b) Una base de E. c) Los subespacios vectoriales E F E+F. 9.- a) Para qué valores de los siguientes sistemas de vectores son bases de { } R? B = (,, ), (,, ), (,,) ; B = (,, ), (,, ), (,,) { } b) Para =, escribir las ecuaciones de cambio de base de B a la canónica, de la canónica a B, de B a B de B a B..- Hallar las coordenadas del vector u (,, z) donde v = (,, ), v = (, 7, ) v (,, ) cambio de la base B a la canónica? = en la base B' = { v,v,v} =. Cuál es la matriz de.-a) Probar que los sistemas de vectores G G generan el mismo subespacio vectorial F de R. G= {(,,-,), (,8,-,-), (,,,), (,5,,)} G= {(,-,-,-), (,,-,-5), (,,-5,-), (,,-,-)} b) Hallar la dimensión, una base escalonada, unas ecuaciones paramétricas las ecuaciones cartesianas de F.(Vamos a llamar bases escalonadas de F a aquellas cuos vectores se pueden disponer como las filas de una matriz escalonada) U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia Cartografía.

3 c) Sea H = {(,, z, t) R tales que + + z =, + z - t = }. Se pide:. Hallar la dimensión una base de H, de F + H de F H respectivamente.. Unas ecuaciones cartesianas de F + H de F H. d) Es H un subespacio suplementario de F? En caso contrario halla un subespacio suplementario de F..- Sea la matriz A B = = { u,...,u} B' { v,..., v} =. Escribir base B. Hallar la matriz de cambio de base de B a B. de cambio de base de B a B, siendo u en función de los vectores de la.- Comprobar que B= {(,,), (,,), (,,)} B = {(,,), (,,), (,,)} son bases de R calcular las ecuaciones matriciales de cambio a) de la base B a la base canónica BC b) de la base B a BC c) de la base B a B d) de la base B a B..- Se consideran los tres subespacios de R siguientes: { ( ) } ( ) ( ) ( ) F = αβ,,, / αβ, R F =<,,,,,,, > F =<,,, > a) Hallar F + F b) Hallar F + F c) Las sumas anteriores son sumas directas? Cuando así ocurra, escribir la descomposición única de cada vector de la suma en suma de dos vectores uno de cada subespacio. U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia Cartografía.

4 5.- Dados los subespacios vectoriales F determinado por las ecuaciones = λ =λ +λ + = cartesianas G por las ecuaciones paramétricas =λ +λ + 5 = =λ +λ 5 =λ +λ del espacio vectorial R 5, se pide: bases de F, G, F+G F G. 6.- Determinar, en cada caso, si los vectores dados generan /o libre de R. { } { } { } a) (,,, ),(,,, ),(,,, ),(,,, ) b) (,, 5, ), (,,, ), (,,, ), (,, 5, ) c) (,,,5 ), (,,, ), (,,, ) 7.- Escribir cada uno de los siguientes polinomios como combinación lineal de +, +, +. a) + + b) + c) + d) 8.- Determinar si los conjuntos siguientes G G generan el mismo subespacio vectorial de R o subespacios distintos a. G={(,,-), (,,), (,,)} G = {(,,-), (,,)} b. G={(,,-), (,,), (,,)} G = {(,,-), (,-,)} 9.- Si { u, v, w, z} es libre, cuáles de los siguientes conjuntos también lo son? a) { u v,v w,w u} b) { u+ v,v+ w,w+ u} c) { u v,v w,w z,z u} d) { u+ v,v+ w,w+ z,z+ u}.- En V = R, sea ( ) suplementario de F. { } F =,, z / + + z =. Buscar un subespacio U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia Cartografía.

5 .- Sean F F los siguientes subespacios vectoriales de R 5 : { } { } F = / = 5 F = / =... = 5 Analizar si F F son subespacios suplementarios de R 5 obteniendo la descomposición de cualquier vector u F. 5 u R en suma u u u = +, donde u F.- En cada caso, encontrar una base de V que contenga a v /ó w : a) V = R, v = (,, ) b) V = R, v = (,,, ), w = (,,,) c) V = P, v = +, w = +.- Sea el subespacio vectorial F generado por los siguientes vectores de espacio vectorial R : u = (,,,);u = (,,,);u = (,,,). Se pide: a) Rango de H = { u ;u ;u }. Qué clase de sistema es H? Eiste alguna relación de dependencia entre los vectores u, u u? b) Dimensión una base F. c) Las coordenadas de los vectores u, u u respecto de la base obtenida en el apartado anterior. d) Unas ecuaciones paramétricas de F. e) Unas ecuaciones cartesianas o implícitas de F. f) A partir de las ecuaciones cartesianas otras ecuaciones paramétricas distintas del apartado d). g) El vector (,,,) pertenece o no a F? h) Una base B* del espacio vectorial R que contenga a los vectores de una base de F. i) Las ecuaciones del cambio de base de la base B* (del apartado anterior) a la base canónica Bc de R. j) Las ecuaciones del cambio de la base Bc a la base B* k) La epresión analítica del vector e de la base canónica respecto de la base B*..- Si F G son subespacios de V, demostrar que F Ges subespacio de V si solo si F G ó G F. U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia Cartografía. 5

6 5.- Sea V el espacio vectorial de las funciones reales de variable real. Sea F f V / f es par F = g V / g es impar. Demostrar: = { } { } a) F F son subespacios vectoriales de V. f( ) + f( ) f( ) f( ) b) V = F F (Nota: f( ) = + ). 6.- Consideremos el conjunto R formado por todas las parejas (,) de números reales. Se define en R la operación interna (,)+(, )=(+,+ ) una de las operaciones eternas siguientes: a) λ(,)=(λ,) b) λ(,)=(λ,λ) c) λ(,)=(λ+λ-,λ+λ-) d) λ(,)=(λ,λ) para λ R.Decir, para cada uno de los cuatro casos, si se obtiene o no una estructura de espacio vectorial en R. 7.- Comprobar que el conjunto {(,,), (,,), (,,)} forma una base del espacio R. Hallar las coordenadas del vector (,5,) en dicha base. 8.- Demostrar que los vectores (,,-,), (,,,-) (,,,) son linealmente independientes. Construir, a partir de la base canónica, una base que contenga a estos tres vectores. 9.- Encontrar una base del subespacio F de R engendrado por los vectores (,,) (-,5,) (,9,8). Qué valor ha que dar a para que el vector (,6,) sea de este subespacio?.- Si los números, 5 son las coordenadas de un vector v en la base {(,,),(,,), (,,)}, hallar las coordenadas del vector v en la base canónica..- Sean B = { u, v, w } B' { u ', v ',w'} u ' = u + v + w, base B a B de la base B a B. = dos bases de R, tales que v' = u + v w' = u + w. Hallar las ecuaciones del cambio de la 6 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia Cartografía.

7 .- Dadas las bases de R, B={ u = (,,), u = (-,,), u = (,,-)} B ={ v = (,,), v = (,,), v = (,,)}. a) Hallar la epresión analítica del cambio de base de B a B, de B a B de B a la base canónica. b) Si a = (,, ) respecto de B cuáles son sus coordenadas respecto de B? c) Si b = v v, escribir la epresión de b respecto de B..- Sea la matriz A= de cambio de base de B a B, siendo B={ u, u, u } B ={ v, v, v }. Escribir el vector u en función de los vectores de B. Hallar la matriz del cambio de base de B a B..- Consideremos las bases de V : e = (,,),e = (,,),e = (,,) B={ } B = u =(,, ),u =(,,- ), u =(,-, ). a) Hallar el cambio de base de B a B b) Hallar el conjunto F de vectores que tienen las mismas coordenadas respecto de B de B. Demostrar que F es subespacio de V hallar una base de F., a) Hallar el rango de la matriz A=. b) Hallar una base del subespacio engendrado por los vectores fila de la matriz A. c) Hallar unas ecuaciones vectoriales, paramétricas e implícitas de dicho subespacio. 6.- Hallar una base del subespacio vectorial F formado por las matrices de la a b forma. Encontrar un subespacio suplementario de F. b 7.- Sea F el subespacio vectorial F = < (,-,), (,6,), (,5,), (,,) >. Se pide: a) Una base unas ecuaciones paramétricas de F. b) Un subespacio G suplementario del subespacio F. U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia Cartografía. 7

8 c) Sea = (,, ). Indicar si F ó G ó F + G. Descomponer el vector u = (,, ) F. en suma de dos vectores, uno paralelo otro perpendicular al vector d) Una base B del espacio vectorial F+G. e) Una superficie en R tiene de ecuación +-z+ +z+z =. Determinar la ecuación (lo más simplificada posible) de esta superficie, respecto de la nueva base: B = u =,,,v =,,,w =,,. f) Ecuaciones del cambio de base de B a B. g) El conjunto H de vectores que tienen las mismas coordenadas respecto de B B. h) Demostrar que H es un subespacio vectorial del espacio vectorial R. 8.- Se considera el espacio vectorial R. Se pide: a) Determinar si los siguientes conjuntos de vectores generan V: { } { ( ) ( ) ( ) ( )} F = u = (,,, ), u = (,,, ), u = (,,, ), u = (,,,) H = v =,, 5,, v =,,,, v =,,,, v =,, 5, Cuál de ellos es, pues, una base de R, que llamaremos B? b) Sean S = {,, z} T { u, v, w} = donde: = = (,,5, ) u (,,, ) = (,, 5, 6 ) v = (,,, ) z = (,,, ) w = ( 9,,, ) Sea U =< S > V =< T >. Hallar la dimensión una base de cada uno de los subespacios U, V, U + V U V. c) Completar la base de U + V obtenida en el apartado anterior para formar una base B de R. Escribir las ecuaciones de cambio de base de B a B de B a B. 9.- a) Demostrar que si los vectores e,e,e son base de R el vector u es tal que u= λ e +λ e +λe con λ entonces los vectores e,u,e son base de R. b) Generalizar el resultado anterior: Si e,e,...,en son una base de un espacio vectorial V u= λ e +λ e λne, con n λ, entonces los vectores i e,e,...e,u,e,...,e son también base de V. i i+ n 8 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia Cartografía.

9 .- Sea { v, v,..., vn } una base de un espacio vectorial E. Demostrar que los n vectores de E siguientes: w = v,w = v + v, w = v + v + v,...,w = v + v v son base de E. n n.- a) Hallar la suma la intersección de los subespacios vectoriales E F definidos por los siguientes sistemas generadores: E=<(,,), (,,), (,6,)>; F=<(,,), (,-,), (,,-5)> b) Son E F suplementarios? c) Sean B={(,,), (,,), (,,)} B={(,,), (,,), (,-,)} dos bases de R. Hallar el cambio de base de B a B las coordenadas respecto de B de B del vector de coordenadas (,,) en la base canónica..- En R se considera el subespacio vectorial S engendrado por los vectores {(,,), (,,), (,-,)} el hiperplano H de ecuación { + = } respecto de la base canónica de R. Se pide:. Ecuaciones paramétricas e implícitas de S de H. Obtener las bases de S H S+H.- a) Hallar el rango de la matriz A = b) Sea F el subespacio vectorial de R engendrado por los vectores fila de la matriz A. Hallar una base de F. c) Hallar unas ecuaciones paramétricas de F. d) Hallar unas ecuaciones implícitas de F. e) Sea C el subespacio vectorial de R engendrado por los vectores columna de la matriz A. Hallar una base de C. f) Encontrar una relación de dependencia lineal eistente entre los vectores columna de la matriz A. g) Hallar unas ecuaciones paramétricas de C. h) Hallar unas ecuaciones implícitas de C. i) F C son hiperplanos distintos? j) Calcular una base unas ecuaciones paramétricas de F C..- Sea G el subconjunto de vectores de. formado por los vectores {(,,,), (,6,,), (,,,), (,,,6)} sea S el subespacio vectorial U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia Cartografía. 9

10 generado por dichos vectores. Se pide: a) Obtener una base de S b) Ecuaciones paramétricas e implícitas de S c) Valores de los parámetros a b para que los vectores (a,a,,) (,b,,b) pertenezcan ambos a S. 5.- Se consideran en R los subespacios vectoriales S = < (,,, ), (, -,, -)> T = < (,,, ), (,, -, ), (, 5, -, 5)> a) Hallar la dimensión unas ecuaciones implícitas del subespacio S + T. b) Hallar la dimensión unas ecuaciones paramétricas del subespacio S T. B { u,,,u,,,u,, } { ( ) ( ) ( )} 6.- Dadas las bases ( ) ( ) ( ) = = = = B = v =,,, v =,,, v =,, del espacio vectorial R. Se pide: a) Ecuación matricial del cambio de base de B a la base B. b) Ecuación matricial del cambio de base de B a la base B. c) Si el vector tiene coordenadas (,,) respecto de la base B cuáles son sus coordenadas respecto de la base B? 7.- Sea el subespacio vectorial F de R generado por los siguientes vectores: u =,,, u =,,, ; u = 5,,,. Se pide: ( ) ; ( ) ( ) a) Una base de F. b) Ecuaciones paramétricas de F. c) Una base B de R que contenga la base de F obtenida en el apartado a). d) Las ecuaciones del cambio de base de la canónica Bc de R a la base B (del apartado anterior). 8.- En el espacio vectorial real R, se consideran los siguientes conjuntos de vectores: S = { u = (,,, 5 ),v = (,,, ),w = (,,5, 9 ),t = (,,, ) } T = p =, 5,,, q =,,, 7 { ( ) ( ) } Sean F G los subespacios engendrados por S T, respectivamente, es decir: F = S G = T. a) Hallar los rangos de S de T. U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia Cartografía.

11 b) Hallar a b para que el vector (, a,, -b) F. c) Dar unas ecuaciones implícitas de F de G. d) Calcular la dimensión una base de cada uno de los subespacios siguientes: F, G, F+G F G. Es F+G suma directa?. Escribir e) Hallar una base B de R que contenga a los vectores { u, v, p } las ecuaciones de cambio de base de B a la base canónica de la base canónica a B. 9.- Sea A = {(,, -, ), (, 8, -5, 7), (, 9,, )} R. Se pide: a) Estudiar si A es un sistema libre o ligado. b) Si F es el subespacio vectorial de R generado por A, hallar a partir de A, una base BF, unas ecuaciones paramétricas unas ecuaciones cartesianas de F. c) Hallar una base BS de un subespacio S, que sea suplementario de F, tal que BF BS sea una base escalonada de R. d) Sean B = {(,, ), (,, ), (,, )} B = {(-,, ), (,, ), (,, )} R. Comprobar que B B son bases de R hallar las ecuaciones del cambio de B a B. 5.- Sean los subespacios vectoriales: = {( α+γ β+γ α+β+ γ) αβ γ } ; ( ) E,, /,, R Se pide: a) Bases de E, F, E+F E F. b) Ecuaciones implícitas de E F. { } F =,, z R / + z = 5.- Sea el vector a = (,,) epresado en la base B={ v,v,v} vectorial R. Hallar las coordenadas de a en la base B' { u,u,u } que: u = v + v v u = v + v + v u = v v + v del espacio =, sabiendo 5.- Dado el espacio vectorial R : a) Hallar una base del subespacio vectorial generado por los vectores: a =,,, b =,,, c =,,, d =,, epresar el vector d en { } S= ( ) ( ) ( ) ( ) dicha base. U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia Cartografía.

12 b) Encontrar un vector común al subespacio E generado por los vectores u = (,, ) u = (,,) al subespacio F generado por los vectores v = (,,) v =,,. ( ) c) Indicar si los subespacios vectoriales H = {(,,z)/ + z = ; + = } G={ ( α β+, γ β α, γ α β+ )/ γ αβ,, γ R} son iguales. d) Sean B = { u = (,, ), v = (,, ), w = (,, )} B' = u' =,,,v' =,,,w' =,,. Hallar la matriz del cambio de { ( ) ( ) ( )} base de B a B. 5.- a) Dados los subespacios vectoriales de R siguientes: = λ +λ =λ λ + z = F λ, λ R G z = λ + t = t = λ λ Se pide calcular sendas bases de F, G, F + G, F G. b) Dadas las bases de R siguientes: B = {(,,), (,,), (,, )} B = {(,,), (,,), (-,,)} Se pide hallar la ecuación matricial del cambio de la base B a la base B. 5.- En R consideramos los subespacios vectoriales: A = {(,, z, t) R tales que - = z-t = z- = } B = (,,, ), (,,, ), (,,, ), (,,,) ( ) { } C = α+β+γ, α+ γ, γ, β R tales que αβγ,, R. Se pide: a) Dimensión una base del subespacio B C. b) Dimensión una base del subespacio A+C. c) Determinar un subespacio A tal que A A = R Encontrar los escalares que permiten escribir el vector de R, (8,,, ) como combinación lineal de los vectores (,,, ), (,,, ), (,,, ) Se consideran los vectores a =(,,,), a =(,,-,), a =(,,,) E =< a, a, a > G =,,,, R / = subespacios vectoriales { } ( ) de R. Se pide: a) Dimensión bases de E G. b) Dimensión una base de un suplementario de E que se denominará F. c) Ecuaciones implícitas de E. d) Dimensión una base de E G. e) Formar una nueva base de R, B formada por U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia Cartografía.

13 los vectores a, a Espacio Vectorial los restantes vectores pertenecientes a G. f) Encontrar las coordenadas de los vectores a b = e + e + e + e en la base B, siendo B = e, e, e, e la base canónica. { } 57.- En el espacio vectorial R se tienen las siguientes bases: B = { (,,), (,,), (,,)}, B' { (,,), (,-,), (,,)} { } * B u,u,u = =. Sean (,, z), (,, z ) ( *, *, z * ) las coordenadas de un vector en las bases B, B B * respectivamente. a.- Escribir la ecuación matricial del cambio de base de B a B. * * = + z * * b.- Sabiendo que = z z = + z respecto de B de B. * *, dar las coordenadas de los vectores u,u,u 58.- Se considera un subespacio F de ecuaciones a.- Obtener una base de F. =α β = α. z = β {,,,(,,)} b.- Si G es el subespacio generado por el sistema ( ), b..- Hallar unas ecuaciones paramétricas unas ecuaciones cartesianas del subespacio G. del subespacio F b..- Hallar unas ecuaciones paramétricas unas ecuaciones cartesianas G En el espacio vectorial R se tienen las siguientes bases: B = { (,,), (,,), (,,)}, B' { (,,), (,,), (,-,) } { } * B u,u,u = =. Sean (,, z), (,, z ) ( *, *, z * ) las coordenadas de un vector en las bases B, B B * respectivamente. a.- Escribir la ecuación matricial del cambio de base de B a B. U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia Cartografía.

14 b.- Sabiendo que * * = + z * * = z z = + z * * Espacio Vectorial, dar las coordenadas de los vectores u,u,u respecto de B de B. 6.- Se considera un subespacio F de ecuaciones = α =α β z = β. a.- Obtener una base de F. {,-,, (,,)} b.- Si G es el subespacio generado por el sistema ( ), b..- Hallar unas ecuaciones paramétricas unas ecuaciones cartesianas del subespacio G. del subespacio F b..- Hallar unas ecuaciones paramétricas unas ecuaciones cartesianas G. B = e,e,e. Se 6.- En un espacio vectorial V, sea la base canónica { } considera el subespacio S de ecuación cartesiana en = -z. a) Obtener una base de S formada por vectores unitarios. e + e -e, e + e, hallar b) Si S es el subespacio engendrado por el sistema { } unas ecuaciones paramétricas cartesianas del subespacio S. c) Hallar una base de cada uno de los subespacios vectoriales S S S+S. 6.- Dado el espacio vectorial R consideremos los subespacios: V = <(,,, )> {,, z, t / - + z + t =, -z = } V = ( ) = λ =λ+µ V = = γ = µ a) Hallar una base de cada uno de los subespacios anteriores. U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia Cartografía.

15 b) Pertenece el vector v = (,,, ) a V ó V ó V? En caso afirmativo calcular sus coordenadas respecto de la base correspondiente obtenida en el apartado a). 6.- En R consideramos los subespacios vectoriales {( ) } A =,,z,t R = = z, {( ) } B =,,z,t R / =α+β+γ+µ, =α+β+ µ,z =γ+µ,t =β+γ a) Calcular una base dimensión de A de B. b) Calcular una base dimensión de A B de A + B. c) Determinar un subespacio F suplementario de A. 6.- En el espacio vectorial real de dimensión cuatro. Se dan las bases B = { u, u, u, u } B' { v, v, v, v } = las cuales están relacionadas por u = v + v + v u = v + v v u = v + v v u = v + v + v º Se considera el vector R cuas coordenadas respecto de la base B son =,,,. Determinar sus coordenadas respecto de la base B. ( ) º Se considera el vector R ( ) cuas coordenadas respecto de la base B son = -,,,. Determinar sus coordenadas respecto de la base B En R consideramos los subespacios vectoriales: F = {(,, z, t) R tales que = = z} {( ) } G =,,z,t R tales que =α+β+γ, =α+ γ,z = γ,t =β a) Calcular una base la dimensión de los subespacios F, G, F G de F+ G. b) Determinar un subespacio F para que F F = R Dadas las bases de R, U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia Cartografía. 5

16 { ( ) ( ) ( )} ( ) ( ) ( ) B = u =,,, v =,,, w =,, { } B = u =,,, v =,,, w =,, a) Hallar la ecuación matricial de cambio de base de B a B. a =,, respecto de la base B, cuáles son sus coordenadas b) Si ( ) respecto de B? c) Cuáles son las coordenadas del vector w respecto de la base B?, 67.- En R consideramos los subespacios vectoriales: A = (,,,) (,,, ) (,,, ) (, 7,, ) ( ) { } E =,, z, t R tales que + + z =, --z = a) Calcular una base la dimensión de los subespacios A, E, A E de A+E. b)determinar un subespacio A para que A A = R Dadas las bases de R, B = { u, v, w } B' { u ', v ',w'} = sabiendo que: u = u ' v '; v = u ' w '; w=v'+ w' a) Hallar la ecuación matricial de cambio de base de B a B. a =,, respecto de la base B, cuáles son sus coordenadas b) Si ( ) respecto de B? c) Cuáles son las coordenadas del vector w respecto de la base B respecto de la base B? 69.- En R consideramos los subespacios vectoriales: S = {(,, z, t) R tales que z + t = } T = (,,, ) ; (,,, ) ; (,,, ) ; (, a,,) a) Calcular el valor de a para que T tenga dimensión. b) Con el valor de a determinado, hallar la dimensión una base de los subespacios S T de S+ T. c) Determinar un subespacio S para que S S = R. 7.- Se consideran dos bases de R: B = u =,,, v = -,,, w =,, { ( ) ( ) ( )} ( ) ( ) ( ) { } B = u =,,, v =,7,-, w =,, 6 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia Cartografía.

17 a) Hallar la ecuación matricial de cambio de base de B a B. a =, -, respecto de la base B, cuáles son sus coordenadas b) Si ( ) respecto de B? c) Cuáles son las coordenadas del vector w respecto de la base B, respecto de la base B respecto de la base canónica? U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia Cartografía. 7

18 .- Se considera R con la suma habitual con el producto por un escalar que se indica en los casos siguientes. Prueba que en ninguno de ellos, (R, +, ) es espacio vectorial señalando alguna propiedad del producto que no se cumpla: λ,, z = λ, λ, z a) ( ) ( ) b) λ (,,z) = (,,) c) λ (,,z) = ( λ,λ,λ z) a) [A6] ( λ + µ )a = λa + µ a λ, µ K. a R ( λ+µ )a = ( λ+µ )(,,z) = (( λ+µ ), ( λ+µ ),z) = (( λ +µ ),( λ +µ ),z) λ +µ =λ ( ) +µ ( ) = ( λ λ ) + ( µ µ ) = ( λ +µ ) ( λ +µ ) ( λ+µ ) λ a+µ a. ( ) a a,,z,,z,,z,,z,,z No se cumple la condición A6 b) [A8]. a = a para cualquier a = (,, z) = (,,) a a a. No se cumple la condición A8 c) [A8]. a = a para cualquier a = (,, z) = (,,z) a a a. No se cumple la condición A8 a R. a R. 8 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia Cartografía.

19 .- Definimos en R las operaciones siguientes:, + ',' = + ', + ' + ( ) ( ) ( ) λ (, ) = ( λ, λ +λ ) Determinar, para la suma, el elemento neutro el elemento opuesto de (, ) Probar que R con dichas operaciones es un espacio vectorial. Previamente comprobemos que R con la suma tiene estructura de grupo abeliano: [A] Asociativa: ( a + b ) + c = a + ( b + c) a, b, c R. Sean a = (, ), b = ( ', '), c = ( '', '') R entonces: a+b +c= (,)+(',') +('','')=(+',+'+)+('','')= (+')+'',(+')+''+ a+ b+c =(,)+ (',')+('','') =(,)+('+'','+''+)= +('+''),+('+'')+. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Por ser R un cuerpo se cumple la asociativa se tiene que a + b + c = ( +'+'',+'+''+ ) = a + ( b + c ) se verifica la propiedad asociativa = a + b + c ( ) ( a + b ) + c ( ) [A] Eistencia de elemento neutro: Eiste un elemento el vector nulo, que designaremos = (, ) que verifica que a + = + a = a para cualquier a R. En efecto: a + = (,) + (, ) = ( +, + ) = (,) = a por otra parte + a = (, ) + (, ) = ( +, + + ) = (, ) = a luego a + = + a = a = (, ) es el vector nulo. [A] Eistencia de elemento simétrico: Para cualquier a R eiste un único elemento de R, que designaremos por - a = (, ) = (-, --) tal que a + a ( ) = ( a) + a =. El elemento a = (, ) es el elemento opuesto del vector a = (, ) R a que a + ( a) = (,) + (, ) = (, + ) = (, ) = que ( a) + a = (, ) + (, ) = ( +, + + ) = (, ) = se cumple a + ( a) = ( a) + a =. [A] Conmutativa: a + b = b + a a, b R Sean a = (, ), b = ( ', ') R entonces: a+b=(,)+(',')=(+',+'+) permutando b+a=(',')+(,)=('+, '++) por ser conmutativo R a + b = b + a. Por tanto, es (R,+) un grupo conmutativo. λ(,)=(λ, λ+λ-) Vamos a estudiar las cuatro condiciones: [A5] λ (a + b) = λa + λb λ K a, b R En efecto: λ (a + b) = λ( (,)+(',') ) = λ (+',+'+) = U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia Cartografía. 9

20 =( λ+ λ', λ+ λ'+ λ+ λ -) = ( λ, λ+ λ-)+( λ', λ'+ λ -) = λ a + λb [A6] ( λ + µ )a = λa + µ a λ, µ K a R. En este caso: ( λ+µ )a = ( λ+µ )(, ) = (( λ+µ ), ( λ+µ ) + ( λ+µ ) ) = (( λ +µ ),( λ +µ +λ+µ ) ) = = λ +µ, λ +λ +µ +µ + = λ, λ +λ + µ, µ +µ =λ, +µ, =λ a +µ a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [A7] λ ( µ a) = ( λµ ) a λ, µ K a R. Ahora: λ µ a = λ µ (, ) = λ µ, µ + µ = λµ, λµ + λµ λ + λ = ( λµ )(, ) = ( λµ )a ( ) ( ) ( ) ( ) [A8] El elemento unidad del cuerpo K, que designaremos por, verifica. a = a para cualquier a R. Por último:.a = (, ) = (, + ) = (, ) = a. Cumple las ocho condiciones con estas operaciones R es un espacio vectorial sobre K. U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia Cartografía.

21 .- En cada caso, determinar si F es un subespacio vectorial de R. En caso afirmativo, buscar una base unas ecuaciones implícitas paramétricas de F. a) F = { (, αβ, ) R / αβ, R} b) F = { (, αβ, ) R / αβ, R} c) F = { (,, z ) R / + + z = } d) F = ( α, β, γ) R / α, β, γ R { } e) F = {(,,z) R / ++z =, z = - } f) F = {(,,z) R /,, z } g) F= {(,,z) R / má(,,z)<} a) No es subespacio, pues F. b) Sí es subespacio; una base es {(,,), (,,) } Ecuaciones paramétricas:. = = α ; implícitas: =. z = β c) Sí es subespacio; una base es {(,,), (,,) } Ecuaciones paramétricas: d) No es subespacio; ( ) F. = α + β = α ; implícitas: -++z =. z = β, en general. + + z = e) En este caso, el sistema se puede escribir z = - = z abreviadamente AX= el subconjunto F={X/AX=} siendo A = X = = ; ;, z a = X F AX = entonces λ, µ K, a,b F λ a+ µ b F se cumple, puesto que resulta b = X' F AX' = que λ a+µ b=λ X+µ X' F a que A( λ X) + B( µ X') = λ ( AX) + µ ( AX' ) = λ + µ = + =. Tenemos un subespacio vectorial, por ser un sistema de ecuaciones lineales homogéneo. U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia Cartografía.

22 Para obtener una base resolvemos dicho sistema quedando {(,,-)}. = α = z = = z = α una base posible f) En este caso: F = {(,,z) R /,, z } basta con considerar un vector (,,) del subconjunto F observar que su opuesto (-)(,,) = (-,,) a no es un vector del subconjunto F, a que < no se cumple. Por tanto F no es un subespacio vectorial. g) F = {(,,z) R / má(,,z)<} es un caso análogo al anterior, tomando al vector (/,,) del subconjunto F se le multiplica por se obtiene (/,,)=(/,,) con /> por consiguiente (/,,) F, luego F no es un subespacio vectorial. U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia Cartografía.

23 .- Sea A={(,,), (-,,), (-,,), (5,,)}. Indicar si son correctas o falsas las siguientes cuestiones: a) A es libre. b) A es sistema generador de un subespacio vectorial. c) A es una base de R. d) rango (A)=. e) El vector (,,) es combinación lineal de los vectores de A. f) El vector (,,) < A >. a) Falso, el sistema A de cuatro vectores de un espacio vectorial de dimensión es siempre ligado, puesto que el maor número de vectores linealmente independientes es. b) Verdadero, cualquier sistema de vectores genera un subespacio vectorial. c) Falso, por no ser libre. d) Falso, no ha menores de orden ; r = =. 5 e) Verdadero, es uno de los vectores de A. f) Falso, no se puede poner como combinación lineal de los vectores de A, r = = 5 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia Cartografía.

24 5.- Qué valores deben tener m n para que el vector {,,,,,,,, (,,, ) } (-,m,n,m-n) ( ) ( ) < >? Es obvio, que (,,,)=(,,,)+(,,,), luego el subespacio generador por los tres vectores es el mismo que el generado por los dos primeros. ( ) ( ) ( ) { } ( ) ( ) ( ),m,n,m n <,,,,,,, >,m,n,m n =λ,,, +µ,,, =λ m = µ m= n n = µ m n =µ U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia Cartografía.

25 6.- Sea Pn() el espacio vectorial de los polinomios con coeficientes reales de grado menor o igual que n. Demostrar que el polinomio n sus n primeras derivadas forman una base de Pn() e indicar las coordenadas del polinomio ++ en esta base. Derivando Qn()= n Qn ()=n n - ; Qn ()=n(n-) n- ; ; Qn n) ()=n! Tenemos que {Qn(), Qn (), Qn (),, Qn n) ()} que demostrar que es una base de Pn(). El espacio vectorial Pn() { a n a a... a n / ai R} = es de dimensión n+. Es suficiente con demostrar que cualquier vector se puede poner como combinación lineal de las sucesivas derivadas: P () = a + a + a a =λ Q () +λ Q '() +λ Q ''() λ Q () = λ +λ +λ + +λ n n) n n n n n n n n n n n n(n )... nn! λ = a n a λ n = a n λ = λ n n = a n a n λn(n ) = a n λ = n(n ).... λ nn! = a a λ n = El sistema formado por las sucesivas derivadas es sistema generador de cualquier polinomio el número de polinomios coinciden con la dimensión, por tanto, forma una base. n! En particular, ++ = + ( ) +, entonces (,/,/) son las coordenadas respecto de la base {,,} U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia Cartografía. 5

26 7.- Determinar si los conjuntos siguientes G G generan el mismo subespacio vectorial de R o subespacios distintos G={(,,-), (,,-)} G = {(,,-), (,,-), (,,-)} Ecuación cartesiana del subespacio vectorial generado por G = + + z= z Ecuación cartesiana del subespacio vectorial generado por G r = = + + z = + + z = z Son iguales, luego son subespacios idénticos. 6 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia Cartografía.

27 8.- Sea el subespacio vectorial E formado por el conjunto de matrices cuadradas que permutan con la matriz A =. Y sea el subespacio vectorial F= a b / a, b, c R Se pide: c a a) Demostrar que E es un subespacio vectorial. b) Una base de E. c) Los subespacio vectorial E F E+F. a) E= M / = z t z t z t z t z= = = z t z t t z t = α β E= M / α, β R β α E es un subespacio vectorial λ, µ K, a,b E λ a+ µ b E α β α' β' En este caso a = E b= E, luego β α β' α ' α β α' β' λα+µα' λβ+µβ' λ a+µ b=λ +µ = E β α β' α ' ( λβ+µβ' ) λα+µα' Siendo E un subespacio vectorial de dimensión. b) B E =, c) El subespacio intersección, E F será: α= a a b α β β= b α= a = = β α c a β = c β = b= c α= a β E F= M / β R con dim E F= β Aplicando la fórmula dim(e F) dim E dim F dim(e F) + = + = + = E+F es el espacio vectorial de todas las matrices cuadradas de orden. U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia Cartografía. 7

28 9.- a) Para qué valores de los siguientes sistemas de vectores son bases de { } R? B = (,, ), (,, ), (,,) ; B = (,, ), (,, ), (,,) { } b) Para =, escribir las ecuaciones de cambio de base de B a la canónica, de la canónica a B, de B a B de B a B. a) Para cualquier número real -, en efecto: = + a) Para cualquier número real -/, en efecto: = b) Cambio de B a la canónica: c = c z z c c = = + + z zc = z c Cambio de la canónica a B: c c c c c = = = c z z c z z c z c = c = c + c zc z = zc Cambio de B a la canónica: c = c z z c igualando las ecuaciones matriciales del cambio de base de B a Bc de B a Bc del sistema matricial anterior podemos responder al cambio de base de B a B de B a B, simplemente despejando: 8 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia Cartografía.

29 Cambio de B a B: Espacio Vectorial c = = = = + + z = 5 6 6z z = + + z Cambio de B a B: c z z c z z z c = = = = + = + z z = + + z c z z c z z z U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia Cartografía. 9

30 .- Hallar las coordenadas del vector u (,, z) donde v = (,, ), v = (, 7, ) v (,, ) = en la base B' = { v,v,v} =. Cuál es la matriz de cambio de la base B a la canónica? Escribimos el vector u = (,,z) como combinación lineal de los vectores de la base B : u =,,z =λ v +λ v +λ v = ( ) =λ λ =λ (,, ) +λ (, 7,) +λ (,, ) = ( λ λ, λ 7λ + λ, λ λ ) = λ 7λ + λ z =λ λ Resolviendo el sistema: λ = z λ = + + z u = ( z, + + z, z) B' λ = z Cambio de B a la canónica: ' c 7 ' = c.z ' z B' c B c U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia Cartografía.

31 .-a) Probar que los sistemas de vectores G G generan el mismo subespacio vectorial F de R. G= {(,,-,), (,8,-,-), (,,,), (,5,,)} G= {(,-,-,-), (,,-,-5), (,,-5,-), (,,-,-)} b) Hallar la dimensión, una base escalonada, unas ecuaciones paramétricas las ecuaciones cartesianas de F.(Vamos a llamar bases escalonadas de F a aquellas cuos vectores se pueden disponer como las filas de una matriz escalonada) c) Sea H = {(,, z, t) R tales que + + z =, + z - t = }. Se pide:.- Hallar la dimensión una base de H, de F + H de F H respectivamente..- Unas ecuaciones cartesianas de F + H de F H. d) Es H un subespacio suplementario de F? En caso contrario halla un subespacio suplementario de F. a) = rango = = + 9 z = z t = rango = = z = 7 + z = Observamos que se obtiene la misma ecuación -7+-z=, luego G G generan el mismo subespacio F de R. b) La dimensión de F es (el número de vectores no nulos obtenidos en la reducción por Gauss) Una base escalonada de F está formada por los vectores no nulos obtenidos en la reducción por Gauss del apartado anterior BF = {(,,-7,), (,,,), (,,,)} = λ = µ Unas ecuaciones paramétricas de F son, λµγ,, R z = 7 λ+ µ t = γ Ecuación cartesiana de F: z =, a que todo vector (,, z, t) de F depende linealmente de los vectores de BF U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia Cartografía.

32 c). Para hallar una base de H resolvemos el sistema dado por sus ecuaciones cartesianas = λ = µ + + z= z = λ µ, λ, µ R + z t = t = µ Por tanto, una base de H es BH = {(,,-,), (,,-,-/)} su dimensión es. Un sistema generador del subespacio F + H está formado por los vectores de BF de BH. Para hallar una base de F + H calculamos el rango del sistema formado por los 5 vectores: 8 rango = - - -/ BF BH luego F + H = R (dimensión ) una base es, por ejemplo, la base canónica {(,,,), (,,,), (,,,), (,,,)} F H es el subespacio formado por los vectores comunes a F H, luego dichos vectores deben verificar las ecuaciones de F las de H. Unas ecuaciones paramétricas de F H se obtienen al resolver el sistema formado por las ecuaciones de F H = λ F 7 + z = = λ + + z= 5, λ R H z + z t = = λ t = λ uego la dimensión de F H es una base es {(,, -5, -)}. Como F + H = R no tiene ecuaciones cartesianas, pues la única condición para que (,, z, t) R es que,, z, t R 7 + z = Unas ecuaciones cartesianas de F H + + z = pero podemos hallar más. + z t = Para hallar otras ecuaciones cartesianas de F H partimos de que todo vector (,,z,t) de F H z t depende linealmente de su base luego rango =, en consecuencia, los menores de 5 orden son todos nulos como dim(f H)=, necesitamos -= ecuaciones cartesianas linealmente independientes, U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia Cartografía.

33 =, Espacio Vectorial = z t =, = F H 5 + z = 5 + t = d) H no es un suplementario de F porque F H { } Todo subespacio suplementario de F tiene dimensión = dim R - dimf= - =. Un subespacio S suplementario de F se construe a partir de un vector u F, por ejemplo S = (,,,) a que en consecuencia F + S = R F S = { } 8 = U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia Cartografía.

34 .- Sea la matriz B Espacio Vectorial A = = { u,...,u} B' { v,..., v} =. Escribir base B. Hallar la matriz de cambio de base de B a B. A = La segunda columna de A son las coordenadas de u en la base B', luego: Matriz de cambio de base de B' a B: A de cambio de base de B a B, siendo u u = v + v + v + 5v = en función de los vectores de la U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia Cartografía.

35 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia Cartografía. 5.- Comprobar que B= {(,,), (,,), (,,)} B = {(,,), (,,), (,,)} son bases de R calcular las ecuaciones matriciales de cambio: a) de la base B a la base canónica BC b) de la base B a BC c) de la base B a B d) de la base B a B. B= {(,,), (,,), (,,)} B = {(,,), (,,), (,,)} son bases de R porque = = a) Ecuación de cambio de la base B a la base canónica BC = z z c c c b) Ecuación de cambio de la base B a la base canónica BC = ' ' ' z z c c c Luego z = ' ' ' z ' ' ' z = z z = ' ' ' z Operando, tenemos que c) Ecuación de cambio de la base B a B ' ' ' z = z d) Ecuación de cambio de la base B a B z = ' ' ' z

36 .- Se consideran los tres subespacios de R siguientes: { ( ) } ( ) ( ) ( ) F = αβ,,, / αβ, R F =<,,,,,,, > F =<,,, > a) Hallar F + F b) Hallar F + F c) Las sumas anteriores son sumas directas? Cuando así ocurra, escribir la descomposición única de cada vector de la suma en suma de dos vectores uno de cada subespacio. a) Bases de F, F respectivamente. F son: B = {(,,,),(,,,) }, B = {(,,,),(,,,) }, {(,,,) } B =, Una base B de F + F está constituida por los vectores linealmente independientes de B B = {(,,,),(,,,),(,,,) }, es decir: B = {(,,,),(,,,),(,,,) } Por tanto, F + F = {( α, β, γ,) / α, β, γ R} b) Una base B de F + F está constituida por los vectores linealmente independientes de B B = {(,,,),(,,,),(,,,) }, es decir: B = {(,,,),(,,,),(,,,) } Por tanto, F + F = {( α, β, γ,) / α, β, γ R} = F + F c) F + no es suma directa pues B = {(,,, ) } φ F F B F + sí es suma directa pues B = φ B Descomposición única de un vector de F + F : α, β, γ, =, β, γ, + α,,, ( ) ( ) ( ) 6 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia Cartografía.

37 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia Cartografía Dados los subespacios vectoriales F determinado por las ecuaciones cartesianas 5 + = + = G por las ecuaciones paramétricas 5 = λ =λ +λ =λ +λ =λ +λ =λ +λ del espacio vectorial R 5, se pide: bases de F, G, F+G F G. a) Una base del subespacio vectorial F debe tener tres vectores de F linealmente independientes, puesto que la dimensión de F es la dimensión del espacio vectorial R 5 menos el número de ecuaciones linealmente independientes de F. Los tres vectores necesarios son soluciones particulares del sistema = + = + 5 = α + γ γ = = α + β = β = α 5 + γ + β = α 5 luego una base de F puede ser,,. b) En el caso del subespacio vectorial G tenemos las ecuaciones paramétricas + λ = λ + λ = λ + λ = λ + λ = λ = λ 5 + λ + λ = λ 5 ; una base:,, c) Una base del subespacio suma sale de la unión de los vectores de cada base quitando los que sean combinación lineal de los restantes, para ello calculamos el rango de la siguiente matriz r =, la matriz que identifica el rango indica los vectores linealmente independientes por lo tanto la base, ( ) ( ) ( ) ( ) { },,,,,,,,,,,,,,,,,,,. Si queremos escribir

38 las ecuaciones del subespacio F+G, podemos escribir el siguiente determinante 5 = + 5 = d) Para obtener las ecuaciones del subespacio vectorial F G solamente debemos juntar las + = ecuaciones cartesianas de cada subespacio vectorial F G; de las ecuaciones + 5 = paramétricas de G obtenemos las ecuaciones = ; = 5. Por tanto, =; = ; = 5 cua dimensión es. Una base de F G puede ser,. 8 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia Cartografía.

39 6.- Determinar, en cada caso, si los vectores dados generan /o libre de R. { } { } { } a) (,,, ),(,,, ),(,,, ),(,,, ) b) (,, 5, ), (,,, ), (,,, ), (,, 5, ) c) (,,,5 ), (,,, ), (,,, ) a) Sí son un sistema generador (libre con vectores), en efecto: = b) No son un sistema generador, ni libre: 5 = 5 c) No son un sistema generador, pues solamente ha tres, pero si es libre: 5 rango = U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia Cartografía. 9

40 7.- Escribir cada uno de los siguientes polinomios como combinación lineal de +, +, +. a) + + b) + c) + d) a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + =λ + +λ + +λ + = λ +λ + λ +λ +λ + λ =λ +λ λ = =λ +λ λ = =λ + λ λ = ( ) ( ) ( ) + + = b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + =λ + +λ + +λ + = λ +λ + λ +λ +λ + λ =λ +λ λ = =λ +λ λ = =λ + λ λ = ( ) ( ) ( ) + = c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + =λ + +λ + +λ + = λ +λ + λ +λ +λ + λ λ = =λ +λ =λ +λ λ = =λ + λ λ = + = ( + ) + ( + ) + ( + ) =λ + +λ + +λ + = λ +λ + λ +λ +λ + λ d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) λ = =λ +λ =λ +λ λ = =λ + λ λ = = ( ) ( ) ( ) U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia Cartografía.

41 8.- Determinar si los conjuntos siguientes G G generan el mismo subespacio vectorial de R o subespacios distintos: a) G={(,,-), (,,), (,,)} G = {(,,-), (,,)} b) G={(,,-), (,,), (,,)} G = {(,,-), (,-,)} a) Ecuación cartesiana del subespacio vectorial generado por G = rango = = + z= z Ecuación cartesiana del subespacio vectorial generado por G = + z = z Son iguales, luego son subespacios idénticos. b) Ecuación cartesiana del subespacio vectorial generado por G = z = z Son ecuaciones distintas. U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia Cartografía.

42 9.- Si { u, v, w, z} a) { u v,v w,w u} b) { u+ v,v+ w,w+ u} c) { u v,v w,w z,z u} d) { u+ v,v+ w,w+ z,z+ u} Espacio Vectorial es libre, cuáles de los siguientes conjuntos también lo son? a) No es libre: λ u v + λ v w + λ w u = λ λ = λ λ u+ λ + λ v+ λ + λ w = λ + λ = λ λ + λ = ( ) ( ) ( ) = λ = λ b) Sí es libre: λ u + v + λ v + w + λ w+ u = λ + λ = λ + λ + λ + λ v+ λ + λ w = λ + λ = λ λ + λ = ( ) ( ) ( ) = λ = λ u = c) No es libre: λ u v + λ v w + λ w z + λ z u = ( λ λ ) u+ ( λ + λ ) v+ ( λ + λ ) w+ ( λ + λ ) λ λ = λ + λ = λ = λ λ + λ = λ + λ = = λ = λ z = d) No es libre: λ u + v + λ v + w + λ w+ z + λ z + u = ( λ + λ ) u+ ( λ + λ ) v+ ( λ + λ ) w+ ( λ + λ ) λ λ λ λ + λ + λ + λ + λ = = = λ = = λ = λ = λ z = U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia Cartografía.

43 .- En V = R, sea ( ) suplementario de F. { } F =,, z / + + z =. Buscar un subespacio F es un plano vectorial de R. Un subespacio suplementario de F es cualquier recta vectorial no contenida en él. Por ejemplo: = α z subespacio ortogonal) que es ortogonal al plano (de hecho es su U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia Cartografía.

44 .- Sean F F los siguientes subespacios vectoriales de R 5 : { } = { = = } F = / = 5 F /... 5 Analizar si F F son subespacios suplementarios de R 5 obteniendo la descomposición de cualquier vector u F. 5 u R en suma u u u = +, donde u F 5 Sea u F F u = (,..., ) con =... = 5 F = F. + F V. En efecto: con 5 =, por tanto, u =. Luego, F = u V, u = i = i 5 (,..., ) = (,..., ) + ( t,..., t) = ( + t,..., + t) = + t ( + t) ( + t) = ( ) i 5 = i 5 F t = i 5 F , i =,..., t = 5t t = u = =, es decir, (,..., ) Queda demostrado que V = F F, es decir, que F F son subespacios suplementarios. 5, U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia Cartografía.

45 .- En cada caso, encontrar una base de V que contenga a v /ó w : a) V = R, v = (,, ) b) V = R, v = (,,, ), w = (,,,) c) V = P, v = +, w = + a) dimr =, necesitamos dos vectores linealmente independientes entre sí con el vector dado: B = {(,,),(,,),(,,)} Efectivamente, = b) dimr =, necesitamos dos vectores linealmente independientes entre sí con los vectores dados: B = {(,-,,-),(,,,),(,,,),(,,,)} Efectivamente, = c) dimp=, necesitamos dos vectores linealmente independientes entre sí con los vectores dados: B = { +, +,, } Obsérvese las coordenadas de cada polinomio en la base {,,, } += =(,,,) += =(,,,) = =(,,,) = =(,,,) Luego, = U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia Cartografía. 5

46 6 Espacio Vectorial.- Sea el subespacio vectorial F generado por los siguientes vectores de espacio vectorial R : u = (,,,);u = (,,,);u = (,,,). Se pide: a) Rango de H = { u ;u ;u }. Qué clase de sistema es H? Eiste alguna relación de dependencia entre los vectores u, u u? b) Dimensión una base F. c) Las coordenadas de los vectores u, u u respecto de la base obtenida en el apartado anterior. d) Unas ecuaciones paramétricas de F. e) Unas ecuaciones cartesianas o implícitas de F. f) A partir de las ecuaciones cartesianas otras ecuaciones paramétricas distintas del apartado d). g) El vector (,,,) pertenece o no a F? h) Una base B* del espacio vectorial R que contenga a los vectores de una base de F. i) Las ecuaciones del cambio de base de la base B* (del apartado anterior) a la base canónica Bc de R. j) Las ecuaciones del cambio de base Bc a la base B* k) La epresión analítica del vector e de la base canónica respecto de la base B*. a) El rango del sistema de vectores H se halla como rango de la matriz formada por dichos vectores que es, entonces r(h)= El sistema H es ligado la relación de dependencia eistente es u = u + u, como se comprueba fácilmente. b) Ya que H = { u u u ; ; } es ligado se cumple F =< H >=< u ; u >. Tenemos que BF={ u ; u } es una base del espacio vectorial F su dimensión es, el cardinal de cualquier base. c) De la relación u = u + u resulta u = u + u = (,) B coordenadas respecto de la base BF F para u = u + u = (, u = u + u = (, ) BF ) BF d) Veamos, unas ecuaciones paramétricas de V. Como F R se tiene que = λ = µ = λ u + µ u (,,, ) = λ(,,,) + µ (,,, ), o bien, = λ µ = U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia Cartografía.

47 = λ + µ Ecuaciones paramétricas del subespacio vectorial F, pues dando valores a los parámetros λ, µ se obtiene las coordenadas de los vectores de F, siendo la dimensión de F el número de parámetros linealmente independientes que tienen sus ecuaciones paramétricas. e) Eliminando los parámetros obtenemos las ecuaciones cartesianas o implícitas de F. r (H) = r = por el teorema de Rouche-Fröbenius r = luego todos los menores de orden son nulos = = + + = = son las ecuaciones cartesianas o implícitas que identifica a F; las coordenadas de cualquier vector de F cumplen la ecuación anterior. Podemos observar que la dim F=dim R - número de ecuaciones linealmente independientes. Cuando F=R no ha ecuaciones cartesianas. f) Se puede pasar de las ecuaciones cartesianas a las ecuaciones paramétricas, simplemente resolviendo el sistema de ecuaciones. En nuestro caso, con la ecuación + + = se = α = α β despeja una incógnita = quedando en función de las otras dos otras = β = ecuaciones paramétricas de F. g) Las ecuaciones permiten saber que vectores son del subespacio vectorial F. Sustituendo las coordenadas en las ecuaciones -.++.= =, evidentemente no se cumple, por tanto la respuesta es que (,,,) F. h) Ampliamos la base de F del apartado b) { u u ; } con el vector del apartado e) puesto que no es de F conseguimos { u u ; ;(,,,)} tres vectores linealmente independientes, basta conseguir otro, por ejemplo (,,,) puesto que evidentemente no pertenece a F que no sea combinación lineal de los otros tres. Por tanto, una base del espacio vectorial R es B*={ u u ; ;(,,,);(,,,)}, a que: r = U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia Cartografía. 7

48 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia Cartografía. 8 i) Las ecuaciones del cambio de la base B* a la base Bc son: = * * * * j) Las ecuaciones del cambio de la base Bc a la base B* son: * * * * = = * * * * / / / = k) La epresión analítica del vector e se obtiene de la segunda columna de la matriz del cambio de base de Bc a la base B*, es decir, e u u e + =

49 .- Si F G son subespacios de V, demostrar que F G es subespacio de V si solo si F G ó G F. ) Supongamos que supongamos que G, viceversa, G F G es subespacio vectorial de V. Razonemos por el absurdo F G que G F. Eisten entonces dos vectores e tales que F, pero,, pero, F. + F F F G F G ó + G F G + G Si Si + F, entonces, + = F, por ser F un subespacio; absurdo, pues F. + G, entonces, + = G, por ser G un subespacio; absurdo, pues G. ) El recíproco es inmediato: Si F G o G F, entonces F G = G o F G = F, respectivamente, F G es subespacio por serlo F G. U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia Cartografía. 9

50 5.- Sea V el espacio vectorial de las funciones reales de variable real. Sea F f V / f es par F = g V / g es impar. Demostrar: = { } { } a) F F son subespacios vectoriales de V. f( ) + f( ) f( ) f( ) b) V = F F (Nota: f( ) = + ). a) Sean f, g F λ, µ R ; λ f + µ g F. En efecto: λf + µ g = λf + µ g = λf + µ g = ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( λf + µ g)( ) f,g par, es decir, λ f + µ g F F es subespacio vectorial. Sean f, g F λ, µ R ; λ f + µ g F. En efecto: λf + µ g = λf + µ g = λ f + µ g F ( )( ) ( ) ( ) [ ( )] [ ( )] = ( λf + µ g)( ) f,g función impar, es decir, λ f + µ g F F es subespacio vectorial. b) Operando, se observa que f V f ( ) ( ) + f ( ) f g = ( ) ( ) f ( ) h =. ( ) + f ( ) F, luego λ f + µ g es una función, luego λ f + µ g es una, se verifica que: f ( ) g( ) + h( ) =, siendo f g( ) = = g( ) g F f = g + h F + F. Por tanto, V = F f ( ) ( ) f ( ) + F. h = = h( ) h F Si f F F, entonces, f ( ) = f ( ) = f ( ), luego f ( ) =, R ; es decir, f. Así, F F = { }. Queda demostrado que V = F F. 5 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia Cartografía.

51 6.- Consideremos el conjunto R formado por todas las parejas (,) de números reales. Se define en R la operación interna (,)+(, )=(+,+ ) una de las operaciones eternas siguientes: a) λ(,)=(λ,) b) λ(,)=(λ,λ) c) λ(,)=(λ+λ-,λ+λ-) d) λ(,)=(λ,λ) para λ R. Decir, para cada uno de los cuatro casos, si se obtiene o no una estructura de espacio vectorial en R. Previamente comprobemos que R con la suma tiene estructura de grupo abeliano: a, b, c R. Sean a = (, ), b = ( ', '), c = ( '', '') R entonces: a + b + c = (, ) + (', ') + ('','') = ( + ', + ') + ('','') = ( + ') + '',( + ') + '' a + ( b + c ) = (, ) + ((',') + ('','')) = (, ) + (' +'',' +'') = ( + (' +''), + (' +'') ). Por ser R un cuerpo se cumple la asociativa se tiene que ( a + b ) + c = ( + ' +'', + ' +'' ) = a + ( b + c ) se verifica la propiedad asociativa = a + b + c [A] Asociativa: ( a + b ) + c = a + ( b + c) ( ) ( ) ( ) ( a + b ) + c ( ) [A] Eistencia de elemento neutro: Eiste un elemento que designaremos = (, ) R que verifica que a + = + a = a para cualquier a R. En efecto: a + = (, ) + (, ) = ( +, + ) = (, ) = a por otra parte + a = (, ) + (, ) = ( +, + ) = (, ) = a luego a + = + a = a = (, ) es el vector nulo. [A] Eistencia de elemento simétrico: Para cualquier a R eiste un único elemento de R, que designaremos por - a tal que a + a ( ) = ( a) + a =. El elemento a = (, ) es el elemento opuesto del vector a = (, ) R a que a + ( a) = (, ) + (, ) = (, ) = (, ) = que ( a) + a = (, ) + (, ) = ( +, + ) = (, ) = se cumple a + a ( ) = ( a) + a =. [A] Conmutativa: a + b = b + a a, b R Sean a = (, ), b = ( ', ') R entonces: a + b = (, ) + (',') = ( + ', + ') permutando b + a = (',') + (, ) = (' +, ' +) por ser conmutativo R a + b = b + a. Por tanto, es (R,+) un grupo conmutativo. A continuación iremos viendo las siguientes condiciones para cada caso: U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia Cartografía. 5