MATEMÁTICAS I 13 de junio de 2007

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1 MATEMÁTICAS I 13 de junio de º EXAMEN PARCIAL Sólo una respuesta a cada cuestión es correcta. Respuesta correcta: 0.2 puntos. Respuesta incorrecta: -0.1 puntos Respuesta en blanco: 0 puntos 1.- Si la familia de vectores { u,u, } 1 2 u 3 a) u 1 es combinación lineal de u 2 y u 3. b) u1 0 X c) { u,u,u,v} Si G { u,u,..., } 1 2 um de V(R), es ligada, podemos asegurar: es ligada para cualquier vector v del espacio. = es un sistema generador de R 3, podemos asegurar: a) G es una base de R 3 para cualquier número natural m. X b) Si m> 3, entonces G es ligado. c) u Si 0 es un valor propio de la transformación lineal f, se verifica: a) N(f) = { 0 }. X b) dim N(f ) 1 c) Que λ= 0 sea un valor propio de f no proporciona ninguna información acerca del N(f). 4.- Si dos matrices A y B tienen los mismos valores propios podemos afirmar que: a) A y B son semejantes. b) Tienen los mismos subespacios de vectores propios asociados. X c) Tienen el mismo polinomio característico. 5.- En el espacio afín euclídeo se consideran los vectores u = ( 1,0,0) ; v= ( 0,1,0) w = 0,2,0 ( ). Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta? X a) ( u v) w = ( 2,0,0) b) u ( v w) = ( 2,0,0) u v w = 2 c) ( ) 6.- Si la ecentricidad de una cónica es 0, la cónica es: a) Degenerada. X b) Una circunferencia. Unidad Docente de la E.T.S.I.T.G.C. 1 ;

2 c) Una parábola. 7.- Si A = 18 y los valores propios de la forma cuadrática de una cónica son 0 y 2, entonces la ecuación reducida es: a) 2( y' ) 2 + 6' = 0 b) 2( y' ) 2 3' = 0 X c) 2( y' ) 2 6' = La simetría aial en el espacio verifica: a) Es un movimiento inverso. b) La única recta invariante es el eje de simetría. X c) Sus puntos dobles son los del eje de simetría. 9.- En el plano euclídeo: X a) Cualquier homotecia conserva la orientación. b) Cualquier semejanza conservan la orientación. c) Ninguna de las anteriores La ecuación de un movimiento T en E n sin puntos dobles es: a) T (X) = A + M AX X b) T(X) = A + M AX+ AA ' c) T (X) + = M AX AA' MATEMÁTICAS I 2º PARCIAL (1ª Parte) Teoría: contestar sólo a una de las dos opciones siguientes A) ó B): A) 1) Sean v 1 y v 2 dos vectores propios de una matriz A, asociados a dos valores propios distintos entre sí, λ 1 y λ 2. Demostrar que v 1 y v 2 son vectores linealmente independientes. 2) Demostrar que dos matrices semejantes de orden 2 tienen la misma traza. B) 1) Demostrar que el conjunto de vectores propios de una matriz A M ( R) asociados a un mismo valor propio, junto con el vector 0, es un subespacio n vectorial de R. 2) Demostrar que dos matrices semejantes tienen el mismo determinante. n (1 punto) Unidad Docente de la E.T.S.I.T.G.C. 2

3 2.- Hallar la ecuación de la semejanza directa que transforma los puntos O(0,0) y P(1,2) en O (15,-1) y P (-7,-5), respectivamente. (1 punto) Ecuación de la semejanza directa: ' = e a b y sustituyendo los puntos y' f b a y S(O) = O ' 15 = e a b 0 a = 6 1 f b a 0 b = 8, obtenemos que:, quedando la ecuación e = 15 S(P) = P ' 7 = e a b 1 f = 1 5 f b a de la semejanza ' = y' 1 8 6y MATEMÁTICAS I 2º PARCIAL (2ª Parte) Dado el espacio vectorial R 3 : a) Hallar una base del subespacio vectorial generado por los vectores: a = 2,4,0,b = 1,2,1,c = 3,2,1,d = 3,4,1 { } S= ( ) ( ) ( ) ( ) y epresar el vector d en dicha base. b) Encontrar un vector común al subespacio E generado por los vectores u 1 = (1,2,3) y u 2 = (3,2,1) y al subespacio F generado por los vectores v 1 = (1,0,1) y v 2 =. ( 3,4,3) c) Indicar si los subespacios vectoriales H = {(,y,z)/2+ y z= 0;+ y= 0} y G={ ( α β+ 2 γ, β α 2 γ, α β+ 2 γ)/ α, β, γ R} son iguales. d) Sean B = { u = ( 2,1,0 ), v = ( 1,0,1 ), w = ( 0,1, 2) } y B' = { u ' = ( 0,1,1 ), v ' = ( 1,0,0 ), w ' = ( 2,0,1) }. Hallar la matriz del cambio de base de B a B. (1.25 puntos) a) Una base #1: ROW_REDUCE = Una base puede ser la canónica {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} del espacio Unidad Docente de la E.T.S.I.T.G.C. 3

4 vectorial R^3, puesto que S genera R^3. y epresar el vector d en dicha base. Al escoger la base canónica el vector queda igual (3,4,1) b) Un vector común #2: α [1, 2, 3] + β [3, 2, 1] = λ [1, 0, 1] + µ [3, 4, 3] #3: SOLVE(α [1, 2, 3] + β [3, 2, 1] = λ [1, 0, 1] + µ [3, 4, 3], [α, β, λ], Real) #4: α = µ β = µ λ = µ #5: [4, 4, 4] El vector (1,1,1) o cualquier otro proporcional incluido el vector nulo. c) #6: SOLVE([2 + y - z = 0, + y = 0], [, y]) #7: [ = z y = -z] #8: SOLUTIONS([2 + y - z = 0, + y = 0], [, y, z]) #9: [[@1, Una base de H: {(1,-1,1)} #10: SOLVE([ = α - β + 2 γ, y = β - α - 2 γ, z = α - β + 2 γ], [, y, z, α, β, γ]) #11:[ - α + β - 2 γ = 0 y + α - β + 2 γ = 0 z - α + β - 2 γ = 0] #12: SOLUTIONS([ = α - β + 2 γ, y = β - α - 2 γ, z = α - β + 2 γ], [, y, z, α, β, 2 Una base de G: {(1,-1,1)} Sí H=G son subespacios vectoriales iguales, son de igual dimensión y coinciden las bases. d) Cambio de base de B a B #14: Matriz del cambio de base B a la canónica: #15: Matriz del cambio de base B' a la canónica: ` #16: y = y` z z` ` #17: y = y` z z` Matriz del cambio de base de B a B' #19: = Unidad Docente de la E.T.S.I.T.G.C. 4

5 4.- Dada la transformación lineal f ( ) = A , donde A = 1 3 4, se pide: a) Hallar la dimensión y una base de los subespacios N(f) e Imf, respectivamente. b) Estudiar si f es diagonalizable y, en su caso, calcular una matriz D diagonal semejante a la matriz A y la matriz P que permite la diagonalización. Sea g una transformación lineal de R 3 tal que g( u ) = 6u, ( ) g v = 3 v, ( ) g w 6 w para los vectores u = ( 1, 1,0 ), v = ( 1,1, 1) w = ( 1, 0, 1) =, c) Cómo se denominan los vectores u, v y w? Cómo se denominan los escalares 3 y 6? d) Hallar la matriz M asociada a g respecto de la base canónica. (1.25 puntos) a) Núcleo de f: #1: Cálculo del núcleo: Resolvemos AX= #2: y = z #3: SOLVE y = 0, [, y, z], Real z 0 #4: + 3 y = 0 z = 0 La solución es {(-3λ,λ,0), λεr}, luego la dimn(f)=1 y una base es {(-3,1,0)} Imagen de f: La dim(imf)=3-1=2, y una base está formada por dos columnas de A l.i. por ejemplo la primera y la tercera {(-5,1,0),(-12,4,-2)} no pueden ser la primera y la segunda. b) Valores propios de A: Se obtienen a partir del polinomio característico. Luego #5: CHARPOLY = - w (w + 2) A tiene un valor propio simple λ1=0, y un valor propio doble λ2=-2. Unidad Docente de la E.T.S.I.T.G.C. 5

6 Calculamos los vectores propios asociados #6: EXACT_EIGENVECTOR 1 3 4, 0 = #7: EXACT_EIGENVECTOR 1 3 4, -2 = Luego la dimv0=1, y la dimv(-2)=2, es decir coinciden con el orden de multiplicidad de los valores propios. Por lo tanto A es diagonalizable y como matrices diagonal y P pedidas proponemos #8: y respectivamente c) Los vectores u,v,w son vectores propios de la transformación g y los escalares 3 y 6 son los valores propios asociados a los anteriores valores propios de la siguiente forma: 3 es el valor propio asociado a v y 6 es el valor propio asociado a u y w. d) Tenemos que g tiene un valor propio simple, 3, el cual tiene a v como vector propio asociado y un valor propio doble, 6, que tiene a u,w como vectores propios asociados, luego la matriz diagonal D que escribiremos a continuación es una matriz semejante a M #9: D #10: Las matrices D y M están relacionadas por la epresión D = -1 P M P donde P es la matriz de cambio de la base de vectores -1 propios a la canónica y despejando M = P D P #11: P #12: P D P = Unidad Docente de la E.T.S.I.T.G.C. 6

7 5.- En el espacio afín ordinario, se consideran la referencia: R = { A, { u, v, w }, donde A es el punto de coordenadas A = (1, 2, 3) y los vectores u, v, w tienen por coordenadas u = ( 1,2,0 ), v = ( 3, 7,1) y w = ( 2,0,1 ). Se pide: a) Hallar las ecuaciones del cambio de referencia de la canónica a R. b) Comprobar si eisten puntos del espacio que tienen las mismas coordenadas respecto de la referencia canónica y de R. c) Ecuación, en la referencia R, del plano cuya ecuación en la referencia canónica es z = 0. (1.25 puntos) a) Llamando (,y,z) a las coordenadas de un punto genérico del espacio respecto de la referencia canónica y (,y,z ) a las coordenadas de ese mismo punto respecto de la ' referencia R, se tiene que = [1] y, por y y' z 3 0 tanto, el cambio de la referencia canónica a R, que es lo que se pide en el apartado a) se ' calcula mediante la matriz inversa, es decir, = y' y z b) = y y z 3 0 z Resolviendo el sistema se obtiene un único punto P=(-13,-3,5) c) La epresión matricial [1] puede ponerse como = ' - 3y' - 2z' + 1 y = 2 ' - 7 y' + 2 z = y' + z' + 3 Por tanto, observando la última ecuación, el plano z=0 tendrá por ecuación en la referencia R: y ' + z' + 3=0 Unidad Docente de la E.T.S.I.T.G.C. 7

8 6.- Dadas H 1, homotecia de centro C 1 (1,1,1) y razón k 1 =1/2, y H 2 homotecia de centro C 2 (-1,1,- 1) y razón k 2 = 2. Se pide: a) Hallar las ecuaciones de T = H 2 oh 1, e identificar T. b) Transformada mediante H 1 de la recta de ecuación: +1 = -y = z (1 punto) La ecuación de la homotecia de centro C(a,b,c) y razón k es: ' ( 1 k)a k 0 0 = y' ( 1 k)b 0 k 0y ( 1 k)c 0 0 k z La ecuación de la homotecia H 1 de centro C 1 (1,1,1) y razón k 1 =1/2 es: ' 2 2 = y' 0 0y 2 2 z La ecuación de la homotecia H 2 de centro C 2 (-1,1,-1) y razón k 2 =2 es: ' = y' y z a) T=H 2 oh ' = 2 2 y' = 0 0 y y z z = 1 k C C. T es una TRASLACIÓN de vector (2,0,2) ( ) b) T =H 1 oh ' 2 2 = = y' y y z z = 1 k C C. T es una TRASLACIÓN de vector (1,0,1) ( ) Unidad Docente de la E.T.S.I.T.G.C. 8

9 c) De la ecuación de la homotecia H 1 se despejan las coordenadas, y, z: = 1+ 2' ' = y = 1+ 2y', obsérvese que es la homotecia del mismo y' 0 0y 2 2 z = 1 + 2z' z centro y razón k=2. Se sustituye en la ecuación de la recta r + 1= y = z 1+ 2' + 1 = ( 1+ 2y') = 1+ 2z' r' ' = y' = + z' Dada la cónica de ecuación y + y y + 49 = 0. Se pide: a) Clasificar la cónica Hallar: b) La ecuación reducida. c) La ecentricidad. d) La ecuación del eje focal. e) Las ecuaciones de las asíntotas. (1.25 puntos) a) #1: A #2: DET(A) = -18 #3: Ac MINOR(A, 1, 1) #4: A00 DET(Ac) #5: A00 = -10 ES UNA HIPÉRBOLA DET(A) 0; DET(Ac)<0 b) DET(A) #6: k A00 9 #7: k = 5 valores propios de Ac: #8: EIGENVALUES(Ac) = [-1, 10] Consideramos primero el NEGAtivo, para obtener como eje de abscisas 0X'' el eje focal Ecuación reducida: #9: y + = 0 5 Unidad Docente de la E.T.S.I.T.G.C. 9

10 c) 9 2 #10: - = #11: SOLVE - = 0,, Real #12: = - = #13: 10 y + = #14: SOLVE10 y + = 0, y i 3 2 i #15: y = - y = Semiejes:a=3 5, b=3 2/ #16: a #17: b 10 Semidistancia focal: 2 2 #18: c (a + b ) 3 22 #19: c = 10 Ecentricidad: c 11O #20: e = = a 10 d) Primeramente hallamos el centro de la hipérbola: 1 0 #21: DELETE_ELEMENT(A, 1) = 0 y #22: = y #23: SOLVE =, [, y], Real y #24: = y = A continuación la pendiente del eje focal: Unidad Docente de la E.T.S.I.T.G.C. 10

11 2 - #25: EXACT_EIGENVECTOR(Ac, -1) = = #26: Eje focal #27: y + = e) 1 #28: SOLVE[1, m] Ac = [0], m, Real m #29: m = m = #30: y + = (3 2-10) #31: y + = ( ) Unidad Docente de la E.T.S.I.T.G.C. 11