Tema 3.3. Aplicaciones afines. Cónicas y cuádricas
|
|
- Rosa Aguilera Moreno
- hace 5 años
- Vistas:
Transcripción
1 Tema 3.3. Aplicaciones afines. Cónicas y cuádricas Definición 1. Sean A = (P, V, f) y A = (P, V, f ) dos espacios afines tales que V y V son espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo. Una función θ : P P se llamará aplicación afín si T : V V definida por T ( pq) = θ(p)θ(q) es una aplicación lineal. T se llama aplicación lineal asociada a la aplicación afín θ. Si T es un isomorfismo, diremos que θ es una transformación afín. Las transformaciones afines tales que Π = Π se llaman afinidadades. Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.3 pg.1
2 Representación matricial de una aplicación afín Sean A = (P, V, f) y A = (P, V, f ) espacios afines con sistemas de referencia (O, B), (O, B ), respectivamente. Dada una aplicación afín θ : P P definida por θ(q) = θ(p) + T ( pq), la representación matricial de θ es: y 1 y 2 y m = a 11 a a 1n a 21 a a 2n a m1 a m2... a mn x 1 x 2 x n + b 1 b 2 b m siendo A = (a ij ) la matriz de la aplicación lineal T respecto de las bases B y B y (b 1, b 2,..., b n ) las coordenadas del punto θ(o) respecto de (O, B ). Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.3 pg.2
3 Ejemplo Dada la afinidad θ : R 3 R 3 definida por: θ(x 1, x 2, x 3 ) = (x 2, x 1 + x 2 + x 3 + 1, x 1 + x 2 2) Respecto de la referencia canónica, θ se representa: y 1 y 2 = x 1 x y x 3 2 o, equivalentemente: 1 y 1 y 2 = y x 1 x 2 x 3 Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.3 pg.3
4 Movimientos Dado un espacio afín euclideo, una afinidad θ : P P se llama movimiento si conserva las distancias entre puntos, es decir: d(θ(p), θ(q)) = d(p, q), p, q P La aplicación lineal T asociada a θ es una isometría, es decir, un isomorfismo que conserva la longitud de los vectores: T ( pq) = θ(p)θ(q) = d(θ(p), θ(q)) = d(p, q) = pq Teorema 1. Una afinidad θ es un movimiento si, y sólo sí, la matriz A asociada a T respecto de una base ortonormal es ortogonal, es decir, A t = A 1 o, equivalentemente, AA t = I. Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.3 pg.4
5 Ejemplo La afinidad de ecuaciones ( y1 y 2 ) = ( ) ( x1 x 2 ) + ( 0 1 ) es un movimiento. Para ello comprobamos que A = ( ) es ortogonal, es decir, AA t = I 2 Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.3 pg.5
6 Clasificación de los movimientos en R 2 según sus puntos fijos Dado un movimiento Y = C + AX, al calcular sus puntos fijos nos encontramos con el sistema no homogéneo X = C + AX, o equivalentemente (A I)X = C. Entonces pueden darse los siguientes casos: Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.3 pg.6
7 Simetría deslizante Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.3 pg.7
8 Ejemplo Consideremos el movimiento de R 2 1 x y = /5 4/5 1 4/5 3/5 1 x y Como rg(a I) = 1 y rg(a I) = 2, el movimiento no tiene puntos fijos y, al ser rg(a I) = 1, se trata de una simetría deslizante, es decir, la composición de una simetría y una traslación. Podemos calcular el eje de la simetría resolviendo el sistema (A I) 2 X = (A I)C. Podemos calcular el vector de la traslación? Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.3 pg.8
9 Clasificación de los movimientos en R 3 según sus puntos fijos Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.3 pg.9
10 Giro Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.3 pg.10
11 Simetría respecto de un plano Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.3 pg.11
12 Movimiento helicoidal Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.3 pg.12
13 Ejemplo Consideremos el movimiento de R 3 y 1 y 2 y 3 = 1/2 3/2 0 3/2 1/ x 1 x 2 x Como rg(a I) = 2 y rg(a I) = 3, no tiene puntos fijos. Al ser rg(a I) = 2, se trata de un movimiento helicoidal, es decir, la composición de un giro con una traslación. Igual que en el ejemplo de la simetría deslizante, para calcular el eje del giro, resolvemos el sistema (A I) 2 X = (A I)C. Podemos calcular el ángulo del giro? Y el vector de la traslación? Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.3 pg.13
14 Cónicas Definición 2. Una cónica es el lugar geométrico de los puntos que resultan de la intersección en R 3 de un cono generalizado y un plano. La ecuación de una cónica es del tipo: ax 2 + 2bxy + cy 2 + 2dx + 2ey + f = 0 en la que los coeficientes a, b, c, d, e y f son reales no todos nulos. Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.3 pg.14
15 Representación matricial de las cónicas La ecuación general de una cónica ax 2 + 2bxy + cy 2 + 2dx + 2ey + f = 0 se puede escribir de forma matricial como: ( ) ( x d (x, y) A + 2(x, y) y e ) + f = 0 o, equivalentemente (1, x, y) B A = ( a b b c ) 1 x y y B = = 0, siendo f d e d a b e b c Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.3 pg.15
16 Una primera clasificación de las cónicas A partir de los signos de los autovalores de la matriz A, podemos dar una primera clasificación de las cónicas, teniendo en cuenta que algunos de los elementos obtenidos pueden ser degenerados (puntos, rectas) o vacíos. Se pueden dar los siguientes casos: 1. Si λµ > 0, tenemos una elipse. 2. Si λµ < 0, tenemos una hipérbola. 3. Si λµ = 0, tenemos una parábola. Para descartar los casos degenerados o vacíos y obtener más información, deberíamos completar cuadrados y operar hasta llegar a las ecuaciones reducidas. Otra alternativa es usar el siguiente resultado. Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.3 pg.16
17 Clasificación de las cónicas mediante invariantes Teorema 2. Los números I 1 = tr(a), I 2 = det(a) e I 3 = det(b) no varían si aplicamos a la cónica cualquier movimiento. Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.3 pg.17
18 Ecuaciones reducidas de las cónicas Elipse real: x2 a 2 + y2 b 2 1 = 0 Elipse imaginaria: x2 a 2 + y2 b = 0 Punto: x2 a 2 + y2 b 2 = 0 Hipérbola: x2 y2 1 = 0 a 2 b 2 Parábola: { x 2 2py = 0 y 2 2px = 0 Par de rectas paralelas: x 2 ± a 2 = 0 Par de rectas reales coincidentes: x 2 = 0 Par de rectas secantes: a 2 x 2 b 2 y 2 = 0 Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.3 pg.18
19 Elipse x2 a 2 + y2 b 2 1 = 0 Llamamos elipse al lugar geométrico de los puntos de un plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos F y F es constante. a y b son los semiejes de la elipse, mientras que los puntos F (c, 0) y F ( c, 0) se llaman focos de la elipse, siendo c = a 2 b 2. Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.3 pg.19
20 Hipérbola x2 a 2 y2 b 2 1 = 0 Llamamos hipérbola al lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos F y F. Los valores a y b son los semiejes de la hipérbola, mientras que los puntos F (c, 0) y F ( c, 0) se llaman focos de la hipérbola, siendo c = a 2 + b 2. Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.3 pg.20
21 Parábola y 2 2px = 0 Llamamos parábola al lugar geométrico que equidistan de un punto fijo F llamado foco y de una recta fija d llamada directriz. Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.3 pg.21
22 Buscando la ecuación reducida La ecuación general de una cónica: ax 2 + 2bxy + cy 2 + 2dx + 2ey + f = 0 se puede escribir de forma matricial como: ( ) x (x, y) A + 2(x, y) y ( d e ) + f = 0 Diagonalizando ortogonalmente la matriz A, calculamos ( los ) autovalores ( ) λ y µ x u y la matriz de paso P. Haciendo el cambio de base = P : y v (u, v) ( λ 0 0 µ ) ( u v Por tanto, la expresión de la cónica queda: ) + 2(u, v) P t ( d e λu 2 + µv 2 + gu + hv + k = 0 ) + f = A partir de esta expresión, tendremos que completar cuadrados para encontrar la expresión reducida de la cónica, como puede verse en el siguiente ejemplo. Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.3 pg.22
23 Ejemplo Clasifique la siguiente cónica: x 2 + y 2 6xy + 4x + 4y = 0 Sus invariantes son I 3 0 e I 2 < 0, con lo que se trata de una hipérbola. Escrita en forma matricial sería de la forma: ( ) ( ) ( ) 1 3 x 2 (x, y) + 2(x, y) = y 2 Diagonalizando ortogonalmente la matriz A, obtenemos: ( ) ( ) ( 1 ) 2 0 u 2 1 ( 2 2 (u, v) + 2(u, v) 0 4 v ) = 0 Lo que nos da: 2u 2 +4v u = 0. Completando cuadrados, y llamando X = u 2 e Y = v, obtenemos la ecuación reducida de la hipérbola: X 2 ( 2) Y = 0 2 Por tanto, los semiejes de la hipérbola son a = 2 y b = 1 y sus focos son F = ( 3, 0) y F = ( 3, 0). Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.3 pg.23
24 Cuádricas Se denomina cuádrica al lugar geométrico de los puntos del espacio afín eucĺıdeo cuyas coordenadas satisfacen: a 1 x 2 +a 2 y 2 +a 3 z 2 +2b 1 xy+2b 2 xz+2b 3 yz+2c 1 x+2c 2 y+2c 3 z+d = 0 Expresada de forma matricial queda como: siendo A = siendo (x, y, z)a x y z a 1 b 1 b 2 b 1 a 2 b 3 b 2 b 3 a 3 B = + 2(x, y, z) c 1 c 2 c 3 + d = 0, o bien (1, x, y, z) B d c 1 c 2 c 3 c 1 a 1 b 1 b 2 c 2 b 1 a 2 b 3 c 3 b 2 b 3 a 3 1 x y z = 0, Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.3 pg.24
25 Cua dricas Emilio Mun oz Velasco. Dpto. Matema tica Aplicada. UMA Tema 3.3 pg.25
26 Cua dricas Emilio Mun oz Velasco. Dpto. Matema tica Aplicada. UMA Tema 3.3 pg.26
27 Cua dricas Emilio Mun oz Velasco. Dpto. Matema tica Aplicada. UMA Tema 3.3 pg.27
28 Clasificación de las cuádricas mediante invariantes Teorema 3. Los números I 1 = tr(a), I 2 = a 2 b 3 b 3 a 3 + a 1 b 2 b 2 a 3 + a 1 b 1 b 1 a 2, I 3 = det(a) e I 4 = det(b) no varían si la cuádrica es afectada por un movimiento. Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.3 pg.28
29 Buscando la ecuación reducida Haciendo un cambio de base y diagonalizando ortogonalmente la matriz A, obtenemos: (u, v, w) α β γ u v w + 2(u, v, w) P t c 1 c 2 c 3 + d = 0 siendo α, β y γ los autovalores de la matriz indicada y P la matriz de paso. Completando cuadrados si es necesario, podemos llegar a alguna de las ecuaciones reducidas siguientes. Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.3 pg.29
30 Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.3 pg.30
31 Emilio Mun oz Velasco. Dpto. Matema tica Aplicada. UMA Tema 3.3 pg.31
32 Ejemplo Clasifique y obtenga la ecuación reducida de la cuádrica 2x 2 7y 2 + 2z 2 10xy 8xz 10yz + 6x + 12y 6z + 5 = 0 En forma matricial sería: (x, y, z) x y z +2(x, y, z) = 0 Calculando sus invariantes, obtenemos I 4 = 0, I 3 < 0, I 2 < 0 e I 1 < 0, lo que implica que es un cono real. Para encontrar su ecuación reducida, primero diagonalizamos ortogonalmente la matriz A, obteniendo los autovalores λ = 12, β = 3 y γ = 6 y la matriz de paso P, siendo: P t = Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.3 pg.32
33 Por tanto, la nueva ecuación de la cuádrica será: (u, v, w) u v +2(u, v, w)p t w 3 +5 = 0 Es decir: 12u u + 3v 2 4 3v + 6w w + 5 = 0 Completando cuadrados obtenemos: 12 ( 1 2 ( 2 2 ( u) v) w) = Si llamamos X = 2 3 +v, Y = 1 2 +w y Z = 1 6 +u, obtenemos la ecuación reducida del cono: 3X 2 + 6Y 2 12Z 2 = 0 Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.3 pg.33
CLASIFICACIÓN AFÍN DE CÓNICAS
Álgebra lineal y Geometría I Gloria Serrano Sotelo Departamento de MATEMÁTICAS CLASIFICACIÓN AFÍN DE CÓNICAS Sea E un R-espacio vectorial de dimensión. Sean E = e 1, e un plano vectorial de E y e 0 un
Más detallesParte II - Prácticas 8 a 9. Álgebra A 62 ÁLGEBRA A 62 (INGENIERÍA)
Parte II - Prácticas 8 a 9 Álgebra A 62 Ingeniería 2015 CICLO BÁSICO COMÚN UBA ÁLGEBRA A 62 (INGENIERÍA) Práctica 8 Introducción a las transformaciones lineales Definiciones y propiedades Transformaciones
Más detallesFunción lineal y cuadrática. Curvas de primer y segundo grado.
Tema 5 Función lineal y cuadrática. Curvas de primer y segundo grado. 5.0.1 Ecuaciones en dos variables. Una linea del plano es el conjunto de puntos (x, y), cuyas coordenadas satisfacen la ecuación F
Más detallesCónicas. Clasificación.
Tema 7 Cónicas. Clasificación. Desde el punto de vista algebraico una cónica es una ecuación de segundo grado en las variables x, y. De ese modo, la ecuación general de una cónica viene dada por una expresión
Más detallesG. SERRANO SOTELO. H = e 0 + E
CLASIFICACIÓN AFÍN DE CÓNICAS Y CUÁDRICAS G. SERRANO SOTELO 1. Cuádricas en un hiperplano afín Sea E un R-espacio vectorial de dimensión n +1. Sean E = e 1,...,e n un hiperplano vectorial de E y e un vector
Más detalles1 CÓNICAS Cónicas. Estudio particular. 1 x y. 1 x y. a 00 a 01 a 02 a 10 a 11 a 12 a 20 a 21 a 22
CÓNICAS. CÓNICAS.. Cónicas. Estudio particular. Una cónica se dene como el lugar geométrico de los puntos del plano euclídeo que, respecto de una referencia cartesiana rectangular, satisfacen una ecuación
Más detallesTema 3.1. Espacio eucĺıdeo. Diagonalización ortogonal
Tema 3.1. Espacio eucĺıdeo. Diagonalización ortogonal Definición 1. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K. Llamamos forma bilineal a toda aplicación f : V V K ( x, y) f( x, y) que verifica: 1. f(
Más detallesFundamentos matemáticos. Tema 3 Geometría del plano y del espacio
Fundamentos matemáticos Grado en Ingeniería agrícola y del medio rural Tema 3 Geometría del plano y del espacio José Barrios García Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna jbarrios@ull.es
Más detallesTema 5. Cónicas. Asi, para las identificaciones habituales, (punto proyectivo recta vectorial punto de un plano afín ampliado), RP 2 R3 {0}
Tema 5. Cónicas. Introducción. Ejemplos.- El cono C = {(x, y, z) R 3 /x 2 + y 2 = z 2 } está formado por las rectas vectoriales 0 (x 1,x 2, 1) [x 1,x 2, 1] RP 2 con (x 1,x 2, 1) C Π 1 = C 1, circunferencia
Más detalles1. ESPACIO EUCLÍDEO. ISOMETRÍAS
1 1. ESPACIO EUCLÍDEO. ISOMETRÍAS Muchos de los fenómenos que se investigan en la geometría utilizan nociones como las de longitud de un vector y ángulo entre vectores. Para introducir estos dos conceptos
Más detallesSOLUCIONES. ÁLGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA (Examen Ordinario : ) Grado en Matemáticas Curso
ÁLGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA Eamen Ordinario : 6--7 Grado en Matemáticas Curso 6-7 SOLUCIONES Dados tres puntos distintos alineados A, A, A A R, al número real r tal que A A = r A A lo llamaremos raón simple
Más detallesEXAMEN JUNIO PP 1A SEMANA
EXAMEN JUNIO PP A SEMANA XAVI AZNAR Ejercicio. Defina semejanza, razón de semejanza y movimento asociado a una semejanza. Ejercicio. En el espacio vectorial V 3 (R) sea q la forma cuadrática cuya expresión
Más detallesCónicas y cuádricas. Circunferencia Elipse Parábola Hipérbola
Grado en Óptica y Optometría Curso 2009-2010 Cónicas y cuádricas. Curvas cónicas Entre las curvas, quizás más importante y con más renombre, figuran las conocidas como curvas cónicas, cuyo nombre proviene
Más detallesFundamentos matemáticos. Tema 3 Geometría del plano y del espacio
Grado en Ingeniería agrícola y del medio rural Tema 3 José Barrios García Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna jbarrios@ull.es 2017 Licencia Creative Commons 4.0 Internacional J.
Más detallesFigura 1: Pendiente de una recta no vertical a partir de dos puntos cualesquiera sobre la recta.
Rectas en el Plano Pendiente de una recta La pendiente de una recta no vertical es la razón de cambio vertical con respecto a la cantidad de cambio horizontal entre dos puntos. Para los puntos (x 1, y
Más detallesEste documento es de distribución gratuita y llega gracias a El mayor portal de recursos educativos a tu servicio!
Este documento es de distribución gratuita y llega gracias a Ciencia Matemática El mayor portal de recursos educativos a tu servicio! Capítulo 5 Cónicas 5.1 Definiciones y ecuaciones reducidas Nota En
Más detallesLA CIRCUNFERENCIA. La circunferencia es la sección producida por un plano perpendicular al eje.
LA CIRCUNFERENCIA La circunferencia es la sección producida por un plano perpendicular al eje. β = 90º La circunferencia es un caso particular de elipse. Se llama circunferencia al lugar geométrico de
Más detallesDocente Matemáticas. Marzo 11 de 2013
Geometría Analítica Ana María Beltrán Docente Matemáticas Marzo 11 de 2013 1 Geometría Analítica Definición 1. Un lugar geométrico es el conjunto de todos los puntos del plano que tienen una característica
Más detalles1. Clasifica las siguientes cónicas dando su ecuación reducida, centro o vértice y ejes (si es posible): (1.d) x 2 + y 2 + 2x + 1 = 0
Clasificación de cónicas.. Clasifica las siguientes cónicas dando su ecuación reducida, centro o vértice y ejes si es posible:.a x xy + y + x y + 0.b x + xy y 6x + y 0.c x + xy + y x y 0.d x + y + x +
Más detallesExamen Final Ejercicio 2 (1 hora y 30 min.) 27 de mayo de 2011
Álgebra Lineal II Eamen Final Ejercicio 2 ( hora 30 min 27 de mao de 20 En el espacio afín euclideo usual consideramos una pirámide triangular ABCD de la cual sabemos: - A (0, 0, 0, B (, 0, 0, C (0,, -
Más detallesALGEBRA. Escuela Politécnica Superior de Málaga
ALGEBRA. Escuela Politécnica Superior de Málaga Tema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones. Espacio vectorial. Espacios vectoriales R n. Dependencia e independencia lineal. Base. Matrices y determinantes.
Más detalles5º Prueba de Evaluación continua (CÓNICAS) 5 de junio de 2012
Grupo C ETSI de Topografía, Geodesia y Cartografía º Prueba de Evaluación continua (CÓNICAS) de junio de 0.- Clasificar la cónica x y xy x y = 0 A = ; A = 0 Cónica no degenerada. = = = < 0 A c la cónica
Más detallesTema 3.2. Espacio afín eucĺıdeo. Problemas métricos
Tema 3.2. Espacio afín eucĺıdeo. Problemas métricos Definición: Un espacio afín es una terna A = (P, V, f) en la que P es un conjunto no vacío, V un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo
Más detallesIntroducción La Circunferencia Parábola Elipse Hiperbola. Conicas. Hermes Pantoja Carhuavilca
Facultad de Ingeniería Industrial Universidad Nacional Mayor de San Marcos Matematica I Contenido 1 Introducción 2 La Circunferencia 3 Parábola 4 Elipse 5 Hiperbola Objetivos Se persigue que el estudiante:
Más detallesCónicas. Marcos Marvá Departamento de Física y Matemáticas, Universidad de Alcalá. November 27,
Cónicas Marcos Marvá Departamento de Física y Matemáticas, Universidad de Alcalá November 27, 2013 marcos.marva@uah.es Cómo definir una cónica Como intersección de un plano y un cono recto de doble hoja
Más detallesSuperficie cónica. Cuando una recta g que corta a otra recta e, gira alrededor de ella, genera una superficie cónica
CÓNICAS Superficie cónica Cuando una recta g que corta a otra recta e, gira alrededor de ella, genera una superficie cónica V Las cónicas como secciones de un cono. Circunferencia Al cortar la superficie
Más detallesSemana 13: Determinación de cónicas. Haces de cónicas proyectivas.
Semana 13: Determinación de cónicas. Haces de cónicas proyectivas. Sonia L. Rueda ETS Arquitectura. UPM Geometría afín y proyectiva, 2015 Geometría afín y proyectiva 1. Álgebra lineal 2. Geometría afín
Más detallesCÓNICAS UNIVERSIDAD MARIANA
Cónicas CÓNICAS UNIVERSIDAD MARIANA FACULTAD DE INGENIERIA INGENIERIA DE PROCESOS 2015 CONTENIDO 1. INTRODUCCION 2. DEFINICON GENERAL 2.1 Ecuación canónica 3. PARABOLA 3.1 Ecuación canónica 4. ELIPSE 4.1
Más detallesMATEMÁTICAS I 2º EXAMEN PARCIAL 12 junio de 2009
Sólo una respuesta a cada cuestión es correcta. Respuesta correcta: 0.2 puntos. Respuesta incorrecta: -0.1 puntos Respuesta en blanco: 0 puntos 1.- Un sistema generador G de R 3 : a) Está constituido por
Más detallesUNPSJB - Facultad Ciencias Naturales - Asignatura: Matemática 1 Ciclo Lectivo: 2014 CONICAS
Asignatura: Matemática 1 Ciclo Lectivo: 014 CONICAS La superficie que se muestra en la figura se llama doble cono circular recto, o simplemente cono. Es la superficie tridimensional generada por una recta
Más detallesEs el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
REPARTIDO IV - CÓNICAS Elipse Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. Elementos de la elipse Focos Son los puntos fijos F
Más detallesLugar Geométrico. Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una determinada propiedad. Mediatriz
1 Lugar Geométrico Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una determinada propiedad. Mediatriz Mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan
Más detallesFacultad de Ingeniería Facultad de Tecnología Informática. Matemática Números reales Elementos de geometría analítica. Profesora: Silvia Mamone
Facultad de Ingeniería Facultad de Tecnología Informática Matemática Números reales Elementos de geometría analítica 0 03936 Profesora: Silvia Mamone UB Facultad de Ingeniería Facultad de Tecnología Informática
Más detallesALGEBRA. Escuela Politécnica Superior de Málaga
ALGEBRA. Escuela Politécnica Superior de Málaga Tema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones. Espacio vectorial. Espacios vectoriales R n. Dependencia e independencia lineal. Base. Matrices y determinantes.
Más detalles1 CUÁDRICAS Cuádricas. Estudio particular. 1 x y z. 1 x y z. a 00 a 01 a 02 a 03 a 10 a 11 a 12 a 13 a 20 a 21 a 22 a 23 a 30 a 31 a 32 a 33
CUÁDRICAS. CUÁDRICAS.. Cuádricas. Estudio particular. Una cuádrica se dene como el lugar geométrico de los puntos del espacio euclídeo que, respecto de una referencia cartesiana rectangular, satisfacen
Más detallesExamen extraordinario Ejercicio 4 (55 minutos) 4 de septiembre de 2006
ÁLGEBRA Examen extraordinario Ejercicio 4 (55 minutos) 4 de septiembre de 006 1. Calcular la ecuación de una hipérbola que tiene por asíntota a la recta x = y, por eje la recta x+y = 1 y que pasa por el
Más detallesSe pide: (b) Ecuaciones que permiten obtener las coordenadas cartesianas en R en función de las de R.
ÁLGEBRA Práctica 13 Espacios afines E 2 y E 3 (Curso 2004 2005) 1. En un espacio afín real de dimensión 3, se consideran dos sistemas de referencia R = {O, ē 1, ē 2, ē 3 } y R = {P, ū 1, ū 2, ū 3 }, donde
Más detallesSolución de problemas III 1
Solución de problemas III Álgebra II Curso 25-6. Espacio Afín.. Ejercicios Ejercicio.4.3 Encontrar la expresión analítica de las siguientes aplicaciones afines de R 2 : a Giro de centro (, ángulo π/2 b
Más detalles1. Determina cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales. Para aquellos que lo sean, halla una base.
EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Espacios vectoriales. Sistemas de ecuaciones. 1. Determina cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales. Para aquellos que lo sean, halla una base. (a) S = {
Más detallesAlgebra Lineal II. Teresa Arias Marco
Algebra Lineal II Cónicas Teresa Arias Marco En este tema estudiaremos las ecuaciones de las cónicas y algunas propiedades de los espejos de forma cónica. Finalmente, estudiaremos cómo reducir una cónica
Más detallesInterpretación proyectiva de propiedades euclídeas. Elementos
Tema 9.- Interpretación proyectiva de propiedades euclídeas. Elementos de las cónicas y cuádricas euclídeas 9.1 El espacio euclídeo como subespacio del proyectivo. Consideramos el espacio euclídeo R n
Más detalles6.1 Definición de espació afín
6 Espacio afín En este capítulo 61 Definición de espacio afín 62 Sistema de referencia y coordenadas 63 Aplicaciones afines 64 Movimientos 6 Cónicas 2 Álgebra lineal 61 Definición de espació afín Definición
Más detallesBloque 2. Geometría. 4. Iniciación a las Cónicas
Bloque 2. Geometría 4. Iniciación a las Cónicas 1. La circunferencia Se llama circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. Elevando al cuadrado
Más detallesTema 1 (Resultados).- Cónicas y Cuádricas.
Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química Matemáticas I 010-011 Departamento de Matemática Aplicada II Escuela Superior de Ingenieros Universidad de Sevilla Tema 1 (Resultados)- Cónicas y Cuádricas Ejercicio
Más detallesCURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES. Unidad didáctica 5. Geometría en el plano
CIRCUNFERENCIA CÓNICAS La circunferencia de centro C y radio r 0, es el conjunto de puntos del plano cuya distancia al punto C es igual a r. Para obtener su ecuación se tiene en cuenta que un punto X =
Más detallesUNI DAD 4 ESPACIO BIDIMENSIONAL: CÓNICAS
UNI DAD 4 ESPACIO BIDIMENSIONAL: CÓNICAS Objetivos Geometría analítica Introducción L cónica sección cónica Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 A B C D E F 4.1. Circunferencia Circunferencia es el conjunto
Más detallesUTalca - Versión Preliminar
1. Definición La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos del plano cuya suma de las distancias a dos puntos fijos es constante. Más claramente: Dados (elementos bases de la elipse) Dos puntos
Más detallesEjercicios de cónicas.
Ejercicios de cónicas. 1. Demuéstrese que un rayo lanzado en cualquier dirección desde un foco de una elipse y que se refleje en la cónica pasa por el otro foco. 2. Demuéstrese que un rayo lanzado paralelamente
Más detallesTRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS Curso 03-04
.-En el plano vectorial V, con la base ortonormal { i,j } vectores u (, ) y v (, ) éstos determinan. Hallar en la base { i,j } transformaciones ortogonales tales que f( D ) se consideran los y las semirrectas
Más detallesTEMA 6 CÓNICAS CÓNICAS TEMA 6. 1.º BACHILLERATO - CIENCIAS. 1. La circunferencia. Ecuación de una circunferencia. (x - a) + (y - b) = r.
TEMA 6 CÓNICAS Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen
Más detallesMATEMÁTICAS I 13 de junio de 2007
MATEMÁTICAS I 13 de junio de 2007 2º EXAMEN PARCIAL Sólo una respuesta a cada cuestión es correcta. Respuesta correcta: 0.2 puntos. Respuesta incorrecta: -0.1 puntos Respuesta en blanco: 0 puntos 1.- Si
Más detallesEjercicios N 3 (MAT 021)
Ejercicios N 3 (MAT 021) Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Matemática Septiembre 2009 1 Rectas 1. En cada caso determine la ecuación de la recta L (a) L pasa por el punto P ( 1,
Más detalles3º B.D. opción Físico-Matemática Matemática II. Parábola.
Parábola. Definición: Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F, llamado foco y de una recta fija z llamada directriz. Siendo F no perteneciente a z. Entonces siendo P
Más detallesÁlgebra Lineal UCR. Sétimo tema, 2013
Álgebra Lineal UCR Sétimo tema, 2013 Presentaciones basadas principalmente en Arce,C, Castillo,W y González, J. (2004) Álgebra lineal. Tercera edición. UCR. San Pedro. Otras fuentes serán mencionadas cuando
Más detallesTEMA 9 LUGARES GEOMÉTRICOS. CÓNICAS 1. Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una cierta propiedad.
TEMA 9 LUGARES GEOMÉTRICOS. CÓNICAS 1 TEMA 9 LUGARES GEOMÉTRICOS. CÓNICAS. 9.1 LUGARES GEOMÉTRICOS Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una cierta propiedad. Llamando X(x,) a las
Más detallesLa parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.
La Parábola La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz. Características geométricas. a) Vértice. Es el
Más detallesSECCIONES CÓNICAS (1)Determinar y graficar el lugar geométrico de los puntos que equidistan de F(0, 2) y de la recta
LOS EJERCICIOS DEBEN RESOLVERSE TAMBIÉN USANDO SOFTWARE MATEMÁTICO. LAS ECUACIONES PEDIDAS SON, EN TODOS LOS CASOS, LAS CANÓNICAS Y LAS PARAMÉTRICAS. I) GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL PLANO 1. Determinar y
Más detallesMATEMÁTICAS I 2º EXAMEN PARCIAL 9 de junio de 2008
MATEMÁTICAS I º EXAMEN PARCIAL 9 de junio de 008 Sólo una respuesta a cada cuestión es correcta Respuesta correcta: 0 puntos Respuesta incorrecta: -0 puntos Respuesta en blanco: 0 puntos - Sean F y G dos
Más detallesUNIDAD 3: GEOMETRÍA ANALÍTICA Nociones preliminares, línea recta, estudio de las cónicas
009 UNIDAD 3: GEOMETRÍA ANALÍTICA Nociones preliminares, línea recta, estudio de las cónicas Se hace referencia a las definiciones, fórmulas y algunos ejemplos sobre los temas indicados Iván Moyota Ch.
Más detalles3º B.D. opción Social-Económico Matemática III. Parábola.
Parábola. Definición: Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F, llamado foco y de una recta fija z llamada directriz. Siendo F no perteneciente a z. Entonces siendo P
Más detallesSECCIONES CÓNICAS. 1. Investiga: porqué el nombre de cónicas para las curvas que vamos a estudiar?
SECCIONES CÓNICAS 1. Investiga: porqué el nombre de cónicas para las curvas que vamos a estudiar? 2. ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO: es una ecuación de la siguiente forma Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey
Más detallesSe llama Circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de un punto fijo llamado centro.
Cónicas 1.- Circunferencia Definición 1 (Definición geométrica) Se llama Circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de un punto fijo llamado centro. Analíticamente la circunferencia
Más detallesTema 6: Espacios euclídeos
Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto de Matemática Aplicada, FI-UPM 1 Tema 6: Espacios euclídeos Ejercicios 1 Demuestra que la aplicación < A, B >= traza(ab t ), A, B M m n (R), es un producto escalar sobre
Más detallesTema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones.
Tema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones. Álgebra Lineal Escuela Politécnica Superior Universidad de Málaga Emilio Muñoz-Velasco (Basado en los apuntes de Jesús Medina e Inmaculada Fortes)
Más detallesDepartamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Solución de la Primera Prueba Alternativa ( )
MATEMÁTICAS I ( o de GIE y GIERM (Curso - Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla Solución de la Primera Prueba Alternativa (-- Ejercicio.. Calcule las raíces cúbicas del número
Más detallesÁLGEBRA Algunas soluciones a la Práctica 14
ÁLGEBRA Algunas soluciones a la Práctica 4 Espacios afines E y E (Curso 008 009) 9. En el espacio E dotado de un sistema de referencia rectangular, determinar la ecuación de todos los planos que contienen
Más detallesGeometría Analítica. Ecuación de una recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada:
Geometría Analítica Definición de línea recta: Llamamos línea recta al lugar geométrico de los puntos tales que tomados dos puntos diferentes cualesquiera y del lugar, el valor de la pendiente m calculado
Más detallesESCUELA PREPARATORIA OFICIAL NO.16 MATERÍA: GEOMETRÍA ANALITICA GUÍA DE ESTUDIO PARA LA ÚLTIMA OPORTUNIDAD DE ACREDITAR LA MATERÍA
Geometría analítica 1.- Ecuación de la recta 2.- Cónicas 3.-Ecuación de la parábola UNIDAD II: CONICAS (CIRCUNFERENCIA Y PARABOLAS) Una superficie cónica de revolución está engendrada por la rotación de
Más detallesCAPÍTULO 4 OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO
CAPÍULO 4 OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCO INERNO Adjunto de un operador En un espacio vectorial V con producto interno, cada operador lineal tiene un operador llamado su adjunto que también
Más detallesTema 1.- Cónicas y Cuádricas.
Ingeniería Química. Matemáticas I. 013-014. Departamento de Matemática Aplicada II. Escuela Superior de Ingenieros. Universidad de Sevilla. Tema 1.- Cónicas y Cuádricas. 1.1.- Las cónicas. Ecuaciones reducidas.
Más detalles4) Dada la ecuación x + 4xy + 4y x + 6 y = 0, identifica el lugar geométrico que representa e indica sus elementos característicos (en el sistema original). Realiza un esbozo de su gráfica. La ecuación
Más detalles1. L U G A R E S G E O M É T R I C O S E N E L P L A N O
L U G A R E S G E O M É T R I C O S. C Ó N I C A S 1. L U G A R E S G E O M É T R I C O S E N E L P L A N O Se define un lugar geométrico como el conjunto de puntos del plano que cumplen una determinada
Más detallesNOTA: Todos los problemas se suponen planteados en el plano afín euclídeo dotado de un sistema cartesiano rectangular.
ÁLGEBRA Práctica 14 Cónicas (Curso 2007 2008) NOTA: Todos los problemas se suponen planteados en el plano afín euclídeo dotado de un sistema cartesiano rectangular. 1. Para las siguientes cónicas (1) 5x
Más detallesPrimer Examen Parcial
Primer Parcial. -. R- -. Departamento de Matemática Aplicada II. Escuela Superior de Ingenieros. Universidad de Sevilla. Primer Examen Parcial. --. Ejercicio. (a) Sea Q : R R la forma cuadrática definida
Más detallesIndex. Ángulo, 80 entre dos planos, 80 entre dos rectas, 80 entre dos vectores, 59 entre recta y plano, 80
Index Ángulo, 80 entre dos planos, 80 entre dos rectas, 80 entre dos vectores, 59 entre recta y plano, 80 Adjunto, 14 Aplicación, 2 bilineal, 47 biyectiva, 3 compuesta, 3 identidad, 3 inversa, 3 inyectiva,
Más detallesSolución a los problemas adicionales Espacios afines E 2 y E 3 (Curso )
ÁLGEBRA Solución a los problemas adicionales Espacios afines E 2 y E (Curso 2009 200) I. En el plano afín E 2 y con respecto a una referencia rectangular se tiene el triángulo ABC de vértices A (0, 0),
Más detallesSe llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una cierta propiedad.
LUGARES GEOMÉTRICOS. CÓNICAS. 9.1 LUGARES GEOMÉTRICOS Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una cierta propiedad. Llamando X(,) a las coordenadas del punto genérico aplicando analíticamente
Más detallesPAU Madrid. Matemáticas II. Año Examen de septiembre. Opción A. Ejercicio 1. Valor: 2 puntos.
Opción A. Ejercicio. Valor: 2 puntos. Se considera la función real de variable real definida por: f(x) = a) ( punto) Determinar sus máximos y mínimos relativos x x 2 + b) ( punto) Calcular el valor de
Más detallesINSTRUCTIVO PARA TUTORÍAS
INSTRUCTIVO PARA TUTORÍAS Las tutorías corresponden a los espacios académicos en los que el estudiante del Politécnico Los Alpes puede profundizar y reforzar sus conocimientos en diferentes temas de cara
Más detallesApellidos: Nombre: NIF:
Universidad de Oviedo EPS de ingeniería de Gijón Dpto. Matemáticas Algera Lineal 4//8 Segunda parte Apellidos: Nomre: NIF: Ejercicio puntos) Se considera la aplicación lineal f : R R [x] definida como
Más detallesTema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones.
Tema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones. Álgebra Lineal Escuela Politécnica Superior Universidad de Málaga Emilio Muñoz-Velasco (Basado en los apuntes de Jesús Medina e Inmaculada Fortes)
Más detallesMovimientos. Teorema de Cartan-Dieudonné. Semejanzas.
Capítulo 5 Movimientos. Teorema de Cartan-Dieudonné. Semejanzas. 5.1 Isometrías y movimientos Partimos de un espacio euclídeo (X, V, +) y recordemos que una isometría de V es un elemento ϕ Gl(V ) que conserva
Más detallesCoordinación de Matemática II (MAT022)
Coordinación de Matemática II (MAT022) Guía de ejercicios N 6 parte Complementos Espacios Vectoriales En los ejercicios que siguen utilizamos la siguientes notaciones: R n [x es el espacio vectorial sobre
Más detallesSecciones Cónicas. 0.1 Parábolas
Secciones Cónicas 0.1 Parábolas Las secciones cónicas, también llamadas cónicas, se obtienen cortando un cono circular recto doble con un plano. Al cambiar la posición del plano se tiene un círculo, una
Más detallesNOTA: Todos los problemas se suponen planteados en el plano afín euclídeo dotado de un sistema cartesiano rectangular.
ÁLGEBRA Práctica 15 Cónicas (Curso 2008 2009) NOTA: Todos los problemas se suponen planteados en el plano afín euclídeo dotado de un sistema cartesiano rectangular. 1. Para las siguientes cónicas (1) 5x
Más detallesALGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
FACULTAD DE CIENCIAS EACTAS, INGENIERÍA AGRIMENSURA ESCUELA DE FORMACIÓN BÁSICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ALGEBRA GEOMETRÍA ANALÍTICA Ecuación General de Segundo Grado Patricia Có Mariel Ugarte -08- ECUACIÓN
Más detallesTema 3: Espacios eucĺıdeos
Marisa Serrano, Zulima Fernández Universidad de Oviedo 25 de noviembre de 2009 email: mlserrano@uniovi.es Índice 1 2 3.1 V, R espacio vectorial, la aplicación : V V R ( v, u) v u a) v 1, v 2, u V α, β
Más detallesSemana04[1/25] Secciones Cónicas. 22 de marzo de Secciones Cónicas
Semana04[1/25] 22 de marzo de 2007 Definición de Cónicas Definición de cónicas Semana04[2/25] Cónica Sean D y F una recta y un punto del plano tales que F D. Sea e un número positivo. Una cónica es el
Más detalleses el lugar geométrico de los puntos p tales que p 0 p n o p 0 p o. p x ; y ; z perteneciente a y un vector no
El Plano y la Recta en el Espacio Matemática 4º Año Cód. 145-15 P r o f. M a r í a d e l L u j á n M a r t í n e z P r o f. J u a n C a r l o s B u e P r o f. M i r t a R o s i t o P r o f. V e r ó n i
Más detallesPara localizar un punto o un objeto en el espacio necesitamos un sistema de referencia. R es una cuaterna { O,i, j, k}
Geometría afín del espacio MATEMÁTICAS II 1 1 SISTEMA DE REFERENCIA. ESPACIO AFÍN Para localizar un punto o un objeto en el espacio necesitamos un sistema de referencia. Definición: Un sistema de referencia
Más detallesTema 3. GEOMETRIA ANALITICA.
Álgebra lineal. Curso 087-009. Tema. Hoja 1 Tema. GEOMETRIA ANALITICA. 1. Hallar la ecuación de la recta: a) que pase por ( 4, ) y tenga pendiente 1. b) que pase por (0, 5) y tenga pendiente. c) que pase
Más detallesAlgebra Lineal y Geometría.
Algebra Lineal y Geometría. Unidad n 10:Ecuación General de Segundo Grado en dos Variables. Algebra Lineal y Geometría Esp. Liliana Eva Mata 1 Contenidos Cónicas como secciones planas de un cono circular
Más detallesÁLGEBRA Práctica Clasificar según los valores de λ IR las cónicas de los siguientes haces: 2. Para las siguientes cónicas
ÁLGEBRA Práctica 14 Cónicas (Curso 2006 2007) NOTA: Todos los problemas se suponen planteados en el plano afín euclídeo dotado de un sistema cartesiano rectangular. 1. Clasificar según los valores de λ
Más detallesAquella que tiene nulos los elementos nos situados en la diagonal principal. Los elementos situados por encima de la diagonal principal son nulos.
Álgebra lineal Matrices Rango de una matriz Orden del mayor menor complementario no nulo. Matriz regular det A Diagonal principal Elementos a ii de la matriz. Si la matriz es cuadrado son los elementos
Más detalles