G. SERRANO SOTELO. H = e 0 + E

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1 CLASIFICACIÓN AFÍN DE CÓNICAS Y CUÁDRICAS G. SERRANO SOTELO 1. Cuádricas en un hiperplano afín Sea E un R-espacio vectorial de dimensión n +1. Sean E = e 1,...,e n un hiperplano vectorial de E y e un vector de E que no está en E, e / E. Los vectores {e,e 1,...,e n } forman una base de E, y si representamos por (x,x 1,...,x n ) sus funciones coordenadas, el hiperplano afín H definido por H = e + E tiene por ecuación implícita x =1.Enestesistemadecoordenadaslaecuaciónimplícita del hiperplano del infinito E es x =. Definición 1.1. Una cuádrica de H es una familia C = {λt } (λ R), formada por una métrica simétrica T sobre E ytodassusproporcionales. El lugar geométrico definido por la cuádrica C es la intersección del hiperplano afín H con el conjunto de los vectores de E que son isótropos para la métrica T locus de C = {e E : T (e, e) =} H En coordenadas, el locus de C representa la ecuación de una hipersuperficie de grado de H. Enefecto,siG =(g ij )eslamatrizdeunrepresentantet de la cuádrica C respecto de una base {e,e 1,...,e n } de E en la que la ecuación de H es x =1,se tiene g g 1... g n 1 locus de C = (1,x 1,...,x n ) H : g 1 x 1... x n 1 g g 1n x =, g n g n1... g nn x n de donde resulta g 11 x g nn x n +(g 1 x 1 x + + g n 1n x n 1 x n )+(g 1 x g n x n )+g =. Observación 1.. La parte cuadrática, g 11 x 1+ +g nn x n+(g 1 x 1 x + +g n 1n x n 1 x n ), de esta ecuación se corresponde con la matriz de la restricción de la métrica T al hiperplano del infinito E, g g 1n T E =..... g n1... g nn 1

2 G. Serrano Sotelo Ejemplo 1.3. H = {(1,x,y)} R 3, C = {λt }, G = locus de C 1 x y x = 1 y Curva de grado dos del plano xy x +y +xy 6x +4y +1=. Ejemplo H = {(1,x,y,z)} R 4, C = {λt }, G = locus de C 1 x y z x y = 1 z Superficie de grado dos del espacio xyz x y + z +6xy +4yz x +y =. Observación 1.5. Llamaremos cónicas alascuádricassobreunplanoafíndedeun R-espacio vectorial de dimensión 3. Definición 1.6. Una cuádrica C = {λt } es irreducible o no degenerada si lo es cualquiera de sus métricas representantes. Ejemplo 1.7. Las cónicas de ecuaciones (a) x x a +y 1 =, (b) b a y 1 =, b (c) y px =, donde a, b, p R {} son irreducibles pues las métricas representantes, de matrices (a) 1 1/a, (b) 1 1/a, (c) 1 1, 1/b 1/b 1/p son no singulares.. Centros de una cuádrica Sea C = {λt } una cuádrica sobre el hiperplano afín H de E. Definición.1. Un vector e E define un centro de la cuádrica C si e T (e,e)=paratodoe E. / E y Proposición.. Si C = {λt } es una cuádrica irreducible y tiene centro éste es único.

3 Clasificación afín de cónicas y cuádricas 3 Demostración. Sea e E un vector que define un centro de la cuádrica C. Como T es una métrica irreducible el subespacio ortogonal al hiperplano del infinito, E,esunarecta,luegoe es un generador de ella pues es ortogonal a E, y como e / E esta recta e corta a H en un único punto, c = e H, queeselcentrode la cuádrica. Corolario.3. Si C = {λt } es una cuádrica irreducible con centro existe una base {e,e 1,...,e n } de E en la que las coordenadas del centro son c = 1, Adj g 1 Adj g,..., Adj g n Adj g, donde G =(g ij ) es la matriz, respecto de esa base, de una métrica representante de C. Demostración. Respecto de la base {e,e 1,...,e n } de E, enlaquee es el vector que define el centro, E = e,y{e 1,...,e n } una base de E,laecuaciónimplícitade E es x =,luegosusubespacioincidenteestágeneradoporlaformalinealω de coordenadas en la base dual ω =(1,,...,). Si G =(g ij )eslamatrizdet en esta base se tiene que E = G 1 ω = e con luego el centro es e = Adj g G, Adj g 1 G,, Adj g n ), G c = 1, Adj g 1 G,, Adj g n ), G donde Adj g = G es el detreminante de la restricción de G a E. 3. Cuádricas afinmente equivalentes Sea E un espacio vectorial real de dimensión n +1yH un hiperplano afín de E de subespacio director E. Definición 3.1. Sea C = {λt } una cuádrica de H. Sellamanrangor eíndicei de la cuádrica a los de cualquiera de las métricas que la representan. Se llaman rango r e í n d i c e i de la cuádrica en el infinito a los de la restricción a E de cualquiera de las métricas que la representan. r =rg(t ), i =indice(t ); r =rg(t E ), i =indice(t E ) Definición 3.. Dos cuádricas C = {λt } y C = {µt } de H son afínmente equivalentes si existe un automorfismo E f E que deja invariante el hiperplano H y tal que el morfismo inducido T (E) f T (E) transformalafamilia{λt } en la familia {µt }. Teorema 3.3. Si dos cuádricas C = {λt } y C = {µt } de H son afínmente equivalentes, tienen iguales sus rangos, índices, rangos en el infinito e índices en el infinito, r = r, i = i ; r = r, i = i. Demostración. Como C y C son afínmente equivalentes existe un automorfismo f de E tal que f (T )=µt para algún µ R. Además, como f deja invariante H, f restringe f aunautomorfismoe E cuyo morfismo inducido T (E ) f T (E )transforma la métrica T E en la métrica µt E. Puesto que el rango y el índice de una métrica son invariantes por cambio de base se concluye.

4 4 G. Serrano Sotelo Demostraremos que el recíproco de este teorema también es cierto. Para ello obtendremos primero las ecuaciones reducidas afines de las cuádricas. 4. Ecuaciones reducidas afines de las cuádricas 4.1. Ecuaciones reducidas de las cuádricas con centro. Sea e H un centro de la cuádrica C = {λt } y {e 1,...,e n } una base reducida para la métrica T E.Enlabase{e,e 1,...,e n } de E la matriz de la métrica T es T (e,e ) Se presentan pues dos posibilidades, (1) Si T (e,e )=,elcentroe es un vector isótropo para la métrica T,estoes un punto del locus de la cuádrica. En este caso la matriz es , 1... y se deduce que el rango e índice de la cuádrica coinciden con el rango e índice de la cuádrica en el infinito r = r, i = i La ecuación reducida afín de la cuádrica es x x p x p+1 x p+q =, donde los números p y q son respectivamente el número de raíces positivas y el número de raíces negativas de la ecuación secular de la restricción de la métrica al hiperplano del infinito E e i =mín(p, q) yr = n (p + q).

5 Clasificación afín de cónicas y cuádricas 5 () Si T (e,e )=α =, tomando como representante inicial de la cuádrica la métrica 1 α,lamatrizdeestamétricaenlabase{e,e 1,...,e n } de E es , 1... de la que se deducen las relaciones entre los rangos e índices de la cuádrica y los de su restricción al infinito, que dan los dos casos siguientes r = r +1, i = i, si p q r = r +1, i = i +1, si p>q Los números p y q son respectivamente el número de raíces positivas y el número de raíces negativas de la ecuación secular de la restricción de la métrica al hiperplano del infinito E. En ambos casos, la ecuación reducida afín de la cuádrica es x x p x p+1 x p+q =1 4.. Ecuaciones reducidas de las cuádricas sin centro. En este caso, de la definición de centro se sigue que E E,luegoRadT E = E E = E ycomoradt E resulta dim Rad T E =dime =dime dim E +dim(radt E )=1+dimRadT Así pues existen vectores e 1 y v tales que, e 1 Rad T E,e 1 / Rad T y v E E,T (v, e 1 )=β = α β La matriz de la restricción de la métrica T al plano v, e 1, T v,e1 =,es β no singular y de índice uno. Por tanto, v, e 1 define un plano hiperbólico y es posible seleccionar otra base {e,e 1 } de este plano en la que la matriz de la restricción es 1. 1 Elijiendo ahora una base reducida {e,...,e n } para la métrica restricción T e,e 1 se obtiene una base {e,e 1,e,...,e n } de E en la que la matriz de T es

6 6 G. Serrano Sotelo Esto permite obtener la siguiente relación entre los rangos e índices de la cuádrica y los de su restricción al infinito r = r +, i = i +1 En este caso, la ecuación reducida afín de la cuádrica es x + + x p x p+1 x p+q x 1 =, donde los números p y q son respectivamente el número de raíces positivas y el número de raíces negativas de la ecuación secular de la restricción de la métrica al hiperplano del infinito E. 5. Clasificación afín De las ecuaciones reducidas afines del apartado anterior se sigue que si dos cuádricas tienen iguales sus rangos, índices, rangos en el infinito e índices en el infinito son afínmente equivalentes. Combinando este resultado con el teorema?? obtenemos el teorema de clasificación. Teorema 5.1. La condición necesaria y suficiente para que dos cuádricas C = {λt } y C = {µt } de H sean afínmente equivalentes es que tengan iguales sus rangos, índices, rangos en el infinito e índices en el infinito, r = r, i = i ; r = r, i = i. Utilizando este teorema obtenemos los siguientes cuadros de clasificación afín de cónicas y cuádricas.

7 Clasificación afín de cónicas y cuádricas Clasificación afín de cónicas en H R 3. r 3(Irreducibles) 1 r i \i 1 1 Par de rectas 1 Hipérbola reales x y =1 no paralelas Elipse Elipse real imaginaria x + y =1 x + y = 1 x y = Par de rectas imaginarias no paralelas x + y = 1 Par de rectas Par de rectas Parábola reales imaginarias y =x paralelas paralelas x =1 x = 1 Recta real doble x = Recta real Conjunto Plano x = vacío afín Ejemplo 5.. Clasificar afínmente las cónicas siguientes (a) x xy + y +4x 6y +1= (b) x +4xy +4y x 4y 3= (a) Escribamos la matriz G de la métrica T y la matriz G de su restricción al infinito G = ; G = (b) Calculemos el número de raíces nulas r, el número de raíces positivas r + yelnúmero de raíces negativas r de la ecuación secular de la métrica T ydelamétricat E p(x) = xi G = x 3 3x 11x +1, r (p(x)) =, r + (p(x)) =, r (p(x)) = 1 p (x) = xi G = x x, r (p (x)) = 1, r + (p (x)) = 1, r (p (x)) = Luego los rangos y los índices de T y de su restricción al infinito son r =3,i=1; r =1,i = Por tanto, es una cónica irreducible sin centro de matriz reducida 1 1 y 1 ecuación reducida afín y x =, esto es, una Parábola. 3 1 G = ; G = 4 4 p(x) = xi G = x 3 x x, r (p(x)) = 1, r + (p(x)) = 1, r (p(x)) = 1

8 8 G. Serrano Sotelo p (x) = xi G = x 5x, r (p (x)) = 1, r + (p (x)) = 1, r (p (x)) = Los rangos y los índices de la métrica T y de su restricción al infinito son r =,i=1; r =1,i = Es una cónica degenerada con centro, de matriz reducida 1 1 y ecuación reducida afín x 1 =, que representa una Par de rectas reales y paralelas. Ejemplo 5.3. Calcular el centro, los ejes principales y la ecuación reducida métrica de la curva de grado dos del plano real de ecuación 3x +3y xy +x 4y +1= Solución. Sea G la matriz de una métrica T representante de la cónica en H R 3 y G su restricción al infinito. G = ; G = Se tiene xi G = x 3 7x +9x +3 ; xi G =(x )(x 4) r =3 i =1 Cónica irreducible con centro: x + y =1(Elipse real) r = i = (a) Centrodelaelipse= 1 8, 5 8 ) Por el Corolario??, c = 1, Adj g 1 G, Adj g )=(1, 1 G 8, 5 8 ) (b) Calculemos una base ortonormal de diagonalización para G. ker(g I) =(, 1, 1) ; ker(g 4I) =(, 1, 1) {u 1 = 1 (, 1, 1), u = 1 (, 1, 1)} es la base buscada. (c) En la base {c, u 1,u } la matriz de T es T (c, c), con T (c, c) = Luego la ecuación reducida métrica de la elipse es x 3/16 + ȳ 3/3 =1, donde x yȳ son las coordenadas asociadas a la base {u 1,u }. (d) Ecuaciones de la transformación afín efectuada para pasar del sistema de referencia inicial en H, en el que las coordenadas son {x, y}, al sistema de referencia de origen c y ejes las rectas c + u 1, c + u, respecto del que las coordenadas son { x, ȳ}.

9 Clasificación afín de cónicas y cuádricas 9 Si B representa la matriz del cambio de base realizado en E, esto es B = 1 1 1, componiendo el automorfismo de cambio de base con la traslación 1 1 de vector c se obtienen las ecuaciones x = x x 1/5 = B + = y ȳ 1 (x + y 4 8 ) 5/8 ȳ = 1 (x y ) (e) Los ejes principales de la elipse son las rectas c+u 1, c+u de ecuaciones respectivas ȳ = x y = ; x = x + y 4 8 = (f ) Las medidas sobre los semiejes, a y b, la excentricidad y los focos F y F de la elipse, respecto del sistema de referencia inicial, son 3 3 a = ; b = 16 3 c = 3 a b = 3 = Excentricidad = c a = F =(, ) = F =(, ) F =( 3, ) = F =( 3 1, 3+5 ) 8 8 Ejemplo 5.4. Calcular el vértice, los ejes principales, la ecuación reducida métrica, el foco y la directriz de la parábola del ejemplo?? x xy + y +4x 6y +1= Solución. Sean G y G como en el ejemplo anterior. G = ; G = Tenemos que encontrar una base {e, v 1,v } en la que la matriz de T es de la forma α α con α,β =. El vector e define el vértice de la parábola y {v 1,v } es una base β ortonormal de diagonalización para G. (a) Calculemos v 1 y v. xi G = x(x ) Forma diagonal β = ker G x y = v 1 = 1 (, 1, 1) ker(g I) x + y = v = 1 (, 1, 1) (b) Vértice de la parábola V =( 31 8, 11 8 ) El vector e que define el vértice está en H, luego sus coordenadas son de a forma e =(1,x,y), y verifica las condiciones T (e, e) =,T (e, v 1 )=α y T (e, v )=.

10 1 G. Serrano Sotelo Calculemos x e y resolviendo el sistema determinado por la primera y tercera condiciones T (e, e) = x xy + y +4x 6y +1= x = 31 T (e, v )= 5+x y = 8, y = 11 = e =(1, , 11 8 ) (c) En la base {e, v 1,v } la matriz de T es T (e, v 1 ) T (e, v 1 ), con T (e, v 1 )= 1, luego la ecuación reducida métrica de la parábola es ȳ = 1 x, donde x yȳ son las coordenadas asociadas a la base {v 1,v }. (d) Ecuaciones de la transformación afín efectuada para pasar del sistema de referencia inicial en H, en el que las coordenadas son {x, y}, al sistema de referencia de origen e y ejes las rectas e + v 1, e + v, respecto del que las coordenadas son { x, ȳ}. Si B representa la matriz del cambio de base realizado en E, esto es B = 1 1 1, componiendo el automorfismo de cambio de base con la traslación 1 1 de vector e se obtienen las ecuaciones x y x = B + ȳ 31/5 11/8 = x = 1 (x + y ) ȳ = 1 (x y + 1 (e) Los ejes principales de la parábola son las rectas e + v 1, e + v de ecuaciones respectivas Eje de simetría ȳ = x y = ; x = x + y = (f ) Calculemos por último el foco F yladirectrizddelaparábola, respecto de las coordenadas iniciales x e y. Comparando la ecuación reducida métrica ȳ = 1 x con ȳ =px x, resultaque p = 1 y las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz son (p/, ) y x = p/. En las coordenadas iniciales se tiene F =( 3 8, 1 8 ) ; d x + y +5= 4 )

11 Clasificación afín de cónicas y cuádricas Clasificación afín de cuádricas en H R 4. r 4 (Irreducibles) 3 (Conos y Cilindros) 1 r i \i Hiperboloide Hiperboloide 1 reglado no reglado x y + z = 1 x y z = 1 Cono real x y + z = Elipsoide Elipsoide Cono real imaginario imaginario x + y + z = 1 x + y + z = 1 x + y + z = Paraboloide Cilindro 1 reglado hiperbólico y z x = x y = 1 Paraboloide Cilindro Cilindro no reglado elíptico imaginario y + z x = x + y = 1 x + y = 1 Par planos reales no paralelos x y = Par planos imaginarios no paralelos x + y = Cilindro 1 parabólico y x = Par planos Par planos Par planos reales imaginarios reales paralelos paralelos coincidentes x = 1 x = 1 x = Plano real Conjunto Espacio x = vacío afín

12 1 G. Serrano Sotelo Ejemplo 5.5. Clasificar afínmente las cuádricas siguientes (a) x +z xy +xz yz 3= (b) y +4xz +x 4y +6z +5= (a) Las matrices G y G son (b) G = ; G = Calculemos los rangos y los índices de la cuádrica y de su restricción al infinito p(x) =x 4 x 3 11x +5x +6, r (p(x)) =, r + (p(x)) =, r (p(x)) = p (x) =x 3 4x + x +, r (p (x)) =, r + (p (x)) =, r (p (x)) = 1 r =4,i=; r =3,i =1 1 Es una cuádrica irreducible con centro, de matriz reducida 1 1 y 1 ecuación reducida afín x y + z = 1. Luego es un Hiperboloide reglado. Calculemos su centro c = 1, Adj g 1 G, Adj g G, Adj g 3 )=(1,,, ), G esto es, el centro es el origen de coordenadas, Centro =(,, ) G = 1 ; G = 3 p(x) =x 4 7x 3 8x + 36x, r (p(x)) = 1, r + (p(x)) =, r (p(x)) = 1 p (x) =x 3 x 4x +8, r (p (x)) =, r + (p (x)) =, r (p (x)) = 1 Los rangos y los índices de la cuádrica y de su restricción al infinito son r =3,i=1; r =3,i =1 Es una cuádrica degenerada con centro, de matriz reducida 1 1 y ecuación reducida afín x y + z =, que representa una Superficie cónica 1 real.

13 Clasificación afín de cónicas y cuádricas Ejercicios. 1. Clasificar afínmente las cónicas siguientes: (a) x +y x +4y += (b) x xy + y +4x 6y +1= (c) 3x 5xy + y x +y +1= (d) x +4xy +4y x 4y =3 (e) x +y +3xy +x +5y 3= (f ) x + y + xy + x + y +1= (g) x + y xy x y +1= (h) x +4y +4xy x 4y +=. Clasificar afínmente según los valores del parámetro λ la familia de cónicas siguiente: x +(λ + 1)y xy =λ 3λ Calcular el centro, los ejes principales, la ecuación reducida métrica y la representación gráfica de las curvas de grado dos siguientes: 3x xy +3y +x 4y +1=, x y +xy 6x +4y +3= 4. Demostar que la curva plana de ecuación 4x + y +4xy +6x +1=, es una parábola. Calcular su vértice, eje principal, ecuación reducida métrica y representación gráfica. 5. Clasificar afínmente las cuádricas siguientes: (a) x +y +z xy +xz yz +1= (b) 6x + y +6z xy + 1xz yz +1= (c) x y z yz x +3y +3z = (d) x +3y z = (e) z xy +xz +yz +x +y 4z =1 6. Representar gráficamente la superficie de grado dos: 3x +y +3z xz x 4y z 5=, calculando previamente su centro, ejes principales y ecuación reducida métrica. 7. Demostrar que las cuádricas: x + y + z 4xz 4y +=, x + y z +xz x +1=, representan hiperboloides reglado y no reglado, respectivamente. Calcular para cada uno de ellos el centro, los ejes principales y la ecuación reducida métrica. 8. Demostrar que la superficie de segundo grado: x +y +4xy +4z +3=, es un paraboloide hiperbólico. Calcular el vértice, eje principal, plano tangente en el vértice y ecuación reducida métrica.

14 14 G. Serrano Sotelo 9. Demostrar que la superficie de segundo grado: y +4xz +x y +6z +5=, es un cono. Calcular el vértice, eje principal y ecuación reducida métrica. 1. Clasificar afínmente según los valores del parámetro λ la familia de cuádricas siguiente: x y + λz xz +yz +x +1=. En cada caso, hacer un estudio lo más completo posible de las superficies de segundo grado resultantes.