Álgebra lineal y Geometría II. Métricas y formas cuadráticas. 1. La matriz de la métrica T 2 ((x, y, z), (x, y, z )) = xx + yy + 3zz 2xz 2zx es:

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1 Álgebra lineal y Geometría II Gloria Serrano Sotelo Departamento de MATEMÁTICAS ÁLGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA. 0 FÍSICAS Métricas y formas cuadráticas.. La matriz de la métrica T ((x, y, z), (x, y, z )) = xx + yy + 3zz xz zx es: (a) (b) (c) (d) Para la métrica T de matriz , sólo una de las afirmaciones siguientes 0 es cierta: (a) T es una métrica hemisimétrica. (b) T es una métrica degenerada. (c) El radical de T es de dimensión. (d) T es una métrica no singular. 3. La expresión en coordenadas de la métrica de matriz 3 0 es: 0 (a) T ((x, y, z), (x, y, z )) = xx + yy + zz + 3xy + yx + xz (b) T ((x, y, z), (x, y, z )) = xx + yy + zz + 4xy + xz (c) T ((x, y, z), (x, y, z )) = xx + yy + zz + 3xy + yx + xz + zx (d) T ((x, y, z), (x, y, z )) = xx + 3xy + 3yx + yy + zz + xz 4. Sólo una de las siguientes métricas es euclídea: (a) (b) (c) 0 0

2 (d) 5. La descomposición de la métrica en suma de una métrica simétrica y otra 4 6 hemisimétrica es: (a) = (b) = (c) = (d) Ninguna de las anteriores. 6. El radical de la métrica T = 0 es: (a) Rad T = {0} (b) Rad T = (,, 3) (c) Rad T = (,, ) (d) Rad T = (,, 3) 7. Sea (E, T ) un espacio métrico, solamente una de las afirmaciones siguientes es falsa: (a) Todos los vectores de Rad T son isótropos. (b) La métrica T es irreducible si el determinante de su matriz respecto de cualquier base es no nulo. (c) Un subespacio suplementario de Rad T es no singular. (d) Los subespacios no singulares de E no tienen vectores isótropos. 8. Sea (E, T ) un espacio métrico, solamente una de las afirmaciones siguientes es falsa: (a) Un subespacio de E es elíptico si no tiene vectores isótropos no nulos. (b) Un subespacio de E es un plano hiperbólico si es de dimensión y no singular. (c) Un plano hiperbólico de E es un subespacio no singular de dimensión y con algún vector isótropo no nulo. (d) Un subespacio de E es hiperbólico si es suma ortogonal de planos hiperbólicos. 9. La restricción de una métrica simétrica a un plano hiperbólico verifica: (a) rango=, índice=0, signatura + (b) rango=, índice=0, signatura + (c) rango=, índice= (d) rango=, índice= 0. Para la restricción de una métrica simétrica a un subespacio elíptico de dimensión 3, cuál de las afirmaciones siguientes es falsa?: (a) Su rango es 3 y su índice es 0. (b) Su rango es 3 y su índice es. (c) Su signatura puede ser positiva o negativa. (d) No tiene radical.

3 . Sea (E, T ) un espacio métrico, solamente una de las afirmaciones siguientes es falsa: (a) Si dim E = 3 y dim Rad T =, los subespacios suplementarios del radical son elípticos. (b) Si los únicos vectores isótropos no nulos son los del radical de T, los subespacios suplementarios del radical son elípticos. (c) Un subespacio hiperbólico de E nunca puede tener dimensión impar. (d) La restricción de T a un subespacio elíptico es una métrica singular.. La matriz de la métrica T ((x, y), (x, y )) = xx +4yy +xy +3yx en la base {(, 3), (, )} es: 5 6 (a) 5 6 (b) 5 6 (c) (d) Ninguna de las anteriores. 3. Si G = 3 0 es la matriz de la métrica T en la base {e, e, e 3 }, la matriz de 0 T en la base {e e + e 3, e e 3, e + 3e } es: 8 6 (a) (b) (c) (d) Si G = es la matriz de la métrica T en la base {e, e, e 3 }, la matriz de 3 T en la base {e, e, e 3 } es: (a) 3 (b) 3 (c) 3 (d) G 5. Para la métrica restricción de T ((x, y, z), (x, y, z )) = xx + yy + 3zz xz zx al plano de ecuación x + y z = 0, cuál de las afirmaciones siguientes es falsa?:

4 7 9 (a) Su matriz en la base {(,, 3), (0,, )} es. 9 5 (b) Es simétrica. 5 4 (c) Su matriz en la base {(0,, 0), (, 0, )} es (d) Su matriz en la base {(0,, ), (, 0, )} es La restricción de la métrica T, de matriz G = en la base {e, e, e 3 }, al 0 subespacio generado por los vectores e e y e + e 3 verifica sólo una de las condiciones siguientes: (a) Es simétrica (b) ( Es singular ) (c) es su matriz respecto de la base {e 3 e, e + e 3 }. (d) es su matriz respecto de la base {e 3 e, e + e 3 }. 7. Sólo una de las siguientes métricas es no singular: (a) 0 (b) 0 3 (c) (d) 0 8. Una base del radical de la métrica G = es: 0 3 (a) {(,, 3)} (b) {(0, 0, 0)} (c) {(,, )} (d) {(,, } 9. Respecto de la métrica de R 3 de matriz G =, el subespacio de ecuación x y + z = 0 es : (a) Un subespacio no singular sin vectores isótropos. (b) Un subespacio elíptico de dimensión. (c) Un plano hiperbólico. (d) Un subespacio singular.

5 0. Sea la matriz de una métrica T sobre R 3. Sólo una de las siguientes afirmaciones es falsa: 3 (a) La restricción de T al subespacio e, e es y e 3 0, e es un plano hiperbólico. 0 (b) La restricción de T al subespacio e, e 3 es y e, e 3 es un plano elíptico. (c) La restricción de T al subespacio e, e 3 es y e, e 3 es un plano hiperbólico. 5 (d) La restricción de T al subespacio e e, e 3 es y e e, e 3 es un plano hiperbólico.. Para la métrica G = 0 0 sólo una de las afirmaciones siguientes es falsa: 0 (a) No tiene radical. (b) Su forma reducida es (c) No tiene vectores isótropos no nulos. (d) Tiene índice.. Para la métrica G = 3 sólo una de las afirmaciones siguientes es cierta: 0 (a) Su rango es y su índice es, r =, i =. (b) Su rango es 3, su índice es y su signatura positiva, r = 3, i =, Signatura +. (c) No tiene vectores isótropos. (d) Es una métrica euclídea. 3. Si la forma reducida de una métrica simétrica sobre un R-espacio vectorial de dimensión es , cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?: (a) r = 3, i =. (b) r = 3, i = 0, Signatura. (c) r = 3, i =, Signatura. (d) r = 3, i =, Signatura Si el rango, índice y signatura de una métrica sobre R 4 son, respectivamente, r = 4, i =, Signatura +, cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?: (a) Su forma reducida es (b) No tiene radical. (c) Tiene vectores isótropos no nulos. (d) R 4 = H W, siendo H un plano hiperbólico y W un subespacio elíptico de dimensión en el que la restricción de la métrica es definido negativa.

6 5. Sean r 0 =, r + = y r = el número de raíces nulas, el número de raíces positivas y el número de raíces negativas de la ecuación secular de una métrica T sobre un R-espacio vectorial E. Sólo una de las afirmaciones siguientes es falsa: (a) r = 3, i =, Signatura (b) Su forma reducida es (c) Su forma reducida es (d) E = Rad T H W, siendo Rad T el radical de la métrica, H un plano hiperbólico y W un subespacio elíptico de dimensión en el que la retricción de la métrica es definido positiva. 6. Sea x 4 5x 3 3x + x 4 = 0 la ecuación secular de una métrica simétrica G sobre R 4. Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?: (a) La métrica es irreducible, de índice y signatura positiva. (b) r 0 = 0, r + = y r = (c) Su forma reducida es (d) R 4 = H W, siendo H un plano hiperbólico y W un subespacio elíptico de dimensión en el que la restricción de la métrica es definido positiva. 7. Sea x 3 3x el polinomio característico del endomorfismo asociado a una métrica simétrica T y a una métrica euclídea auxiliar sobre R 3. Sólo una de las afirmaciones siguientes es falsa: (a) rango T =, índice T = 0, Signatura T + (b) rango T =, índice T = 0, Signatura T +. (c) Forma reducida de T (d) No existen planos hiperbólicos para la métrica T. 8. Si, en un sistema de cooordenadas dado, la ecuación secular de una métrica simétrica T sobre R 3 es (x + 3) (x + ) = 0, cuál de las afirmaciones siguientes es cierta?: (a) T es no singular y definido positiva. (b) T tiene rango 3, índice y signatura positiva. (c) T no tiene vectores isótropos no nulos. (d) T es no singular y definido negativa. 9. Si la forma reducida de la métrica T sobre R 3 es afirmaciones es falsa?: , cuál de las siguientes 0 0 (a) rango T = 3, índice T =, Signatura T +. (b) R 3 = H W, siendo H un plano hiperbólico y W un subespacio elíptico de dimensión sobre el que la métrica restricción es definido negativa. (c) Rad T = {0}.

7 (d) La ecuación secular de T, respecto de cualquier base, tiene dos raíces positivas y una raíz negativa Para la métrica G = 0 0 0, sólo una de las afirmaciones siguientes es falsa: 0 0 (a) Su ecuación secular es x 4 x 3 7x + 4x + = 0. (b) r = 4, i =. (c) Existe un plano sobre el que la métrica restricción es euclídea. (d) No tiene vectores isótropos no nulos. 3. Dada la métrica G = Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?: 0 (a) Es singular y su radical es el subespacio Rad T = (,, ). (b) Su forma reducida es (c) Su ecuación secular es: x 3 x 8x = 0. (d) r =, i =. 3. Dada la métrica T ((x, y, z), (x, y, z )) = xx + yy + zz + xy + xz + yx + yz + zx + zy Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?: (a) Su matriz en el sistema de coordenadas dado es G =. (b) Su ecuación secular es (x ) (x 4) = 0. (c) Una base ortonormal de diagonalización es: { (, 0, ), 6 (,, ), 3 (,, )} (d) Su forma diagonal, respecto de la base { (, 0, ), (,, 0), 3 (,, )}, es Para la métrica G = 0 0 0, sólo una de las siguientes afirmaciones es cierta 0 (a) Su ecuación secular es (x ) (x 4) = 0. (b) Una base ortonormal de diagonalización es {(, 0, ), (0,, 0), (, 0, )} (c) Una base ortonormal de diagonalización es {(, 0, ), (0,, ), (, 0, )} (d) Una base ortonormal de diagonalización es { 5 (, 0, ), (0,, 0), 34. La restricción de la métrica 5 (, 0, )} T ((x, y, z, t), (x, y, z, t )) = xy +xz +xt +yx +yy yz +yt +zx zy +3zt +tx +ty +3tz al hiperplano de ecuación x = 0 no verifica una de las afirmaciones siguientes: (a) Es irreducible.

8 (b) Su forma reducida es (c) Su rango es 3 y su índice. (d) Una base ortonormal de diagonalización es: {( (0,, ), 6 (,, ), 36 ( 6,, 3)} Sea T la métrica sobre R 4 de matriz asociada , respecto de la base 0 0 {e, e, e 3, e 4 }. Sea T la métrica restricción de T al hiperplano generado por los vectores {e, e 3, e 4 }. Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?: (a) La matriz de la métrica T en la base {e, e 3, e 4 } es (b) rango T = 4, índice T = ; rango T = 3, índice T =. (c) rango T = 4, índice T = ; rango T = 3, índice T =. (d) Una base ortonormal de diagonalización para la métrica restricción T es: {( (, 0, ), (0,, 0), (, 0, )} 36. Dada la forma cuadrática Q(x, y, z) = x + y + z + 4xy 4xz + yz, cuál de las afirmaciones siguientes es cierta?: (a) La matriz de la métrica simétrica asociada en el sistema de coordenadas dado es. (b) Su rango es 3, su índice es y su signatura es negativa. (c) La matriz de la métrica simétrica asociada en el sistema de coordenadas dado es. (d) Su rango es 3, su índice es y su signatura es positiva. 37. Dada la forma cuadrática Q(x, y, z) = x + y z + 4xy + xz yz, cuál de las afirmaciones siguientes es falsa?: (a) La métrica simétrica asociada es degenerada y de índice. (b) En la base { (,, ), (,, ), (,, 0)}, la matriz de la métrica asociada 6 3 es (c) Existen coordenadas { x, ȳ, z} respecto de las que la forma cuadrática se expresa así: (d) Los vectores { 6 (,, ), de diagonalización. Q( x, ȳ, z) = 3 x + 3 z (,, ), (,, 0)} forman una base ortonormal

9 38. Sea G = 3 3 la matriz asociada a una métrica sobre R 3, respecto de un 0 sistema de coordenadas dado. Cuál de las afirmaciones siguientes es falsa?: (a) La expresión en esas coordenadas de la forma cuadrática asociada es Q(x, y, z) = x + y + 6xy + xz yz (b) Una base ortonormal de diagonalización es { 3 (,, ), 6 (,, ), (,, 0)}. (c) Existen coordenadas { x, ȳ, z} respecto de las que la forma cuadrática se expresa así: Q( x, ȳ, z) = x + ȳ + 5 z (d) En la base { (,, ), (,, ), (,, 0)} la matriz de la métrica asociada 3 6 es Sólo una de las siguientes formas cuadráticas define un producto escalar euclídeo sobre R 3 : (a) Q(x, y, z) = 3x + y + z + yz (b) Q(x, y, z) = x + y + z 4xz (c) Q(x, y, z) = x + z + 6xy xz (d) Q(x, y, z) = x + y + z + xy + xz + yz 40. Dada la forma cuadrática Q(x, y, z, t) = y +3z 4zt, cuál de las siguientes afirmaciones es falsa? (a) La métrica simétrica asociada tiene rango 3, índice y signatura positiva. (b) En la base { (0, 0,, ), (, 0, 0, 0), (0,, 0, 0), (0, 0,, )} la matriz de la métrica asociada es (c) Los vectores {(0, 0,, ), (, 0, 0, 0), (0,, 0, 0), (0, 0,, )} forman una base ortonormal de diagonalización. (d) Existen cooordenadas { x, ȳ, z, t} respecto de las que Q se escribe Q( x, ȳ, z, t) = x + z + 4 t