Aplicaciones de la Clasificación de endomorfismos Gloria Serrano Sotelo

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1 Aplicaciones de la Clasificación de endomorfismos Gloria Serrano Sotelo Potencia y exponencial de una matriz Calculemos A 150 y e A siendo A El polinomio característico de T es chxl Hx + 1L Hx - 2L 2 La dimensión de Ker(T - 2 I) es 1, pues el rango de rg(a-2i)2 Luego T no diagonaliza y, por tanto, su anulador es mhxl Hx + 1L Hx - 2L 2 Aplicando el 1º teorema de decomposición R 3 KerHT + IL KerHT - 2 IL 2 Por cómputo de dimensiones, se deduce que los dos subespacios invariantes de la descomposición son monógenos de anuladores (x+1) y Hx - 2L 2, respectivamente La forma de Jordan es - J y la base de Jordan es 8u, v, (T-2I)(v)}, siendo Xu\Ker(T+I) y vœkerht - 2 IL 2 tal que v KerHT - 2 IL Calculemos explícitamente la base de Jordan A+I ; rg(a+i)2 ; Ker(T+I)ª 2 x + 2 z 0 fl Ker(T+I)Xu(1, 2, -1)\ y + 2 z 0 A-2I ; rg(a-2i)2 ; Ker(T-2I)ª -x + 2 z 0 y - z 0 fl Ker(T-2I)Xe(2, 1, 1)\ HA - 2 IL ; rgha - 2 IL 2 1 ; KerHT - 2 IL 2 ªx+2y-4z0 El vector v(2,-1,0)œkerht - 2 IL 2 y no está en Ker(T-2I), y su imagen por T-2I es (T-2I) v(-2,-1,-1) La base de Jordan es pues {(1, 2, -1), (2, -1, 0), (-2,-1,-1)} y la matriz del cambio de base B Así, de A B J B -1 se obtiene A 150 B J 150 B -1 y también e A B e J B -1 Descomponiendo J en suma de una matriz diagonal D y otra nilpotente N, JD+N, se calculan fácilmente J 150 y e J J D + N fl

2 2 AplicacionesClasificaciónnb Como N es una matriz nilpotente de índice 2 Ianulador x 2 M, N 2 0, del desarrollo binómico de HD + NL 150 y del desarrollo exponencial de e D y e N se obtiene J 150 HD + NL 150 D D 149 N ÿ e J e HD+NL e D e N e D (I+N) e - 0 e e 2 e - 0 e e 2 e 2 Así resulta A 150 B J 150 B ÿ e A B e J B -1 e - 0 e e 2 e Calcula A siendo AK O 2 Calcula A n siendo A Dada A , calcula A 100 y encuentra las raíces cuadradas de A Aplicación a la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales Resolveremos como aplicación de la exponencial de matrices sistemas de ecuaciones diferenciales del tipo X'(- t)a X(t) x 1 HtL x' 1 HtL donde Aœ M(n, k), X(t) x n HtL, con x 1 HtL,, x n HtL funciones diferenciables y X'(t) x' n HtL La solución general del sistema es X(t)e At l 1 l n, con l 1 œk

3 AplicacionesClasificaciónnb 3 Resolvamos el sistema de ecuaciones diferenciales dx dt x+2z, dy dt -x+y+3z, dz dt y+z La matriz del sistema es A (la matriz del ejemplo anterior) La solución general del sistema es xhtl yhtl zhtl e At l 1 l 2 l 3, con l i constantes arbritarias Si J es la forma de Jordan de A y B la matriz del cambio de base, del ejemplo anterior se sigue e -t 0 0 e -t 0 0 e Jt e Dt (I+Nt) 0 e 2 t 0 0 e 2 t e 2 t 0 t 1 0 te 2 t e 2 t xhtl yhtl zhtl B e Jt B -1 l 1 l 2 e -t 2 e 2 t -2 e 2 t 2 e -t H-1 - tl e 2 t -e 2 t -e -t -te 2 t -e 2 t l 3 B e Jt, siendo,, constantes arbitrarias e -t e 2 t 0 0 te 2 t e 2 t Se obtiene como solución del sistema x HtL e -t + (2-2 )e 2 t, yhtl 2 e -t - ( + t + )e 2 t, zhtl - e -t - (t + )e 2 t Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales 1 x HtL x - 3 y + 3 z, y HtL -2 x - 6 y + 13 z, z HtL -x - 4 y + 8 z 2 dx dt 3 x - y, dy dt x + y, dz dt 3 x + 5 z - 3 w, dw 4 x - y + 3 z - w dt 3 x HtL 3 x + 2 y, y HtL -x, z HtL 3 x + 4 y + z 4 x' + y' - x + 2 y 0, y' + z' + 2 y + z 0, x' + z' - x + z 0 Aplicación a la resolución de ecuaciones diferenciales en el operador D Sea E el - espacio vectorial de las funciones complejas de variable real que son infinamente derivables El operador derivada, E Ø D E, D(f(x))f'(x), es un endomorfismo de E Una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes es una expresión del tipo p(d)yg(x), siendo yf(x), p(x)œ [x] y f, gœe La ecuación diferencial es homogénea si g(x)0

4 4 AplicacionesClasificaciónnb Resolver la ecuación homogénea p(d)y0 equivale a calcular ker p(d) ker p(d) es un subespacio de E invariante por D, esto es un -espacio vectorial en el que D opera como un endomorfismo con polinomio anulador p(x) Descomponiendo p(x) en factores primos sobre, phxl Hx - L n1 Hx - a r L nr, y aplicando el primer teorema de descomposición, se obtiene ker p(d) ker HD - IL n1 ker HD - a r IL nr Probaremos que cada uno de los subespacios de la descomposición anterior es de dimensión finita y calcularemos explícitamente una base Teorema Las funciones 8e ax, xe ax,, x n-1 e ax } forman una base del -espacio vectorial ker HD - ail n Demostración (1) Fórmula de conmutación HD - ail n He ax yl e ax D n y, para todo nr1 e yf(x) Por inducción sobre n Si n1, HD - ail(e ax y)d(e ax y)-ae ax yae ax y+e ax Dy-ae ax ye ax Dy Para el caso n, por hipótesis de inducción HD - ail n (e ax y)(d - ai)hd - ail n-1 (e ax y)(d - ai)e ax D n-1 ye ax D n y (2) Base de ker HD - ail n Si a0, es claro que ker D n X1, x,, x n-1 \ Sea y e ker HD - ail n, se tiene 0HD - ail n yhd - ail n (e ax e -ax y)e ax D n He -ax y)fld n He -ax y)0fle -ax yœ ker D n flyœxe ax, xe ax,, x n-1 e ax \ Ë Si se conoce una solución particular y 0 de la ecuación diferencial p(d)yg(x), cualquier otra solución y se obtiene sumando a y 0 un vector de ker p(d), pues de p(d)y 0 g(x) y p(d)yg(x) se obtiene que y - y 0 œker p(d), luego yœy 0 +ker p(d) Ejemplos Calculemos la integral primera de las ecuaciones diferenciales 1 y''' - 2 y'' + y' e x ó (D 3-2 D 2 + D)y2 x Se resuelve la ecuación homogénea phdl y 0, con p HxL x 3-2 x 2 + xx(x - 1L 2 Se tiene ker p(d)kerd kerhd - IL 2 X1, e x, xe x \ Usando la fórmula de conmutación para el operador inverso se calcula una solución particular y 0 D HD - IL 2 y 0 2x fl y 0 1 HD - IL 2 1 D (2x) 1 HD - IL 2 ( x2 )e x 1 D (e-x x 2 )e x e -x ( - 2-2x- x 2 ) - 2-2x- x 2 La solución general de la ecuación diferencial es y(x) - 2-2x- x 2 +l+me x + g xe x, con l, m, gœ 2 y''' - y'' +4y'-4y0ó (D 3 - D 2 +4D-4I)y0 p HxL x 3 - x 2 +4x- 4(x - 1L H x 2 +4)(x - 1L(x - 2 il Hx + 2 ilï ker p(d)kerhd - IL ker(d - 2iI) kerhd + 2 iilx e x, e 2 ix, e -2 ix \ La solución general sobre es yhxl le x +a e 2 ix +be -2 ix, con l, a, bœ La integral primera sobre R se obtiene tomando a y b complejos conjugados, así el subespacio de soluciones reales está generado por las funciones {e x, sen 2x, cos 2x} y se tiene yhxl R l e x +g sen 2x+d cos 2x, con l, g, dœ o bien, escribiendo a a e iq, b a e -iq como complejos conjugados es a e 2 ix +be -2 ix a e ih2 x+ql + a e -ih2 x+ql 2 a cos(2x+q), de donde resulta yhxl R l e x +2 a cos(2x+q), con l, a, qœ

5 AplicacionesClasificaciónnb 5 Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes 1 ẋ + x 0, con x xhtl 2 2 y'' - 3 y 0, con y y(x) 3 y''' - y'' 12 x x 4 ẋ + 4 x + 4 x sen t 5 d 3 x dt 3 - d2 x dt dx dt - 2 x 3 t y'' - 3 y' + y xe x 7 Calcula las trayectorias del movimiento en los siguientes casos (a) Oscilador armónico (masa m, constante del resorte k, posición inicial x 0 ) m d2 x dt 2 -k Hx - x 0L (b) Péndulo simple (masa m, longitud l, para pequeñas oscilaciones sen j ~ j) m l j -m g sen j