CAPÍTULO VII. INTEGRACIÓN INDEFINIDA

Transcripción

1 CAPÍTULO VII. INTEGRACIÓN INDEFINIDA SECCIONES A. Integrales inmediatas. B. Integración por sustitución. C. Integración por partes. D. Integración por fracciones simples. E. Aplicaciones de la integral indefinida. F. Ejercicios propuestos. 67

2 A. INTEGRALES INMEDIATAS. Se dice que una función y = F (x) es integral indefinida (también llamada primitiva o antiderivada) de otra función y = f(x) cuando F (x) = f(x). La notación usual para representar este hecho es la siguiente: F (x) = f(x)dx. El término dx indica que la variable respecto a la cual se está integrando es x. Para calcular integrales se deben encontrar funciones cuya derivada sea la función original. Se tratará entonces de aplicar las reglas de derivación en sentido inverso, donde conocidas las derivadas de las funciones, se encuentren las propias funciones. Una diferencia fundamental consiste en que mientras cada función sólo tiene una derivada, tiene infinitas integrales, porque si F (x) = f(x), entonces [F (x) + C] = f(x) para cualquier constante C. Esto se indicará escribiendo f(x)dx = F (x) + C. De este modo, todas las primitivas de una función se obtienen sumando una constante arbitraria a una primitiva particular. Las siguientes propiedades permitirán descomponer integrales en otras más sencillas: i) f (x)dx = f(x) + C. ii) [f(x) ± g(x)]dx = f(x)dx ± g(x)dx. iii) kf(x)dx = k f(x)dx, k R. De las fórmulas de derivación se obtiene la siguiente tabla de integrales inmediatas, sin más que cambiar el orden de las fórmulas. ) x n dx = xn+ + C si n. n + ) sen xdx = cos x + C. 3) cos xdx = sen x + C. 4) sec xdx = tg x + C. 5) sec x tg xdx = sec x + C. 6) cosec x cotg xdx = cosec x + C. 7) cosec xdx = cotg x + C. 68

3 8) dx = arc sen x + C. x 9) dx = arc tg x + C. + x 0) x dx = arcsec x + C. x ) dx = ln x + C. x ) a x dx = ax ln a + C. Veremos a continuación algunos casos de aplicación de las fórmulas anteriores. PROBLEMA 7.. la integral (4x 3 5x + 7)dx. Aplicaremos las propiedades (ii) y (iii) para descomponer la integral en otras integrales más simples. 4 x 3 dx 5 x dx + 7 dx. Aplicando la regla () se pueden resolver las integrales que resultan: 4x4 4 5x x + C = x4 5x3 + 7x + C. 3 Ten en cuenta que dx = x 0 dx = x / + C = x + C. Aunque se debería sumar una constante a cada integral, como esa constante es arbitraria, se añade al resultado final una constante, que sería la suma de cada una de las restantes. PROBLEMA 7.. x dx. 69

4 Escribimos /x como x y tenemos: x dx = x + C = x + C. PROBLEMA zdz. Si escribimos el integrando en forma de potencia: z /3 dz = z4/3 4/3 + C = 3 4 z4/3 + C. PROBLEMA 7.4. ( x) xdx. Si separamos en dos integrales, resulta: xdx x xdx = x / dx x 3/ dx = 3 x3/ 5 x5/ + C. PROBLEMA 7.5. ( x x + x ) dx. 70

5 Si escribimos el integrando en forma de potencia, tenemos: x / dx xdx + x / dx = 3 x3/ 4 x + 4x / + C. PROBLEMA 7.6. (3s + 4) ds. Desarrollando la potencia, (9s + 4s + 6)ds = 9s ds + 4sds + 6ds = 9 s s + 6s + C = 3s3 + s + 6s + C. PROBLEMA x 3 5x + 7 dx. x Si dividimos cada sumando por el denominador común, podemos obtener una suma de términos y descomponer en suma de integrales: (4x 5 + 7x ) dx = 4 xdx 5 dx + 7 x dx = 4 x 5x + 7x + C = x 5x 7 x + C. 7

6 PROBLEMA 7.8. (4x + 7) x dx. Al desarrollar el cuadrado del binomio 4x + 7, multiplicar por x y separar la integral en suma de varias, tendremos: (6x 4 +56x +49)x dx = (6x 6 +56x 4 +49x )dx = 6x x x3 3 +C PROBLEMA 7.9. ( + x) dx. x Descomponiendo en sumandos, tenemos: + x + x dx = (x / +x / +x 3/ )dx = x / + 4 x 3 x3/ + 5 x5/ +C. PROBLEMA 7.0. x + x (x + ) dx. Completando cuadrados en el numerador e integrando por separado, tenemos: (x + ) ( ) (x + ) dx = (x + ) dx = x + x + + C. 7

7 PROBLEMA 7.. 3x 3 4x + 3x x dx. + Si descomponemos la fracción en dos, resulta: ( 3x ) x dx = 3x 4x + 4 arc tg x + C. + PROBLEMA 7.. sen x + tg x dx. tg x La integral anterior se puede descomponer en suma de dos integrales en la forma siguiente: sen x tg x tg x dx + tg x dx = cos xdx + dx = sen x + x + C. PROBLEMA 7.3. sen y cos y dy. Esta integral es inmediata debido a que tg y sec ydy = sec y + C. 73

8 PROBLEMA 7.4. (tg x + sec x) dx. Desarrollando el integrando, tenemos: (tg x + tg x sec x + sec x)dx = ( sec x + tg x sec x )dx = tg x + sec x x + C. PROBLEMA cos x dx. Multiplicando numerador y denominador por cos x: cos x cos x cos x dx = sen x dx = (cosec x cotg x cosec x)dx = cotg x + cosec x + C. PROBLEMA 7.6. sen x cos x dx. 74

9 Aplicando la identidad trigonométrica sen x + cos x =, resulta: sen x + cos x sen x cos x dx = dx cos x + dx sen = tg x cotg x + C. x B. INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN. Cuando el integrando no es la derivada de una función conocida, todavía es posible que lo sea de una función compuesta. A partir de la regla de la cadena D[f(g(x))] = f (g(x)) g (x), se deduce la correspondiente regla de integración f (g(x)) g (x) dx = f(g(x)) + C. Las fórmulas siguientes se deducen de la aplicación de la regla de la cadena en las fórmulas simples escritas en el apartado A. ) [f(x)] n f (x)dx = f(x)n+ n + + C si n. ) f (x) sen f(x)dx = cos f(x) + C. 3) f (x) cos f(x)dx = sen f(x) + C. 4) f (x) sec f(x)dx = tg f(x) + C. 5) f (x) sec f(x) tg f(x)dx = sec f(x) + C. 6) f (x) cosec f(x) cotg f(x)dx = cosec f(x) + C. 7) f (x) cosec f(x)dx = cotg f(x) + C. f (x) 8) dx = arc sen f(x) + C. f(x) 9) f (x) dx = arc tg f(x) + C. + f(x) 75

10 f (x) 0) f(x) dx = arcsec f(x) + C. f(x) f (x) ) dx = ln f(x) + C. f(x) ) a f(x) f (x)dx = af(x) ln a + C. En la práctica, como no es fácil determinar si el integrando puede expresarse como la derivada de una función compuesta, se hace un cambio de variable para intentar expresar la integral en forma más sencilla. Así, en la expresión f (g(x)) g (x) dx, si hacemos g(x) = t, entonces g (x)dx = dt, con lo que f (t) dt = f(t) + C = f(g(x)) + C. Hay algunas sustituciones especiales para casos concretos que iremos ilustrando en la resolución de los problemas que siguen. PROBLEMA x x dx. Si f(x) = x, tenemos que f (x) = 4x; se trata de calcular f(x) / f (x)dx. La regla () indica que el resultado es: (x ) 3/ 3/ + C = 3 (x ) 3/ + C. PROBLEMA 7.8. (x 3 + ) 3x dx. Haciendo el cambio x 3 + = u tenemos du = 3x dx, con lo que: u du = 3 u3 + C = 3 (x3 + ) 3 + C. 76

11 Otra forma es escribir directamente (x 3 +) d(x 3 +) = 3 (x3 +) 3 +C. PROBLEMA x 6dx. En este caso llamamos f(x) = x 6. Sin embargo, f (x) = no aparece explícitamente en la integral. Como las constantes se pueden multiplicar tanto dentro como fuera de la integral (propiedad iii), podemos escribir: 3 x 6dx = 3 x 6dx. Ahora la integral tiene la forma en que se puede aplicar la regla (). Así: (x 6)(/3)+ 4/3 + C = 3 8 (x 6)4/3 + C. PROBLEMA 7.0. (x 3 + ) / x dx. Hacemos el cambio de variable u = x 3 +, con lo que du = 3x dx. Así: 3 (x 3 + ) / 3x dx = 3 u / du = 3 u3/ 3/ = 9 (x3 + ) 3/ + C. También otra forma es la siguiente: 3 (x3 + ) / 3x dx = (x 3 + ) / d(x 3 + ) 3 = 3 (x3 + ) 3/ + C = 3/ 9 (x3 + ) 3/ + C. 77

12 PROBLEMA 7.. 8x (x 3 + ) 3 dx. Haciendo u = x 3 + tenemos du = 3x dx; por tanto: du/3 8 u 3 = 8 3 u 3 du = 8 3 u + C = 4 3(x 3 + ) + C. PROBLEMA 7.. x 4 x 3 + dx. Haciendo u = x 3 +, du = 3x dx y tenemos: du/3 4 = u /4 du = u u3/4 + C = 4 9 (x3 + ) 3/4 + C. PROBLEMA x x dx. Haciendo el cambio x = u, du = 4xdx, resulta: u du 3 4 = 3 u / du = u3/ + C = ( x ) 3/ + C. 78

13 PROBLEMA 7.4. x + 3 (x dx. + 6x) /3 Hacemos el cambio x + 6x = u, con lo que (x + 6)dx = du y resulta: du/ u /3 = u /3 du = 3 u/3 + C = 3 4 (x + 6x) /3 + C. PROBLEMA 7.5. x 3 x dx. Procediendo directamente, tenemos ( x ) /3 ( x)dx = ( x ) /3 d( x ) = 3 4 ( x ) 4/3 + C = 3 8 ( x ) 4/3 + C. PROBLEMA 7.6. x x 4 dx. Sacando x factor común en la raíz, podemos escribir: ( x ) / xdx = ( x ) / ( 4xdx) 4 = 4 3 ( x ) 3/ + C = 6 ( x ) 3/ + C. 79

14 PROBLEMA 7.7. (e x + ) 3 e x dx. Hacemos el cambio u = e x +, con lo que du = e x dx. Así: u 3 du = u4 4 + C = (ex + ) 4 + C. 4 PROBLEMA 7.8. x (x + a ) n dx. Sabiendo que la derivada de x + a es x, tenemos: xdx (x + a ) n = (x + a ) n d(x + a ) = (x + a ) n+ n + + C = (n )(x + a + C. ) n PROBLEMA 7.9. ( x ) x dx. 80

15 Utilizamos en este caso el siguiente artificio: dx ( x ) = x 3 dx 3 [x x ] 3 x 3 = ( x ) dx = x 3 3 ( x ) dx 3 = (x ) 3/ d(x ) = (x ) / + C = x x + C. PROBLEMA sen(x/)dx. Aplicando la fórmula (), tenemos: sen(x/)(dx/) = cos(x/) + C. PROBLEMA 7.3. cos 3xdx. Aplicamos en este caso la fórmula (3) y obtenemos: cos 3x(3dx) = sen 3x + C. 3 3 PROBLEMA 7.3. sen x cos xdx. 8

16 Tenemos que: sen xd(sen x) = sen3 x 3 + C. PROBLEMA sen 3 xdx. Si descomponemos sen 3 x = sen x sen x, debemos expresar sen x en función de cos x debido a que en el integrando aparece (cos x) = sen x. Entonces: sen x sen xdx = ( cos x) sen xdx = sen xdx+ cos x sen xdx. La primera integral es inmediata. Como la segunda integral es de la forma f (x)f (x)dx, con f(x) = cos x, resulta que: cos x + cos3 x 3 + C. PROBLEMA sec (ax)dx. Aplicando la fórmula (4), tenemos: a sec (ax)(adx) = tg(ax) + C. a 8

17 PROBLEMA e x cos e x dx. Procediendo de forma directa, cos e x (e x dx) = sen e x + C. PROBLEMA x + dx. Aplicamos la fórmula (): d(x + ) x + = ln x + + C. PROBLEMA x 3 dx. Análogamente al anterior, d(x 3) x 3 = ln x 3 + C. 83

18 PROBLEMA x x dx. Si escribimos en el numerador la derivada del denominador, resulta: x x dx = d(x ) x = ln x + C. PROBLEMA x x 3 dx. Multiplicando y dividiendo por -6, 6x 6 x 3 dx = 6 ln x3 + C. PROBLEMA x + x + dx. Separamos en dos fracciones y tenemos: ( + ) dx = dx + x + dx = x + ln x + + C. x + 84

19 PROBLEMA 7.4. e x + dx. Usaremos aquí el siguiente artificio: e x e x (e x + ) dx = e x + e x dx = ln( + e x ) + C. No es necesario en este caso el valor absoluto porque + e x > 0, para todo x. PROBLEMA 7.4. tg xdx. Procederemos así: sen x sen x cos x dx = dx = ln cos x + C = ln sec x + C. cos x PROBLEMA tg xdx. Análogamente al anterior: tg x(dx) = ln sec x + C. 85

20 PROBLEMA sen x + cos x dx. cos x Separando la fracción en dos, tenemos: (tg x + )dx = ln sec x + x + C. PROBLEMA ( + tg x) dx. Desarrollando el cuadrado, tenemos: ( + tg x + tg x)dx = (sec x + tg x)dx = tg x + ln sec x + C. PROBLEMA x cotg x dx. Sabiendo que cotg xdx = cos x dx = ln sen x + C, resulta: sen x cotg x (xdx) = ln sen x + C. 86

21 PROBLEMA sec xdx. Es útil en este caso utilizar el siguiente artificio: sec x(sec x + tg x) sec x tg x + sec x dx = dx = ln sec x+tg x +C. sec x + tg x sec x + tg x PROBLEMA sec x dx. x Teniendo en cuenta el problema anterior, resulta: sec x dx x = ln sec x + tg x + C. PROBLEMA cosec udu. Un artificio similar al realizado anteriormente permite escribir: = cosec u(cosec u cotg u) du cosec u cotg u cosec u cosec u cotg u du = ln cosec u cotg u + C. cosec u cotg u 87

22 PROBLEMA sec x tg x a + b sec x dx. Si hacemos que el numerador sea la derivada del denominador, tenemos b sec x tg xdx b a + b sec x = ln a + b sec x + C. b PROBLEMA 7.5. cosec x cotg x dx. Aplicando las identidades cosec x = / sen x y cotg x = cos x/ sen x: sen x cos x dx = sen xdx cos x = ln( cos x) + C = ln( sen x) + C = (ln + ln sen x ) + C = ln sen x + C. PROBLEMA 7.5. e x dx. 88

23 La fórmula () da casi directamente: e x ( dx) = e x + C. PROBLEMA a x dx. De nuevo por la fórmula (), a x (dx) = ax ln a + C. PROBLEMA e /x x dx. Análogamente a los anteriores, ( e /x dx ) x = e /x + C. PROBLEMA e 3 cos x sen xdx. 89

24 Podemos hacer el cambio 3 cos x = u o bien proceder directamente: e 3 cos x ( 6 sen xdx) = 6 6 e3 cos x + C. PROBLEMA a x dx. De acuerdo a la fórmula (8) tenemos: dx a (x/a) = d(x/a) (x/a) = arc sen x/a + C. PROBLEMA x dx. Teniendo en cuenta el problema anterior, resulta: 4dx 4 5 (4x) = 4dx/5 4 = (4x/5) 4 arc sen 4x 5 + C. PROBLEMA x x 6 dx. 90

25 Análogamente a los anteriores: 3 3x dx (x 3 ) = 3 arc sen x3 + C. PROBLEMA x + 3 x dx. Si separamos en dos integrales: xdx + 3 dx x x xdx = x + 3 dx = x + 3 arc sen x + C. x PROBLEMA x x dx. Completando cuadrados en la raíz y teniendo en cuenta los problemas anteriores, obtenemos: dx 36 (x 8x + 6) = dx x 4 = arc sen + C. 6 (x 4) 6 9

26 PROBLEMA x x dx. Análogamente al anterior resulta: dx 64 (x + x + 36) = dx x + 6 = arc sen + C. 8 (x + 6) 8 PROBLEMA 7.6. x x x dx. Procedemos de la siguiente manera: ( x 6)dx ( x 4) = 5 4x x dx = 5 4x x dx + = ( x 4) 5 4x x dx + 5 4x x = 5 4x x + arc sen x C. ( x 4) 5 4x x dx dx 9 (x + ) dx PROBLEMA x dx. 9

27 Aplicamos la fórmula (9) y tenemos: dx 9[ + (x/3) ] = dx/3 3 + (x/3) = arc tg(x/3) + C. 3 PROBLEMA x + 9 dx. Procediendo análogamente al problema anterior: dx (x) + 3 = dx 9[(x/3) + ] = 6 arc tg x 3 + C. PROBLEMA x x dx. Razonando análogamente a los problemas anteriores, tendremos: xdx (x ) + 3 = arc tg x 3 x 3 + C = arc tg + C PROBLEMA y + 0y + 30 dy. 93

28 Al completar cuadrados en el denominador, podemos reducirlo a los casos anteriores: dy (y + 0y + 5) + 5 = dy (y + 5) + 5 = arc tg y C. 5 5 Observación: Este método sólo es posible porque el denominador no tiene raíces reales. En caso contrario, deberemos aplicar el método de integración por fracciones simples (ver apartado D.) PROBLEMA e x dx. + e x Multiplicando numerador y denominador por e x obtenemos directamente: e x dx e x + = arc tg ex + C. PROBLEMA sec x tg x sec x dx. Teniendo en cuenta los problemas anteriores, resulta también: sec x tg xdx 3 + ( sec x) = sec x arc tg + C

29 PROBLEMA x 7 x + 9 dx. Si separamos en dos integrales, resulta: xdx x dx x + 9 = ln(x + 9) 7 arc tg(x/3) + C. 3 PROBLEMA x + x 4x + 8 dx. Si intentamos escribir en el numerador la derivada del denominador, obtenemos las siguientes integrales: (x 4)dx x 4x dx x 4x + 8 = (x 4)dx x 4x dx (x ) + 4 = ln(x 4x + 8) + 3 x arc tg + C. PROBLEMA 7.7. x 4x 9 dx. Aplicando adecuadamente la fórmula (0) resulta: dx x (x) 3 = dx 3x (x/3) = dx/3 3 (x/3) (x/3) = 3 arcsec x 3 + C. 95

30 PROBLEMA 7.7. x x 4 dx. Análogamente al problema anterior podemos escribir: xdx x (x ) = arcsec x + C = arc cos(/x ) + C. PROBLEMA sen xdx. Aplicando la fórmula sen x = ( cos x)/ resulta: ( cos x)dx = x sen x + C. 4 PROBLEMA cos λxdx. Aplicamos en este caso la identidad cos λx = ( + cos λx)/: ( + cos λx)dx = x sen λx + + C. 4λ 96

31 PROBLEMA cos 5 xdx. Realizamos la siguiente descomposición: cos 4 x cos xdx = ( sen x) cos xdx = cos xdx + sen 4 x cos xdx = sen x 3 sen3 x + 5 sen5 x + C. sen x cos xdx PROBLEMA sen x cos 3 xdx. De la identidad fundamental sen x + cos x = resulta: sen x cos x cos xdx = sen x( sen x) cos xdx = sen x cos xdx sen 4 x cos xdx = 3 sen3 x 5 sen5 x + C. PROBLEMA cos 4 x sen 3 xdx. Como el exponente de sen x es impar, procedemos así: cos 4 x sen x sen xdx = cos 4 x( cos x) sen xdx = cos 4 x sen xdx cos 6 x sen xdx = 0 cos5 x + 4 cos7 x + C. 97

32 PROBLEMA sen 3 3x cos 5 3xdx. Análogamente al ejercicio anterior tenemos: ( cos 3x) cos 5 3x sen 3xdx = cos 5 3x sen 3xdx cos 7 3x sen 3xdx = 8 cos6 3x + 4 cos8 3x + C. Otra forma similar es usar el hecho de que el exponente de cos 3x también es impar: sen 3 3x( sen 3x) cos 3xdx = sen 3 3x cos 3xdx sen 5 3x cos 3xdx + sen 7 3x cos 3xdx = sen4 3x 9 sen6 3x + 4 sen8 3x + C. Obsérvese que ambos resultados difieren en una constante aunque no lo parezca a simple vista. PROBLEMA sen 4 xdx. Como el exponente de sen x es par, utilizamos la identidad sen x = ( cos x)/ y posteriormente cos x = ( + cos 4x)/: (sen x) dx = ( cos x) dx = dx cos xdx cos xdx = dx cos xdx + ( + cos 4x)dx = 4 x 4 sen x + 8 x + 3 sen 4x + C = 3 8 x 4 sen x + sen 4x + C. 3 98

33 PROBLEMA sen x cos xdx. Por la fórmula sen x = sen x cos x tenemos: ( sen x cos x) dx = sen xdx = ( cos 4x)dx = dx cos 4xdx = x sen 4x + C. 3 PROBLEMA 7.8. sen 4 3x cos 3xdx. Por ser ambos exponentes pares tenemos como antes: (sen 3x cos 3x) sen 3xdx = sen 6x( cos 6x)dx 8 = sen 6xdx sen 6x cos 6xdx = ( cos x)dx sen 6x cos 6xdx = 8 6 x sen x 9 44 sen3 6x + C. PROBLEMA 7.8. tg 4 xdx. 99

34 Aplicamos la fórmula sec x = + tg x y tenemos: tg x tg xdx = tg x(sec x )dx = tg x sec xdx = tg xd(tg x) (sec x )dx = 3 tg3 x tg x + x + C. tg xdx PROBLEMA tg 5 xdx. De forma análoga al problema anterior podemos escribir: tg 3 x tg xdx = tg 3 x(sec x )dx = tg 3 x sec xdx tg 3 xdx = tg 3 xd(tg x) tg x(sec x )dx = 4 tg4 x tg x + ln sec x + C. PROBLEMA sec 4 xdx. También en este caso tenemos: sec x sec xdx = sec x( + tg x)dx = sec xdx + tg x sec xdx = tg x + 6 tg3 x + C. 300

35 PROBLEMA tg 3 3x sec 4 3xdx. Nuevamente, de la identidad sec 3x = + tg 3x, resulta: tg 3 3x( + tg 3x) sec 3xdx = tg 3 3x sec 3xdx + tg 5 3x sec 3xdx = tg4 3x + 8 tg6 3x + C. PROBLEMA tg 3 x sec 3 xdx. En este caso integramos con respecto a d(sec x) como sigue: tg x sec x sec x tg xdx = (sec x ) sec x sec x tg xdx = sec 4 xd(sec x) sec xd(sec x) = 0 sec5 x 6 sec3 x + C. PROBLEMA cotg 3 xdx. 30

36 De la fórmula cosec x = cotg x y teniendo en cuenta que d(cotg x) = cosec xdx, resulta: cotg x(cosec x )dx = 4 cotg x + ln cosec x + C. PROBLEMA cotg 4 3xdx. Procediendo de forma análoga al anterior tenemos: cotg 3x(cosec 3x )dx = cotg 3x cosec 3xdx = cotg 3xd(cotg 3x) (cosec 3x )dx 3 cotg 3xdx = 9 cotg3 3x + cotg 3x + x + C. 3 PROBLEMA cosec 6 xdx. De forma similar a los anteriores, cosec x( + cotg x) dx = cosec xdx + cotg x cosec xdx + cotg 4 x cosec xdx = cotg x 3 cotg3 x 5 cotg5 x + C. 30

37 PROBLEMA cotg 3 x cosec 5 xdx. Sabiendo que d(cosec x) = cosec x cotg xdx, tenemos: cotg x cosec 4 x cosec x cotg xdx = (cosec x ) cosec 4 x cosec x cotg xdx = cosec 6 xd(cosec x) + cosec 4 xd(cosec x) = 7 cosec7 x + 5 cosec5 x + C. PROBLEMA 7.9. cos xdx. Debido a la fórmula cos x = sen (x/), tenemos: sen(x/)dx = cos(x/) + C. PROBLEMA 7.9. sen x dx. 303

38 Aplicamos la identidad sen x = cos(π/ x) y procedemos como en el problema anterior: dx = dx cos(π/ x) sen(π/4 x) = cosec(π/4 x)dx = ln cosec(π/4 x) cotg(π/4 x) + C. PROBLEMA ( + cos 3x) 3/ dx. Utilizamos la fórmula + cos 3x = cos (3x/): cos 3 (3x/)dx = [ sen (3x/)] cos(3x/)dx = ( 3 sen(3x/) ) 9 sen3 (3x/) + C. PROBLEMA sen 3 x cos 3 x dx. 304

39 De la identidad = sen x+cos x, tenemos la siguiente descomposición: (sen x + cos x) sen 4 x + cos 4 x + sen x cos x sen 3 x cos 3 dx = x sen 3 x cos 3 dx x sen x cos x = cos 3 x dx + sen 3 x dx + sen x cos x dx sec = cos 3 xd(cos x) + sen 3 x xd(sen x) + tg x dx = cos x sen + ln tg x + C. x PROBLEMA sen λx cos µxdx, donde λ µ 0. Utilizamos la fórmula sen(a + b) + sen(a b) = sen a cos b: [sen(λx + µx) + sen(λx µx)]dx = [sen(λ + µ)x + sen(λ µ)x]dx = [ cos(λ + µ)x + λ + µ ] cos(λ µ)x + C. λ µ PROBLEMA sen λx sen µxdx, donde λ µ 0. Similar al anterior con la fórmula cos(a b) cos(a+b) = sen a sen b: [cos(λx µx) cos(λx + µx)]dx = [cos(λ µ)x cos(λ + µ)x]dx = [ ] sen(λ µ)x sen(λ + µ)x + C. λ µ λ + µ 305

40 PROBLEMA cos λx cos µxdx, donde λ µ 0. Aplicamos en este caso la fórmula cos(a+b)+cos(a b) = cos a cos b: [cos(λx+µx)+cos(λx µx)]dx = [ sen(λ + µ)x + λ + µ ] sen(λ µ)x +C. λ µ PROBLEMA x + dx. Si hacemos el cambio de variable x = tg u, entonces dx = sec udu. Así: sec u sec udu = sec udu = ln sec u+tg u +C = ln(x+ x + )+C. PROBLEMA x + 9 dx. Escribimos la función como en el problema anterior y aplicamos el resultado obtenido o bien hacemos el cambio x/3 = tg u, de modo que 306

41 dx = (3/) sec udu: (x) + 3 dx = = ln sec u + tg u + C = ln x 3 + (3/) sec 3 (x/3) + dx = udu 3 sec u 4x C. PROBLEMA x + x + 9 dx. Separamos la integral en dos y aplicamos en la segunda la sustitución x/3 = tg u: x + 4 x + 9 dx = x x + 9 dx + x + 9 dx = x sec udu = x x x ln C. PROBLEMA 7.0. x dx. Si hacemos x = sec u, entonces dx = sec u tg udu. Por tanto: tg u sec u tg udu = ln sec u + tg u + C = ln x + x + C. 307

42 PROBLEMA z 5 dz. Si hacemos el cambio 3z/5 = sec u, 3dz/5 = sec u tg udu, entonces: 3/5 3 (3z/5) dz = sec u tg u du 3 tg u = 3 ln sec u + tg u + C = 3 ln 3z 9z C. PROBLEMA s + s ds. Completando cuadrados en el denominador y haciendo el cambio (s+)/ = sec u, resulta: = (s + ) 4 ds = [(s + )/] ds s + 4s + s sec udu = ln sec u + tg u + C = ln + + C. PROBLEMA x + x + x 3 dx. 308

43 Separamos en dos integrales de modo que la primera sea la derivada de una raíz y en la segunda hacemos el cambio (x + )/ = sec u: x + 4 x + x 3 dx = x + x + x 3 dx + = x + x 3 + sec udu = x x + x + x 3 + ln + + x 3 + C. / [(x + )/] dx PROBLEMA x dx. Haremos el cambio x/ 3 = sen u, dx/ 3 = cos udu después de escribir la función de forma más conveniente: 3 (x/ 3) dx = 3 3 cos udu = 3 + cos u du = 3 [ ] sen u u + + C 4 = 3 4 arc sen(x/ 3) x 3 4x + C 3 3 = 3 4 arc sen(x/ 3) + x 3 4x + C. PROBLEMA x x dx. 309

44 Completando cuadrados y procediendo como en el problema anterior con el cambio (x + )/ = sen u, resulta: 4 (x + ) dx = [(x + )/] dx = 4 cos udu [ ] u sen u = C = arc sen x + + x + 3 x x 4 + C. PROBLEMA x 4 + x dx. Si hacemos el cambio tg z = x/, tendremos dx = sec zdz y 4 + x = sec z. Entonces: sec z (4 tg z)( sec z) dz = sec z 4 tg z dz = sen z cos zdz = 4 + x 4 4 sen z + C = + C. 4x PROBLEMA x x 4 dx. Hacemos el cambio x/ = sec z, con lo que dx = sec z tg zdz y x 4 = tg z: 4 sec z ( sec z tg zdz) = 4 tg z sec 3 zdz = sec z tg z + ln sec z + tg z + C = x x 4 + ln x + x 4 + C. 30

45 (Ver problema 7.4 para la resolución de la última integral.) PROBLEMA x dx. x Haciendo x/3 = sen z tendremos dx/3 = cos zdz y 9 4x = 3 cos z. Así: 3 cos z cos z (3/) cos zdz = 3 (3/) sen z sen z dz sen z = 3 dz = 3 cosec zdz 3 sen zdz sen z 3 9 4x = 3 ln cosec z cotg z + 3 cos z + C = 3 ln x + 9 4x + C. PROBLEMA 7.0. (6 9x ) 3/ dx. x 6 Haciendo 3x/4 = sen z tendremos dx = (4/3) cos zdz y 6 9x = 4 cos z. Así: 64 cos 3 z (4/3) cos z 43 cos 4 z (4096/79) sen 6 dz = z 6 sen 6 z dz = 43 cotg 4 z cosec zdz = cotg5 z + C = (6 9x ) 5/ 43x 5 + C = 80 (6 9x ) 5/ x 5 + C. 3

46 PROBLEMA 7.. x x x dx. Volvemos a escribir la integral como x dx y hacemos el cam- (x ) bio x = sen z. Tendremos así dx = cos zdz y x x = cos z. Resulta: ( + sen z) cos zdz = ( + sen z + sen z)dz cos z ( ) cos z = + sen z + dz = 3 z cos z sen z + C 4 = 3 arc sen(x ) x x (x ) x x + C = 3 arc sen(x ) (x + 3) x x + C. PROBLEMA 7.. (4x dx. 4x + 7) 3/ Completando cuadrados tenemos que [4(x 3) dx. 9] 3/ Haciendo (x 3)/3 = sec z, resulta dx = (3/) sec z tg zdz y 4x 4x + 7 = 3 tg z, con lo que: (3/) sec z tg zdz 7 tg 3 = sen z cos zdz z 8 = 8 sen z + C = 9 x 3 4x 4x C. 3

47 PROBLEMA 7.3. ( + x ) + x dx. Haciendo x = t, xdx = dt, es decir, dx = dt/( t). Por tanto, dt/ t ( + t) + t = dt ( + t) ( + t)t. Haciendo ahora + t = z = z = t = dt = dz, tenemos: z dz z z = dz/z (/z)[(/z) ] (/z ) (/z) = dz/z (/z) z = dz z = ( z) / dz = ( z)/ + C / = z + C = + t + t + C = + C + t t x = + C = + C. + t + x C. INTEGRACIÓN POR PARTES. Este método se basa en la fórmula de derivación de un producto de dos funciones: integrando la fórmula (f g) (x) = f (x) g(x) + f(x) g (x), se obtiene f(x) g(x) = f (x) g(x)dx + f(x) g (x)dx, de donde, f(x) g (x) dx = f(x) g(x) f (x) g(x) dx. 33

48 Otra forma de escribir esta fórmula es llamar u = f(x) y v = g(x), con lo que resulta: u dv = u v v du. Este método suele aplicarse cuando el integrando es producto de dos funciones de distinta clase, como por ejemplo, polinómica por exponencial, trigonométrica por exponencial, polinómica por logarítmica, etc. Una gran variedad de integrales que se pueden resolver por este método se ofrece en los problemas que siguen. PROBLEMA 7.4. xe x dx. Hacemos u = x, dv = e x dx. Entonces du = dx, v = e x y tenemos: xe x e x dx = xe x e x + C. PROBLEMA 7.5. x 3 e x dx. Haciendo u = x 3, dv = e x dx tendremos du = 3x dx, v = (/)e x, con lo que: x3 e x 3 x e x dx. Haciendo en la integral resultante u = x y dv = e x dx tendremos du = xdx, v = (/)e x, de modo que: x3 e x 3 [ x e x ] xe x dx = x3 e x 3 4 x e x xe x dx.

49 Haciendo en la integral resultante u = x y dv = e x dx tendremos du = dx y v = (/)e x y nuevamente, x3 e x 3 4 x e x + 3 [ xex = x3 e x 3 4 x e x xex 3 8 ex + C. ] e x dx PROBLEMA 7.6. x 3 e x dx. Hacemos u = x y dv = xe x dx, de donde du = xdx y v = (/)e x. Aplicando la fórmula de integración por partes tenemos: x e x xe x dx = x e x ex + C. PROBLEMA 7.7. x + xdx. Haciendo u = x, dv = + xdx tenemos que du = dx, v = (/3)( + x) 3/ : 3 x( + x)3/ 3 ( + x) 3/ dx = 3 x( + x)3/ 4 5 ( + x)5/ + C. 35

50 PROBLEMA 7.8. ln(x + )dx. Hacemos u = ln(x + ) y dv = dx, de donde du = xdx x y v = x. Por + tanto: x x ln(x ( dx + ) x + = x ln(x + ) 4 ) x dx + = x ln(x + ) x + arc tg(x/ ) + C. (Ver por ejemplo el problema 7.63 para la resolución de la última integral.) PROBLEMA 7.9. ln(x + /x)dx. Integrando por partes con u = ln(x + /x) y dv = dx, du = x x(x + ) dx, v = x, tenemos: ( x ln = x ln x + x ( x + x ) x ) x + dx ( + x ) dx = x ln(x + /x) x + arc tg x + C. PROBLEMA 7.0. ln(x + x )dx. 36

51 Hacemos u = ln(x + x ) y dv = dx, con lo que du = Entonces: x ln(x + x ) dx x, v = x. x x dx = x ln(x + x ) x + C. PROBLEMA 7.. x ln(x + )dx. Hacemos u = ln(x + ) y dv = xdx; du = dx/(x + ), v = x /. Entonces: x ln(x + ) = x ln(x + ) = x x x dx = x + ln(x + ) [ ] x x + ln(x + ) + C ln(x + ) x 4 + x + C. [ x + ] dx x + PROBLEMA 7.. x sen xdx. Para utilizar el método de integración por partes podemos seguir los siguientes caminos: a) u = x sen x, dv = dx. Entonces du = (sen x+x cos x)dx, v = x. Así: x x sen x x(sen x + x cos x)dx. 37

52 La integral que resulta es menos sencilla que la original por lo cual se descarta este camino. b) u = sen x, dv = xdx. Por tanto, du = cos xdx, v = x / y resulta: x sen x x cos xdx. La integral que resulta es menos sencilla que la original y también descartamos este camino. c) u = x, dv = sen xdx. Por tanto du = dx, v = cos x y resulta: x cos x cos xdx = x cos x + sen x + C. PROBLEMA 7.3. x sen xdx. Haciendo u = x, dv = sen xdx tendremos du = xdx, v = cos x. Así: x cos x + x cos xdx. Hacemos en la integral resultante u = x, dv = cos xdx, du = dx, v = sen x y tenemos: [ ] x cos x + x sen x sen xdx = x cos x + x sen x + cos x + C. PROBLEMA 7.4. sec 3 xdx. 38

53 Haciendo u = sec x, dv = sec xdx tendremos du = sec x tg xdx, v = tg x. Así: sec x tg x sec x tg xdx = sec x tg x sec x(sec x )dx = sec x tg x sec 3 xdx + sec xdx. Por tanto, sec x tg x + sec xdx = sec x tg x + ln sec x + tg x + C; (sec x tg x + ln sec x + tg x ) + C. PROBLEMA 7.5. x 36dx. Si hacemos el cambio x = 6 sec t, entonces dx = 6 sec t tg tdt y resulta: 36 tg t sec tdt = 36 (sec t ) sec tdt = 36 sec 3 tdt sec tdt. De acuerdo al problema anterior, resulta: 8(sec t tg t + ln sec t + tg t ) 36 ln sec t + tg t + C = x x x x 36 8 ln C. PROBLEMA x + 5dx. 39

54 Escribimos el integrando como 5[(3/5)x + ] = 5 (x 3/ 5) + y hacemos el cambio x 3/ 5 = tg u: 5 sec 3 udu = 5 3 (sec u tg u + ln sec u + tg u ) + C 3 = x 3x ln x 3 3x C. 5 5 PROBLEMA x 4x + 5dx. Completamos cuadrados en el radicando y procedemos como en los problemas anteriores, haciendo el cambio x = tg u: (x ) + 4dx = sec 3 udu = sec u tg u + ln sec u + tg u + C = x 4x 4 x 4x 4x ln + 4x C. PROBLEMA 7.8. x cos x dx. De nuevo integramos por partes con u = x, dv = dx/ cos x: xd(tg x) = x tg x tg xdx = x tg x + ln cos x + C. 30

55 PROBLEMA 7.9. x (x cos x sen x) dx. ( ) x sen x Como d = dx, podemos integrar por partes con u = x/ sen x, dv = x cos x sen x (x cos x sen x) x sen x (x cos x sen x) dx: = x sen x + x sen x x sen x (x cos x sen x) dx = x cos x sen x x (x cos x sen x) sen x cos x x sen x + cos x + C = sen x x cos x sen x + C. dx sen x PROBLEMA cos x ln( + cos x)dx. Integramos por partes con u = ln( + cos x), dv = cos xdx. Entonces du = sen x, v = sen x. Por tanto: + cos x sen x sen x ln( + cos x) + + cos x dx sen x( cos x) = sen x ln( + cos x) + ( + cos x)( cos x) dx = sen x ln( + cos x) + ( cos x)dx = sen x ln( + cos x) + x sen x + C. PROBLEMA 7.3. arc sen xdx. 3

56 Haciendo u = arc sen x, dv = dx tenemos que du = Así: x arc sen x dx x, v = x. xdx x = x arc sen x + x + C. PROBLEMA 7.3. arc tg x x + dx. Hacemos u = arc tg x x + y dv = dx; entonces du = dx/( + x ) y v = x. Así: x arc tg x x + x x dx = x arc tg + x x + ln( + x ) + C. PROBLEMA x arc sen x dx. x Hacemos u = arc sen x y dv = xdx x e integramos por partes: arc sen xd( x ) = x arc sen x + dx = x arc sen x + x + C. 3

57 PROBLEMA x 3 arc tg xdx. Hacemos en este caso u = arc tg x, dv = x 3 dx, con lo que du = dx/( + x ), v = x 4 /4: x4 4 arc tg x 4 = x4 4 x 4 x4 dx = + x 4 arc tg x [ x + ] 4 + x dx arc tg x x3 + x 4 + C. PROBLEMA x arc tg xdx. + x Separamos en dos integrales así: ( ) + x arc tg xdx = arc tg xdx arc tg xdx. + x En la primera integral hacemos u = arc tg x, dv = dx. Entonces du = dx/( + x ), v = x, con lo que I = x arc tg x x + x dx = x arc tg x ln( + x ) + C. Como la segunda integral es inmediata, resulta en definitiva: x arc tg x ln + x (arc tg x) + C. 33

58 PROBLEMA arc sen x ( x ) x dx. Si integramos por partes haciendo u = arc sen x, dv = tiene du = dx x, v = x x. Así: dx ( x ) x, se = x arc sen x x x x arc sen x + x x dx x x x dx = x arc sen x + x ln x + C. PROBLEMA x arc sen xdx. Integramos por partes con u = arc sen x y dv = xdx: x arc sen x x dx. x Ahora bien, x dx = x x dx x dx. Haciendo en esta última integral u = x y dv = dx, tenemos: x dx = x x x + dx. x Resulta entonces que x x dx = [arc sen x x x ] + C. Por tanto: x 4 arc sen x + x 4 x + C. 34

59 PROBLEMA sen x + cos x ex dx. Recordamos la fórmula + sen x + cos x = [ + tg(x/)] y tenemos: [+tg (x/)+ tg(x/)]e x dx = sec (x/)e x dx+ e x tg(x/)dx. En la primera integral hacemos u = e x, dv = sec (x/)dx, con lo que du = e x dx, v = tg(x/): e x tg(x/) e x tg(x/)dx + e x tg(x/)dx = e x tg(x/) + C. PROBLEMA las integrales e ax sen bxdx, J = e ax cos bxdx. Integrando por partes cada una de ellas, resulta: a eax sen bx b e ax cos bxdx = a a eax sen bx b a J. J = a eax cos bx + b a e ax sen bxdx = a eax cos bx + b a I. Basta pues resolver el sistema ai + bj = e ax sen bx, bi aj = e ax cos bx, para obtener los valores de I y J. En definitiva, J = e ax a (a sen bx b cos bx) + C; + b e ax a + b (b sen bx + a cos bx) + C. 35

60 PROBLEMA xe arc sen x x dx y J = e arc sen x dx. Vamos a integrar I por partes siguiendo dos caminos distintos: En primer lugar hacemos u = e arc sen x, dv = xdx x y tenemos: x e arc sen x + e arc sen x dx = x e arc sen x + J. En segundo lugar hacemos u = x, dv = earc sen x dx y tenemos: x xe arc sen x e arc sen x dx = xe arc sen x J. Sumando y restando ordenadamente las dos fórmulas obtenidas llegamos a: (x x )e arc sen x + C; J = (x + x )e arc sen x + C. PROBLEMA 7.4. earc tg x ( + x ) + x dx. Integramos por partes haciendo u = e arc tg x, dv = dx ( + x ). Así re- + x sulta: 36

61 xearc tg x + x xearc tg x ( + x ) + x dx. En esta última integral, que también resolvemos por partes, hacemos u = e arc tg x, xdx dv = ( + x ) y se tiene + x xearc tg x ( + x ) + x dx = + x earc tg x + De aquí se deduce inmediatamente: earc tg x ( + x ) + x dx. x + + x earc tg x + C. xdx Observación: La integral ( + x ) es inmediata pues es igual + x a (+x ) 3/ d(+x ) = ( + x ) 3/+ = (+x ) / = 3/ +. + x PROBLEMA 7.4. I n = ( + x dx. ) n+ Utilizamos el siguiente artificio: I n = = + x x ( + x dx = ) n+ dx ( + x ) n + x ( + x dx ) n+ x dx ( + x ) n+ = I n x ( + x dx ) n+ x dx ( + x ) n+. Para la última integral utilizamos el método de integración por partes. Para xdx ello hacemos u = x, dv = ( + x ) n+, con lo que du = dx, v = n( + x ) n. Así: x dx ( + x ) n+ = x n( + x ) n + n I n. 37

62 En definitiva, I n = I n + x n( + x ) n n I n = n n I x n + n( + x ) n. D. INTEGRACIÓN POR FRACCIONES SIMPLES. Este método es exclusivo para integrar funciones racionales. El procedimiento general es el siguiente: p(x) Para calcular dx donde p y q son polinomios, realizaremos los siguientes q(x) pasos: ) Se realiza la división p(x) r(x) = c(x) + donde c es el cociente y r el q(x) q(x) resto, con grado r < grado q. Entonces: p(x) r(x) q(x) dx = c(x)dx + q(x) dx. La primera integral es inmediata y a continuación estudiaremos la segunda. Observación: Si el grado de p ya es menor que el grado de q, este paso se omite, pues p(x) = r(x). ) Se factoriza el denominador a partir de sus raíces (ya sean reales o complejas). Tenemos: q(x) = a(x r ) m (x r n ) mn (x + a x + b ) q (x + a p x + b p ) qp. Nota: En lo que sigue supondremos que a = pues, en caso contrario, puede salir de la integral como una constante. 3) Se descompone el integrando en fracciones simples: r(x) q(x) = A x r α x + β x + a x + b + + A m (x r ) m + + K x r n + + α q x + β q (x + a x + b ) q σ x + τ σ qp x + β qp x a p x + b p (x + a p x + b p ). qp 38 K mn (x r n ) mn

63 4) Se calculan las constantes A,..., A m,..., K,..., K mn, α, β,..., α q, β q,..., σ, τ,..., σ qp, τ qp igualando los numeradores de ambos miembros. 5) Se integra por separado cada fracción simple. Los siguientes problemas ilustran la forma de integrar según sea la descomposición de la fracción. PROBLEMA x 4 dx. Como x 4 = (x )(x + ), podemos descomponer la fracción como x 4 = de donde = A(x + ) + B(x ). A x + B x +, Para x =, = 4A = A = /4. Para x =, = 4B = B = /4. Tenemos entonces: dx 4 x 4 dx x + = 4 ln x 4 ln x+ +C = 4 ln x x + +C. PROBLEMA x 6 dx. Procediendo como el anterior, tenemos: 9x 6 = A 3x B 3x + 4,

64 de donde = A(3x+4)+B(3x 4) = A = /8, B = /8. Entonces: 8 3x 4 dx 8 3x + 4 dx = 4 ln 3x 4 4 ln 3x C = 4 ln 3x 4 3x C. PROBLEMA x + 6x + 8 dx. Como x + 6x + 8 = (x + )(x + 4), tenemos: x + 6x + 8 = A x + + B x + 4, de donde = A(x + 4) + B(x + ) = A = / y B = /. Resulta entonces: (ln x + ln x + 4 ) + C = ln x + x C. PROBLEMA x dx. Como 9 x = (3 x)(3 + x), resulta: 9 x = A 3 x + B = = A(3 + x) + B(3 x). 3 + x Obtenemos los valores A = B = /6, con lo que: 6 ( ln 3 x + ln 3 + x ) + C = 6 ln 3 + x 3 x + C. 330

65 PROBLEMA x x dx. Como 4x x = x(4 x), tenemos: 4x x = A x + B = = A(4 x) + Bx. 4 x De aquí, A = B = /4; por tanto: 4 (ln x ln 4 x ) + C = 4 ln x 4 x + C. PROBLEMA x 4x + 4x 3 dx. Al factorizar el denominador tenemos 4x +4x 3 = (x )(x+3) y: x 4x + 4x 3 = A x + B = x = A(x + 3) + B(x ). x + 3 De aquí se obtiene que A = 3/8, B = 7/8. Entonces: 3 6 ln x 7 6 ln x C = 6 ln (x ) 3 (x + 3) 7 + C. PROBLEMA x + x 3 + x 6x dx. 33

66 Factorizamos en primer lugar el denominador: x 3 +x 6x = x(x )(x+3). Por tanto: x + x 3 + x 6x = A x + B x + C x+ = A(x )(x+3)+bx(x+3)+cx(x ) x + 3 Para x = 0, = 6A = A = /6. Para x =, 3 = 0B = B = 3/0. Para x = 3, = 5C = C = /5. La integral queda entonces: dx 6 x + 3 dx 0 x 5 dx x + 3 = 6 ln x ln x 5 ln x C = ln x 3/0 x /6 + C. x + 3 /5 PROBLEMA x + 5 x 3 x x + dx. Al factorizar el denominador tenemos x 3 x x + = (x + )(x ). Así: 3x + 5 x 3 x x + = A x + + B x + C (x ) con lo que 3x + 5 = A(x ) + B(x )(x + ) + C(x + ). Para x =, = 4A = A = /. Para x =, 8 = C = C = 4. Para determinar la constante B se sustituye otro valor de x, por ejemplo x = 0. Resulta 5 = A B + C = B = /. Por tanto: dx x + dx x + 4 dx (x ) = ln x + 4 ln x x + C = 4 x + ln x + x + C. 33

67 PROBLEMA 7.5. x 4 x 3 x x 3 x dx. En primer lugar se realiza la división y resulta x 4 x 3 x x 3 x = x x + x 3 x = x x + x (x ). Después se descompone la fracción resultante en fracciones simples: x + x (x ) = A x + B x + C x = x + = Ax(x ) + B(x ) + Cx. Para x = 0, = B = B =. Para x =, = C. Para x =, 3 = A + B + 4C = A =. Por tanto: dx dx xdx + x + x dx x = x + ln x x ln x + C = x x + ln x x + C. PROBLEMA 7.5. x a 4 x 4 dx. Descomponemos el integrando en fracciones simples: x a 4 x 4 = A a x B a + x + Cx + D a + x.

68 Por tanto, x = A(a + x)(a + x ) + B(a x)(a + x ) + (Cx + D)(a x)(a + x). Para x = a, a = 4Aa 3 y A = /4a. Para x = a, a = 4Ba 3 y B = /4a. Para x = 0, 0 = Aa 3 + Ba 3 + Da = a / + Da y D = /. Para x = a, 4a = 5Aa 3 5Ba 3 6Ca 3 3Da y C = 0. Así pues: dx 4a a x + dx 4a a + x dx a + x = ln a x + ln a + x arc tg(x/a) + C. 4a 4a a PROBLEMA x + 3 (x + ) dx. Si descomponemos el integrando, tenemos Por tanto: x + 3 (x + ) = Ax + B x + + Cx + D (x + ). x + 3 = (Ax + B)(x + ) + Cx + D = Ax 3 + Bx + (A + C)x + (B + D). Igualando términos del mismo grado resulta A = 0, B =, A + C = 0, B + D = 3, lo que al resolver queda A = 0, B =, C = 0, D =. Entonces, dx x + + dx (x + ). Para la segunda integral hacemos el cambio x = tg z con lo cual dx sec (x + ) = z sec 4 z dz = cos zdz = z/ + (/4) sen z + C, de donde arc tg x + (/) arc tg x + x/ x/ x + C = (5/) arc tg x + + x + + C. 334

69 PROBLEMA x 3 + x + x + x 4 + 3x + dx. Debido a que x 4 + 3x + = (x + )(x + ) tenemos de donde: x 3 + x + x + x 4 + 3x + = Ax + B x + + Cx + D x +, x 3 + x + x + = (Ax + B)(x + ) + (Cx + D)(x + ) = (A + C)x 3 + (B + D)x + (A + C)x + (B + D), luego A + C =, B + D =, A + C =, B + D =. Resolviendo el sistema resulta A = 0, B =, C =, D = 0. Por tanto: dx x + + xdx x + = arc tg x + ln(x + ) + C. PROBLEMA x 5 x 4 + 4x 3 4x + 8x 4 (x + ) 3 dx. Tenemos x 5 x 4 + 4x 3 4x + 8x 4 (x + ) 3 = Ax + B x + + Cx + D (x + ) + Ex + F (x + ) 3, de donde: x 5 x 4 + 4x 3 4x + 8x 4 = (Ax + B)(x + ) + (Cx + D)(x + ) + Ex + F = Ax 5 + Bx 4 + (4A + C)x 3 + (4B + D)x + (4A + C + E)x + (4B + D + F ) 335

70 y se obtiene A =, B =, C = 0, D = 0, E = 4, F = 0. La integral queda entonces: x x + dx+4 x (x + ) 3 dx = ln(x +) arc tg x (x + ) +C. E. APLICACIONES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA. Es común tener que resolver problemas en donde se trata de encontrar una función conocida una expresión que involucra a alguna de sus derivadas. Estos problemas reciben el nombre de ecuaciones diferenciales y se resuelven mediante el proceso de integración. Ahora bien, como hay muchas funciones que tienen la misma derivada, para encontrar una de ellas se necesita una condición adicional. Generalmente, esa condición consiste en proporcionar un punto por donde pasa la función. PROBLEMA Encontrar una función cuya derivada es dy dx = 3x y que pase por el punto (, 0). La función que buscamos debe ser primitiva de la función dada. De este modo y = 3x dx = x 3 + C. Si sustituimos el punto dado, resulta que 0 = 3 + C. Por tanto, C =. La función que cumple las condiciones del problema es f(x) = x. 336

71 PROBLEMA Encontrar una función f sabiendo que f (x) = x4 + x 3. En este caso debemos realizar dos integraciones: la primera para determinar f y la segunda para obtener f. Deben aparecer por lo tanto dos constantes arbitrarias, una por cada integral. Dichas constantes no tienen que ser necesariamente las mismas. f (x) = x 4 + x 3 dx = (x + x )dx = x3 + x = x x + C. ( ) x f(x) = x + C dx = x3 6 + x + C x + C. Un caso común de esta situación consiste en encontrar la posición en cada instante de un punto que se mueve en línea recta conocida la velocidad o la aceleración del mismo. PROBLEMA La aceleración de una partícula que se mueve a lo largo de una recta es a(t) = π cos πt m /sg. Si en el instante inicial (t = 0), la posición de la partícula es s = 0 y la velocidad es v = 8, hallar s cuando t =. Mediante integración directa de la aceleración con respecto al tiempo, se obtiene la velocidad en cualquier instante t: v(t) = π cos πtdt = π π cos πtdt = π sen πt + C. 337

72 Para determinar la constante C, evaluamos la función en el punto t = 0: v(0) = 8 = π sen π0 + C = C; así pues, v(t) = π sen πt + 8. Integrando de nuevo respecto a t, de la velocidad se obtiene la posición s(t) : s(t) = (π sen πt + 8)dt = cos πt + 8t + K. La constante K se obtiene conocida la posición en el instante t = 0: s(0) = 0 = cos π K = + K, de donde K =. En definitiva, s(t) = cos πt + 8t +. Como la pregunta que se plantea es calcular s(), al sustituir resulta s() = cos π = 0 metros. Existen ecuaciones diferenciales más generales en donde no es posible despejar la derivada de la función con respecto a la variable independiente. Un caso simple de resolver y el único que estudiaremos aquí es aquél en donde se pueden separar en ambos miembros de la ecuación las variables x e y. El siguiente ejemplo ilustra el procedimiento a seguir. PROBLEMA la ecuación dy dx = y sen x sabiendo que y(3π/4) = En primer lugar intentamos que las variables x e y estén separadas cada una en un miembro de la ecuación. Para ello tratamos a la derivada dy/dx como un cociente de diferenciales y podemos escribir dy y = sen xdx. A continuación se integran ambos miembros de la ecuación. El primero respecto de la variable y y el segundo respecto de la variable x. Es decir escribimos: dy = sen xdx, y de modo que y / / = (/) cos x + C. 338

73 (La constante se añade a uno de los miembros de la ecuación, pues representa la diferencia entre las funciones que tienen la misma derivada). El valor de C se calcula mediante la condición inicial y(3π/4) =. / / Despejando el valor de y llegamos a: = (/) cos( 3π/4) + C = = C. y / = (/)( (/) cos x+) = (/4) cos x+ = y = [ (/4) cos x+]. En general no se puede obtener la ecuación en su forma explícita. La ecuación implícita será suficiente para definir la función. 339

74 F. EJERCICIOS PROPUESTOS. las siguientes integrales indefinidas: 4x + 7 dx. x Resp.: 4x (7/x) + C..- (4x ) 43 dx. Resp.: (4x ) 44 /76 + C. 3.- x(ax 3 + b) dx. Resp.: a x 8 /8 + abx 5 /5 + b x / + C. 4x x dx. Resp.: x + C. 5.- sen t cos t(sen t + cos t)dt. Resp.: 3 (sen3 t cos 3 t) + C. cos x sen x dx. Resp.: cosec x + C. 4 4x dx. Resp.: arc sen x + C x x + dx. Resp.: 3 (x + )3/ (x + ) / + C. Sug.: Sumar y restar al numerador. Después separar en dos integrales. 340

75 x 7 dx. Resp.: 3x 0/3 /5 + C. x( + x) dx. Resp.: + x + C. sen t + cos t cos t t + sec t dt. Resp.: t + sec t + C..- (x 5x + 3)dx. Resp.: x 3 /3 5x / + 3x + C. x dx. Resp.: ln + x x + C. x 4 dx. Resp.: 4 ln x x + + C y dy. Resp.: 40 ln 5 + 4y 5 4y + C. 6.- (4x 3 + 3x + x + 5)dx. Resp.: x 4 + x 3 + x + 5x + C. 7.- (3 x x 4 )dx. Resp.: 3x x x 5 /5 + C. 34

76 x Resp.: x / + 5x + 4/x + C. 9.- (x ) dx. Resp.: x 5 /5 + x x 3 /3 + C. 4 x dx. Resp.: arc sen(x/) + C. 4 (x + ) dx. x 3 + 5x dx Resp.: arc sen x + x + 4x x dx. + C. Resp.: 4x x + 4 arc sen x x + 3 9x x + 8 dx. + C. Resp.: 9 ln(9x x + 8) + 3 3x arc tg + C cos 3 xdx. Resp.: sen x (/3) sen 3 x + C. 5.- sen 3 x cos 5 xdx. Resp.: (/8) cos 8 x (/6) cos 6 x + C. 6.- tg x sec 3 xdx. Resp.: (/4) sec 3 x tg x (/8) sec x tg x (/8) ln sec x + tg x + C. 7.- cotg 3x cosec 4 3xdx. Resp.: (/6) cotg 3x (/) cotg 4 3x + C. 34

77 8.- sen λxdx. Resp.: (x/) (/4λ) sen λx + C. 9.- cos 3xdx. Resp.: x/ + (/) sen 6x + C cos 3 (x/3)dx. Resp.: 3 sen(x/3) sen 3 (x/3) + C. 3.- sen 3x sen xdx. Resp.: (/) sen x (/0) sen 5x + C. 3.- sen 3x cos 5xdx. Resp.: (/4) cos x (/6) cos 8x + C cos 4x cos xdx. Resp.: (/4) sen x + (/) sen 6x + C x dx Resp.: (/)x 5 x + (5/) arc sen(x/5) + C. x 9 + 4x dx. Resp.: 3 ln 9 + 4x 3 x + C x ln xdx. Resp.: (/3)x 3 ln x (/9)x 3 + C x tg xdx. Resp.: x tg x + ln cos x x / + C x arc tg xdx. Resp.: (/3)x 3 arc tg x x /6 + (/6) ln( + x ) + C. 343

78 x dx. Resp.: ln x x + + C. x 3 4x dx. Resp.: 4 ln 4x 3 44 ln x x + + C. 4.- Sea y = f(x) una función cuya derivada es f (x) = (x ). Calcular f(4) si f() =. Resp.: f(x) = /(x ) + C; f(4) = / Definir y representar gráficamente una función y = f(x) que verifique f (x) =, f () =, f(3) = 5. Resp.: f(x) = x Encontrar la velocidad y la posición de una partícula en cualquier instante t si ésta se mueve en línea recta con una aceleración dada por a(t) = 3t t si además la velocidad y la posición en el instante t = sg. son v = 7/6 m/sg. y s = m. Resp.: v(t) = 3t / t 3 /3 m/sg.; s(t) = t 3 / t 4 / + 7/ m Responder a las mismas preguntas del ejercicio anterior si a(t) = 8 sen 3t; v = 6 y s = 4 cuando t = 0. Resp.: v(t) = 6 cos 3t; s(t) = 4 sen 3t la ecuación y 4 x dy = 3x sabiendo que y(0) =. dx Resp.: y = 6(4 x ) / Determinar la curva cuya pendiente en cada punto (x, f(x)) es x + x y que pase por el punto (0, 3). Resp.: f(x) = ( + x ) 3/

79 47.- Hallar la ecuación de la curva que pasa por el punto (4, ) y cuya pendiente en cada punto es x/y. Resp.: x y = Sea y = f(x) una función cuya derivada está dibujada a continuación. Si f(x) es continua en y f( ) = 0, definir f y representarla. Resp.: f(x) = { x + x si 3 x, x si < x. 345