Tema 1.- Cónicas y Cuádricas.

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1 Ingeniería Química. Matemáticas I Departamento de Matemática Aplicada II. Escuela Superior de Ingenieros. Universidad de Sevilla. Tema 1.- Cónicas y Cuádricas Las cónicas. Ecuaciones reducidas. Definición métrica y sus elementos notables. Las secciones cónicas. Ecuación reducida de una cónica no girada Las cuádricas. Ecuaciones reducidas Ejercicios. Ecuación reducida de una cuádrica no girada. Los elipsoides. Los hiperboloides y el cono. Los paraboloides. Los cilindros y las cuádricas degeneradas. Enunciados. Soluciones Las cónicas. Ecuaciones reducidas. En primer lugar vamos a estudiar los aspectos básicos de las cónicas no degeneradas (parábola, elipse e hipérbola), considerando la definición de éstas como el lugar geométrico de todos los puntos del plano que verifican una determinada propiedad Definición métrica y sus elementos notables. Vamos a definir (cada una de) las cónicas como el conjunto de puntos del plano que verifican una determinada propiedad métrica (referida a distancias). Adoptando un sistema de referencia adecuado, obtendremos la ecuación implícita correspondiente y las coordenadas y ecuaciones de los elementos distintivos (centro, ejes,...) que tenga en cada caso. La parábola. Aunque sea una curva plana conocida por el alumno como la gráfica de una función polinómica de segundo grado y = f(x) = ax +bx+c y como la trayectoria descrita por un proyectil, adoptaremos ahora otro punto de vista. Parábola. Dada una recta L y un punto F (que no esté en L), se denomina parábola de foco F y directriz L al lugar geométrico de los puntos P (del plano determinado por la directriz y el foco) que equidistan de la directriz L y el foco F, d(p,l) = d(p,f). 1

2 Tema 1.- Cónicas y Cuádricas. Ejercicio. Qué sucede si el punto F está en la recta L? Ecuación de la parábola. Vamos a considerar un sistema de referencia adecuado, de forma que la ecuación que caracterice a los puntos de la parábola sea lo más sencilla posible. Como eje O, de la variable independiente, vamos a tomar la recta que pasa por el foco F y es perpendicular a la directriz L. Como origen del sistema de referencia tomamos el punto O de dicha recta que equidista del foco y de la directriz. Por último, como eje O de nuestro sistema de referencia tomamos la recta que pasa por O y es paralela a la directriz. En este sistema de ejes perpendiculares tendremos que las coordenadas del foco serán de la forma F = ( p,0) y la ecuación de la directriz será L x = p. U n punto P = (x,y) pertenecerá a la parábola definida si y sólo si d(p,l) = x+ p = d(p,f) = (x p ) +y. Deaquí esfácil obtener que lospuntos (x,y) que están en la parábola están caracterizados por la ecuación y = px p = d(f,l). La recta y = 0 (el eje O) es eje de simetría de la parábola anterior y el vértice (el punto de corte del eje de simetría con la parábola) es el origen de coordenadas O = (x = 0,y = 0). Vértice O directriz x = p P = (x,y) Foco Eje de simetría F = ( p,0) y = px El eje de simetría de una parábola también se suele llamar eje focal. La recta que pasa por el vértice y es perpendicular al eje de simetría se suele llamar eje secundario de la parábola. Resumiendo Elementos notables de la parábola. -Eje de la parábola. Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco. En este caso corresponde al eje O. -Vértice Es el punto de intersección de la parábola con dicho eje. En este caso es el origen de coordenadas. Variantes en la ecuación de la parábola. Una ecuación del tipo x = qy define una parábola con eje de simetría el eje O y vértice en el origen de coordenadas. Matemáticas I. Ingeniería Química

3 1.1- Las cónicas. Ecuaciones reducidas. 3 Si cuando hemos obtenido la ecuación de la parábola, y = px, hubieramos adoptado un sistema de ejes paralelo al que hemos adoptado (o lo que es lo mismo si hacemos una traslación del sistema de coordenadas), en el cual el eje O sea paralelo al eje de simetría de la parábola(dicho eje de simetría tendríacomoecuación y = β)yelvértice tuviera como coordenadas (α, β), la ecuación de la parábola en dicho sistema de coordenadas sería de la forma Eje y = β Vértice (α, β) (y β) = p(x α) (y β) = p(x α). O x = α Ejercicio. Determina el vértice, el eje de simetría, el foco y la directriz de las parábolas (y β) = p(x α), (x α) = q(y β). Lasecuaciones anteriorescubrentodosloscasosenlosqueelejedelaparábolaesparalelo a uno de los ejes coordenados. La elipse. Elipse. Dados dos puntos F 1 y F (iguales o distintos) y una constante a (mayor que la distancia entre los focos), se llama elipse de focos F 1 y F y constante a al lugar geométrico de los puntos, P, cuya suma de distancias a F 1 y F es a, d(p,f 1 )+d(p,f ) = a. Ejercicio. Qué sucede si a es igual a la distancia entre los focos? y si es menor? Qué sucede si F 1 = F? Ecuación de la elipse. Introducimos ahora un sistema de referencia respecto del cual la elipse estará caracterizada por una ecuación lo más simple posible. Tomamos como eje O la recta que unelos focosf 1 yf y como eje O la recta perpendicular enel punto medio de los focos, punto que será por tanto el origen de coordenadas del sistema de referencia. Respecto de este sistema de referencia los focos vendrán dados mediante F 1 = (c,0) y F = ( c,0). Un punto P = (x,y) estará en la elipse si y sólo si d(p,f 1 )+d(p,f ) = (x c) +y + (x+c) +y = a. Sin más que hacer operaciones llegamos a y, por tanto, b < a. x a + y b = 1, siendo b = a c, Matemáticas I

4 4 Tema 1.- Cónicas y Cuádricas. P = (x,y) (0,b) a ( a, 0) F = ( c,0) b O c (a,0) F 1 = (c,0) (0, b) x a + y b = 1 EsfácilcomprobarqueelejeO (larecta queunelosfocos)yel ejeo (laperpendicular en el punto medio de los focos) son ejes de simetría de la elipse y su punto de corte (el origen de coordenadas) es centro de simetría. Notemos que si un punto (x,y) verifica la ecuación de la elipse, los puntos (±x,±y) : (x,y),(x, y),( x,y),( x, y) también verifican dicha ecuación. El eje de simetría que pasa por los focos suele denominarse eje focal. Elementos notables de la elipse. -Centro de la elipse. Es el punto medio de los focos que en este caso es el origen de coordenadas. -Ejes de la elipse. Son dos, por un lado la recta que une los focos (eje focal) y, por otro, la recta perpendicular a ésta que pasa por el centro. En este caso corresponde al eje O y al eje O respectivamente. -Vértices. Son los puntos en los que los ejes de simetría cortan a la elipse y que en este caso corresponden a(±a, 0) y (0, ±b). -Semiejes de la elipse. Son las distancias del centro de la elipse a los vértices, es decir, a > 0 y b > 0. Notemos que dichos semiejes son la mayor y la menor distancia de un punto de la elipse a su centro. Cuando hay un único foco, F 1 = F, la definición de elipse corresponde a la circunferencia de centro F 1 = F y radio r = a > 0. En este caso tenemos que c = d(f 1,F ) = 0,b = a y la ecuación puede escribirse como x +y = a. Ahora cualquier recta que pase por el centro es eje de simetría de la circunferencia y el único foco coincide con el centro. Variantes en la ecuación de la elipse. Si tenemos un sistema de referencia respecto del cual el centro de simetría de la elipse tiene por coordenadas (α,β) y sus ejes de simetría son paralelos a los ejes coordenados (con lo cual serán las rectas x = α e y = β) la ecuación de la elipse será de la forma (x α) (y β) + = 1 a b Si a = b tendremos una circunferencia y dependiendo de si a > b ó a < b, los focos de la elipse y el semieje mayor de la elipse estará sobre uno de los ejes de simetría o sobre el otro. Matemáticas I. Ingeniería Química

5 1.1- Las cónicas. Ecuaciones reducidas. 5 y = β (α,β) y = β (α,β) a > b a < b O x = α O x = α La hipérbola. Al igual que la parábola, el alumno conoce la hipérbola como representación gráfica de una función explícita y = f(x) = k,k 0. Todas estas hipérbolas son equiláteras y tienen x como asíntotas a los ejes coordenados. Veamos la hipérbola desde otro punto de vista. Hipérbola. Dados dos puntos distintos, F 1 y F, y una constante a > 0 (menor que la distancia entre los focos), se llama hipérbola de focos F 1 y F y constante a al lugar geométrico de los puntos P cuya diferencia de distancias a F 1 y F es a, d(p,f 1 ) d(p,f ) = a. Ejercicio. Qué sucede si a es mayor que la distancia entre los focos? y si es igual? y si a = 0? Ecuación de la Hipérbola. Tomamos como sistema de referencia el que tiene como eje O la recta que une los focos y como eje O la perpendicular en el punto medio de los focos. En este sistema de referencia las coordenadas de los focos serán de la forma F 1 = (c,0), F = ( c,0). Un punto P = (x,y) estará en la hipérbola si y sólo si d(p,f 1 ) d(p,f ) = (x c) +y (x+c) +y = a. Sin más que hacer operaciones se puede obtener que la anterior ecuación es equivalente a la ecuación x a y b = 1, b = c a. Una hipérbola está formada por dos ramas (dos curvas sin puntos en común) que vienen dadas, respectivamente, por los puntos P que verifican d(p,f 1 ) d(p,f ) = a y por los que verifican d(p,f 1 ) d(p,f ) = a. Matemáticas I F F 1

6 6 Tema 1.- Cónicas y Cuádricas. EsfácilcomprobarqueelejeO (larecta queunelosfocos)yel ejeo (laperpendicular en el punto medio de los focos) son ejes de simetría de la hipérbola y su punto de corte (el origen de coordenadas) es centro de simetría. Notemos que si un punto (x,y) verifica la ecuación de la hipérbola, los puntos (±x,±y) : (x,y),(x, y),( x,y),( x, y) también verifican dicha ecuación. El eje de simetría que pasa por los focos suele denominarse eje focal. Elementos notables de la hipérbola. -Centro de la hipérbola. Es el punto medio de los focos que en este caso es el origen de coordenadas. -Ejes de la hipérbola. Son dos, por un lado la recta que une los focos (eje focal) y, por otro, la recta perpendicular a ésta que pasa por el centro. En este caso corresponden al eje O y al eje O respectivamente. -Vértices. Son los puntos en los que los ejes de simetría cortan a la hipérbola. El eje focal sí corta a la hipérbola mientras que el otro eje no. En este caso corresponden a(±a,0). -Semiejes de la hipérbola. Son dos, por un lado la distancia del centro de la elipse a los vértices, es decir, a > 0 y, por otro, el valor b > 0 tal que c = a +b. -Asíntotas. Son las rectas que pasan por el centro de la hipérbola con pendientes m = ± b a. Se dice que la hipérbola es equilátera si sus dos semiejes son iguales a = b, o lo que es equivalente, si sus asíntotas son perpendiculares entre sí. Asíntotas y = ± b a x Vértices (±a, 0) F b c a F 1 x a y b = 1 Centro Ejes de simetría Variantes en la ecuación de la hipérbola. Si cuando hemos obtenido la ecuación de la hipérbola, x a y = 1, hubieramos adoptado un sistema de ejes paralelo al que hemos b adoptado (o lo que es lo mismo si hacemos una traslación del sistema de coordenadas), en el cual el eje O fuera paralelo a la recta que une los focos (y el eje O fuera la perpendicular enel punto medio delosfocos), losejes de simetría tendríanpor ecuaciones respectivas x = α e y = β y la ecuación de la hipérbola sería Matemáticas I. Ingeniería Química

7 1.1- Las cónicas. Ecuaciones reducidas. 7 (x α) a (y β) b = 1. y = β Centro (α, β) x = α En el caso de que adoptaramos un sistema de ejes en el que los focos estuvieran sobre una recta paralela al eje O, tendríamos (x α) a (y β) b = 1 y = β Centro (α, β) x = α Las secciones cónicas. Dejando al margen coordenadas, ecuaciones,...el nombre completo de las cónicas es el de secciones cónicas pues son las curvas que se obtienen al seccionar un cono mediante un plano. El tipo de curva que se obtiene al cortar un cono circular recto (más adelante obtendremos su ecuación) con un plano depende de si el plano pasa o no por el vértice del cono y de la relación entre el ángulo, 0 α π, de inclinación del plano respecto al eje del cono y el ángulo, 0 < β < π, de inclinación de la recta generatriz del cono respecto del eje. Tenemos los siguientes casos: Un punto, concretamente el vértice del cono, si cortamos con un plano que pasa por el vértice y β < α π. Dos rectas secantes, si cortamos con un plano que pasa por el vértice y 0 α < β. Una recta doble, si cortamos con un plano que pasa por el vértice y α = β. Una elipse, si cortamos con un plano que no pase por el vértice del cono y β < α π. En particular, si cortamos con un plano perpendicular al eje del cono (α = π ), se obtiene una circunferencia. Una parábola, si cortamos con un plano que no pase por el vértice y sea paralelo a una generatriz, α = β. Una hipérbola, si cortamos con un plano que no pase por el vértice y 0 α < β. Matemáticas I

8 8 Tema 1.- Cónicas y Cuádricas. Un punto Una recta doble Dos rectas que se cortan Elipse Circunferencia Parábola Hipérbola Ecuación reducida de una cónica no girada. En general, una cónica es una curva formada por todos los puntos del plano cuyas coordenadas (x, y) verifican una ecuación de segundo grado a 11 x +a y +a 1 xy +a 1 x+a y +a 0 = 0. Notemos que una ecuación de este tipo permite describir tanto a las cónicas propiamente dichas (elipses, parábolas e hipérbolas), como a las cónicas degeneradas e imaginarias. Los siguientes ejemplos ilustran este tipo de cónicas: una pareja de rectas (que se corten en punto, x y = 0, que sean paralelas x 4 = 0 o que sean coincidentes, x = 0), o un único punto, x +y = 0, o nada, x +y +1 = 0. Reducción de la ecuación de una cónica no girada. En general, cualquier ecuación de segundo grado, en dos variables (x,y), sin término en xy (a 1 = 0) puede reducirse a uno de los siguientes tipos de ecuación a +b +c = 0, +b = 0, +c = 0 sin más que completar cuadrados. Estas ecuaciones representan a cónicas cuyos ejes son paralelos a los ejes coordenados(las cónicas no están giradas respecto al sistema de referencia Matemáticas I. Ingeniería Química

9 1..-Las cuádricas. 9 considerado). A este tipo de ecuación se le denomina ecuación reducida de la cónica o ecuación de la cónica referida a sus ejes. Cuando el coeficiente de xy es distinto de cero, la ecuación también se puede reducir a uno de los tipos de ecuación anteriores, pero para eso será necesario hacer un giro y esta cuestión tendrá su lugar natural más adelante Las cuádricas. Ecuaciones reducidas La ecuación reducida de una cuádrica no girada. Cuádrica. En general, una cuádrica es la superficie formada por todos los puntos del espacio cuyas coordenadas (x, y, z) verifican una ecuación de segundo grado a 11 x +a y +a 33 z +a 1 xy +a 13 xz +a 3 yz +a 1 x+a y +a 3 z +a 0 = 0. Notemos que una ecuación de este tipo puede describir, además de las superficies que veremos más adelante, las llamadas cuádricas degeneradas: una pareja de planos (que se corten en una recta, que sean paralelos o que sean coincidentes), x y = 0, x 4 = 0, x = 0 o una recta, x +y = 0, o un único punto, x +y +z = 0, o nada x +y +z +1 = 0. Cuando en la ecuación de la cuádrica no aparecen términos cruzados, la ecuación puede reducirse, sin más que completar cuadrados y términos lineales, a una ecuación en la que a lo sumo aparece un término en cada variable (y, posiblemente, un término independiente), es decir a uno de los siguientes tipos de ecuación: ax +by +cz +d = 0 ax +by +cz = 0 ax +by +cz = 0 ax +by = 0 ax +c = 0. Dependiendo de los signos de los coeficientes involucrados tendremos superficies con diferentes elementos distintivos (planos, ejes y centros de simetría, vértices, cortes con planos paralelos a los planos coordenados,...). Aunque todavía no estemos en condiciones de abordar el estudio de la ecuación general, la ecuación de cualquier cuádrica se puede reducir a uno de los tipos anteriores que se denomina ecuación reducida de la cuádrica correspondiente. A continuación estudiamos las diferentes cuádricas y sus elementos notables Los elipsoides. Los elipsoides se obtienen cuando, una vez completados cuadrados, nos quedan tres términos de segundo grado con coeficientes del mismo signo, es decir la ecuación típica es: a + b + c = 1, 0, 1 siendo a,b,c 0. Matemáticas I

10 10 Tema 1.- Cónicas y Cuádricas. El elipsoide (real). Los elipsoides propiamente dichos se tienen en el caso a + b + c = 1 que es una superficie que es simétrica respecto a cada uno de los planos coordenados. Si un punto (,, ) pertenece a dicha superficie (sus coordenadas verifican la ecuación), los puntos (,,),(,,),(,, ) también pertenecen. Por tanto, dicha superficie también es simétrica respecto a los ejes coordenados(rectas de corte de los planos de simetría) y respecto del origen de coordenadas (punto de corte de los tres planos de simetría). Por otra parte, cuando cortamos dicha superficie con un plano paralelo a alguno de los planos coordenados, por ejemplo = k, obtenemos una elipse para ciertos valores de k, o un punto o nada. La gráfica del elipsoide es la que se ve en la figura adjunta. a + b + c = 1 Elementos característicos de un elipsoide son: Centro de simetría, ( = 0, = 0, = 0). a c b Planos y Ejes de simetría, los coordenados. Vértices, puntos de corte del elipsoide con sus ejes de simetría con, es decir, los puntos (±a,0,0),(0,±b,0),(0,0,±c). Elipsoide Los semiejes a,b,c, distancias del centro a los vértices. Cuando los tres semiejes del elipsoide son iguales, a = b = c, tenemos una esfera + + = a de centro el origen de coordenadas ( = 0, = 0, = 0) y radio r = a. Cuando sólo dos de los semiejes sean iguales (y el otro distinto) tendremos un elipsoide de revolución (ver el epígrafe 3). El caso degenerado y el caso imaginario. Los otros dos casos que pueden aparecer cuando los tres coeficientes de los términos de segundo grado son (no nulos y) del mismo signo corresponden a situaciones geométricas que no se deben llamar elipsoides propiamente dichos. La ecuación a + b + = 0 tiene como única solución real ( = 0, = 0, = 0). c Es decir, la cuádrica se reduce a un único punto. La ecuación + = 1 no tiene ninguna solución real, es decir, no representa b c a ninguna superficie del espacio real tridimensional. A veces se denomina elipsoide imaginario. a + Matemáticas I. Ingeniería Química

11 1..-Las cuádricas Los hiperboloides y el cono. Los hiperboloides y el cono se obtienen cuando, una vez completados cuadrados, nos quedan tres términos de segundo grado con dos coeficientes del mismo signo (y el otro distinto), es decir la ecuación típica es: a + b c = 1, 0, 1 siendo a,b,c 0. El hiperboloide hiperbólico (o de una hoja). Una ecuación del tipo a + b c = 1 corresponde a una superficie denominada hiperboloide hiperbólico o de una hoja. Notemos que al cortar esta superficie con planos = k, paralelos al plano O, se obtienen elipses, al cortar conplanos = k ó = k, paralelos a losotrosdos planos coordenados, se obtienen hipérbolas. Elementos característicos de un hiperboloide de una hoja son su centro y su eje. En el caso considerado, a + b c = 1, el centro es el origen de coordenadas { ( = = 0 0, = 0, = 0) y el eje es O = 0 que es un eje de simetría. Hiperboloide hiperbólico + = 1 a b c { + = 1 a b = 0 Al igual que el elipsoide, el hiperboloide de una hoja es simétrico respecto a los planos y ejes coordenados. Si un punto (,,) verifica la ecuación, los puntos (±,±,±) también verifican dicha ecuación. Los cortes con los planos coordenados son con = 0, la elipse (llamada elipse de garganta) a + b = 1. con = 0, la hipérbola a c = 1. con = 0, la hipérbola b c = 1. El hiperboloide de una hoja tiene una particularidad que resulta sorprendente (desde un punto de vista intuitivo), esta particularidad es el ser una superficie reglada. Se dice que una superficie es reglada si por cada uno de sus puntos pasa una recta totalmente contenida Matemáticas I

12 1 Tema 1.- Cónicas y Cuádricas. en la superficie (es decir, puede considerarse formada por rectas). Por cada punto de un hiperboloide de una hoja pasan dos rectas totalmente contenidas en la superficie. El hiperboloide elíptico (o de dos hojas). Una ecuación del tipo a + b = 1 corresponde a una superficie denominada c hiperboloide elíptico o de dos hojas. Notemos que al cortar esta superficie con planos = k, paralelos al plano O, se obtienen elipses (o un punto o nada) a + b = k c 1. = k, paralelos al plano O, se obtienen hipérbolas b k = 1 c a. = k, paralelos al plano O, se obtienen hipérbolas a k = 1 c b. Elementos característicos de un hiperboloide de una hoja son su centro y su eje. En el caso considerado, a + b c = 1. el centro es el origen de coordenadas ( = 0, = 0, = 0) + = 1 a b c { = 0 y el eje es el eje O = 0. Obviamente, teniendo en cuenta la ecuación considerada, el hiperboloide de dos hojas es simétrico respecto a los planos y ejes coordenados. El cono. Hiperboloide elíptico Una ecuación del tipo a + b = 0 corresponde a una superficie denominada cono. c Se puede considerar como un caso límite de los dos tipos de hiperboloides que acabamos de ver. Sin más que despejar, podemos escribir la ecuación anterior de la forma = A + B, A,B 0. Notemos que al cortar esta superficie con planos = k paralelos al plano O se obtienen elipses (salvo enel caso k = 0 que obtenemos un único punto) y alcortar con planosparalelos a los otros dos planos coordenados se obtienen hipérbolas. Además, al cortar con planos que pasan por el origen de coordenadas pueden obtenerse: una pareja de rectas que se cortan, Matemáticas I. Ingeniería Química

13 1..-Las cuádricas. 13 una recta doble o un único punto. Elementos característicos de un cono son su vértice, en los casos considerados es el origen de coordenadas (0,0,0), y su eje, que en los casos considerados es el eje O = 0 =. Cuáles son el eje y el vértice del cono de ecuación (x 3) = (y +1) +z? O Cono = A + B Notemos que un cono es una superficie que puede ser descrita fácilmente mediante rectas. Si tenemos una elipse en el espacio y un punto V que no está en el plano de la elipse, la superficie formada por (todos los puntos de) las rectas que pasan por V y por un punto de la elipse es un cono con vértice V Los paraboloides. Los paraboloides se obtienen cuando en la ecuación reducida aparecen dos términos de segundo grado y un término de primer grado. Es decir, dos de las variables aparecen elevadas al cuadrado y la otra aparece con exponente uno. Para fijar ideas, supongamos que la variable en la que no aparece ningún término de segundo grado es. En este caso, la ecuación se podrá expresar de una de las dos formas siguientes: ( = ± a + ) b ( ó = ± a ) b con a,b 0. El paraboloide elíptico. Una ecuación del tipo ( = ± a + ), a,b 0 b corresponde a una superficie denominada paraboloide elíptico. Notemos que al cortar con planos paralelos a los planos coordenados, por ejemplo la superficie correspondiente al signo + en el segundo miembro, obtenemos: con = k, las parábolas dadas por k a = b (en el plano = k). con = k, las parábolas dadas por k b = a (en el plano = k). con = k, las elipses (o un punto o nada) dadas por a + b = k (en el plano = k). Matemáticas I

14 14 Tema 1.- Cónicas y Cuádricas. Elementos caraterísticos de un paraboloide elíptico son su vértice y su eje de simetría, en el caso considerado, = a + b, el vértice es el origen de coordenadas ( = 0, = 0, = 0) { x = 0 y el eje es el eje O. Por otra parte, la y = 0 superficie es simétrica respecto a dos de los planos coordenados, O = 0 y O = 0. O = a + b Paraboloide elíptico Paraboloide elíptico ( ) Si hubieramos considerado la ecuación = + a b ( = a + ) b O tendríamos una superficie de la misma forma pero abierta hacia los valores negativos de. El paraboloide hiperbólico. Una ecuación del tipo = a + b, a,b 0 corresponde a una superficie, denominada paraboloide hiperbólico, que se asemeja a una silla de montar y a veces recibe ese nombre. Al cortar con planos paralelos a los planos coordenados obtenemos: con = k, las parábolas dadas por + k a = (en el plano = k). b ) con = k, las parábolas dadas por ( b = + k (en el plano = k). b con = k, para k 0 las hipérbolas dadas por a + = k (en el plano = k) b y para k = 0 las asíntotas comunes de (la proyección sobre el plano = 0 de) todas las hipérbolas anteriores. Matemáticas I. Ingeniería Química

15 1..-Las cuádricas. 15 O = a + b Paraboloide hiperbólico El paraboloide hiperbólico considerado es simétrico respecto a dos de los planos coordenados, respecto al plano O = 0 y respecto al plano O = 0. Por tanto, es simétrico respecto al eje coordenado intersección { de los planos anteriores, el eje O puesto que si un pun- = 0 = 0 to de coordenadas (,, ) verifica la ecuación, el punto de coordenadas (,,) también la verfica. Notemos además que el paraboloide hiperbólico también es una superficie reglada. De hecho, por cada uno de sus puntos pasan dos rectas totalmente contenidas en él. Se puede comprobar que si tenemos un punto A = (x 0,y 0,z 0 ) del paraboloide hiperbólico de ecuación z = x a + y b las rectas que pasan por dicho punto y tienen como vectores dirección respectivos u = (a b,ab,(ay 0 bx 0 )) y v = ( a b,ab,(ay 0 +bx 0 )) están totalmente contenidas en el paraboloide hiperbólico Los cilindros y las cuádricas degeneradas. Las cuádricas de tipo cilíndrico corresponden a los casos restantes, es decir, aquellos en los que en la ecuación reducida no aparece alguna de las variables. Las posibles ecuaciones típicas son: Tipo elíptico: dos cuadrados del mismo signo y la otra variable no aparece, Cilindro elíptico: a + b = 1. a + b = Recta (doble): a + b = 0 = = 0. Cilindro elíptico imaginario (Nada): = 1. No hay ningún punto de R 3 b cuyas coordenadas verifiquen la ecuación anterior. a + Tipo hiperbólico: dos cuadrados de distinto signo y la otra variable no aparece, a { ±1 b = 0 Cilindro hiperbólico: a b = ±1. Matemáticas I

16 16 Tema 1.- Cónicas y Cuádricas. Par de planos secantes: a b = 0 a b = 0, ó a + b = 0. Tipo parabólico: Un único cuadrado = a +b +c Cilindro parabólico: a ó b distintos de cero. Por ejemplo = p, p 0. Par de planos paralelos: = c > 0 = ± c. Plano doble: = 0. Nada: = c < 0. a + b = 1 Cilindro Elíptico = p Cilindro parabólico a b = 1 Cilindro hiperbólico De forma genérica, todos los casos en los que la ecuación de segundo grado representa planos (secantes, paralelos o coincidendes), rectas, puntos o nada se suelen denominar casos degenerados. Obviamente, todos los cilindros (y los casos degenerados en los que hay superficie) son superficies regladas. Nota. Páginas web sobre cónicas, cuádricas y otras curvas y superficies: En alguna de ellas, como por ejemplo pueden verse en movimiento las cuádricas y otras superficies (poliedros, superficies de revolución,...) y pueden modificarse los parámetros en el applet asociado (subprograma que genera la superficie) para comprobar cómo afectan a la representación gráfica los cambios en los coeficientes de las variables. Matemáticas I. Ingeniería Química

17 1..-Las cuádricas. 17 A modo de resumén en lo que a cuádricas se refiere: Completando cuadrados, con cambios de variables de la forma = x α, = y β, = z γ, podemos reducir una ecuación de segundo grado en tres variables, (x,y,z), en la que no aparezcan productos cruzados (xy, xz, yz), a una ecuación de los tipos considerados al inicio, es decir a una ecuación en la que a lo sumo hay un sumando en cada una de las variables (,,). Las cuádricas regladas son: el cono, el hiperboloide de una hoja, el paraboloide hiperbólico y los cilindros además de los pares de planos y la recta (doble). Una ecuación de segundo grado en tres variables puede representar: Pares de planos,... Nada Punto Recta doble Par de planos x +1 = 0 x +y +z = 0 x +y = 0 Cilindros Secantes, (x 3)(y ) = 0. Paralelos, (x 3)(x 4) = 0. Coincidentes, (x 3) = 0. x a + y b = 1 Cilindro elíptico y = pz Cilindro parabólico y a x b = 1 Cilindro hiperbólico Matemáticas I

18 18 Tema 1.- Cónicas y Cuádricas. x a + y b + z = 1. Elipsoide c a c b Secciones con planos paralelos a los coordenados: Elipses. Simetría respecto a los planos y ejes coordenados. Centro (de simetría): Origen de coordenadas. Es de revolución si dos de los coeficientes a,b y c son iguales. Es una esfera si a = b = c. x a + y b z c = 1 Hiperboloide hiperbólico (o de una hoja) Eje del hiperboloide: variable con coeficiente negativo. Secciones con planos paralelos al plano : elipses Secciones con planos paralelos al plano ó : hipérbolas Simetría respecto a los ejes y los planos coordenados. Centro: Origen de coordenadas. Es de revolución si a = b. x a y b z c = 1 Hiperboloide elíptico (o de dos hojas) Eje del hiperboloide: variable con coeficiente positivo. No hay corte con el plano coordenado perpendicular al eje. Secciones con planos paralelos al plano ó : hipérbolas. Secciones con planos paralelos al : elipses (o un punto o nada). Simetría respecto a los ejes y los planos coordenados. Centro: Origen de coordenadas. z = x a + y b Cono Eje del cono: O. Vértice: O. Secciones con planos paralelos al plano : elipses (o un punto). Secciones con planos paralelos al plano ó : hipérbolas. Simetría: respecto a los planos y ejes coordenados. Centro (de simetría): Origen de coordenadas. Es de revolución si a = b. O z = x a + y b Paraboloide elíptico Eje del paraboloide: O variable que aparece con grado uno. Vértice: Origen de coordenadas. Secciones con planos paralelos al : elipses (o un punto o nada). Secciones con planos paralelos al plano ó : parábolas. Simetría respecto a los planos e y al eje O. z = x a + y b Paraboloide hiperbólico Eje de simetría: O. Simetría respecto a los planos e. Secciones con planos paralelos al : hipérbolas (o dos rectas). Secciones con planos paralelos al plano ó : parábolas. Matemáticas I. Ingeniería Química

19 1.3.- Ejercicios Ejercicios Enunciados. Ejercicio 1. (1) Calcula la ecuación de la parábola de eje horizontal que tiene por foco F = (,3) y pasa por el punto ( 1,3). () Calcula la ecuación de la elipse que pasa por el punto P = (4, 15 ) y tiene por focos los 4 puntos F 1 = (4,) y F = (,). Determina sus elementos notables y dibújala. (3) Calcula la ecuación de la hipérbola que tiene por vértices los puntos (1,) y (1,6) y pasa por el punto (3,8). Ejercicio. Indica la respuesta correcta: (1) La ecuación y 6x 4y 0 = 0 corresponde a: Una parábola cuyo vértice es V = ( 4,). Una parábola cuyo eje es la recta de ecuación y = 4. Dos rectas que se cortan en un punto. () La ecuación 5x +y = 1 corresponde a: Una elipse con focos en el eje de abscisas. Una elipse con focos en el eje de ordenadas. Una hipérbola. (3) La cuádrica x y +z +4y +6z +13 = 0 verifica: Tiene por centro C = (0,, 3). Contiene a la recta x 1 = y, z = 4. No tiene centro. Ejercicio 3. Completa cuadrados en las siguientes ecuaciones y determina el tipo de cónica que es, sus elementos notables y su representación gráfica: (1) 3x +3y +x+5y +1 = 0. () 3x 3y +x+5y +1 = 0. (3) 3y +x+5y +1 = 0. Ejercicio 4. Completa cuadrados en las siguientes ecuaciones y determina el tipo de cónica que es y sus elementos notables: (1) x +y 4x 45y +4 = 0. () x +y x 6y +10 = 0. Matemáticas I

20 0 Tema 1.- Cónicas y Cuádricas. (3) y 4y = 0. Ejercicio 5. Determina, según los valores de α R, el tipo de cónica que corresponde a cada una de las ecuaciones siguientes: (1) x +(α 1)y x+(α 1)y 3 = 0. () x +αy +x+y +α 1 = 0. (3) αx +(α α)y x 4y + = 0. Ejercicio 6. Determina, si existen, los valores de α R para los que la siguiente ecuación corresponde a una circunferencia o a una hipérbola equilátera x +αy 6x+3y +α = 0. Ejercicio 7. Sea L una recta del plano y F un punto que no está en la recta. Tomando como eje O la recta L y como eje O la recta perpendicular a L que pasa por F, determina la ecuación del lugar geométrico de los puntos P para los que el cociente entre su distancia a F y su distancia a L es constante e > 0, Comprueba que: d (P,F) d (P,L) = e. (a) Si e = 1 dicho lugar geométrico es una parábola. (b) Si 0 < e < 1 dicho lugar geométrico es una elipse. (c) Si e > 1 dicho lugar geométrico es una hipérbola. En cualquiera de los casos se trata de una cónica y se dice que e es su excentricidad y que L y F son su directriz y su foco respectivamente. En el caso de la parábola, la directriz y el foco son únicos. Para la elipse y la hipérbola hay dos parejas foco-directriz. Observación. Notemos que con la definición anterior nunca se obtiene una circunferencia, aunque ésta pueda obtenerse como un caso límite. Siendo p = d(f,l) la distancia del foco a la directriz, tomando q = pe constante, cuando e 0 + (y p = q e + ) las elipses correpondientes tienden a la circunferencia con centro el foco y radio q. Ejercicio 8. Completa cuadrados en las siguientes ecuaciones y determina el tipo de cuádrica que es, sus elementos notables y su representación gráfica: (1) 16x +9y +4z 3x 36y +36 = 0. () 4x 4y z 16x z +15 = 0. (3) x z x+4z +1 = 0. (4) x y x+8y z 5 = 0. Matemáticas I. Ingeniería Química

21 1.3.- Ejercicios. 1 Ejercicio 9. Completa cuadrados en las siguientes ecuaciones y determina el tipo de cuádrica que es, sus elementos notables y su representación gráfica: (1) x +3y +z +x+5y z +1 = 0. () 3x +y z +x+y +z +1 = 0. (3) x +y +x+4y +3z 1 = 0. (4) x +y +x+4y z 1 = 0. (5) x +y +x+4y 1 = 0. (6) x y +x+4y 1 = 0. (7) x +x+4y +3z 1 = 0. (8) x y +x+4y +z 1 = 0. Ejercicio 10. Determinar la ecuación de las cuádricas siguientes: z z (1,3,) (1,3,) (1) y () y x (1,3,0) x (1,3,0) (1,1,0) (,3,0) (1,1,0) (,3,0) Ejercicio 11. Determina, según los valores de α R, el tipo de cuádrica que corresponde a cada una de las ecuaciones siguientes: (1) x +(α 1)y +z +x+5y z +1 = 0. () x +αy +x+y +(α 1)z +1 = 0. (3) αx +(α α)y +α 3 z +x+4y 1 = 0. Ejercicio 1. Determina, según los valores de α R, el tipo de cuádrica que corresponde a cada una de las ecuaciones siguientes: (1) αx +(4 α )y z +1 = 0. () x +αy +z 6x+4z +8 α = 0. (3) x y +z x+4y +6z +α = 0. Matemáticas I

22 Tema 1.- Cónicas y Cuádricas. Ejercicio 13. Considera la elipse de ecuación x + 4y = 4 en el plano O. Determina las ecuaciones de la parábola del plano O que tiene como vértice el punto (0,0,8) y pasa por los vértices del semieje mayor de la elipse dada. Ejercicio 14. (Examen de Prueba Alternativa 01-13) (a) Encuentra la ecuación de la parábola que tiene su foco en el punto F = ( 3,0) y su vértice en el punto V = ( 3,1). (b) Clasifica, según los valores de α, la cuádrica de ecuación αx +y z +4y 6z +α = 0. Ejercicio 15. (Primera Convocatoria 01-13) (a) Completa cuadrados en la siguiente ecuación y determina el tipo de cónica que es, indicando sus elementos notables x +4y +6x+8y +4 = 0. (b) Clasifica, según los valores de α R, la cuádrica de ecuación 4x αy +9z 16x αy 18z = α 5. Ejercicio 16. (Segunda Convocatoria 01-13) (a) Clasifica, según los valores de α R, la cuádrica de ecuación 4x y +αz 4x+8y +αz +36 = 0. (b) Representa gráficamente la cónica intersección de la cuádrica anterior con el plano z = 0 determinando previamente sus elementos notables. Matemáticas I. Ingeniería Química

23 1.3.- Ejercicios Soluciones. Ejercicio 1. (1) La parábola está dada por (y 3) = 4(x+1). () La ecuación-tipo de la elipse es (x 1) 16 + (y ) 7 = 1. (3) la ecuación de la hipérbola es (x 1) 4 3 (y 4) 4 = 1. Ejercicio. (1) La ecuación y 6x 4y 0 = 0 corresponde a: (y ) = 6(x+4). Una parábola cuyo vértice es V = ( 4,). () La ecuación 5x +y = 1 corresponde a: x 1/5 + y 1 = 1. Una elipse con focos en el eje de ordenadas. (3) La cuádrica x y +z +4y +6z +13 = 0 verifica: x 8 (y ) 8 + (z+3) 8 = 1. Tiene por centro C = (0,, 3). Ejercicio 3. (1) Circunferencia de centro C = ( 1/6, 5/6) y radio r = () La ecuación dada es equivalente a ( x+ 1 ( y 6) 6) 5 = 1. Se trata de una hipérbola equilátera. Elementos notables: ( Centro x = 1 6,y = 5 ). 6 7, 18 Los ejes de simetría son paralelos a los ejes coordenados, x = 1 6 e y = 5 6. Además, el eje en el que están los focos es el eje vertical x = 1/6. Vértices: V 1 = ( 1, ) 11,V = ( ) , 1 6. Semi-distancia focal es c =, los focos son F 1 = ( 1, ) 7 6 6, F = ( 1, ) Matemáticas I

24 4 Tema 1.- Cónicas y Cuádricas. Las asíntotas son las rectas ( ) ( x+ 1 6 = y 5 6) x y +1 = 0, ( ) ( ) x+ 1 6 = y 5 6 x+y = x 3y +x+5y+1=0 6 4 V 1 C y 0 4 V x (3) Se trata de una parábola con eje horizontal y vértice V = ( 13 1, 5 ). La ecuación es 6 ( y + 5 ) = 1 ( x 13 ), y +x+5y+1= O y 0.5 F L x Sus elementos notables son: Eje principal (de simetría): y = 5/6. Eje secundario: x = 13/1. Matemáticas I. Ingeniería Química

25 1.3.- Ejercicios. 5 Foco F ( 1, 5 6) y directriz L x = 7 6. Ejercicio 4. (1) La ecuación dada es equivalente a (x ) (y 1) =. Se trata de una elipse. Elementos notables: Centro C = (,1). Los ejes de simetría son paralelos a los ejes coordenados, x = e y = 1. Además, el eje en el que están los focos es el eje horizontal y = 1. Vértices: V 1 = ( +,1 ),V = (,1 ),V 3 = (,),V 4 = (,0). Semi-distancia focal es c = 1, los focos son F 1 = (1,1), F = (3,1). () Un punto P = (1,3). (3) Dos rectas secantes y = 0 e y = 4. Ejercicio 5. (1) Para α = 1, x = 1± 7 (dos rectas paralelas). Para α = 1, ( x 1 ) = y (parábola). Para α ±1, siendo 1 < α 0 = < 0, se obtienen los siguientes casos: α < 1 1 < α < α 0 α = α 0 α 0 < α < 1 1 < α elipse hipérbola rectas secantes hipérbola elipse () Si α = 0, ( x+ 1 ) = ( y 5 8) (Parábola). Para α 0, siendo α 1 = 5 89 < 0 < α 8 = 5+ 89, se obtienen los siguientes 8 casos: α < α 1 α = α 1 α 1 < α < 0 0 < α < α α = α α < α hipérbola rectas secantes hipérbola elipse 1 punto nada (3) Para α = 0, x 4y + = 0 (una recta doble). Para α = 1, una parábola, Para α 0,1, siendo α 1 = < 0 < 1 < α 33 4 =, tenemos los siguientes 4 casos: α < α 1 α = α 1 α 1 < α < 1 1 < α < α α = α α < α hipérbola rectas secantes hipérbola elipse 1 punto nada Matemáticas I

26 6 Tema 1.- Cónicas y Cuádricas. Ejercicio 6. Circunferencia α =. Hipérbola equilátera α =. Ejercicio 7. Si e = 1 obtenemos la parábola de ecuación y = px p ( y = p ( x p ) ). Si 0 < e 1 obtenemos Por tanto, ( )[ 1 e x p ] +y = p e 1 e 1 e Si 0 < e < 1 (1 e > 0) se trata de una elipse con centro ( x = p,y = 0 ), 1 e ejes paralelos a los ejes coordenados, semiejes a = p e p e,b = (1 e ) 1 e. Si e > 1 (1 e < 0) se trata de una hipérbola con [ x p 1 e ] + y p e p e (e 1) centro ( x = p,y = 0 ), 1 e ejes paralelos a los ejes coordenados, el eje sobre el que están los focos (y los vértices) es y = 0, semiejes a = p e p e,b = (e. 1) e 1 1 e = 1. Ejercicio 8. (1) Elipsoide, (x 1) (y ) z = 1. () Cono, 4(x ) 4y +(z +1) = 0. (3) Cilindro hiperbólico, (x 1) (z ) = 4. (4) Paraboloide hiperbólico, (x 1) (y ) = z. Ejercicio 9. ( (1) Elipsoide, (x+1) +3 y + 5 ) +(z 1) = ( () Hiperboloide de hojas, 3 x+ 1 ) (y +1) +(z 1) = ( (3) Paraboloide elíptico, x+ 1 ( +(y +) ) = 3 z 1 ). 1 Matemáticas I. Ingeniería Química

27 1.3.- Ejercicios. 7 (4) Hiperboloide de 1 hoja, (5) Cilindro elíptico, (6) Cilindro hiperbólico, (7) Cilindro parabólico, ( x+ 1 ) +(y +) z = 1 4. ( x+ 1 ) +(y +) = 1 4. ( x+ 1 ) (y ) = ( x+ 1 ) = 4y 3z ( (8) Paraboloide hiperbólico, x+ 1 ) +(y ) = z Ejercicio 10. (1) Cono con vértice el punto V = (1,1,0). Su ecuación-tipo es (y 1) = 4(x 1) +z. () Paraboloide elíptico con vértice V = (1,1,0) y eje paralelo al eje O. La ecuación-tipo de este paraboloide es y 1 = (x 1) + z. Ejercicio 11. (1) Para α = ±1, paraboloide elíptico. Si α > 1(α > 1 ó α < 1), tenemos un elipsoide. Si α < 1( 1 < α < 1), tenemos un hiperboloide de dos hojas. () Si α = 0, tenemos un cilindro parabólico. Si α > 0(α 1), tenemos un paraboloide elíptico. Si α < 0, tenemos un paraboloide hiperbólico (silla de montar). Para α = 1 tenemos un cilindro elíptico. (3) Para α = 0 es un plano. Para α = 1, se obtiene un paraboloide elíptico. Si α > 1, tenemos un elipsoide. Si α < 1(α 0), tenemos un hiperboloide de dos hojas. Ejercicio 1. (1) Para α = 0, nada. Para α = 3, un punto, P = (3,0, ). Matemáticas I

28 8 Tema 1.- Cónicas y Cuádricas. Para α 0,3, se obtienen los siguientes casos: α < 0 0 < α < 3 3 < α hiperboloide de dos hojas elipsoide imaginario elipsoide real () Para α = 0, ±, cilindro parabólico. Para α 0,±, se obtienen los siguientes casos: α < < α < 0 0 < α < < α paraboloide elíptico silla de montar paraboloide elíptico silla de montar (3) Para α < 6, hiperboloide de una hoja. Para α = 6, cono. Para α > 6, hiperboloide de dos hojas. Ejercicio 13. Ecuación de la parábola en el plano O : x = 1 (z 8). Sus ecuaciones en R3 son { z = 8 x C, y = 0. Matemáticas I. Ingeniería Química