Elipse UNIDAD. : (x + 4) 2 + (y + 3) 2 1 = 0 Igualamos:

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Jorge Muñoz Martínez
hace 5 años
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1 UNIDAD c) C : (x + ) + (y + ) = 0 Igualamos: C : (x ) + (y + ) = 0 (x +) +(y +) = (x ) +(y +) 8 8 x +8x + + y +y + = x x + + y + y x + y = 0 8 x + y = 0. Eje radical. C C (, ) (, ) x + y = 0 Elipse Halla los vértices, los focos, las excentricidades, y representa las elipses dadas por sus ecuaciones: x y a) + = 00 b) + = 00 c) x + y = d) x + y = x y a) Vértices: (0, 0); ( 0, 0); (0, ) y (0, ) ocos: c = 00 = 8 (8, 0) y '( 8, 0) 8 Excentricidad: exc = = 0,8 0 0 ' 0 b) Vértices: (8, 0); ( 8, 0); (0, 0) y (0, 0) ocos: c = 00 = = (0, ) y '(0, ) Excentricidad: exc = = 0, ' 0 Unidad. Lugares geométricos. Cónicas 7

2 c) x + y = 8 + = / Vértices: (, 0) ( ; ), 0 ; (0, ) y (0, ) ocos: c = = = (, 0) ( y ' ), 0 Excentricidad: exc = / = = 0,8 / x y ' d) x + y = 8 + = / / Vértices: (, 0) ( ; ), 0 ; ( 0, ) y ( 0, ) ocos: c = = = ( ) 0, ( ) y ' 0, x y ' 7 Halla las ecuaciones de las elipses determinadas de los modos siguientes: a) ocos (, 0), (, 0). Longitud del eje mayor, 0. b) (, 0) y ' (, 0) y cuya excentricidad es igual a 0,. c) Eje mayor sobre el eje X, igual a 0. Pasa por el punto (, ). d) Eje mayor sobre el eje Y e igual a. Excentricidad, /. a) c = ; a = 0 8 a = ; b = a c = = x y Ecuación: + = c c b) c = ; exc = = 0, 8 a = = = a 0, 0, b = a c = = 7 x y Ecuación: + = 7 8 Unidad. Lugares geométricos. Cónicas

3 UNIDAD x c) a = 0 8 a = ; + = b Como pasa por (, ) 8 + = 8 b + = b 8 b 8 b = 8 b = x x y Ecuación: y + =, o bien, + = / c d) exc = = 8 c = (a =, pues a = ) b = a c = = x x Ecuación: y + =, o bien, + y = / y 8 Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a P (, 0) y Q (, 0) es 0. Es una elipse de focos P(, 0) y Q(, 0), y constante k = 0, es decir, a = 0 y c =. Así: a = ; b = a c = = x y La ecuación será: + = Escribe la ecuación de la elipse que tiene por focos los puntos (0, ) y '(0, ), y cuya constante es igual a. Si P(x, y) es un punto de la elipse, entonces: dist (P, ) + dist (P, ' ) = a, es decir: x +(y ) + x +(y +) = 8 8 x +(y ) = + x +(y +) 8 x +(y +) 8 8 x + y y + = + x + y +y + 8 x +(y +) 8 8 y = 8 x +(y +) 8 (y + ) = [x +(y +) ] 8 8 y + + 8y = x +y + + 8y 8 x y 8 = x + 8y 8 + = Unidad. Lugares geométricos. Cónicas

4 De otra forma: El centro de la elipse es el punto medio del segmento que une con ', es decir: (0, 0) Por otra parte: 8 c = dist (, ') = ' = (0, ) = 8 c = a = 8 a = 8 a = b = a c = = x y Por tanto, la ecuación es: + = 0 Halla la ecuación de la elipse que pasa por el punto (, ) y tiene sus focos en (, 0) y (, 0). x a y b La ecuación es: + = Como pasa por (, ) 8 + = a b Como a = b + c y sabemos que c = 8 a = b + Teniendo en cuenta las dos condiciones anteriores: + = 8 b + b + = b + b 8 b + b = 0 b + b b ± + ± 00 = = = Así: a = + = 8 Por tanto, la ecuación de la elipse será: + = 8 x ± 0 y b = b = 8 (No vale) Hipérbola Halla los vértices, los focos, las excentricidades y las asíntotas, y dibuja las hipérbolas dadas por las ecuaciones: x a) y x = b) y = 00 c) x y = d) x y = y x e) = f) y x = g) x y = h)x y + = 0 0 Unidad. Lugares geométricos. Cónicas

5 UNIDAD a) a = 0, b =, c = a + b = =, exc =,7 0 Vértices: (0, 0) y ( 0, 0) ocos: (, 0) y '(, 0) Asíntotas: y = x; y = x ' 0 0 x b) y x y = 8 = / a =, b =, c = + / =, exc = = =, / Vértices: (, 0) ( y ), 0 ocos: (, 0) ( ) y ', 0 Asíntotas: y = x; y = x ' x y c) x y = 8 = / a =, b =, c = + / =, exc = =, Unidad. Lugares geométricos. Cónicas

6 Vértices: (, 0) y (, 0). ocos: (, 0) ( y ' ), 0 Asíntotas: y = x; y = x ' x d) x y = 8 = a =, b =, c = + =, exc =, Vértices: (, 0) y (, 0) ocos: (, 0) y '(, 0) Asíntotas: y = x; y = x y ' e) Vértices: (0, ) y (0, ) ocos: (0, 0 ) y '(0, 0 ) 0 exc =,. Asíntotas: y = x; y = x ' Unidad. Lugares geométricos. Cónicas

7 UNIDAD y f) y x = 8 = Vértices: (0, ) y (0, ) x ocos: (0, 7 ) y '(0, 7 ) 7 exc =,0 Asíntotas: y = x; y = x ' x y g) x y = 8 = Vértices: (, 0) y (, 0) ocos: (, 0) y '(, 0) exc =,80 Asíntotas: y = x; y = x ' h) x y + = 0 8 y x = 8 = Vértices: (0, ) y (0, ) ocos: ( 0, 0) y '( 0, 0) 0 exc =, Asíntotas: y = x; y = x y x ' Unidad. Lugares geométricos. Cónicas

8 Halla las ecuaciones de las hipérbolas determinadas de los modos siguientes: a) ocos (, 0), (, 0). Distancia entre vértices,. b) Asíntotas, y = ± x. Vértice, (, 0). c) Asíntotas, y = ± x. Pasa por el punto (, ). d) ocos (, 0), (, 0). Excentricidad,. a) c = ; a = 8 a = ; b = c a = = La ecuación es: = b b b) a = ; = 8 = 8 b = a x Ecuación: y x y =, o bien, = / b c) = 8 b = a 8 = a a a Como pasa por (, ) 8 = 8 = a a a = a 8 a = 8 b = a = x Ecuación: y x y =, o bien, = / c d) c =, = = 8 a = a a b = c a = = 8 x x y Ecuación: = 8 y x y Halla el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a ' (, 0) y (, 0) es. Es una hipérbola de focos y ' y constante a =. Por tanto, a =, c =, b = c a = = 7. x y La ecuación es: = 7 Unidad. Lugares geométricos. Cónicas

9 UNIDAD Halla la ecuación de la hipérbola que tiene por focos los puntos (, 0) y ' (, 0) y que pasa por el punto P (8, ). Hallamos la constante de la hipérbola: dist (P, ) dist (P, ' ) = a 8 8 P 'P = a 8 (, ) (, ) = a = a 8 0 = a 8 = a 8 a = Como a = y c =, entonces b = c a = =. x y La ecuación es: = Parábola Halla los vértices, los focos y las directrices de las siguientes parábolas, y represéntalas: a) y = x b) y = x c) y = x x d) y = e) y = (x ) f) (y ) = 8x g) x = (y + ) h)(x ) = y y a) = px p p = 8 p = 8 = y = x Vértice: (0, 0) oco: (, 0) Directriz: x = b) Vértice: (0, 0) oco: ( ), 0 Directriz: x = Unidad. Lugares geométricos. Cónicas

10 c) Vértice: (0, 0) oco: ( ) 0, Directriz: y = d) Vértice: (0, 0) oco: (0, ) Directriz: y = e) Vértice: (, 0) oco: (, 0) Directriz: x = 0 f) Vértice: (0, ) oco: (, ) Directriz: x = g) Vértice: (0, ) oco: (0, 0) Directriz: y = Unidad. Lugares geométricos. Cónicas

11 UNIDAD h) Vértice: (, 0) oco: ( ), Directriz: y = Halla las ecuaciones de las parábolas determinadas de los siguientes modos: a) Directriz, x =. oco, (, 0). b) Directriz, y =. Vértice, (0, 0). c) Vértice (0, 0) y pasa por (, ). ( soluciones). p a) = 8 p = 0 8 p = 0. Ecuación: y = 0x b) El foco será (0, ). Si P(x, y) es un punto de la parábola y d: y = 0 es la directriz, entonces: dist (P, ) = dist (P, d) 8 x +(y + ) = y 8 8 x + y + y + = y y + 8 x = y c) Hay dos posibilidades: I) Eje horizontal: y = px. Como pasa por (, ), entonces: = p 8 p = 8 y = x II) Eje vertical: x = py. Como pasa por (, ), entonces: = p 8 p = = 8 x = y 7 Halla el lugar geométrico de los puntos que equidistan del punto (, 0) y de la recta y =. Es una parábola cuyo foco es (, 0) y cuya directriz es d: y + = 0. Si P(x, y) es un punto de la parábola, entonces: dist (P, ) = dist (P, d) 8 (x ) + y = y + 8 O bien: (x ) = ( ) y + 8 x x + + y = y + y + 8 y = x x Unidad. Lugares geométricos. Cónicas 7

12 8 Escribe la ecuación de la parábola de foco (, ) y directriz y + = 0. Si P(x, y) es un punto de la parábola, (, ) el foco, y d: y + = 0 la directriz, entonces: dist (P, ) = dist (P, d) 8 (x ) + (y ) = y (x ) + (y ) = (y + ) 8 8 (x ) + y y + = y + y (x ) = 8y (x ) = 8(y + ) Página 7 PARA RESOLVER Identifica las siguientes cónicas, calcula sus elementos característicos y dibújalas: a) x + y = b) x y = c) x + y = d) x y = e) y = x f)x + y = 00 x a) x + y = 8 + = Es una elipse 8 a =, b =, c = exc = 0,7 x y y b) x y = 8 = ' Es una hipérbola 8 a =, b =, c = ; exc =,7 Asíntotas: y = x ; y = x ' 8 Unidad. Lugares geométricos. Cónicas

13 UNIDAD c) x + y = 8 x + y = Es una circunferencia de centro (0, 0) y radio. / / / / x y d) x y = 8 = Es una hipérbola 8 a =, b =, c = ; exc = =, Asíntotas: y = x ; y = x ' e) Es una parábola. Vértice: (0, 0) 7 oco: (, 0) Directriz: x = 7 Unidad. Lugares geométricos. Cónicas

14 f) x + y = 00 8 = / x y Es una elipse 8 a =, b =, c = exc = 0, / ' / 0 Escribe la ecuación de una elipse con centro en el origen de coordenadas y focos en el eje de abscisas, sabiendo que pasa por el punto P (8, ) y que su eje mayor es igual al doble del menor. El eje mayor es igual al doble del menor, es decir: a = b. Además, pasa por el punto P(8, ). Luego: x a y + = 8 + = 8 + = 8 = 8 b b b b b b 8 = b ; a = b = 00 x y La ecuación es: + = 00 Halla la ecuación de la hipérbola que tiene el centro en el origen de coordenadas y los focos en el eje de abscisas, sabiendo que pasa por el punto P ( /, ) y que una de sus asíntotas es la recta y = x. b La pendiente de la asíntota es = 8 b = a a x y Luego = es la ecuación. a a Como pasa por el punto P( /, ), entonces: / = 8 0 = a 8 = a 8 a = a a 8 b = a = x La ecuación será: y x y =, es decir: = / 0 Unidad. Lugares geométricos. Cónicas

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8 x 2 + y 2 2y + 1 = 16 + x 2 + y 2 + 2y x + ( y+ 1) 8 (4y + 16) 2 = 64[x 2 + (y + 1) 2 ] y y = 64x y y 8 De una elipse conocemos sus focos (0, ) y ' (0, ) y su constante k =. Determina su ecuación. Si P (, y) es un punto de la elipse, entonces: dist (P, ) + dist (P, ' ) = a, es decir: + ( y ) + + ( y+ ) =