Ejercicios N 3 (MAT 021)

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1 Ejercicios N 3 (MAT 021) Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Matemática Septiembre Rectas 1. En cada caso determine la ecuación de la recta L (a) L pasa por el punto P ( 1, 4) y tiene pendiente 1 (b) L pasa por el punto P (1, 2) y tiene pendiente 2 (c) L pasa por los puntos P ( 1, 1) y Q (2, 1) (d) L pasa por los puntos P (1, 4) y Q (1, 1) (e) L pasa por los puntos P (0, 1) y Q (2, 5) 2. Sea l : 2x y = 4. Determine, la ecuación de la recta l que pasa por el punto P ( 1, 0) y es paralela a l. 3. Sea l : 2x+3y = 7. Determine la ecuación de la recta l que pasa por el punto Q (2, 3) y es perpendicular a l. 4. Sea l 1 : x y = 1, l 2 : y + x = 0 y l 3 : 2x y 1 = 0. Determine la ecuación de la recta l 4 que pasa por el punto P l 1 l 2, y además, es paralela a l Sea k R y l la recta de ecuación kx + ( k 2 2 ) y + 3 = 0 (a) Determine k para que l sea paralela al eje X. (b) Determine k para que l sea paralela al eje Y. (c) Determine k para que l sea perpendicular a la recta l : x + y + 5 = Determine el valor de k R correspondiente a la familia l k : 5x + 12y + k = 0 cuya distancia del origen es igual a 5. Teniendo el parámetro, hállese la ecuación de la recta. 7. Hallar la ecuación de la recta que pasa por la intersección de las rectas l 1 : 3x+y 9 = 0 y l 2 : 4x 3y + 1 = 0 y cuya distancia al origen es 2. 1

2 8. Una recta pasa por Q l 1 l 2, donde l 1 : 2x 3y 5 = 0 y l 2 : x + 2y 13 = 0 y el segmento que determina sobre el eje X es igual al doble de su pendiente. Hallar la ecuación de la recta 2 Circunferencias 1. En cada caso, determine la ecuación de la circunferencia ξ tal que: (a) C (1, 1) y r = 2 (b) C (0, 0) y r = 1 (c) C (1, 1) y (0, 0) ξ (d) C (1, 1) y tangente a la recta l : x + y + 2 = 0 2. Determine la ecuación de la circunferencia de centro C ( 1, 3) y que es tangente a la recta que pasa por los puntos A ( 2, 4) y B (2, 1). 3. Hallar la ecuación de la circunferencia ξ circunscrita al triángulo cuyos vértices son V 1 ( 1, 1), V 2 (3, 5) y V 3 (5, 3) (Ayuda: Por los menos hay dos métodos para este ejercicio. El primero es geométrico : simetrales. El segundo es analítico: x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0) 4. La ecuación de una circunferencia es (x 4) 2 + (y 3) 2 = 20. Hallar la ecuación de la tangente a este círculo en el punto (6, 7). 5. La ecuación de una circunferencia es (x + 2) 2 + (y 3) 2 = 5. Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia que pasa por el punto (3, 3). 6. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A (7, 5) y es tangente a la recta x y 4 = 0 en el punto B (3, 1). 7. Hallar las ecuaciones de las rectas tangente a la circunferencia x 2 +y 2 10x+2y+18 = 0 y que tienen pendiente Hallar la ecuación de la tangente trazada desde el punto (8, 6) a la circunferencia x 2 + y 2 + 2x + 2y 24 = 0. 3 Parábola 1. En cada caso, determine la ecuación y grafique las siguientes parábolas (Notación: V (, ) =: vértice F (, ) =: foco): (a) V (1, 1) y F (1, 2) (b) V (0, 1) y F (0, 1) (c) V (2, 0) y F (3, 0)

3 (d) V ( 1, 2) y F ( 3, 2) 2. En cada caso, determine el vértice, el foco y la gráfica de la parábola: (a) (x 2) 2 = 4 (y 1) (b) (y + 2) 2 = 2 (x 3) (c) (x 1) 2 = 8y (d) (y 4) 2 = x + 1 (e) y = x 2 + 2x (f) y = x Considere la parábola de ecuación (x 2) 2 = 8y. Determine la ecuación de la recta que pasa por el vértice de la parábola y por el punto A (1, 2). 4. Considere la circunferencia ε : x 2 + y 2 2x = 0 y la parábola π : y = 1 x 2. Determine la ecuación de la recta l que pasa por el centro de ε y por el vértice de P. 5. Hallar las ecuaciones de las tangentes trazadas del punto (2, 4) a la parábola x 2 6x 4y + 17 = 0 (Ayuda: método ). 6. Hallar la ecuación de la tangente de pendiente 1 a la parábola y 2 8x = Hallar la ecuación de la tangente a la parábola y 2 2x+2y +3 = 0 que es perpendicular a la recta 2x + y + 7 = 0. 4 Elipse 1. Determine la ecuación de la elipse de centro (1, 2), uno de los focos (6, 2) y que pase por el punto (4, 6). 2. Determine la ecuación de la elipse que pasa por el punto A ( 12 5, 3) y cuyos focos son (0, 4) y (0, 4) 3. Determine la ecuación de la elipse que pasa por los puntos ( 6, 4), ( 8, 1), (2, 4) y (8, 3). 4. Determine la ecuación de la elipse de centro el origen, focos en el eje x, y que pase por los puntos A( 3, 2 3) y B(4, ). 5. En cada caso, determine las coordenadas del centro, vértices y focos de la elipse. Además haga un gráfico. (a) 9x y 2 36x + 96y + 36 = 0 (b) 4x 2 + y 2 16x 6y 43 = 0 (c) x 2 + 4y 2 8y = 0 (d) 4x 2 + y 2 8x 4y + 4 = 0

4 5 Hipérbola 1. Determine la ecuación de la hipérbola que tiene su centro en el origen, su vértice en (6, 0) y una de sus asíntotas la recta L 1 : 4x 3y = Determine la ecuación de la hipérbola de centro el origen y que pase por los puntos A(3, 1) y B(9, 5). 3. Determine la ecuación de la hipérbola de centro (0, 0), un vértice en (3, 0) y una de sus asíntotas la recta L 1 : 2x 3y = En cada caso, determine las coordenadas del centro, vértices y focos de la hipérbola. Además haga su gráfico. (a) 49y 2 16x 2 = 784 (b) x 2 y 2 2x + 2y 1 = 0 (c) 9x 2 16y 2 36x 32y 12y = 0 (d) y 2 4x 2 + 4y = 0 6 Miscelánea 1. Sea L una recta de pendiente 3.Determine la ecuación de L de modo que forme con 4 los ejes coordenados un triángulo de área 24 unidades cuadradas. 2. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto A(4, 2) y dista 2 unidades del origen. 3. Determine la ecuación de la circunferencia que pase por el punto A( 2, 1) y sea tangente a la recta L : 3x 2y 6 = 0 en el punto B(4, 3). 4. Determine la ecuación de la circunferencia que pase por los puntos A(1, 2), B(3, 4) y sea tangente a la recta L : 3x + y 3 = Determine la ecuación de la circunferencia de radio 15 que es tangente a la circunferencia ξ : x 2 + y 2 = 100 en el punto A(6, 8). 6. Determine la ecuación de la parábola cuyo eje sea paralelo al eje x y que pase por los puntos A(3, 3), B(6, 5) y C(6, 3) 7. Determine la ecuación de la parábola de eje vertical y que pase por los puntos A(4, 5), B( 2, 11) y C( 4, 2). 8. Determine la ecuación de la parábola cuyo vértice esté sobre la recta L : 2y 3x = 0,que su eje sea paralelo al eje x y que pase por los puntos A(3, 5) y B(6, 1) 9. Considere la circunferencia ξ : x 2 + y 2 + 4x 6y + 9 = 0

5 (a) Determine centro y radio de ξ. (b) Halle la ecuación de la parábola de vértice ( 2, 1) y foco de centro de ξ. 10. Considere la recta L de ecuación a y + (a 2)x + 3 = 0; a R.Determine el valor de a tal que: (a) L sea perpendicular a la recta 4y 3x 8 = 0 (b) El centro de la circunferencia x 2 2x + y 2 2y 7 = 0 pertenzca a L. (c) L sea la directriz de la parábola x 2 = 6y 11. Dadas la recta L : 2x + y + 2 = 0 y la circunferencia C : x 2 + y 2 4x 6y + 9 = 0. Determine: (a) Centro y radio de la circunferencia. (b) La ecuación de la recta L que pasa por el punto A(6, 2) y es paralela a L 1. (c) La ecuación de la recta L 3 que pasa por el punto B( 1, 5) y es tangente a la circunferencia C. 12. Identifique las cónicas cuyas ecuaciones son: (a) x 2 4y 2 6x 16y = 11 (b) x x + 12y = 0 (c) 4x 2 + 9y x 36y + 36 = 0 (d) y 2 4x 2 4y 24x 36y + 36 = 0 (e) 25x 2 + 9y 2 = 225 (f) 13x y x 68y 30 = 0 (g) y 2 2y 8x + 9 = 0 (h) x 2 + y 2 4x + 6y 36 = 0 Obtenga centro y/o vértices según corresponda, y haga un gráfico aproximado. 13. Considere una circunferencia ξ de centro (h, 3) y que pasa por los puntos A(0, 6), B(1, 5). Sea T una recta tangente a ξ. Además T pasa por el punto P (1, 8).Determine la ecuación de T. 14. Determine la ecuación de la recta L de pendiente 1, que es tangente a la circunferencia ξ de ecuación: x 2 + y 2 6x 8y + 17 = 0. Ejemplo A. Hallar las ecuaciones de las rectas tangente a la circunferencia ξ : x 2 + y 2 10x + 2y + 18 = 0 y que tienen pendiente. Solución.

6 Consideremos la ecuación de la recta: Como m = 1 se tiene que y además # (ξ T b ) = 1 tenemos T m,b : y = mx + b T b : y = x + b x 2 + (x + b) 2 10x + 2 (x + b) + 18 = 0 luego de reemplazar T b : y = x + b en ξ : x 2 + y 2 10x + 2y + 18 = 0. Así x 2 + (x + b) 2 10x + 2 (x + b) + 18 = 0 b 2 + 2bx + 2b + 2x 2 Por tanto, tenemos que Luego Por tanto, las rectas son y Luego, el gráfico: φ : 2x 2 + (2b 8) x + ( b 2 + 2b + 18 ) = 0 8x + 18 = 0 2x 2 + (2b 8) x + (b 2 + 2b + 18) = 0 φ = 0 (2b 8) (b 2 + 2b + 18) = 0 4b b + 80 = 0 b { 2, 10} T 1 : y = x 2 T 2 : y = x c a 3 4 b

7 Ejemplo B. Considere una circunferencia ξ de centro C (h, 3) y que pasa por los puntos A (0, 6) y B (1, 5). Sea T una recta tangente a ξ. Además T pasa por el punto P (1, 8). Determine la ecuación de T. Solución. Debemos determinar el centro de la circunferencia primeramente. Esto lo logramos mediante la ecuación: d (C, A) = d (C, B) pues el centro C equidista de A y B. Luego, d (C, A) = d (C, B) (h 0) 2 + (3 6) 2 = h = (h 1) h = 2 (h 1) 2 + (3 5) 2 Por tanto, el centro de ξ es ( 2, 3) Ahora, calculamos el radio. Para eso tomamos cualquiera A (0, 6) o B (1, 5). Luego d (C, A) = ( 2 0) 2 + (3 6) 2 = 13 Por tanto, la ecuación de la circunferencia es Ahora, consideramos la siguiente ecuación de la recta ξ : (x + 2) 2 + (y 3) 2 = 13 (1) T : y y 0 = m (x x 0 ) (2) donde (x 0, y 0 ) es dado. La observación es que la ecuación (2) tiene solamente el parámetro m, lo cual reduce el número de ecuaciones en el sistema. Por hipótesis, P (1, 8) T = T : y + 8 = m (x 1) Luego, reemplazamos T : y = m (x 1) 8 en la ecuación (1). Así obtenemos un ecuación en las variables m y x. Por tanto, ξ (x, y) 13 = 0 ξ (x, y = m (x 1) 8) 13 = 0. Así (x + 2) 2 + (y 3) 2 = 13 (x + 2) 2 + [(m (x 1) 8) 3] 2 = 13 m 2 x 2 2m 2 x + m 2 22mx + 22m+ +x 2 + 4x = 13 (m 2 + 1) x 2 + (4 22m 2m 2 ) x + (m m + 112) = 0 Es decir, se tiene la ecuación de segundo grado: φ : ( m ) x 2 + ( 4 22m 2m 2) x + ( m m ) = 0 o bien φ : α (m) x 2 + β (m) x + γ (m) = 0

8 donde α = α (m) = m 2 +1, β = β (m) = 4 22m 2m 2 y γ = γ (m) = m 2 +22m+112. Ahora bien, queremos que # (ξ T ) = 1 (condición necesaria de tangencia) o equivalentemente: Por tanto, se tiene la ecuación: φ = 0 φ = 0 β 2 4 α γ = 0 (4 22m 2m 2 ) 2 4 (m 2 + 1) (m m + 112) = 0 16m 2 264m 432 = m { } 18, 3 2 Por tanto las ecuaciones de las rectas tangentes son: T 1 : y + 8 = 18 (x 1) y T 2 : y + 8 = 3 (x 1) 2 El gráfico asociado: T 2 : 1.5x + y = 6.5 ξ 8 6 T 1 : 18x + y = P = (1, 8)