GUIA ADICIONAL CÁLCULO 1 GEOMETRÍA ANALÍTICA. 1.- Grafique los siguientes puntos y encuentre la distancia entre ellos:

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1 GUIA ADICIONAL CÁLCULO GEOMETRÍA ANALÍTICA ELEMENTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA.- Grafique los siguientes puntos y encuentre la distancia entre ellos: a ) A(, 3) B( 5,3) b ) A( 4, 5) B(5, 3) c ) A(4, ) B(6, ).- Encuentre el punto medio del segmento que une los puntos dados en. 3.- Determine la pendiente para cada uno de los pares de puntos dados en. 4.- Los siguientes puntos determinan un triángulo. Determine la naturaleza (escaleno, isósceles, equilátero) de cada uno de ellos: 37 A(,) B(7,3) C(8, 0) A(,) B(3, 4) C( 4, ) c) A(4,4) B(6, ) C( 5,) 5.- Determine si los siguientes puntos pertenecen a la misma recta (son colineales): A(, ) B(,) C(4,3) A(, 3) B(6,) C(4,8) 6.- Los vértices de un triángulo son: A ( 3,0) B(,3) C(4,7) Hallar la longitud de sus lados Hallar el punto medio de AB, AC, BC 7.- Demuestre que los puntos A (, ) B(,) C(5, ) son los vértices de un triángulo isósceles 8.- Dos de los vértices de un triángulo equilátero son los puntos A(-,) y B(3,). Encuentre las coordenadas del tercer vértice (Dos soluciones)

2 9.- Dados los puntos P,) (7,5) hallar las coordenadas del punto P que divide ( P interiormente al segmento P P en la razón P P PP 0.- Dados los puntos P, ) (6,5) hallar las coordenadas de los puntos Q y Q que trisectan el segmento Q Q ( P.- Los puntos A(,) B(3,5) C(7,3) son los vértices de un triángulo. Demuestre que la recta que une los puntos medios de AB y BC es paralela a AC y que AC EF donde E y f son los puntos medios de AB y BC respectivamente..- Escriba la ecuación de la recta L que se describe: L es vertical y pasa por el punto A(,6) L es horizontal y pasa por B(-4,6) c) L pasa por los puntos P(4,) y Q(-4,) 3.- Los vértices de un triángulo son A(-,) B(4,7) C(6,-3) hallar: las ecuaciones de sus alturas las ecuaciones de sus simetrales c) las ecuaciones de sus transversales de gravedad d) las ecuaciones de sus medianas e) el punto de intersección de sus alturas f) el punto de intersección de sus simetrales 4.- Dadas las rectas: L : ax ( y 3 0 L : ( a ) x by 5 0. Encuentre los valores de a y b de modo que la recta pase por el punto A(,-3)

3 5.- Encuentre la distancia del punto dado a la recta dada: P (, 5) P (,4) L : x 3y 6 0 L :3x 3x Encuentre el área del triángulo determinado por los vértices A(-,) B(4,7) C(6,-3) A (, ) B(,) C(5, ) 7.- Encuentre la distancia entre las rectas paralelas: L x 3y 6 0 L :x 3y 0 : L 4x 3y 5 0 L :4x 3y 6 0 : 8.- El segmento de recta que une los puntos A(,3) y B(-,-) se extiende por ambos extremos una distancia igual a su longitud inicial. Encuentre las coordenadas de los nuevos extremos. 9.- Encuentre el valor del parámetro k para que la recta de la familia kx 3y 9 0 determine sobre el eje X un segmento de longitud 4. Encuentre la o las ecuaciones de la recta. 0.- Una recta pasa por el origen y por la intersección de las rectas L :3x y 4 0 y L : x 3y 0. Encuentre su ecuación sin determinar el punto de intersección..- Determine el valor de k de modo que la recta 4x 5y k 0 forme con los ejes coordenados un triángulo rectángulo de área u

4 EJERCICIOS DE CIRCUNFERENCIA. Los extremos de un diámetro de una circunferencia son los puntos A(,3) y B(-4,5). Hallar la ecuación de la circunferencia.. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C(7, -6) y que pasa por el punto A(, ). 3. Una circunferencia tiene su centro en el punto C(0, -) y es tangente a la recta L: 5x y + = 0. Hallar su ecuación. 4. La ecuación de una circunferencia es (x - 3) + (y + 4) = 36. Demuestre que el punto P(, -5) es interior a la circunferencia y que el punto Q(-4, ) es exterior. 5. Una cuerda de la circunferencia x + y =5 está sobre la recta cuya ecuación es x 7y + 5 = 0. Hállese la longitud de la cuerda. 6. Hallar la ecuación de la simetral de la cuerda del ejercicio 5 y verifique que pasa por el centro de la circunferencia. 7. Una circunferencia pasa por los puntos A(-3, 3) y B(, 4) y su centro está sobre la recta 3x y 3 = 0. Hallar la ecuación. 8. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A(7, - 5) y es tangente a la recta de ecuación x y 4 = 0 en el punto B(3, - ). 9. Hallar la longitud de la circunferencia cuya ecuación es C: 5x + 5y + 30x 0y 6 = 0 0. Demuestre que las circunferencias C : 4x + 4y - 6x + y +3 = 0 y C : x + y - 48x + 36y +55 = 0 son concéntricas. Hallar las ecuaciones de las rectas de pendiente 5 que son tangentes a la circunferencia C: x + y - 8x +y 9 = 0. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto P(- 8,5) y por la intersección de las circunferencias C : x + y - 8x - 6y +7 = 0 y C : x + y - 8x 4y + 67 = 0

5 EJERCICIOS DE PARÁBOLA. Hallas las coordenadas del foco, longitud del lado recto y la ecuación de la directriz de las siguientes parábolas: y 6x x 8y c) 3y x d) 4x 5y. Hallar la ecuación de las siguientes parábolas: foco (4,0) foco (0, ) directriz directriz x 3 0 y Hallar la ecuación de la parábola de foco el punto (-, -) y cuyo lado recto es el segmento de recta que une los puntos (, -) y (4, -) 4. Hallar la ecuación de la parábola de vértice (-4, 3) y foco (, 3) 5. Dadas las parábolas siguientes, llévelas a su forma ordinaria y calcule sus elementos principales (vértice, foco, ecuación de la directriz, longitud del lado recto): y 4y 6x 8 0 3x 9x 5y 0 c) y 4y 6x 3 0 d) 4x x 3y Hallar la ecuación de una parábola cuyo eje sea paralelo al eje X y que pase por los puntos (3, 3), (6, 5) y (6, -3) 7. Hallar la ecuación de una parábola cuyo eje sea paralelo al eje Y y que pase por los puntos (-, 4), (0, 7) y (-4,4) 8. Hallar la ecuación de una parábola cuyo vértice está sobre la recta y 3x = 0, su eje focal sea paralelo al eje X y que pase por los puntos (3, 5) y (6, -)

6 EJERCICIOS DE ELIPSE E HIPÉRBOLA. Usando la definición de elipse, hallar su ecuación a partir de los datos dados: a. Focos (3, 8) y (3, ) longitud eje mayor = 0 b. Vértices (-3, -) y (5, -) excentricidad = ¾ c. Vértices (, 6) y (, -) longitud del lado recto =. Hallar e identificar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia a la recta y + 8 = 0 es siempre igual al doble de su distancia al punto (0, - ) 3. Dadas las siguientes ecuaciones que representan elipses, reducir la ecuación a la forma ordinaria y determinar las coordenadas de los vértices, focos, de los lados rectos; las longitudes de los ejes mayor, menor y década lado recto: a. b. c. 4. El centro de una elipse es el punto (-, -) y uno de sus vértices es el punto (3, -). Si la longitud de cada lado recto es 4, hallar la ecuación de la elipse, su excentricidad y las coordenadas de sus focos. 5. La base de un triángulo es de longitud fija, siendo sus extremos los puntos (0,0) y (6,0). Hallar e identificar el lugar geométrico del tercer vértice que se mueve de tal manera que el producto de las tangentes de los ángulos de la base es siempre igual a 4.

7 6. Dada la ecuación, hallar los valores de k para los cuales la familia de rectas 5x + y + k = 0 a. Cortan a la elipse en dos puntos b. Son tangentes a la elipse c. No cortan a la elipse 7. Los vértices de una hipérbola son los puntos (-, ) y (-, -4) y la longitud de cada lado recto es. Hallar la ecuación de la curva, las coordenadas de sus focos, su excentricidad y sus asíntotas. 8. El centro de una hipérbola es el punto (4, 5) y uno de sus focos es (8, 5). Si la excentricidad de la hipérbola es, hallar su ecuación y las longitudes de sus ejes transverso y conjugado. 9. Dadas las siguientes ecuaciones que representan hipérbolas, reducir la ecuación a la forma ordinaria y determinar las coordenadas de los vértices, focos, de los lados rectos; las longitudes de los ejes transverso, conjugado y de cada lado recto; hallar sus asíntotas: a. b. c. 0. Hallar e identificar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia al punto (3, ) es siempre igual al triple de su distancia a la recta y + = 0