MATEMÁTICAS I 2º EXAMEN PARCIAL 9 de junio de 2008

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1 MATEMÁTICAS I º EXAMEN PARCIAL 9 de junio de 008 Sólo una respuesta a cada cuestión es correcta Respuesta correcta: 0 puntos Respuesta incorrecta: -0 puntos Respuesta en blanco: 0 puntos - Sean F y G dos subespacios vectoriales de V Se verifica: a) dimf + dimg = dim(f G) dim(f G) b) dimf + dimg = dim(f + G) dim(f G) X c) dimf + dimg = dim(f + G) + dim(f G) n - Si G = { u,u,u, u4} es un sistema generador de R, podemos asegurar: a) n 4 b) n=4 X c) n 4 - Sea (,) un vector propio de la matriz A, tal que: A = Entonces: a) λ= 0 es un valor propio de A asociado a dicho vector propio X b) λ= es un valor propio de A asociado a dicho vector propio c) λ= es un valor propio de A asociado a dicho vector propio 4- Dada la matriz A = 0 Entonces: X a) Es diagonalizable para todo real b) Solamente es diagonalizable si = 0 0 c) No puede ser semejante a la matriz A = 0 5- Una base ortonormal (métrica) del subespacio vectorial y-z=0 de R es: a) {( 0,,), (, 0, 0 )} b) ( 0,-, - ), (,, ) X c) ( 0, -, - ), (, 0, 0 ) ' 6- Sean = las ecuaciones del cambio de sistema de y' y z' z O, A, B, C O ', A', B', C' Se verifica, entonces, que: referencia afín de R { } a R { } a) OO ' = (,, ) X b) OB = O' A' O' B' + O'C' c) O ' A' = (,,) respecto de la base OA, OB, OC 7- En el espacio euclídeo la ecuación matricial de un giro de ángulo α alrededor del eje OY, es: U D de Matemáticas de la ETSI en Topografía, Geodesia y Cartografía

2 MATEMÁTICAS I º EXAMEN PARCIAL 9 de junio de ' a) = y' 0 0 cosα senαy z' 0 0 senα cosα z ' b) = y ' 0 0 cos α senα y z' 0 0 senα cosα z ' 0 cos 0 sen X c) α α = y' y z' 0 senα 0 cosα z 8- El producto de dos homotecias del plano de distinto centro y razones k y /k es siempre: X a) Una traslación b) Una homotecia c) La identidad 9- La ecuación del haz de cónicas: ( y) = 0 son tipo hiperbólico λ y si: a) λ< b) λ= X c) λ> 0- Si en una cónica se verifica que A00 = Ac < 0 y A = 0, entonces: a) La cónica es una hipérbola X b) La cónica son dos rectas secantes c) La cónica es una elipse imaginaria MATEMÁTICAS I º Parcial ª Parte - Teoría: contestar sólo a una de las dos preguntas siguientes: I) Sean A y A las matrices asociadas a la misma transformación lineal f : V V, respecto de las bases B y B, respectivamente Deducir la relación que eiste entre A y A II) Sean F y G dos subespacios vectoriales de V Se pide: a) Definir F+G b) Son F+G y F G subespacios vectoriales de V? (demostrarlo o poner un contraejemplo, según proceda en cada caso) ( punto) U D de Matemáticas de la ETSI en Topografía, Geodesia y Cartografía

3 MATEMÁTICAS I º EXAMEN PARCIAL 9 de junio de 008 = e Se considera el subespacio S de ecuación cartesiana en = y z a) Obtener una base de S formada por vectores unitarios b) Si S es el subespacio engendrado por el sistema { e + e - e, e + e }, hallar unas ecuaciones paramétricas y cartesianas del subespacio S c) Hallar una base de cada uno de los subespacios vectoriales S S y S +S (5 puntos) - En un espacio vectorial V, sea la base canónica B { e, e, } - En el espacio vectorial euclídeo tridimensional V, se pide: a) Hallar una base ortonormal del plano vectorial F engendrado por los vectores u = (,,0 ) y v = (,, ) b) Hallar F (subespacio ortogonal de F) c) Ampliar la base encontrada en el apartado a) para obtener una base ortonormal de V (5 puntos) MATEMÁTICAS I º Parcial ª Parte (Aula de Informática) 4- Sean B = u,u, u una base del espacio vectorial R y f la transformación lineal f u = u+ u del mismo tal que f u = u u u Se pide: f u = u a) Matriz A asociada a f respecto de la base B b) Ecuación matricial de f c) Obtener el subespacio Núcleo de f y dar una base de dicho subespacio d) Obtener el subespacio Imagen de f y dar una base de dicho subespacio e) Son los dos subespacios anteriores N(f) e Im(f) suplementarios? f) Hallar los valores propios de A y los subespacios de vectores propios asociados g) Razonar si A es diagonalizable En caso afirmativo, escribir una matriz diagonal D semejante a A y la matriz de paso correspondiente h) Hallar A n, para cualquier número natural n (5 puntos) 5- En el espacio euclídeo tridimensional, se pide: a) Hallar las ecuaciones de la semejanza directa de razón k = 4, centro el punto π C (,, ), ángulo α = y cuyo eje es la recta e (, y, z) = (,, ) + λ(,,0 ) U D de Matemáticas de la ETSI en Topografía, Geodesia y Cartografía

4 MATEMÁTICAS I º EXAMEN PARCIAL 9 de junio de 008 b) Hallar las ecuaciones de la transformada de la recta: e (, y, z) = (,, ) + λ(,,0 ) c) Hallar la ecuación del transformado del plano z = 0 (75 puntos) 6- Dada la cónica de ecuación y = 0 Se pide: a) Clasificación b) Ecuación reducida c) Semiejes y ecentricidad d) Centro e) Ejes f) Asíntotas, si las tiene (5 puntos) NOTA: Publicación de calificaciones: viernes de junio por la tarde Revisión de eamen: martes 7 a las h en el Laboratorio de Matemáticas SOLUCIONES - En un espacio vectorial V, sea la base canónica B = { e, e, e } Se considera el subespacio S de ecuación cartesiana en = y z a) Obtener una base de S formada por vectores unitarios b) Si S es el subespacio engendrado por el sistema { e + e - e, e + e }, hallar unas ecuaciones paramétricas y cartesianas del subespacio S c) Hallar una base de cada uno de los subespacios vectoriales S S y S +S (5 puntos) SOLUCIÓN a) S Ecuación cartesiana Ec paramétrica = y = z = = y z Dimensión : dim S = -= α β α Base unitaria BS = ( 0,, ), ( 0,, ), β b) S Sistema generador { e e - e, e + } base de S e +, como son linealmente independientes, forman Base de S = {(,, ), (,, 0) } Ec paramétrica = y = z = α + β α + β α Ec cartesiana y = y = 0, para todo valor de z z 0 U D de Matemáticas de la ETSI en Topografía, Geodesia y Cartografía 4

5 MATEMÁTICAS I º EXAMEN PARCIAL 9 de junio de 008 c) S S y + z = 0 = y Ecuación cartesiana de S S: y = 0 z = 0 Dimensión dim S S=-= Base de S S, {, 0} (, Sistema generador de B + = (,,0 ), (,0, ) (,,, ) (,, 0) S,, y rango de S S S + S S B + =, por tanto,una base de S = e S + es B { e, e, } - En el espacio vectorial euclídeo tridimensional V, se pide: a) Hallar una base ortonormal del plano vectorial F engendrado por los vectores u = (,,0 ) y v = (,, ) b) Hallar F (subespacio ortogonal de F) c) Ampliar la base encontrada en el apartado a) para obtener una base ortonormal de V SOLUCIÓN a) Base ortonormal de F #: u [,, 0] #: u [, -, -] (5 puntos) La base buscada ha de estar formada por dos vectores v y v de F que sean unitarios y ortogonales entre sí u #: v u 5 5 #4: v,, v ha de ser combinación lineal de u y u: #5: v λ u + μ u #6: v [λ + μ, λ - μ, -μ] A su vez v tiene que ser perpendicular a u, luego, el producto escalar u v ha de ser cero: #7: v u = 0 #8: SOLVE(v u = 0, [λ, μ], Real) #9: 5 λ - μ = 0 Si, por ejemplo, λ =, entonces μ = 5: #0: v [6, -, -5] U D de Matemáticas de la ETSI en Topografía, Geodesia y Cartografía 5

6 MATEMÁTICAS I º EXAMEN PARCIAL 9 de junio de 008 Como además v ha de ser unitario, ya se tiene que: v #: =, -, - v Luego, {v,, 0, v -,, - } es una base ortonormal de F b) Subespacio ortogonal de F: Es la recta vectorial perpendicular a F; está engendrada por el vector u u: #: u u = [-,, -] c) Ampliar la base {v, v} hasta formar una base ortonormal de V, {v, v, v} Basta tomar: [-,, -] #: v = = -,, - [-,, -] ª Parte (Aula de Informática) 4- Sean B = u,u, u una base del espacio vectorial R y f la transformación lineal f u = u+ u del mismo tal que f u = u u u Se pide: f u = u a) Matriz A asociada a f respecto de la base B b) Ecuación matricial de f c) Obtener el subespacio Núcleo de f y dar una base de dicho subespacio d) Obtener el subespacio Imagen de f y dar una base de dicho subespacio e) Son los dos subespacios anteriores N(f) e Im(f) suplementarios? f) Hallar los valores propios de A y los subespacios de vectores propios asociados g) Razonar si A es diagonalizable En caso afirmativo, escribir una matriz diagonal D semejante a A y la matriz de paso correspondiente h) Hallar A n, para cualquier número natural n (5 puntos) SOLUCIÓN a) La matriz asociada o que define f se obtiene mediante las imágenes de los vectores B = u,u, : de la base { } u U D de Matemáticas de la ETSI en Topografía, Geodesia y Cartografía 6

7 MATEMÁTICAS I º EXAMEN PARCIAL 9 de junio de 008 f ( u) = u+ u = (,0,) B 0 f ( u) = u u u = (,, ) B A= M( f,b) = 0 f ( u) = u = (0,,0) B 0 f(u ) f(u ) f(u ) b) La ecuación matricial o ecuaciones de la transformación lineal es: y 0 Y=AX y = 0 y 0 c) El núcleo es: N(f ) = { R / f () = 0}, luego: 0 0 f(,,) = ( 0,0,0 ) 0 = 0 = = 0 0 siendo la dimensión del núcleo de y una base BN(f) = {(,,) } d) La imagen es: Im(f ) = { y R / R con f () = y}, luego y y = 0 = = 0 α+ β que son las y ecuaciones paramétricas del subespacio imagen, siendo dim(im(f))=r(a)= y una base B =,0,,(0,,0) Im(f ) {( ) } e) No son suplementarios, dado que el vector (,,) del núcleo pertenece al subespacio imagen y por tanto Im(f ) N(f ) { 0 } f) Valores propios: λ 0 ( ) A I 0 0 triple λ = λ = λ λ= 0 λ λ 0 0 Vectores propios: ( A λ I) v= 0 0 λ y = 0 0 λz =α Para λ= y = 0 y=α v = (,,) 0 0z 0 z=α g) No, es diagonalizable, ya que no es posible encontrar una base del espacio vectorial formada por vectores propios de f La dimensión del subespacio propio asociada al valor propio es y no coincide con el orden de multiplicidad que es triple U D de Matemáticas de la ETSI en Topografía, Geodesia y Cartografía 7

8 MATEMÁTICAS I º EXAMEN PARCIAL 9 de junio de 008 h) A 0 AA A 0 AA Luego A n = En el espacio euclídeo tridimensional, se pide: a) Hallar las ecuaciones de la semejanza directa de razón k = 4, centro el punto C,,, ángulo y cuyo eje es la recta e, y, z,,,,0 e, y, z,,,,0 c) Hallar la ecuación del transformado del plano z = 0 (75 puntos) b) Hallar las ecuaciones de la transformada de la recta: SOLUCIÓN Una semejanza directa es la composición de un giro y una homotecia, así, S(C, k, e, ) H(C, K) G(e, ) con C e z C(,,) e y α=π/ u La ecuación matricial del giro de eje e, y,z (,, ) t(,, 0) y ángulo En el sistema de referencia R' C,u,u,u definido por: C(,,) e, u (,,0)// e,u (0,0,) u,u uu (,,0) La matriz de cambio de la referencia R a la canónica del espacio es P U D de Matemáticas de la ETSI en Topografía, Geodesia y Cartografía 8

9 MATEMÁTICAS I º EXAMEN PARCIAL 9 de junio de 008 la ecuación del giro en la referencia R es ' G' 0 0 cos sen y' y y y z' z z z 0 0 sen cos Se pasa al sistema de referencia canónica del espacio R definido por R O,e,e,e siendo O(0,0,0), e ( 00,, ),e ( 00,, ),e ( 00,, ) Como la matriz del cambio de referencia es P, queda ' PG'P G y' y y y z' z z z 0 La ecuación de la homotecia de centro C=(,,) y de razón k=4 se conoce directamente en la referencia canónica R puesto que la matriz es: ' kc k H y' y kcy 0 k 0y 0 4 0y z' z kcz 0 0 k z 0 0 4z La composición SGH H G tendrá por ecuación matricial: ' y' y z' z ' y' y z' 0 z ( producto conmutativo) b) Hallar las ecuaciones de la transformada de la recta La transformación inversa es ' y' z' ' y y' y ' y' z' 6 8 z z' 0 z ' y' 8 8 e, y, z (,, ) t(,, 0) como la recta e tiene por ecuaciones y z despejando, ' y ' z ' por tanto, el eje e es invariante respecto de la semejanza U D de Matemáticas de la ETSI en Topografía, Geodesia y Cartografía 9

10 MATEMÁTICAS I º EXAMEN PARCIAL 9 de junio de 008 Esto se podía haber deducido sin calcular, puesto que el eje es el invariante del giro y el centro de la semejanza pertenece al propio eje c) Hallar la ecuación del transformado del plano z=0 El plano z=0 se transforma en ( ' y' + 8) = 0 ' y' + 8= Dada la cónica de ecuación y = 0 Se pide: a) Clasificación b) Ecuación reducida c) Semiejes y ecentricidad d) Centro e) Ejes f) Asíntotas, si las tiene (5 puntos) SOLUCIÓN #: - y = 0 a) Clasificación: 0 #: A #: MINOR(A,, ) 0 #4: 0-0 #5: Ac 0 - #6: DET(Ac) #7: - Cónica de tipo hiperbólico #8: DET(A) #9: 6 Se trata de una HIPÉRBOLA b) Ecuación reducida: #0: λ + λ y + k = 0 DET(A) #: k DET(Ac) #: - #: EIGENVALUES(Ac) #4: [, -] - y - = 0, es decir: y #5: - = / U D de Matemáticas de la ETSI en Topografía, Geodesia y Cartografía 0

11 MATEMÁTICAS I º EXAMEN PARCIAL 9 de junio de 008 c) Semiejes y ecentricidad: #6: a = #7: b = #8: c = a + b = + #9: c = #0: e = 6 #: e = d) Centro: #: SOLVE([ + = 0, - y = 0], [, y]) #: [ = - y = 0] e) Ejes: #4: EXACT_EIGENVECTOR(Ac, ) #5: [[@, 0]] Eje focal: Pasa por C(-,0) y es paralelo a (,0) #6: y = 0 Eje no focal: Pasa por C(-,0) y es perpendicular al eje focal #7: = - f) Asíntotas: Las asíntotas son rectas que pasan por el centro y tienen de pendiente m tal que: #8: - m = 0 #9: SOLVE( - m = 0, m) #0: m = - m = Luego, su ecuación es: #: y - 0 = ( + ) #: y - 0 = - ( + ) NOTA: Como la ecuación de la cónica no tiene término en y, se podría haber realizado el estudio completando los cuadrados de la y de la y, obteniéndose una ecuación reducida NOTA: Publicación de calificaciones: viernes de junio por la tarde Revisión de eamen: martes 7 a las h en el Laboratorio de Matemáticas U D de Matemáticas de la ETSI en Topografía, Geodesia y Cartografía

12 Nombre de archivo: Problema de Luisdoc Directorio: C:\Documents and Settings\Administrador\Escritorio Plantilla: Normaldot Título: Asunto: Autor: Matemáticas Palabras clave: Comentarios: Fecha de creación: 04/06/008 6: Cambio número: 7 Guardado el: 08/06/008 6:6 Guardado por: Matemáticas Tiempo de edición: 58 minutos Impreso el: 08/06/008 6:9 Última impresión completa Número de páginas: Número de palabras: 9 (apro) Número de caracteres: 8 (apro)