EL ESPACIO EUCLÍDEO. 1.- Sean (R 3,R 3,f) el espacio afín usual tridimensional real, R ={P 0, P 1, P 2, P 3 } y R,

Transcripción

1 EL ESPACIO EUCLÍDEO 1.- Sean (R,R,f) el espacio afín usual tridimensional real, R {P 0, P 1, P, P } y R, {Q 0, Q 1, Q,Q } dos referencias afines de (R,R,f) de bases asociadas B{ P 0 P 1 P 0 P, P0 P } y B { Q0 Q 1, Q0 Q, Q0 Q } siendo P 0 (1,,-1), P 1 (,,-), P (,4,-1) y P (,5,-1), Q 0 (1,0,1), Q 1 (1,1,0), Q (0,1,1) y Q (0,0,1). a) Probar que R {P 0, P 1, P, P } es una referencia afín de (R, R, f). b) Calcular las coordenadas del vector v (0, -,) respecto de la base B{ P 0 P 1, P0 P, P0 P } de R (R). c) Calcular las coordenadas de Q 0 (1,0,1) respecto R. d) Calcular las ecuaciones del cambio de la referencia afín R a R. e) Si un punto tiene por coordenadas (1,1,1) respecto de R. Cuáles son sus coordenadas respecto de R? f) Si un plano tiene por ecuación x+y+z0 respecto de R. Cuál es su ecuación respecto de R? a) Consideramos los vectores: P 0 P 1 (1,0,-1), P0 P (1,1,0), y P0 P (1,,0) y calculamos el determinante de { P 0 P 1, P0 P, P0 P } 1 0 y por lo tanto sistema libre que constituye una base de R y por consiguiente R { P 0 ; P 0 P 1, P0 P, P0 P } un sistema de referencia afín. b) La matriz construida con los vectores de la base B{ P 0 P 1, P0 P, P0 P } es la matriz del cambio de base de B a B : P 0 1, luego [] v B' c) Obtenemos el vector de posición P 0 Q 0 (0,-,) y lo expresamos respecto de la base B, resultando el vector de traslación P 0 Q0 7 B. 5 d) Debemos determinar los vectores de posición de los puntos Q 1, Q,Q respecto de R y escribir sus coordenadas respecto de la base B Q0 Q1 P 1 ; Q0 Q P 1 ; Q0 Q P 0 B -1 B 0 B 0 1 Finalmente el cambio de sistema de referencia de R a R es: Unidad docente de Matemáticas 1

2 x x ' y 7 y' z 5 1 z' e) Sustituyendo las coordenadas del punto A(1, 1, 1) en la ecuación anterior: x' x' y' y' z' z' (,,-6) son las coordenadas del punto A respecto de R. f) Del cambio de sistema de referencia de R en R despejamos x, y, z en función de x, x + x' y, z : y 7 x' y' z' y sustituyendo dichos valores en la ecuación x+y+z0, z 5+ x' + y' + z' resulta: y' z' 0 - Determinar la posición relativa de las dos rectas: x y r 8x y z ; s bx z b 6 x y a según los valores de los parámetros a y b. 0 8 rango(m) rango si b 5 0 b si b a 8(5-b)(a-) 0.Por tanto, b 0 b 6 b 5 0 a si a y b 5 el rango(m*) 4 y las rectas r y s se cruzan. si a y b 5 r(m) y r(m*) y las rectas son coincidentes. si a y b 5 r(m) y r(m*) y las rectas son secantes. si a y b 5 r(m) y r(m*) y las rectas son paralelas..- Dadas las rectas x 1 z k y y x + 1 y z, hallar: a) El valor de k para que sean secantes. b) Para el valor obtenido, la ecuación del plano que las contiene. c) Proyección de la recta 6xy-z sobre el plano anterior. SOLUCIÓN : a) De cada recta conocemos un punto y su vector director: Unidad docente de Matemáticas

3 r ( 1, 0, k ); v(, 1, -1 ) { A } y s { B ( -1,, 0 ); w (, 1, 1 )} formamos el vector AB El valor de k será igual a 14 b) La ecuación del plano pedida es: x+ 1 y z 1 1 x-5y-z k (-,,-k) y el producto mixto AB,v,w c) Se forma el plano perpendicular al plano anterior, π, y que contiene a la recta dada utilizando un vector perpendicular a π y la propia recta dada. x 1 y 5 17x+5y+9z 0 z La recta pedida es la intersección de ambos planos: x-5y-z+10 ; 17x+5y+9z0 4.-Encontrar las ecuaciones de una recta que se apoya en dos rectas r y s y pasa por el punto P(1,0,1). x z r y 1 x+y+z0 ; s x y Determinaremos dos planos que contengan a cada recta y al punto P. El plano π se obtiene con el vector de r, v (,1,-1), el punto A (0,,1) y P: i j k v AP 1 ( -, -1, -7 ) 1 0 el haz de planos paralelos será: x+y+7z. k y que contenga al punto P, será: x+y+7z10. π Para obtener σ se utiliza el haz de planos que contiene a s: (1+t) x + (1-t) y + z t que para P resulta t y por tanto σ 5x-y+z 6. Por consiguiente π y σ forman la recta pedida. 5.- Hallar los planos bisectores de los planos concurrentes: x - y + z y x - y - z + 0 e indicar cuál corresponde al ángulo agudo y cuál al obtuso. Los planos bisectores se obtienen como lugar geométrico de los puntos que equidistan de ambos planos, d(x, π ) d(x, σ ) x y+ z 5 x y z x y+ z 5 ± ( x y z+ ) Primera solución: α x+ y z Unidad docente de Matemáticas

4 Segunda solución: β 4x 5y+ z 0 Determinando los ángulos: (, 1, ).( 1,, ) cos( πα, ) (, 1, ).( 4, 51,) cos( πβ, ) Luego el plano agudo es β y el obtuso α. 1 πα, 60 πβ, 0 o o 6.- Dadas las rectas de ecuaciones: x t 7 xs+1 r y t+ 4; s ys-9 z t+ 4 z s Hallar: a) las ecuaciones paramétricas de la perpendicular común. b) el valor de la mínima distancia entre ellas. a) Se considera un punto genérico de cada recta A(t-7,-t+4,t+4) y B(s+1,s-9,-s-1), a continuación se forma el vector AB (s - t + 8,s + t - 1,-s - t - 16) y se impone la condición de perpendicular a ambas rectas mediante el producto escalar igual a cero. AB. v 0-4s-t+0 > t1/9 AB. w 0 6s+4t-0 > s9/9 La solución constituye el vector ortogonal y los puntos que miden la mínima distancia entre las rectas b) d(r,s) d(a,b) AB 9 00 x + 8t y 57t z 476t Encontrar el área del triángulo que tiene como vértices los puntos de intersección del plano de ecuación x+y+z6 con los ejes coordenados. Los puntos intersección con los ejes son: Si y0 y z0, entonces, A (, 0, 0 ) Si z0 y x0, entonces, B (0,, 0 ) Si y0 y x0, entonces, C (0, 0, ) Unidad docente de Matemáticas 4

5 los vectores AB ( -,, 0 ) y AC ( -, 0, ) forman un paralelogramo cuya área es el módulo del producto vectorial. AB AC ( 4, 6, 6 ) (Utilizar CROSS ( AB, AC )) y el área del triángulo ABC es: S 1 AB AC (Utilizar ABS( AB AC )) 8.- Dadas las rectas r: x + y 0, x -z - 0; y s: x + t, y -t, z t, se pide: a) Hallar la ecuación de una recta que sea paralela al eje OX y corte a r y a s. b) Hallar k para que la recta obtenida y el plano kx + y - kz + k 0 formen un ángulo de 0. a) Se considera un punto genérico de cada recta A y B, a continuación se forma el vector AB ( + t - s,s - t,t - s + ) y se impone la condición de paralelismo al eje OX, determinando los puntos de intersección con r y s. x 4 + λ t 6 y 6 + t s s t t s + s z 6 b) Tenemos el vector director del eje OX, v (, 10, 0) y el vector n ortogonal al plano. o v.n k 1 1 sen0 cos(v, n) k ± v n 4k + 1+ k 11 Unidad docente de Matemáticas 5