ESPACIO VECTORIAL 12 de marzo de ligado, entonces al menos un vector de H es combinación lineal del resto de ellos.

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1 ESPACIO VECTORIAL de marzo de 00 PRUEBA Nº - Demostrar que en un espacio vectorial V, si H u, u,, u r es un sistema ligado, entonces al menos un vector de H es combinación lineal del resto de ellos - Si u, v, w, z es libre, lo es alguno de los siguientes conjuntos? a) u v, v w, w u b) u v, v w, w z, z u a) No es libre: u v v w w u 0 0 u v w b) No es libre: u v v w w z z u 0 u v w z 0 - En R se considera el subespacio vectorial S engendrado por los vectores {(,0,), (,,0), (,-,)} el hiperplano H de ecuación {x + = 0} respecto de la base canónica de R Se pide: a) Obtener las ecuaciones implícitas de S H b) Dar una base de S+H a) Para S: r 0 una base {(,0,), (,,0)} U D de Matemáticas de la ETSI en Topografía, Geodesia Cartografía

2 ESPACIO VECTORIAL de marzo de 00 x x 0 ecuaciones paramétricas de S z 0 z ecuación implícita x=+z, o bien x--z=0 Para H: x+=0 tenemos una ecuación cartesiana o implícita de aquí se deduce que dim (H)= Intersección S H Para sacar las ecuaciones implícitas basta unir las de S H xz0 que, como se ve son independientes forman las ecuaciones de S H x0 luego dim (S H) = dim (R ) nº ecuaciones = - = b) Suma S+H Dim (S+H) = dim S+ dim H - dims H=+-= S+H=R La base canónica B c ={(,0,0),(0,,0),(0,0,)} es una base de S+H - Sean B u, v, w B' u ', v ', w ' dos bases de R, tales que u' u v w, v ' u v w' u w Hallar las ecuaciones del cambio de la base B a B de la base B a B El sistema u' u v w, v u v w' u w en forma matricial sería: u' v' w' u v w 0 0 Cualquier vector v R se puede escribir respecto a las dos base B B en la x' x forma matricial v u v w u v w ' ' ' ' z' z Ahora sustituendo la ecuación anterior, resulta x' x x' x vu' v' w' ' u v w u v w 0 ' u v w z' z 0 z' z Como la expresión de un vector respecto de una base es única queda x' x 0 ' que son las ecuaciones del cambio de base de B a B 0 z' z Para obtener las ecuaciones del cambio de base de B a B basta con despejar (x,,z ) con respecto a (x,,z) en el sistema anterior, U D de Matemáticas de la ETSI en Topografía, Geodesia Cartografía

3 ESPACIO VECTORIAL de marzo de 00 x' x x x' x x' 0 ' 0 ' ' 0 z' z 0 z z' z z' CADA EJERCICIO PUNTÚA SOBRE 0, puntos PRUEBA Nº - Demostrar que las coordenadas de un vector respecto de una base son únicas - Si u, v, w, z es libre, lo es alguno de los siguientes conjuntos? a) u v, v w, w u b) u v, v w, w z, z u a) Sí es libre: u v v w w u 0 0 u v w b) No es libre: u v v w w z z u 0 0 v w u - Sean los subespacios vectoriales: E,, /,, R F x,,z R /xz 0 Se pide: U D de Matemáticas de la ETSI en Topografía, Geodesia Cartografía

4 ESPACIO VECTORIAL de marzo de 00 a) Obtener las ecuaciones implícitas de E F b) Hallar una base de E+F a) Para E: r 0 una base {(,0,), (0,,)} x 0 x 0 ecuaciones paramétricas de E z z ecuación implícita z=x+, o bien x+-z=0 Para F: x-+z=0 tenemos una ecuación cartesiana o implícita dim (F)= Intersección E F Para sacar las ecuaciones implícitas basta unir las de E F xz0 que, como se ve son independientes forman las ecuaciones de E F xz0 luego dim (E F) = dim (R ) nº ecuaciones = - = b) Suma E+F Dim (E+F) = dim E+ dim F - dim E F=+-= E+F=R La base canónica B c ={(,0,0),(0,,0),(0,0,)} es una base de E+F - Sea la matriz A= 0 de cambio de base de B a B, siendo B={ u, u u } B ={ v v, v } Escribir el vector u en función de los vectores de B Hallar la matriz del cambio de base de B a B La matriz A que representa el cambio de base de B a B esta construida con las coordenadas de los vectores de la base B referidos a la base B, en nuestro caso será 0 siendo cada vector u u u u (,,) ' v v v ; B u (,0,) v 0v v ; B' u (,,) ' v v v B U D de Matemáticas de la ETSI en Topografía, Geodesia Cartografía

5 ESPACIO VECTORIAL de marzo de 00 La matriz del cambio de base de B a B será la inversa de la matriz A: A CADA EJERCICIO PUNTÚA SOBRE 0, puntos PRUEBA Nº - Definir: a) Sistema generador b) Sistema libre c) Base - Si u, v, w, z es libre, lo es alguno de los siguientes conjuntos? a) u,uv,uv w b) u,v,w, z a) Sí es libre: uuvuvw 0 0 uv w b) Sí es libre: uvwz uvww Sean los subespacios vectoriales: E,, /,, R F x,,z R /xz 0;xz 0 U D de Matemáticas de la ETSI en Topografía, Geodesia Cartografía 5

6 ESPACIO VECTORIAL de marzo de 00 Se pide: a) Obtener las ecuaciones implícitas de E F b) Hallar una base de E+F a) Para E: r 0 una base {(,0,), (0,,)} x 0 x 0 ecuaciones paramétricas de E z z ecuación implícita z=x+, o bien x+-z=0 Para F: xz0 tenemos dos ecuaciones cartesianas o implícitas de aquí se deduce que xz0 dim (F)=-= Intersección E F Para sacar las ecuaciones implícitas basta unir las de E F Exz0 x 0 xz00luego F x z 0 z 0 EF0 son las ecuaciones de E F luego dim (E F) = dim (R ) nº ecuaciones = - = 0 b) Suma E+F Dim (E+F) = dim E+ dim F - dim E F=+-0= E+F=R La base canónica B c ={(,0,0),(0,,0),(0,0,)} es una base de E+F 0 - Sea la matriz A= 0 de cambio de base de B a B, siendo B={ u, u u } B ={ v v, v } Escribir el vector u en función de los vectores de B Hallar la matriz del cambio de base de B a B La matriz A que representa el cambio de base de B a B esta construida con las coordenadas de los vectores de la base B referidos a la base B, en nuestro caso será 0 0 siendo cada vector u u u U D de Matemáticas de la ETSI en Topografía, Geodesia Cartografía 6

7 ESPACIO VECTORIAL de marzo de 00 u (, 0,) B' v v ; u (0,,) B' 0v v v ; u (,,) B' v v v La matriz del cambio de base de B a B será la inversa de la matriz A: 0 A 0 CADA EJERCICIO PUNTÚA SOBRE 0, puntos PRUEBA Nº - Demostrar que en un espacio vectorial V, si H u, u,, u r al menos un vector de H es combinación lineal del resto de ellos, entonces es un sistema ligado - Si u, v, w, z es libre, lo es alguno de los siguientes conjuntos? a) uvw,wu,uv w b) u v, v w, w z, z u a) Sí es libre: uvwwuuvw 0 0 u v w b) No es libre: u v v w w z z u 0 U D de Matemáticas de la ETSI en Topografía, Geodesia Cartografía 7

8 ESPACIO VECTORIAL de marzo de 00 u v w z 0 - En R se considera el subespacio vectorial S engendrado por los vectores {(,0,), (0,,), (,,)} el hiperplano H de ecuación {x + + z = 0} respecto de la base canónica de R Se pide: a) Obtener las ecuaciones implícitas de S H b) Dar una base de S+H a) Para S: r 0 una base {(,0,), (0,,)} x 0 x 0 ecuaciones paramétricas de S z z ecuación implícita z=x+, o bien x+-z=0 Para H: x++z=0 tenemos una ecuación cartesiana o implícita de aquí se deduce que dim (H)= Intersección S H Para sacar las ecuaciones implícitas basta unir las de S H xz0 x que, como se ve son independientes forman las ecuaciones xz0 z0 de S H luego dim (S H) = dim (R ) nº ecuaciones = - = b) Suma S+H Uniendo las dos bases {(,0,), (,,0), (0,0,), (,-,0)} se obtiene un sistema generador de S+H, pero que no puede ser base de S+H, a que S+H= R, sin embargo, {(,0,), (,,0), (0,0,)} es una base de S+H dos bases de R, tales que u' u w, v' vw w' uvw Hallar las ecuaciones del cambio de la base B a B - Sean B u, v, w B' u', v', w' de la base B a B U D de Matemáticas de la ETSI en Topografía, Geodesia Cartografía 8

9 ESPACIO VECTORIAL de marzo de 00 El sistema u' u w, v' vw, w' uvw en forma matricial sería: 0 u' v' w' u v w 0 Cualquier vector v R se puede escribir respecto a las dos base B B en la x' x forma matricial v u v w u v w ' ' ' ' z' z Ahora sustituendo la ecuación anterior, resulta x' x 0 x' x vu' v' w' ' u v w u v w 0 ' u v w z' z z' z Como la expresión de un vector respecto de una base es única queda 0 x' x 0 ' que son las ecuaciones del cambio de base de B a B z' z Para obtener las ecuaciones del cambio de base de B a B basta con despejar (x,,z ) con respecto a (x,,z) en el sistema anterior, 0 x' x 0 x x' x x' 0 ' 0 ' ' z' z z z' z z' CADA EJERCICIO PUNTÚA SOBRE 0, puntos U D de Matemáticas de la ETSI en Topografía, Geodesia Cartografía 9