x x x x Nº Matrícula Apellidos Nombre. Ejercicio 1: (6 ptos) a) Resolver el siguiente sistema aplicando factorización LU: = U y L =

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1 Dpto. Matemática Aplicada. Facultad de Informática. UPM 8 de Octubre de GRUPO SM-M+I ÁLGEBRA LINEAL er PARCIAL MATRICES, SISTEMAS y ESPACIOS VECTORIALES Nº Matrícula Apellidos Nombre. Ejercicio : (6 ptos) a) Resolver el siguiente sistema aplicando factorización LU: x x x 6x 7x x x x FF,FF F F Tomo A= 6 7 = U y L =. Por x tanto, PA=LU con P= y b = P. Luego, el sistema nos queda LUx = b y este sistema x y x y se puede resolver resolviendo los sistemas siguientes: y = y x = y. y 7 x y Así, en el primer sistema obtenemos y =-, y =, y =, metiendo esta solución como término independiente en el segundo sistema obtenemos: x 7, x 9, x b) Resolver el siguiente sistema en : x x x x x x x x F F, FF F F. Por tanto, tomando x como x x parámetro obtenemos: x x c) Dar el conjunto de todas las soluciones del sistema del apartado b) Demostrar si este conjunto es o no un subespacio vectorial de. Dando al parámetro los valores y obtenemos que, el conjunto de soluciones sólo tiene dos elementos {(,,,), (,,,,)}, y este conjunto NO es un s.v. de ya que el elemento (,,,) no está en dicho conjunto.

2 Ejercicio : (6 ptos) a) Demostrar que el siguiente conjunto es un subespacio vectorial de : x xz S y : yz z S por la definición de S; S ya que el vector (,,)S por cumplir las ecuaciones implícitas de S. Ahora supongamos dos vectores pertenecientes a S, (x,y,z) y (x,y,z ) S por tanto, verificarán las ecuaciones x x' implícitas de S: y y y' z, luego z' x x' x x' x x' y y' y y' y y' S z z' z z' z z' x Ahora supongamos un vector perteneciente a S, (x,y,z) S y un escalar, luego, y z x x x y y y S z z z Por tanto, S s.v. de. y b) Dado en n un s.v. S de dimensión k. Cuál es el rango de la matriz de coeficientes de las ecuaciones implícitas de S?. Rango(matriz coefts. Ecs. implícitas de S)=n-dimS=n-k x x n Dada una matriz A M ( ) y S :A mn Cuál es la dimensión de S? dims=n-rg(a), ya que x x n n A es la matriz de coeficientes de las ecuaciones implícitas de S. x Cómo obtendrías las ecuaciones paramétricas de S? Resolviendo el sistema homogéneo (ecs. implícitas de S) A x n Para A justifica cuales de los siguientes vectores están en S: (,-,,,), (,,,,), (,,,,), (,,-,,) y (,-,,,): Los vectores (,,,,) y (,-,,,) pertenecen a S ya que cumplen las ecuaciones implícitas de S: x x x x x Ecs. Implícitas de S x x x Los vectores (,-,,,), (,,,,) y (,,-,,) NO pertenecen a S ya que NO cumplen las ecuaciones implícitas de S

3 c) Define los siguientes conceptos: Dependencia e independencia lineal de un conjunto de vectores v,...,v k, L v,...,v k y dimensión de un subespacio vectorial. Buscar en los apuntes las definiciones. Ejercicio : (6 ptos) Dado el siguiente subespacio vectorial de : S L,,,,, a) Obtener una base de S formada por vectores del sistema de generadores de S dado. FF, FF Por tanto B S =,. b) Obtener la base más sencilla de S: F F F F F Por tanto B=, es la base más sencilla de S. c) Obtener las coordenadas del vector S respecto de la base de S obtenida en el apartado b) anterior., por tanto, las coordenadas de respecto de B son (, -). Ejercicio : ( ptos) Discutir en función del valor de a la dimensión del subespacio vectorial x yaz S : x ay z a ax y z casos que sea posible, una base del subespacio vectorial S. a a a a a FF, FaF a a FF a a a a a a a y obtener, en los ; -a-a = a= o a=-.

4 Si a= entonces rg rg sistema x+y+z=. Por tanto, B S ={(,,-), (,,-)}. Si a=- entonces rg resolviendo el sistema Si a y a- entonces S a ={(,,)} que no tiene base. rg x yz. Por tanto, B S- ={(,,)}. y z a a rg a rg a a a aa, luego dims = y una base de S la obtenemos resolviendo el, luego dims - = y una base de S - la obtenemos, luego dims a = y S a es el s.v. trivial Ejercicio : ( ptos) En el espacio vectorial consideramos S L,,, y a) Hallar las ecuaciones implícitas de S. Primero buscamos, a partir del sistema de generadores de S dado, una base de S: x x x x x. x x x x x T x : x x x B S,, x x Luego las ecuaciones paramétricas de S serán: x abc y eliminando los parámetros a, b, c x x obtendremos las ecuaciones implícitas de S: x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

5 b) Hallar una base de T: para ello resolvemos el sistema homogéneo dado por las ecuaciones implícitas de T, x ab x x x x ab x x x x a b B, T x x x x b x a c) Hallar, si es posible, una base de ST: para ello resolvemos el sistema homogéneo dado por las ecs. implícitas de T y de S, x x x x x x x x x x x x x x x x x a x x a B TS x a x a d) Hallar una base de S+T: como S+T=L{B S B T } buscamos, a partir del sistema de generadores B S B T de S+T, una base de S+T: B S T,,, e) Razonar si S+T es suma directa: NO es suma directa ya que S T no es el s.v. trivial cero, es decir, S T {(,,,,)}. Razonar si S y T son suplementarios, y en caso de no serlo hallar un suplementario de S. S y T NO son suplementarios, ya que no son suma directa. Para obtener un suplementario se S extendemos la base de S, obtenida en el apartado a), a una base de, y los vectores añadidos serán una base de un suplementario de S. B S,, B,,,, Sup de S L, Comprobar la fórmula de la dimensión de la suma: dims=, dimt=, dim(s+t)= y dimst =, por tanto, dim(s+t)=dims+dimt-dimst

6 Ejercicio 6: ( ptos) Demostrar la siguiente proposición: Sea V un espacio vectorial sobre K y {x,..., x n } un sistema de generadores de V. Entonces cualquier conjunto {y,..., y m } con más de n vectores es linealmente dependiente. Buscar y estudiar en los apuntes o en cualquier libro de la bibliografía la demostración.