ESPACIOS VECTORIALES
|
|
- Marcos Valdéz Peña
- hace 5 años
- Vistas:
Transcripción
1 Capítulo 1 CONCEPTOS TEÓRICOS ESPACIO VECTORIAL Un conjunto E = {a, b, c, } de elementos (llamados vectores) se dice que constituyen un espacio vectorial sobre un cuerpo conmutativo K (que generalmente es el cuerpo de lo reales) si se cumplen: LEY DE COMPOSICIÓN INTERNA I En E se define una ley de composición interna que designamos +, tal que (E, +) tiene estructura de grupo abeliano LEY DE COMPOSICIÓN EXTERNA II Siendo λ, μ y a, se define una ley de composición externa, que notamos, que satisface las siguientes propiedades λ (μ a) = (λμ) a λ (a + b) = λ a + λ b (λ + μ) a = λ a + μ a 1 a = a (1 es la unidad de ) VECTORES LINEALMENTE DEPENDIENTES Dados los vectores,, a n, se dice que son linealmente dependientes si existen, λ 2,, λ n, tales que + + λ n a n (vector cero), no siendo nulas todas las λ i 11
2 VECTORES LINEALMENTE INDEPENDIENTES En caso contrario, los vectores son linealmente independientes Si el vector a se puede obtener a = + + λ n a n se dice que es combinación lineal de los,, a n SISTEMA GENERADOR DE UN ESPACIO VECTORIAL Si todos los vectores de un espacio vectorial E se pueden obtener como combinación lineal de los vectores,, a m, se dice que estos m vectores forman un sistema generador del espacio vectorial E BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL Si los vectores que forman un sistema generador son linealmente independientes, constituyen una base de E DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL Todas las bases de un mismo espacio vectorial constan del mismo número de vectores, que es la dimensión del espacio vectorial considerado SUBESPACIO VECTORIAL O VARIEDAD LINEAL Un subconjunto E del espacio vectorial E se llama subespacio vectorial o variedad lineal si E es a su vez, un espacio vectorial, con las mismas leyes de composición de E 12 MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
3 EJERCICIOS RESUELTOS 1 Verificar que el conjunto formado por los n-tuplos (,, a 3 ), con las operaciones (, a 3, a n ) + (b 1, b 2, b 3, b n ) = = ( + b 1 + b 2, a 3 + b 3, a n + b n ) y siendo λ, λ(, a 3, a n ) = (λ, λ, λa 3, λa n ) constituye un espacio vectorial Procediendo como en el Ejemplo 1, del libro de teoría, se verifica, sin dificultad, que el conjunto dado tiene estructura de espacio vectorial 2 Demostrar que el conjunto de los polinomios de coeficientes números racionales, de grado igual o menor que n, es un espacio vectorial sobre el cuerpo de los números racionales, con las operaciones, suma ordinaria de polinomios y producto por un número Procediendo como en ejercicios anteriores, se comprueba que la suma de polinomios p(x) = a 0 x n + x n 1 + x n a n 2 x 2 + a n 1 x + a n dota al conjunto de los polinomios de estructura de grupo abeliano Es inmediato comprobar, tambien, que si k Q, la ley k p(x) verifica las cuatro propiedades de la ley exterior 3 Dados los vectores del espacio bidimensional = (4, 2) = (3, 1), a 3 = (6, 4) son linealmente dependientes? Si son linealmente dependientes, se tiene que cumplir que a 3 no siendo nulos simultáneamente, λ 2 y λ 3 13
4 Entonces (4, 2) (3, 1) (6, 4) = (0, 0) o bien [(4 + 3λ 2 + 6λ 3 ), (2 + 4λ 3 )] = (0, 0) o bien 4λ1 + 3λ2 + 6λ3 2λ1 + λ2 + 4λ3 Sistema compatible indeterminado que admite la solución, no trivial, si hacemos λ 3 = 1: nos proporciona = 3λ 3 y λ 2 = 2λ 3 = 3, λ 2 = 2, λ 3 = 1 3 (4, 2) 2(3, 1) (6, 4) = (0, 0) esto es, existen tres números 3, 2 y 1, no todos cero, que hacen la suma igual al vector cero; luego los tres vectores dados son linealmente dependientes Nota: Tres vectores en 2 son siempre LD ya que el número máximo de vectores LI es 2 4 Dados los vectores del espacio tridimensional = (1, 5, 2) = (2, 1, 1), a 3 = (3, 1, 1) son linealmente dependientes? Si son linealmente dependientes, existen tres números, λ 2 y λ 3, no todos cero, tales que o bien a 3 (1, 5, 2) (2, 1, 1) (3, 1, 1) = (0, 0, 0) 14 MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
5 de donde + 2λ 2 + 3λ Sistema homogéneo que, como solo admite la solución trivial = λ 2 = λ 3 Por tanto, como no existen tres números no todos cero que verifiquen a 3 luego los vectores son linealmente independientes 5 Los vectores del ejercicio 4 son un sistema generador de los vectores del espacio tridimensional? Sea un vector genérico u = (x, y, z) del espacio tridimensional; si los vectores = (1, 5, 2) = (2, 1, 1) y a 3 = (3, 1, 1) son un sistema generador, para todo x, y, z, se debe cumplir que existan, λ 2 y λ 3 tales que: o sea, o bien a 3 = u (1, 5, 2) (2, 1, 1) (3, 1, 1) = (x, y, z) + 2λ 2 + 3λ 3 = x 5 = y 2 = z 15
6 Sistema compatible y determinado, ya que Por tanto, sean cualesquiera x, y, z, existen siempre tres números, λ 2 y λ 3 que permiten expresar el vector U = (x, y, z) como combinación lineal de y a 3, lo que indica que estos tres vectores forman un sistema generador del espacio tridimensional 6 Los vectores y a 3 de los ejercicios anteriores, forman una base del espacio tridimensiona 3? En el problema 5 se ha visto que formaban un sistema generador y en el problema 4 se comprobó que eran linealmente independientes, luego los vectores, y a 3 constituyen una base de L 3 7 Dada la base del espacio vectorial E 3 : = (1, 5, 2) = (2, 1, 1) y a 3 = (3, 1, 1), hallar en dicha base las coordenadas del vector b = (3, 8, 2) Sean x 1, x 2 y x 3 las coordenadad de b en la base dada; entonces: que proporciona el sistema: x 1 (1, 5, 2) + x 2 (2, 1, 1) + x 3 (3 1, 1) = (3, 8, 2) Sistema que, resuelto, proporciona x1 + 2x2 + 3x3 = 3 5x1 + x2 + x3 = 8 2x1 + x2 + x3 = 2 x 1 = 2, x 2 = 7, x 3 = 5 Las coordenadas de b en la base formada por y a 3 son (2, 7, 5) 16 MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
7 8 Dados los vectores del espacio de cuatro dimensiones de 4 : a = (3, 1, 5, 0); b = (6, 2, 9, 1); c = (3, 1, 6, 1); d = ( 3, 1, 2, 3) determinar la dimensión del subespacio vectorial engendrado por ellos y una base de dicho subespacio vectorial Es sabido que la dimensión del subespacio vectorial engendrado por varios vectores dados es igual al rango de la matriz que tiene por columnas (o por filas) a los vectores dados Así, pues, en nuestro problema bastará hallar el rango de la matriz: El menor A = es distinto de cero Luego r(a) 2 Como todos los menores de tercer orden que se pueden hallar orlando el anterior son nulos (obsérvese que la primera columna se obtiene multiplicando por 3 a la segunda), concluimos que: r(a) = 2 y, por tanto, la dimensión del subespacio vectorial es también Como el menor está formado por elementos de los dos primeros vectores, dichos dos vectores son linealmente independientes y constituyen una 6 9 base 17
8 9 Determinar las ecuaciones paramétricas de la variedad lineal engendrada por los vectores del ejercicio anterior Como una base de dicha variedad lineal o subespacio vectorial era: a = (3, 1, 5, 0); b = (6, 2, 9, 1) y todo vector v = (x 1, x 2, x 3, x 4 ) perteneciente a dicha variedad lineal debe poder obtenerse como combinación lineal de los vectores que forman la base considerada, esto es: tendremos: de donde: v = λa + μb, λ, μ (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = λ(3, 1, 5, 0) + μ(6, 2, 9, 1) x x x x que son las ecuaciones paramétricas pedidas = 3λ + 6μ = λ 2μ = 5λ + 9μ = μ 10 Sabiendo que el vector (0, y 2, 1, y 4 ) pertenece a la variedad lineal engendrada por los vectores del ejercicio 8, hallar y 2 e y 4 Sustituyendo en las ecuaciones paramétricas obtenidas en el ejercicio anterior, n o 9, como y 1, y 3 = 1, se tiene: sistema que, resuelto, proporciona λ = 2, μ = 1 Con estos valores: y 2 = λ 2μ = 2 2 ( 1) y 4 = μ = 1 0 = 3λ + 6μ 1= 5λ + 9μ 18 MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
9 11 Dados los vectores: obtener a = (2, 3, 4, 1, 1); b = (3, 4, 7, 2, 1); c = (1, 3, 1, 1, 8); d = (0, 5, 5, 1, 4) 1 La dimensión de la variedad lineal engendrada por ellos 2 Una base de dicha variedad lineal 3 Sabiendo que el vector (8, 4, 3, y 4, y 5 ) pertenece a dicha variedad lineal, calcular y 4 e y 5 Formando la matriz se obtiene A = y como todos los menores de cuarto orden que se pueden formar orlando a dicho menor son nulos, resulta r(a) = 3, y, por tanto, también es 3 la dimensión de la variedad lineal: a = (2, 3, 4, 1, 1); b = (3, 4, 7, 2, 1); d = (0, 5, 5, 1, 4) Las ecuaciones paramétricas serán (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) = λa + μb + μd x x x x x = 2λ + 3μ = 3λ + 4μ+ 5v = 4λ + 7μ+ 5v = λ 2μ v = λ μ+ 4v 19
10 Como y 1 = 8, y 2 = 4, y 3 = 3, se tiene 8= 2λ + 3μ 4= 3λ + 4μ+ 5v 3= 4λ + 7μ+ 5v sistema que, resuelto, proporciona: λ = 1, μ = 2, v = 3 y de aquí: y y 4 5 = λ 2μ v = 2 = λ μ+ 4v = Determinar x e y para que el vector v = (3, 2, x, y) pertenezca a la variedad lineal engendrda por (1, 4, 5, 2) y (1, 2, 3, 1) Para que v pertenezca a la referida variedad lineal, con λ, μ de donde λ(1, 4, 5, 2) + μ(1, 2, 3, 1) = (3, 2, x y) λ + μ = 3 4λ + 2μ = 2 5λ + 3μ = x 2λ + μ = y De las primeras: λ = 2, μ = 5, que sustituidos en la tercera y la cuarta: x = 5 ( 2) + 3 5= 25 y = 2 ( 2) + 1 5= 1 20 MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
ÍNDICE. Capítulo 1. ESPACIOS VECTORIALES Conceptos Teóricos Ejercicios y Problemas resueltos... 13
00_Principios 10/8/10 09:47 Página 7 ÍNDICE Prólogo... 9 Capítulo 1. ESPACIOS VECTORIALES... 11 Conceptos Teóricos... 11 Ejercicios y Problemas resueltos... 13 Capítulo 2. MATRICES Y DETERMINANTES... 21
Más detallesTema 1. Espacios Vectoriales Definición de Espacio Vectorial
Tema 1 Espacios Vectoriales. 1.1. Definición de Espacio Vectorial Notas 1.1.1. Denotaremos por N, Z, Q, R, C, a los conjuntos de los números Naturales, Enteros, Racionales, Reales y Complejos, respectivamente.
Más detallesUn conjunto E a,b,c, de elementos (llamados vectores) se dice que constituye. (a,b) (a',b') (a a',b b')
ESPACIOS VECTORIALES Un conjunto E a,b,c, de elementos (llamados vectores) se dice que constituye un espacio vectorial sobre un cuerpo conmutativo K (que generalmente es el cuerpo de los reales) si se
Más detallesCAPÍTULO 4 ESPACIOS VECTORIALES
CAPÍTULO 4 ESPACIOS VECTORIALES 4.1.- Concepto y definición de espacio vectorial. 4.2.- Propiedades de los espacios vectoriales. 4.3.- Subespacios vectoriales. 4.4.- Combinación lineal de vectores. 4.5.-
Más detallesRelación 1. Espacios vectoriales
MATEMÁTICAS PARA LA EMPRESA Curso 2007/08 Relación 1. Espacios vectoriales 1. (a) En IR 2 se consideran las operaciones habituales: (x, y) + (x, y ) = (x + x, y + y ) λ(x, y) = (λx, λy) Demuestra que IR
Más detallesMatemáticas para la Empresa
Matemáticas para la Empresa 1 o L. A. D. E. Curso 2008/09 Relación 1. Espacios Vectoriales 1. a) En IR 2 se consideran las operaciones habituales: (x, y) + (x, y ) = (x + x, y + y ) λ(x, y) = (λx, λy)
Más detallesCAPÍTULO 1. Espacios Vectoriales. Sumario
CAPÍTULO 1 Espacios Vectoriales Sumario 1.1. Introducción 1.2. La estructura de espacio vectorial 1.3. Dependencia e independencia lineal 1.4. Subespacios vectoriales o variedades lineales 1.5. Base y
Más detallesTEMA V. Espacios vectoriales
TEMA V. Espacios vectoriales 1 1. Demostrar que cada uno de los siguientes conjuntos tiene estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo de los reales: a El conjunto (R 2, +,, R. b El conjunto (R 3,
Más detallesSobre vectores y matrices. Independencia lineal. Rango de una matriz
Espacios vectoriales Llamaremos R 2 al conjunto de todos los pares ordenados de la forma (a 1, a 2 ) tal que a 1, a 2 R. Es decir: R 2 = {(a 1, a 2 ) : a 1, a 2 R} De la misma forma: R 3 = {(a 1, a 2,
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS del espacio vectorial curso
PROBLEMAS RESUELTOS del espacio vectorial curso - - Consideremos el conjunto R formado por todas las parejas () de números reales Se define en R la operación interna ()( )( ) una de las operaciones eternas
Más detallesGrado en Ciencias Ambientales. Matemáticas. Curso 11/12
Grado en Ciencias Ambientales. Matemáticas. Curso 11/12 Problemas Tema 1. Espacios Vectoriales. 1 Repaso de Estructuras Algebraicas 1.1. Construye explícitamente el conjunto A B, siendo A = {1, 2, 3},
Más detallesProblemas de Espacios Vectoriales
Problemas de Espacios Vectoriales 1. Qué condiciones tiene que cumplir un súbconjunto no vacío de un espacio vectorial para que sea un subespacio vectorial de este? Pon un ejemplo. Sean E un espacio vectorial
Más detallesTema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones.
Tema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones. Álgebra Lineal Escuela Politécnica Superior Universidad de Málaga Emilio Muñoz-Velasco (Basado en los apuntes de Jesús Medina e Inmaculada Fortes)
Más detalles1. Espacio vectorial. Subespacios vectoriales
Álgebra lineal y Geometría I Gloria Serrano Sotelo Departamento de MATEMÁTICAS Sea k un cuerpo. 1. Espacio vectorial. Subespacios vectoriales Definición 1.1. Un k-espacio vectorial o espacio vectorial
Más detallesEspacios vectoriales.
Unidad docente de Matemáticas Matemáticas (CC. Químicas) Espacios vectoriales. Si detectas cualquier error o errata por favor, comunicaselo al profesor de la asignatura. El subíndice can significa canónica/o..
Más detallesTema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones.
Tema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones. Álgebra Lineal Escuela Politécnica Superior Universidad de Málaga Emilio Muñoz-Velasco (Basado en los apuntes de Jesús Medina e Inmaculada Fortes)
Más detallesTema 7. El espacio vectorial R n Conceptos generales
Tema 7 El espacio vectorial R n. 7.1. Conceptos generales Un vector es un segmento orientado que queda determinado por su longitud, dirección y sentido. Sin embargo, desde el punto de vista del Álgebra,
Más detallesSubspacios Vectoriales
Subspacios Vectoriales AMD Grado en Ingeniería Informática AMD Grado en Ingeniería Informática (UM) Subspacios Vectoriales 1 / 25 Objetivos Al finalizar este tema tendrás que: Saber si un subconjunto es
Más detalles6 Vectores. Dependencia e independencia lineal.
6 Vectores. Dependencia e independencia lineal. Introducción Hay fenómenos reales que se pueden representar adecuadamente mediante un número con su adecuada unidad de medida. Sin embargo para representar
Más detalles2.10 Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos 99 1 0 0 0 x 1 0 1 0 0 x 2 0 0 1 0 x 3 x 2 0 0 0 1 x 4 + x 1 +4x 2 + x 3 x 2 0 0 0 1 x 5 x 2 1 0 0 0 x 1 0 1 0 0 x 2 0 0 1 0 x 3 x 2 0 0 0 1 x 4 + x 1 +4x 2 + x 3 x 2 0 0 0 0 x 5
Más detalles2.9 Ejercicios resueltos
86 Sistemas de ecuaciones lineales. Espacios vectoriales. 2.9 Ejercicios resueltos Ejercicio 2. Sea A = ( ) 2. Se pide: 3 m a) Encontrar m para que existan matrices cuadradas B ynonulastalesque A B =0.
Más detalles1.- Definir: Vectores linealmente dependientes y Sistemas ligados.
Prueba de Evaluación Continua Grupo B 23-03-11 1- Definir: Vectores linealmente dependientes Sistemas ligados Demostrar que un conjunto de vectores son linealmente dependientes si sólo si uno de ellos
Más detallesSi u y v son vectores cualquiera en W, entonces u + v esta en W. Si c es cualquier numero real y u es cualquier vector en W, entonces cu esta en W.
Unidad 4 Espacios vectoriales reales 4.1 Subespacios Si V es un espacio vectorial y W un subconjunto no vacío de V. Entonces W es un subespacio de V si se cumplen las siguientes condiciones Si u y v son
Más detallesÁlgebra Lineal Grupo A Curso 2011/12. Espacios vectoriales. Bases...
Álgebra Lineal Grupo A Curso 2011/12 Espacios vectoriales. Bases 61) Dados los vectores v 1,v 2,...,v n linealmente independientes, probar que también lo son los vectores u 1 = v 1 u 2 = v 1 + v 2... u
Más detallesEjercicio 2 (Examen de septiembre de 2009) Razona cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales:
Ejercicio 1 De los siguientes subconjuntos de R 3 decida cuales son subespacios y cuales no: a) U 1 = {(x,y,z) / x = 1 = y+z} b) U 2 = {(x,y,z) / x+3y = 0,z 0} c) U 3 = {(x,y,z) / x+2y+3z= 0 = 2x+y} d)
Más detallesEjercicios tipo test de las lecciones 1 y El vector e = ( 1, 0, λ) está en el plano generado por los vectores u = (1, 2, 1) y
Álgebra lineal y Geometría I Gloria Serrano Sotelo Departamento de MATEMÁTICAS Ejercicios tipo test de las lecciones 1 y 2. 1. El vector e = ( 1, 0, λ) está en el plano generado por los vectores u = (1,
Más detallesc) con las operaciones usuales
Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES Ejercicio 1: Determine si los siguientes conjuntos con las operaciones definidas en cada caso son o no espacios vectoriales. Para aquellos que no lo sean, indique
Más detalles4. Espacios vectoriales
Contents 4 Espacios vectoriales 2 4.1 Dependencia e independencia lineal.................................. 4 4.2 Subespacios vectoriales.............................................. 7 4.3 Bases y dimensión..................................................
Más detallesÁlgebra lineal. Noviembre 2018
Álgebra lineal. Noviembre 08 Opción A Ejercicio. (Puntuación máxima:,5 puntos) Sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 4ax + 4ay + z = a ax + y az = a, se pide: 4ax + 4ay + az = 4 (,5 puntos)
Más detalles1.5.3 Sistemas, Matrices y Determinantes
1.5.3 Sistemas, Matrices y Determinantes 24. Sean las matrices 3 0 4 1 A= 1 2 B = 0 2 1 1 C = 1 4 2 3 1 5 1 5 2 D = 1 0 1 E = 3 2 4 6 1 3 1 1 2 4 1 3 a Calcular cuando se pueda: 3C D, ABC, ABC, ED, DE,
Más detalles2 Espacios vectoriales
Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM 1 2 Espacios vectoriales 2.1 Espacio vectorial Un espacio vectorial sobre un cuerpo K (en general R o C) es un conjunto V sobre el que hay
Más detallesEspacios Vectoriales Asturias: Red de Universidades Virtuales Iberoamericanas 1
Espacios Vectoriales 201 6Asturias: Red de Universidades Virtuales Iberoamericanas 1 Índice 1 Espacios Vectoriales... 4 1.1 Definición de espacio vectorial... 4 1.2 Definición de subespacio vectorial...
Más detallesEstructura vectorial de R n
Estructura vectorial de R n (R n, +, ) con las operaciones vectoriales de suma de vectores + y producto por escalares es un espacio vectorial ya que verifica: (R n, +) es un grupo abeliano. Para todos
Más detallesSea V un conjunto no vacío (cuyos elementos se llamarán vectores) y sea K un cuerpo (cuyos elementos se llamarán escalares).
Capítulo 6 Espacios Vectoriales 6.1 Definiciones Sea V un conjunto no vacío (cuyos elementos se llamarán vectores) y sea K un cuerpo (cuyos elementos se llamarán escalares). Definición 6.1.1 Se dice que
Más detallesPrimer Examen, Primavera 2014.
Primer Examen, Primavera 2014. Problema 1. Encuentre el valor de c para que el siguiente sistema de ecuaciones lineales tiene: solución única, soluciones múltiples o sea inconsistente (2.5 puntos). Note
Más detallesBase y Dimensión de un Espacio Vectorial
Base y Dimensión de un Espacio Vectorial 201 6Asturias: Red de Universidades Virtuales Iberoamericanas 1 Índice 1 Qué es un sistema generador?... 4 2 Base de un espacio vectorial... 4 3 Dimensión de un
Más detallesÁlgebra y Álgebra II - Segundo Cuatrimestre 2017 Práctico 4 - Espacios Vectoriales
Álgebra y Álgebra II - Segundo Cuatrimestre 2017 Práctico 4 - Espacios Vectoriales (1) Sea n N. Mostrar que el conjunto de polinomios sobre R de grado menor que n es un subespacio vectorial de R[x]. Este
Más detallesProblemas de Espacios Vectoriales
Problemas de Espacios Vectoriales Natalia Boal Francisco José Gaspar María Luisa Sein-Echaluce Universidad de Zaragoza 1 En IR 2 se definen las siguientes operaciones + : x, y + x, y = x + x, y + y, IR
Más detallesETS Arquitectura. UPM Geometría afín y proyectiva. 1. Hoja 1
ETS Arquitectura. UPM Geometría afín y proyectiva. Hoja. Determinar si los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales de R 4 A f(x; y; z; t)j 2x + z 0g; B f(x; y; z; t)jx + y 0; z t 0g; C f(x; y;
Más detallesEjercicio 3.1 Estudiar si son subespacios vectoriales los siguientes subconjuntos de los espacios R n indicados:
10 Departamento de Álgebra. Universidad de Sevilla Tema 3. Sección 1. Variedades lineales. Definición. Ejercicio 3.1 Estudiar si son subespacios vectoriales los siguientes subconjuntos de los espacios
Más detallesESPACIOS VECTORIALES
ESPACIOS VECTORIALES Espacio ectorial real. Es un conjunto V no acío cuyos elementos reciben el nombre de ectores dotado de dos operaciones: ª.- Una interna llamada suma que cumple las siguientes propiedades:
Más detallesMATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES Definición Una matriz real de orden m n es una tabla ordenada de m n números reales a 11 a 12 a 1n A = a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn en la cual las líneas horizontales
Más detalles1. Hallar el rango de cada una de las siguientes matrices
Tarea 5 Hallar el rango de cada una de las siguientes matrices 5 5 a) = 7 6 5 5 b) = 5 8 Solución: a) rang ( ) = b) rang ( ) = Determinar si cada uno de los siguientes conjuntos de vectores es linealmente
Más detallesGEOMETRÍA AFÍN Y PROYECTIVA Espacios Vectoriales.
Sonia L. Rueda ETS Arquitectura. UPM Año 2016-2017. 1 GEOMETRÍA AFÍN Y PROYECTIVA Espacios Vectoriales. 1. Determinar si los siguientes conjuntos de vectores son subespacios vectoriales de R 4. A = {(x,
Más detallesProblemas de Álgebra Ingeniería Técnica en Informática de Sistemas. Curso 2009/10
Problemas de Álgebra Ingeniería Técnica en Informática de Sistemas Curso 2009/10 Hoja 1 Preliminares 1 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones de números complejos: { z 1 + iz 2 = 1 i 3z 1 + (1
Más detallesAlgebra Lineal y Geometría.
Algebra Lineal y Geometría. Unidad n 4: Dimensión de un Espacio Esp. Liliana Eva Mata Contenidos. Combinación lineal de vectores. Dependencia e Independencia Lineal. Sistema de Generadores. Base de un
Más detallesGeometría afín y proyectiva, 2016 SEMANA 2
Geometría afín y proyectiva, 2016 SEMANA 2 Sonia L. Rueda ETS Arquitectura. UPM September 20, 2016 Geometría afín y proyectiva 1. Álgebra Lineal 2. Geometría afín y eucĺıdea 3. Cónicas y cuádricas Álgebra
Más detallesA-PDF Page Cut DEMO: Purchase from to remove the watermark. Ejercicios resueltos 125
A-PDF Page Cut DEMO: Purchase from www.a-pdf.com to remove the watermark Ejercicios resueltos 125 Las matrices asociadas a g f y f g son, respectivamente 0 3 8 ) 14 13 g f BA = 3 3 1 f g AB = 16 22 7 2
Más detallesBase y Dimensión de un Espacio Vectorial
Base y Dimensión de un Espacio Vectorial 2017Asturias: Red de 1 Universidades Virtuales Iberoamericanas Índice 1 Qué es un sistema generador?... 4 2 Base de un espacio vectorial... 4 3 Dimensión de un
Más detallesMATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES Definición Una matriz real de orden m n es una tabla ordenada de m n números reales a 11 a 12 a 1n a A = 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn en la cual las líneas horizontales
Más detallesEspacios vectoriales reales
140 Fundamentos de Matemáticas : Álgebra Lineal 9.1 Espacios vectoriales Capítulo 9 Espacios vectoriales reales Los conjuntos de vectores del plano, R 2, y del espacio, R 3, son conocidos y estamos acostumbrados
Más detallesC O L E C C I Ó N A P U N T E S U N I V E R S I T A R I O S MATEMÁTICAS I GRADO ECONOMÍA GRADO ADMINISTRACIÓN Y DIRECCIÓN DE EMPRESAS
C O L E C C I Ó N A P U N T E S U N I V E R S I T A R I O S MATEMÁTICAS I GRADO ECONOMÍA 6 Créditos GRADO ADMINISTRACIÓN Y DIRECCIÓN DE EMPRESAS 6 Créditos GRADO FINANZAS Y CONTABILIDAD 6 Créditos DOBLE
Más detallesun conjunto cuyos elementos denominaremos vectores y denotaremos por es un espacio vectorial si verifica las siguientes propiedades:
CAPÍTULO 2: ESPACIOS VECTORIALES 2.1- Definición y propiedades. 2.1.1-Definición: espacio vectorial. Sea un cuerpo conmutativo a cuyos elementos denominaremos escalares o números. No es necesario preocuparse
Más detallesMatemáticas Empresariales II. Sistemas de Ecuaciones lineales
Matemáticas Empresariales II Lección 4 Sistemas de Ecuaciones lineales Manuel León Navarro Colegio Universitario Cardenal Cisneros M. León Matemáticas Empresariales II 1 / 34 Sistema de ecuaciones lineales
Más detallesTema 3: Espacios vectoriales
Tema 3: Espacios vectoriales K denotará un cuerpo. Definición. Se dice que un conjunto no vacio V es un espacio vectorial sobre K o que es un K-espacio vectorial si: 1. En V está definida una operación
Más detallesEjercicios Resueltos Tema 1
Ejercicio 1 Demuestra que P 3 [x] = { 3 i=0 a ix i a i R, i = {0,..., 3}} con la suma usual de polinomios y la multiplicación por un escalar definida por λ 3 i=0 a ix i = 3 i=0 λa ix i es un R-espacio
Más detallesSOLUCIONES A LA AUTOEVALUACIÓN - Espacios Vectoriales.
SOLUCIONES A LA AUTOEVALUACIÓN - Espacios Vectoriales. A) Soluciones a las Cuestiones C-1) a) Sí, por ejemplo el eje X, formado por los vectores de la forma (λ, 0), que se identificarían con el número
Más detallesMatemáticas Empresariales II. Aplicaciones Lineales
Matemáticas Empresariales II Lección 5 Aplicaciones Lineales Manuel León Navarro Colegio Universitario Cardenal Cisneros M. León Matemáticas Empresariales II 1 / 34 Definición - Aplicación Lineal Sean
Más detallesEjercicios resueltos de Álgebra, hoja 2. Beatriz Graña Otero
Ejercicios resueltos de Álgebra, hoja 2. Beatriz Graña Otero 11 de Diciembre de 2008 2 B.G.O. 104.- Determina si los siguientes subconjuntos del espacio vectorial correspondiente son subvariedades afines:
Más detallesIndependencia Lineal y Generación. (c) 2012 Leandro Marin
09.00 Independencia Lineal y Generación 3 48700 9000 (c) 0 Leandro Marin . Independencia Lineal Dada una familia de vectores v, v,, v k de un espacio vectorial V, llamaremos combinación lineal de estos
Más detallesTEMA 4 ESPACIOS VECTORIALES
TEMA 4 ESPACIOS VECTORIALES Índice 4.1. Definición y propiedades.................. 101 4.1.1. Dependencia e independencia lineal....... 103 4.2. Subespacios vectoriales................... 105 4.2.1. Ecuaciones
Más detallesEspacios Vectoriales. AMD Grado en Ingeniería Informática. AMD Grado en Ingeniería Informática (UM) Espacios Vectoriales 1 / 21
Espacios Vectoriales AMD Grado en Ingeniería Informática AMD Grado en Ingeniería Informática (UM) Espacios Vectoriales 1 / 21 Objetivos Al finalizar este tema tendrás que: Saber si unos vectores son independientes.
Más detallesEspacios vectoriales DEFINICIÓN. PRIMERAS PROPIEDADES
Espacios vectoriales DEFINICIÓN. PRIMERAS PROPIEDADES Definición 47. Se dice que un conjunto E, a cuyos elementos llamaremos vectores, es un espacio vectorial sobre el cuerpo (IK, +, ), cuyos elementos
Más detallesBloque 3. Geometría y Trigonometría Tema 2 Vectores Ejercicios resueltos
Bloque 3. Geometría y Trigonometría Tema Vectores Ejercicios resueltos 3.- Obtener el vector PQ, donde los puntos P y Q son los dados 4 5 b) P00,, Q90, a) P,, Q, 83 83 d) P4,, Q3, 7 c) P,, Q, 4 5 PQ 5,
Más detallesUNIVERSIDAD DEL NORTE Departamento de Matemáticas y Estadística Álgebra Lineal Ejercicios resueltos- Mayo de 2018
UNIVERSIDAD DEL NORTE Departamento de Matemáticas y Estadística Álgebra Lineal Ejercicios resueltos- Mayo de 2018 I. Sistemas homogéneos, subespacios, dependencia e independencia lineal 1. En cada caso
Más detallesEstudia la posición relativa de los planos siguientes según los distintos valores de m: ; A b = m 1 m 1
Problema 1 Estudia la posición relativa de los planos siguientes según los distintos valores de m: π 1 x + y + z = m + 1 π 2 mx + y + ) z = m π 3 x + my + z = 1 Si vemos los tres planos como un sistema
Más detallesEspacio afín. 1. Rectas en el espacio. Piensa y calcula. Aplica la teoría
6 Espacio afín 1. Rectas en el espacio Piensa y calcula Calcula las coordenadas de un vector que tenga la dirección de la recta que pasa por los puntos A2, 1, 5 y B3, 1, 4 AB 1, 2, 1 Aplica la teoría 1.
Más detallesÁlgebra Lineal y Geometría I. 1 o Matemáticas
Álgebra Lineal y Geometría I. o Matemáticas Grupo - ( de diciembre de 27) APELLIDOS NOMBRE Instrucciones. Durante la realización del examen se podrá utilizar exclusivamente material de escritura. Ningún
Más detallesCONCEPTOS BÁSICOS DE ESPACIOS VECTORIALES Alumno. Cristina Mª Méndez Suero
Fundamento Científico del Currículum de Matemáticas en Enseñanza Secundaria CONCEPTOS BÁSICOS DE ESPACIOS VECTORIALES Alumno. Cristina Mª Méndez Suero ESPACIOS VECTORIALES DEFINICIÓN... 1 PROPIEDADES DE
Más detallesMATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES Definición Una matriz real de orden m n es una tabla ordenada de m n números reales a 11 a 12 a 1n a A = 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn en la cual las líneas horizontales
Más detalles4.3. Subespacios vectoriales
4.3 Subespacios vectoriales Concepto de subespacio vectorial Un subconjunto H de un espacio vectorial V es un subespacio vectorial de V si, con las operaciones de V de suma de vectores y multiplicación
Más detallesEjercicios de Rectas y planos.
Matemáticas 2ºBach CNyT. Ejercicios Rectas, planos. Pág 1/9 Ejercicios de Rectas y planos. 1. Las coordenadas de los vértices consecutivos de un paralelogramo son A(1, 0, 0) y B(0, 1, 0). Las coordenadas
Más detalles( 1 0 BLOQUE DE GEOMETRÍA TEMA 4: ESPACIOS VECTORIALES. ( 5+ 3i )+ ( 2 i )=7+ 2i. La suma de dos números complejos es un número complejo.
BLOQUE DE GEOMETRÍA TEMA 4: ESPACIOS VECTORIALES. Operaciones Binarias: Observamos las siguientes operaciones: ( 5+ 3i )+ ( 2 i )=7+ 2i. La suma de dos números complejos es un número complejo. ( 1 0 2
Más detallesÁlgebra Lineal. Ejercicios de evaluación. Grado en Ingeniería Informática Doble Grado en Ingeniería Informática y Administración de Empresas
Álgebra Lineal Ejercicios de evaluación Grado en Ingeniería Informática Doble Grado en Ingeniería Informática y Administración de Empresas AUTORES: J. S ALAS, A. T ORRENTE Y E.J.S. V ILLASEÑOR Problema
Más detallesÁlgebra y Álgebra II - Primer Cuatrimestre 2018 Práctico 4 - Espacios Vectoriales
Álgebra y Álgebra II - Primer Cuatrimestre 2018 Práctico 4 - Espacios Vectoriales (1) Decidir si los siguientes conjuntos son R-espacios vectoriales con las operaciones abajo denidas. (a) R n con v w =
Más detallesESPACIO VECTORIAL. ley de composición binaria interna definida sobre el conjunto, E, al que le da estructura de grupo abeliano
ESPACIO VECTORIAL CPR. JORGE JUAN Xuvia-Narón Sea E, K conjuntos +:ExE E +:KxK K.:KxK K f:kxe E (,a) f(,a)= ley de composición binaria interna definida sobre el conjunto, E, al que le da estructura de
Más detallesEscuela Superior Politécnica del Litoral
Escuela Superior Politécnica del Litoral Instituto de Ciencias Matemáticas Primera evaluación de Álgebra Lineal - Diciembre 1, 2011 Nombre y Appellido: Paralelo: Firma: Tema 1 (9 puntos) Dé la definición
Más detallesÁLGEBRA LINEAL. EXAMEN EXTRAORDINARIO 5 de Julio de T (e 1 ) = e 1 e 2 + 2e 3 T (e 2 ) = e 1 + 2e 2 3e 3. [T (e 1 ) T (e 2 )] =
ÁLGEBRA LINEAL EXAMEN EXTRAORDINARIO 5 de Julio de Apellidos y Nombre: Ejercicio. Sea T : R R 3 una transformación lineal definida como: T (e ) = e e + e 3 T (e ) = e + e 3e 3 donde {e, e }, {e, e, e 3}
Más detallesEjercicio 1: Proponga al menos 3 conjuntos y las operaciones adecuadas de modo que sean espacios vectoriales.
Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES Ejercicio 1: Proponga al menos 3 conjuntos y las operaciones adecuadas de modo que sean espacios vectoriales. Ejercicio 2: Determine si los siguientes conjuntos
Más detallesIntroducción a los espacios vectoriales
1 / 64 Introducción a los espacios vectoriales Pablo Olaso Redondo Informática Universidad Francisco de Vitoria November 19, 2015 2 / 64 Espacios vectoriales 1 Las 10 propiedades de un espacio vectorial
Más detallesEcuaciones de la recta en el espacio
Ecuaciones de la recta en el espacio Ecuación vectorial de la recta Sea P(x 1, y 1 ) es un punto de la recta r y uu su vector director, el vector PPXX tiene igual dirección que uu, luego es igual a uu
Más detallesTema 4: Estructura vectorial de R n.
TEORÍA DE ÁLGEBRA I: Tema 4. DIPLOMATURA DE ESTADÍSTICA 1 Tema 4: Estructura vectorial de R n. 1 Definiciones y propiedades Definición. 1.1 Denotaremos por R n al conjunto de todas las n-tuplas de números
Más detallesEJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA 1 ESPACIOS VECTORIALES
EJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA ESPACIOS VECTORIALES MATRICES. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Matrices ) Dada la matriz M=, prueba que n n M M, n. ) Demuestra la siguiente implicación: Si I A I AA A
Más detallesTema 2: Espacios Vectoriales
Tema 2: Espacios Vectoriales José M. Salazar Octubre de 2016 Tema 2: Espacios Vectoriales Lección 2. Espacios vectoriales. Subespacios vectoriales. Bases. Lección 3. Coordenadas respecto de una base. Ecuaciones.
Más detallesESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES
Departamento de Matemática Aplicada II E.E.I. ÁLGEBRA Y ESTADÍSTICA Boletín n o (010-011 ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES 1. En el espacio vectorial ordinario R 4 estudiar cuáles de los siguientes
Más detallesTema 2: Espacios vectoriales
Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM 1 Tema 2: Espacios vectoriales Ejercicios 1. En R 2 se definen las siguientes operaciones: (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2, y 1 +
Más detallesESPACIOS VECTORIALES
1. Introducción: 1.1 Grupo Abeliano 1. Cuerpo. Estructura de espacio vectorial 3. Propiedades 4. Subespacio vectorial 5. Combinación lineal de vectores 5.1 Propiedades 6. Dependencia e independencia lineal
Más detallesApuntes. gxáà wx véåñüxçá Ç xáñtv Éá äxvàéü täxá. Universidad
gxáà wx véåñüxçá Ç xáñtv Éá äxvàéü täxá Universidad TEST DE COMPRENSIÓN Quizás pensabas que habías entendido algo!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!. Por cierto, las soluciones, al final. 1. Sea ( V(K), +, A ) un espacio
Más detallesEspacio Euclídeo. a b = a b. a b = b a c)
.- Un hiperplano de R es: a) Una recta. b) Un plano. c) {0}..- Sean a y b dos vectores de R, si a es ortogonal a b, entonces: a) a b = 0 b) a b = b a c) a b = a b.- Sea F una recta vectorial de R y F un
Más detallesESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA FUNDAMENTOS MATEMÁTICAS
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA FUNDAMENTOS MATEMÁTICAS 7. ESPACIOS VECTORIALES 7.1 Estructura de Espacio Vectorial. Sea
Más detalles2. Problemas. Espacios Vectoriales. Álgebra Lineal- Propedéutico Mayo de 2012
2. Problemas. Espacios Vectoriales. Álgebra Lineal- Propedéutico Mayo de 2012 1. En R 2 se define la suma: (a 1, b 1 ) + (a 2, b 2 ) = (a 1 + a 2, b 1 + b 2 ) y el producto por un escalar: λ(a, b) = (0,
Más detallesEsta expresión polinómica puede expresarse como una expresión matricial de la forma; a 11 a 12 a 1n x 1 x 2 q(x 1, x 2,, x n ) = (x 1, x 2,, x n )
Tema 3 Formas cuadráticas. 3.1. Definición y expresión matricial Definición 3.1.1. Una forma cuadrática sobre R es una aplicación q : R n R que a cada vector x = (x 1, x 2,, x n ) R n le hace corresponder
Más detallesEL ESPACIO AFÍN. se distinguen, además de su origen A y su extremo B, las siguientes
VECTOR FIJO Y VECTOR LIBRE. Sea E el espacio ordinario. EL ESPACIO AFÍN Llamaremos vector fijo a cualquier segmento orientado dado por dos puntos A y B del espacio E. Al punto A lo llamamos origen del
Más detallesMATEMÁTICAS I 2º EXAMEN PARCIAL 12 junio de 2009
Sólo una respuesta a cada cuestión es correcta. Respuesta correcta: 0.2 puntos. Respuesta incorrecta: -0.1 puntos Respuesta en blanco: 0 puntos 1.- Un sistema generador G de R 3 : a) Está constituido por
Más detalles520142: ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL
520142: ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL Segundo Semestre 2008, Universidad de Concepción CAPITULO 10: Espacios Vectoriales DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas 1 Definición
Más detallesETSI de Topografía, Geodesia y Cartografía
3ª Prueba de Evaluación Continua 7 05 12 (Grupo C) Espacio vectorial 1. a) Definir vectores linealmente dependientes en un espacio vectorial V. u,u,,u de un espacio vectorial V son b) Demostrar que si
Más detallesAlgebra Lineal X:Sumas y Sumas Directas
Algebra Lineal X:Sumas y Sumas Directas José María Rico Martínez Departamento de Ingeniería Mecánica Facultad de Ingeniería Mecánica Eléctrica y Electrónica Universidad de Guanajuato email: jrico@ugto.mx
Más detalles