CAPÍTULO 1. Espacios Vectoriales. Sumario
|
|
- Monica Fidalgo Blázquez
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 CAPÍTULO 1 Espacios Vectoriales Sumario 1.1. Introducción 1.2. La estructura de espacio vectorial 1.3. Dependencia e independencia lineal 1.4. Subespacios vectoriales o variedades lineales 1.5. Base y dimensión 1.6. Estructuras matemáticas y económicas 1.7. Resumen 1.8. Ejercicios propuestos 1.9. Soluciones de los ejercicios propuestos Palabras clave
2 2 Matemáticas para los grados en economía y empresa 1.1. INTRODUCCIÓN El nombre de vector aparece en Física para designar aquellas magnitudes como, por ejemplo, la velocidad que para su determinación exigen, no sólo un número (l km por hora) sino también hacia donde se va (dirección y sentido). El concepto de vector se ha generalizado, y en lo que sigue, para nosotros, será un conjunto ordenado de números, por ejemplo (3, 5, 2, 0). En el presente tema se estudian los espacios de vectores, con sus propiedades, llegándose a introducir la noción de estructura, distinguiéndose entre estructuras económicas. A continuación se resumen los conceptos teóricos que se deben recordar, terminándose con ejercicios propuestos LA ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL No sólo se definen estructuras con una o dos leyes de composición interna (1), sino que también se utilizan leyes de composición externa en la definición de algunos tipos de estructuras. Sea un cuerpo K, cuyos elementos se representarán por letras griegas y E un grupo abeliano de elementos notados con letras latinas. Se define un espacio vectorial E sobre el cuerpo K si se define una aplicación de K # E en E, tal que a todo par (j, x) à K # E, haga corresponder un elemento j x à E, que cumpla las siguientes propiedades: I. j (x! y) % j x! j y (distributividad con respecto a la adición de E) II. (j k) x % j x! k x (distributividad respecto a la adición de K) III. j (k x) % (j * k) x (asociatividad de los elementos de K) IV. e x % x, siendo e el elemento neutro de K, siendo! la operación de E y y * las de K. Los elementos de K reciben, usualmente, el nombre de escalares y los de E, se suelen conocer con la denominación de vectores, que generalmente son matrices de una sola fila o de una sola columna. Observaciones a) En la mayoría de los casos el cuerpo K suele ser el. b) El conjunto de los vectores del plano o del espacio euclidianos forman un espacio vectorial sobre. (1) Ver Apéndice.
3 Espacios Vectoriales 3 Ejemplo 1 Dado el conjunto E % R(a, b) : a à, b à S, se definen las leyes siguientes: I. Una ley, notada!, E # E r E, tal que (a, b)! (añ, bñ) % (a! añ, b! bñ) II. Una ley, notada, # E r E, tal que si j à, j (a, b) % (ja, jb) Comprobar que (E,!, ) es un espacio vectorial sobre. Solución I. Es inmediato comprobar que! es una ley de composición interna, que cumple las propiedades asociativa y conmutativa, (0, 0) es el elemento neutro y (.a,.b) es el opuesto o simétrico de (a, b). Por tanto, (E,!) tiene estructura de grupo abeliano. II. Si j y k son números reales, se cumplen las propiedades: 1. j [k (a, b)] % j (ka, kb) % (jka, jkb) (jk) (a, b) % (jka, jkb) luego j [k (a, b)] % (jk) (a, b) esto es, se verifica la asociatividad respecto al producto de escalares. 2. j [(a, b)! (c, d)] % j (a! c, b! d) % (j(a! c), j(b! d)) j (a, b)! j (c, d) % (ja, jb)! (jc, jd) % % (ja! jc, jb! jd) % (j(a! b), j(c! d)) luego, j [(a, b)! (c, d)] % j (a, b)! j (c, d), que nos dice que se verifica la distributividad respecto a la suma de vectores. 3. (j! k) (a, b) % ((j! k)a, (j! k)b) j (a, b)! k (a, b) % (ja, jb)! (ka, kb) % % (ja! ka, jb! kb) % ((j! k)a, (j! k)b)
4 4 Matemáticas para los grados en economía y empresa o sea: (j! k) (a, b) % j (a, b)! k (a, b) que pone de manifiesto que se cumple la distributividad con respecto a la suma de escalares. 4. Es evidente que: 1 (a, b) % (1 a, 1 b) % (a, b) Por tanto, (E, ) cumple las cuatro propiedades de la ley externa y como (E,!) era grupo abeliano (E,!, ) tiene estructura de espacio vectorial. c) Todo cuerpo K es un espacio vectorial sobre sí mismo, siendo los elementos de K, a la vez, vectores y escalares. d) El cuerpo de los números complejos es un espacio vectorial sobre el cuerpo R de los reales. e) Sea el E un espacio vectorial sobre R, el producto del elemento neutro de (que representamos por 0) por un vector v6 cualquiera, es el vector cero, notado 01. En efecto: pero luego (1! 0)v6% 1 v6! 0 v6% v6! 0 v6 (1! 0)v6% 1 v6% v6 v6! 0 v6% v6 ú 0 v6% 01 f) El elemento neutro de E por cualquier escalar j, es igual a dicho elemento neutro. En efecto: de donde v6! 01% v6; j v6% j (v6! 01) % j v6! j 01 j01% 01
5 g) Si el producto de un escalar por un vector es igual a 01 (elemento neutro de E), o bien el escalar es igual al número cero, o bien el vector es 01. Resulta evidente de las propiedades e) y f ). Espacios Vectoriales 5 h) Sea M el conjunto de las matrices m # n. Se definen las operaciones suma de matrices y producto por un número real. El conjunto M con esas operaciones, es así, un espacio vectorial sobre R. 11 a 12 ñ a 1n b12 ñ b1n a A! B %Aa 21 a 22 ñ a 2n b 21 b 22 ñ b 2n ññññññññ ññññññññ a m1 a m2 ñ a mnb!ab11 b m1 b m2 ñ b mnb% 11! b 11 a 12! b 12 ñ a 1n! b 1n a %Aa 21! b 21 a 22! b 22 ñ a 2n! b 2n ññññññññññññññññ a m1! b m1 a m2! b m2 ñ a mn! b mnb 11 a 12 ñ a 1n ja12 ñ ja1n a j A % j Aa 21 a 22 ñ a 2n 21 ja 22 ñ ja 2n ññññññññ ñññññññññ a m1 a m2 ñ a mnb%aja11 m1 ja m2 ñ ja mnb I. La suma de matrices es sabido que es asociativa y conmutativa; la matriz cero: 0 ñ ñ 0 0 %A0 0B ññññññ 0 0 ñ de dimensión m # n, es el elemento neutro de la suma de matrices, ya que A! 0 % 0! A % A
6 6 Matemáticas para los grados en economía y empresa Además, dada la matriz A, la matriz 11.a 12 ñ.a 1n.A %A.a 21.a 22 ñ.a 2n ñññññññññññ.a m1.a m2 ñ.a mnb es la opuesta o simétrica de A en la suma. Por tanto, (M,!) es un grupo abeliano. II. Si j y k à, es inmediato que a 12 ñ a 1n ka12 ñ ka1n a j CkAa 21 a 22 ñ a 2n 21 ka 22 ñ ka 2n ññññññññ ñññññññññ a m1 a m2 ñ a mnbd%jaka11 m1 ka m2 ñ ka mnb% 11 jka 12 ñ jka 1n a12 ñ a1n %Ajka 21 jka 22 ñ jka 2n a 21 a 22 ñ a 2n ñññññññññññ ññññññññ jka m1 jka m2 ñ jka mnb%jkaa11 a m1 a m2 ñ a mnb% 2. Si A y B son dos matrices cualesquiera 11 a 12 ñ a 1n b12 ñ b1n a j (A!B)% CAa 21 a 22 ñ a 2n b 21 b 22 ñ b 2n ññññññññ ññññññññ a m1 a m2 ñ a mnb!ab11 b m1 b m2 ñ b mnbd% 11! b 11) j(a 12! b 12) ñ j(a 1n! b 1n) %Aj(a 21! b 21 ) j(a 22! b 22 ) ñ j(a 2n! b 2n ) ñññññññññññññññññññ j(a m1! b m1 ) j(a m2! b m2 ) ñ j(a mn! b mn )B% 11 ja 12 ñ ja 1n jb12 ñ jb1n %Aja 21 ja 22 ñ ja 2n 21 jb 22 ñ jb 2n ñññññññññ ñññññññññ ja m1 ja m2 ñ ja mnb!ajb11 m1 jb m2 ñ jb mnbd%ja!jb
7 Espacios Vectoriales 7 3.! k)a 11 (j! k)a 12 ñ (j! k)a 1n! k)a (j! k) A%A(j 21 (j! k)a 22 ñ (j! k)a 2n ) ñññññññññññññññññ (j! k)a m1 (j! k)a m2 ñ (j! k)a mnb% 11 ja 12 ñ ja 1n ka12 ñ ka1n %Aja 21 ja 22 ñ ja 2n 21 ka 22 ñ ka 2n ñññññññññ ñññññññññ ja m1 ja m2 ñ ja mnb!aka11 m1 ka m2 ñ ka mnb%ja!ka 4. Si 1 à y A es una matriz m # n se tiene: 11 a 12 ñ a 1n a 1 A % 1 Aa 21 a 22 ñ a 2n ññññññññ a m1 a m2 ñ a mnb%a 1.3. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL Dados los vectores v 1, v 2, v 3,..., v n, se dice que son linealmente dependientes, si existen n escalares j 1, j 2, j 3,..., j n no todos nulos tales que j 1 v 1! j 2 v 2! j 3 v 3! ñ! j n v n % 01 (vector cero) Si no existen n números no todos cero que hagan igual a 01 la suma anterior, se dice que los referidos vectores son linealmente independientes. Ejemplo 2 Dados los vectores del espacio bidimensional a 1 % (3, 1), a 2 % (4, 1) y a 3 % (1, 1) son linealmente dependientes? Solución Si son linealmente dependientes, se tiene que cumplir que j 1 a 1! j 2 a 2! j 3 a 3 % 0 no siendo nulos simultáneamente j 1, j 2 y j 3.
8 8 Matemáticas para los grados en economía y empresa o bien o bien Entonces: j 1 (3, 1)! j 2 (4, 1)! j 3 (1, 1) % (0, 0) (3j 1, j 1 )! (4j 2, j 2 )! (j 3, j 3 ) % (3j 1! 4j 2! j 3, j 1! j 2! j 3 ) % (0, 0) E 3j 1! 4j 2! j 3 % 0 j 1! j 2! j 3 % 0 Sistema compatible e indeterminado que admite la solución, no trivial, si hacemos j 3 %.1: nos proporciona j 1 %.3j 3 y j 2 % 2j 3 j 1 % 3, j 2 %.2, j 3 %.1 3 (3, 1). 2(4, 1). 1 (1, 1) % (0, 0) esto es, existen tres números 3,.2 y.1, no todos cero, que hacen la suma igual al vector cero; luego los tres vectores dados son linealmente dependientes. Si un vector v, se puede obtener a partir de los vectores v 1, v 2,..., v n v % j 1 v 1! j 2 v 2! ñ! j n v n se dice que el vector v, depende linealmente de los otros vectores o es combinación lineal. Ejemplo 3 Dado los vectores v 1 % (1, 2, 3), v 2 % (0,.1, 3) y v 3 % (2,.1,.4) el vector v % 2v 1! v 2. 3v 3 % 2(1, 2, 3)! (0,.1, 3). 3(2,.1,.4) % (2, 4, 6)!! (0,.1, 3)! (.6, 3, 12) % (.4, 6, 21) es combinación lineal de ellos.
9 1.4. SUBESPACIOS VECTORIALES O VARIEDADES LINEALES Se dice que L es un subespacio vectorial o una variedad lineal del espacio vectorial E sobre el cuerpo K, cuando se cumplen las propiedades: 1. L es un subconjunto de E. 2. L también es un espacio vectorial, con las mismas leyes de composición de E. Por tanto, si u y uñ son vectores de L, esto es, si u, uñ à L, se cumplen: siendo j à K. u! uñ à L y ju à L Espacios Vectoriales 9 Como consecuencia, el elemento neutro de E, pertenece a L, así como el opuesto de cualquier vector de L; en efecto, de ju à L, si j %.1,.u à L. Pero por otra parte como: u! (.u) % 01 y como u! (.u) à L, 01 à L. Si un subespacio vectorial L contiene a los vectores u 1, u 2,..., u h, también contiene a todos los vectores de la forma u % j 1 u 1! j 2 u 2! ñ! j h u h, j 1, j 2,..., j n à K Ejemplo 4 Determinar x e y para que el vector v % (3, 2, x, y) pertenezca a la variedad lineal engendrada por (1, 4,.5, 2) y (1, 2, 3, 1). Solución Para que v pertenezca a la referida variedad lineal: de donde j(1, 4,.5, 2)! k(1, 2, 3, 1) % (3, 2, x, y) j! k % 3 4j! 2k % 2.5j! 3k % x 2j! k % y
10 10 Matemáticas para los grados en economía y empresa De las dos primeras: j %.2, k % 5, que sustituidos en la tercera y la cuarta: x %.5 (.2)! 3 5 % 25 y % 2 (.2)! 5 % BASE Y DIMENSIÓN Si todos los vectores v 1, v 2,..., v n, de un espacio vectorial se pueden obtener como combinación lineal de los vectores u 1, u 2,..., u k, se dice que éstos constituyen un sistema generador de dicho espacio vectorial. Si los vectores que constituyen un sistema generador de E son linealmente independientes, constituyen una base del referido espacio vectorial. Ejemplo 5 Sean los dos vectores del espacio vectorial bidimensional: como es evidente, la igualdad u 1 % (2, 1) y u 2 % (0, 3) (2, 1) % j(0, 3) no se puede cumplir, puesto que llevaría a las igualdades escalares 2 % j0, 1 % 3j; luego los vectores dados son linealmente independientes; por otra parte como forman un sistema generador de vectores, ya que siendo (x, y) un vector de dicho espacio de (x, y) % j 1 (2, 1)! j 2 (0, 3) se obtiene o bien (x, y) % (2j 1! 0, j 1! 3j 2 ), j 1 y j 2 parámetros reales Ex % 2j 1 y % j 1! 3j 2 o sea cualquier vector se obtiene como combinación de u 1 y u 2 ; por tanto (u 1, u 2 ) es una base de dicho espacio, y a estas expresiones se las denomina ecuaciones paramétricas. Se puede demostrar que todas las posibles bases de un mismo espacio vectorial constan del mismo número de elementos. A dicho número, esto es, al número de elementos de que consta cualquier base de un espacio vectorial, se le denomina dimensión del referido espacio. Si es posible eliminar los parámetros la o las expresiones resultantes son las ecuaciones no paramétricas.
11 Espacios Vectoriales 11 Nota. Aunque no se ha desarrollado todavía en este libro la noción de rango de una matriz, el alumno puede hacer uso de dicho recurso, ya que lo conoce de la enseñanza media. El estudio de esta cuestión corresponde al tema siguiente. Basta recordar que el número de vectores fila o columna independientes, en una matriz, coincide con el rango de ésta ESTRUCTURAS MATEMÁTICAS Y ECONÓMICAS Hacia el año 1930 puede decirse que se inicia la Matemática Moderna con la aparición, principalmente, del grupo «Nicolás Bourbaki», nombre que adopta un equipo de matemáticos procedentes de la Escuela Normal Superior de París y del que Vidal Abascal ofreció una brillante apología en un número de la Revista de Occidente. Como un resumen de la obra de Bourbaki dice Vidal: «Se trata de teorías y estructuras abstractas, formales, que se podrán aplicar a objetos muy diferentes (puntos, números, funciones, transformaciones geométricas, etc.) y de las operaciones o relaciones entre estos elementos (adición, multiplicación, composición,...)». El propio profesor Vidal nos dice que «toda la matemática moderna reposa sobre la noción de estructura: es más, es esta noción la que precisa y da unidad a este calificativo de moderna». Y la estructura queda definida «por las propiedades de las operaciones que se establecen sobre objetos indeterminados». Esta amplia noción de estructura incluye al concepto correspondiente de la ciencia económica. Así, cuando el profesor Sampedro dice: «La Estructura es, por tanto, el estudio de las relaciones más o menos permanentes observables en la realidad económica», ha formulado implícitamente la existencia de objetos indeterminados (empresas, consumidores o sectores económicos que se asocian mediante ciertas operaciones de pertenencia o de identidad, por ejemplo) y originan las relaciones a que hace referencia la definición de Sampedro. El concepto de «estructura», presentado mediante un sistema de ecuaciones, cuyos elementos incluyen ciertas propiedades probabilísticas, es fundamental en el campo de la moderna Econometría. Ahora bien, existe una clara diferencia entre una estructura económica o mecánica, o política y una estructura matemática, en tanto en cuanto esta última trate con entes mentales o procedentes de la abstracción de la realidad física. Esta característica se percibe mejor a través del concepto de ciencia formal, al pensar que la estructura consiste en las propiedades de los axiomas con independencia de los objetos a que se refieren y al significado de las operaciones. Sin embargo, como dice Vidal, aunque la unidad de la matemática reside en el método axiomático, éste no debe entenderse al estilo euclidiano (en donde se
12 12 Matemáticas para los grados en economía y empresa establecen los axiomas que determinan una disciplina matemática aislada), «sino en el análisis axiomático, que permite despiezar la teoría matemática en estructuras, permitiendo apreciar los elementos que integran cada teoría y cuales de ellos son comunes a teorías en apariencia dispares». De este modo, en economía es, según Sampedro, imprescindible proceder con análisis estructurales, que, como ha quedado manifiesto más arriba, es un método de trabajo que también en otras ciencias, como matemáticas, se viene realizando. Esta metodología consiste en realizar estudios y análisis generales de interdependencias, en lugar de análisis parciales. Es decir, se pretende abarcar el conjunto de la realidad, distinguir sus componentes y establecer las relaciones básicas entre dichos componentes. Es evidente, que para conseguir una descripción inteligible de la compleja realidad será menester recurrir a un grado de simplificación, o lo que es lo mismo, seleccionar entre dichos componentes y sus relaciones. Dentro de este marco, la Estructura Económica estudia las relaciones de interdependencia que están dotadas de una cierta permanencia, y que articulan los principales componentes de la realidad económica. Por todo lo cual, la Estructura Económica se caracteriza por ser: a) Descriptiva por sistema, y con una previa metodología definida. b) Macroeconómica al considerar relaciones de conjunto (frente a otras relaciones parciales). c) Actual, pues se refiere a situaciones propias de nuestro tiempo RESUMEN Espacio vectorial Un conjunto E % Ra, b, c,...s de elementos (llamados vectores) se dice que constituyen un espacio vectorial sobre un cuerpo conmutativo K (que generalmente es el cuerpo de los reales) si se cumplen: Ley de composición interna I. En E se define una ley de composición interna que designamos!, tal que (E,!) tiene estructura de grupo abeliano. Ley de composición externa II. Siendo j, k à, se define una ley de composición externa, que notamos, que satisface las siguientes propiedades:
13 Espacios Vectoriales 13 j (k a) % (jk) a. j (a! b) % j a! j b. (j! k) a % j a! k a. 1 a % a (1 es la unidad de K). Vectores linealmente dependientes Dados los vectores a 1, a 2,..., a n, se dice que son linealmente dependientes si existen j 1, j 2,..., j n à, tales que no siendo nulas todas las j i. j 1 a 1! j 2 a 2! ñ! j n a n % 01 (vector cero), Vectores linealmente independientes En caso contrario, los vectores son linealmente independientes. Si el vector a se puede obtener como: a % j 1 a 1! j 2 a 2! ñ! j n a n se dice que es combinación lineal de los a 1, a 2,..., a n. Sistema generador de un espacio vectorial Si todos los vectores de un especio vectorial E se pueden obtener como combinación lineal de los vectores a 1, a 2,..., a m, se dice que estos m vectores forman un sistema generador del espacio vectorial E. Base de un espacio vectorial. Si los vectores que forman un sistema generador son linealmente independientes, constituyen una base de E. Dimensión de un espacio vectorial Todas las bases de un mismo espacio vectorial constan del mismo número de vectores, que es la dimensión del espacio vectorial considerado. Subespacio vectorial o variedad lineal Un subconjunto Eñ del espacio vectorial E se llama subespacio vectorial o variedad lineal si Eñ es a su vez, un espacio vectorial, con las mismas leyes de composición de E.
14 14 Matemáticas para los grados en economía y empresa 1.8. EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Los vectores del espacio tridimensional a % (2, 3,.1), b % (1, 2,.1) y c % (1,.1, 2) Forman una base de dicho espacio? 2. El mismo problema anterior para los vectores del espacio tetradimensional: a % (1, 1, 1, 1), b % (1, 2, 3, 0), c % (1, 3, 5,.1) y d % (1, 4, 7,.2) 3. Comprobar que los vectores a % (2, 3, 1), b % (3, 1, 2) y c % (0, 2,.1) constituyen una base del espacio tridimensional. 4. Expresar el vector (2,.1, 3) en la base del ejercicio anterior. 5. Dados los vectores del espacio tetradimensional a % (1, 1, 1, 1), b % (1, 2, 3, 4), c % (.1, 0, 1, 2) y d % (.1, 2, 5, 8) determinar la dimensión del subespacio vectorial engendrado por ellos. 6. Hallar una base del subespacio vectorial del espacio anterior. 7. Ecuaciones paramétricas de la variedad lineal engendrada por los vectores en el ejercicio anterior. 8. El vector (x 1, x 2, 0, 1) pertenece a la variedad lineal engendrada por los vectores del ejercicio 5; hallar x 1 y x SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS 1. No 2. No 3. Sí 4. (1, 0,.2) Por ejemplo los dos primeros. 7. x % j! n; x % j! 2k; x % j! 3k; x % j! 4k (.2,.1, 0, 1)
15 Espacios Vectoriales PALABRAS CLAVE Base. Combinación lineal de vectores. Dependencia lineal. Dimensión. Ecuaciones paramétricas. Elemento neutro. Escalar. Espacio euclidiano. Espacio vectorial. Estructura. Grupo. Grupo abeliano. Ley de composición externa. Ley de composición interna. Independencia lineal. Matriz. Sistema generador de un espacio vectorial. Sistema lineal. Subespacio vectorial. Variedad lineal. Vector.
ÍNDICE. Capítulo 1. ESPACIOS VECTORIALES Conceptos Teóricos Ejercicios y Problemas resueltos... 13
00_Principios 10/8/10 09:47 Página 7 ÍNDICE Prólogo... 9 Capítulo 1. ESPACIOS VECTORIALES... 11 Conceptos Teóricos... 11 Ejercicios y Problemas resueltos... 13 Capítulo 2. MATRICES Y DETERMINANTES... 21
Más detallesTema 1. Espacios Vectoriales Definición de Espacio Vectorial
Tema 1 Espacios Vectoriales. 1.1. Definición de Espacio Vectorial Notas 1.1.1. Denotaremos por N, Z, Q, R, C, a los conjuntos de los números Naturales, Enteros, Racionales, Reales y Complejos, respectivamente.
Más detalles6 Vectores. Dependencia e independencia lineal.
6 Vectores. Dependencia e independencia lineal. Introducción Hay fenómenos reales que se pueden representar adecuadamente mediante un número con su adecuada unidad de medida. Sin embargo para representar
Más detalles( 1 0 BLOQUE DE GEOMETRÍA TEMA 4: ESPACIOS VECTORIALES. ( 5+ 3i )+ ( 2 i )=7+ 2i. La suma de dos números complejos es un número complejo.
BLOQUE DE GEOMETRÍA TEMA 4: ESPACIOS VECTORIALES. Operaciones Binarias: Observamos las siguientes operaciones: ( 5+ 3i )+ ( 2 i )=7+ 2i. La suma de dos números complejos es un número complejo. ( 1 0 2
Más detallesIntroducción a los espacios vectoriales
1 / 64 Introducción a los espacios vectoriales Pablo Olaso Redondo Informática Universidad Francisco de Vitoria November 19, 2015 2 / 64 Espacios vectoriales 1 Las 10 propiedades de un espacio vectorial
Más detallesMatrices. Álgebra de matrices.
Matrices. Álgebra de matrices. 1. Definiciones generales Definición 1.1 Si m y n son dos números naturales, se llama matriz de números reales de orden m n a una aplicación A : {1, 2, 3,..., m} {1, 2, 3,...,
Más detallesAlgebra lineal y conjuntos convexos
Apéndice A Algebra lineal y conjuntos convexos El método simplex que se describirá en el Tema 2 es de naturaleza algebraica y consiste en calcular soluciones de sistemas de ecuaciones lineales y determinar
Más detallesTema 3: Espacios vectoriales
Tema 3: Espacios vectoriales K denotará un cuerpo. Definición. Se dice que un conjunto no vacio V es un espacio vectorial sobre K o que es un K-espacio vectorial si: 1. En V está definida una operación
Más detallesTEMA 7: MATRICES. OPERACIONES.
TEMA 7: MATRICES. OPERACIONES. 1. MATRICES. TIPOS DE MATRICES. Se llama matriz de orden m x n (m filas y n columnas) a un conjunto de m n elementos, distribuidos en m filas y n columnas y encerrados entre
Más detalles1. Espacio vectorial. Subespacios vectoriales
Álgebra lineal y Geometría I Gloria Serrano Sotelo Departamento de MATEMÁTICAS Sea k un cuerpo. 1. Espacio vectorial. Subespacios vectoriales Definición 1.1. Un k-espacio vectorial o espacio vectorial
Más detallesCONCEPTOS BÁSICOS DE ESPACIOS VECTORIALES Alumno. Cristina Mª Méndez Suero
Fundamento Científico del Currículum de Matemáticas en Enseñanza Secundaria CONCEPTOS BÁSICOS DE ESPACIOS VECTORIALES Alumno. Cristina Mª Méndez Suero ESPACIOS VECTORIALES DEFINICIÓN... 1 PROPIEDADES DE
Más detallesTema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones.
Tema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones. Álgebra Lineal Escuela Politécnica Superior Universidad de Málaga Emilio Muñoz-Velasco (Basado en los apuntes de Jesús Medina e Inmaculada Fortes)
Más detallesEstos apuntes se han sacado de la página de internet de vitutor con pequeñas modificaciones.
TEMA 1: MATRICES Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones ordenados en filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento
Más detallesEspacios Vectoriales Asturias: Red de Universidades Virtuales Iberoamericanas 1
Espacios Vectoriales 201 6Asturias: Red de Universidades Virtuales Iberoamericanas 1 Índice 1 Espacios Vectoriales... 4 1.1 Definición de espacio vectorial... 4 1.2 Definición de subespacio vectorial...
Más detallesMATEMÁTICAS 2º BACH TECNOL. MATRICES. Profesor: Fernando Ureña Portero MATRICES
CONCEPTO DE MATRIZ Definición: Se denomina matriz A o (a ij ) a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas : Columnas Filas Elemento a ij : Cada uno
Más detalles1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS
1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS 1.1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Una ecuación lineal es una ecuación polinómica de grado 1, con una o varias incógnitas. Dos ecuaciones son equivalentes
Más detallesProblemas de Espacios Vectoriales
Problemas de Espacios Vectoriales 1. Qué condiciones tiene que cumplir un súbconjunto no vacío de un espacio vectorial para que sea un subespacio vectorial de este? Pon un ejemplo. Sean E un espacio vectorial
Más detallesMATRICES OPERACIONES BÁSICAS CON MATRICES
MATRICES OPERACIONES BÁSICAS CON MATRICES ANTECEDENTES En el año 1850, fueron introducidas por J.J. Sylvester El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A.
Más detallesun conjunto cuyos elementos denominaremos vectores y denotaremos por es un espacio vectorial si verifica las siguientes propiedades:
CAPÍTULO 2: ESPACIOS VECTORIALES 2.1- Definición y propiedades. 2.1.1-Definición: espacio vectorial. Sea un cuerpo conmutativo a cuyos elementos denominaremos escalares o números. No es necesario preocuparse
Más detallesLEYES DE COMPOSICIÓN INTERNA Y ELEMENTOS DISTINGUIDOS
LEYES DE COMPOSICIÓN INTERNA Y ELEMENTOS DISTINGUIDOS Sea una estructura formada por un conjunto A, sobre cuyos elementos se ha definido una operación o ley interna, comúnmente denotada por " * ", que
Más detallesTema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones.
Tema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones. Álgebra Lineal Escuela Politécnica Superior Universidad de Málaga Emilio Muñoz-Velasco (Basado en los apuntes de Jesús Medina e Inmaculada Fortes)
Más detallesR 3 = { ( x, y, z ) / x R, y R, z R }
El conjunto R 3 Es un conjunto de ternas ordenadas de números reales R 3 = { ( x, y, z ) / x R, y R, z R } Primera componente Segunda componente Tercera componente Igualdad de ternas: (x, y, z) = (x',
Más detalles2 Espacios vectoriales
Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM 1 2 Espacios vectoriales 2.1 Espacio vectorial Un espacio vectorial sobre un cuerpo K (en general R o C) es un conjunto V sobre el que hay
Más detalles1. Espacios Vectoriales Reales.
. Espacios Vectoriales Reales. El Álgebra Lineal es una rama de la Matemática que trata las propiedades comunes de todos los sistemas algebráicos donde tiene sentido las combinaciones lineales y sus consecuencias.
Más detallesBOLETÍN DE MATRICES 2 IES A Sangriña Curso 2016/ Calcula la matriz inversa, si existe, usando el método de Gauss:
*** OBLIGATORIOS *** 1. Efectúa todos los posibles productos: 2. Calcula la matriz inversa, si existe, usando el método de Gauss: 3. Sean y. Encuentra X para que cumpla: 3 X 2 A = 5 B 4. Encuentra dos
Más detallesEspacios Vectoriales. AMD Grado en Ingeniería Informática. AMD Grado en Ingeniería Informática (UM) Espacios Vectoriales 1 / 21
Espacios Vectoriales AMD Grado en Ingeniería Informática AMD Grado en Ingeniería Informática (UM) Espacios Vectoriales 1 / 21 Objetivos Al finalizar este tema tendrás que: Saber si unos vectores son independientes.
Más detallesEL ESPACIO AFÍN. se distinguen, además de su origen A y su extremo B, las siguientes
VECTOR FIJO Y VECTOR LIBRE. Sea E el espacio ordinario. EL ESPACIO AFÍN Llamaremos vector fijo a cualquier segmento orientado dado por dos puntos A y B del espacio E. Al punto A lo llamamos origen del
Más detallesMatrices, Determinantes y Sistemas Lineales.
12 de octubre de 2014 Matrices Una matriz A m n es una colección de números ordenados en filas y columnas a 11 a 12 a 1n f 1 a 21 a 22 a 2n f 2....... a m1 a m2 a mn f m c 1 c 2 c n Decimos que la dimensión
Más detallesDEFINICIONES TIPOS DE MATRICES DETERMINANTES Y PROPIEDADES OPERACIONES MATRICIALES INVERSA DE UNA MATRIZ SISTEMAS DE ECUACIONES
ALGEBRA DE MATRICES DEFINICIONES TIPOS DE MATRICES DETERMINANTES Y PROPIEDADES OPERACIONES MATRICIALES INVERSA DE UNA MATRIZ SISTEMAS DE ECUACIONES DEFINICIONES 2 Las matrices y los determinantes son herramientas
Más detallesMATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES Definición Una matriz real de orden m n es una tabla ordenada de m n números reales a 11 a 12 a 1n a A = 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn en la cual las líneas horizontales
Más detallesEl espacio de n-uplas Combinaciones lineales Independencia lineal
El espacio de n-uplas Combinaciones lineales Independencia lineal Ana González GAL IMERL 9 de marzo de 203 espacio de n-uplas espacio de n-uplas espacio de n-uplas llamamos espacio de n-uplas al conjunto
Más detallesResumen 2: Espacios vectoriales
Resumen 2: Espacios vectoriales 1 Definición y ejemplos Un espacio vectorial V sobre K, un cuerpo, está formado por elementos denominados vectores, los cuales pueden sumarse internamente y también multiplicarse
Más detallesDefinición de matriz Una matriz A es un conjunto de números dispuestos en filas y en columnas.
1.- CONCEPTO DE MATRIZ. TIPOS DE MATRICES Definición de matriz Una matriz A es un conjunto de números dispuestos en filas y en columnas. 1 3 4 Por ejemplo, A = es una matriz de 2 filas y 3 columnas 0 5
Más detallesTema 2: Espacios Vectoriales
Tema 2: Espacios Vectoriales José M. Salazar Octubre de 2016 Tema 2: Espacios Vectoriales Lección 2. Espacios vectoriales. Subespacios vectoriales. Bases. Lección 3. Coordenadas respecto de una base. Ecuaciones.
Más detalles520142: ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL
520142: ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL Segundo Semestre 2008, Universidad de Concepción CAPITULO 10: Espacios Vectoriales DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas 1 Definición
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS del espacio vectorial curso
PROBLEMAS RESUELTOS del espacio vectorial curso - - Consideremos el conjunto R formado por todas las parejas () de números reales Se define en R la operación interna ()( )( ) una de las operaciones eternas
Más detallesESPACIOS VECTORIALES
ESPACIOS VECTORIALES Espacio ectorial real. Es un conjunto V no acío cuyos elementos reciben el nombre de ectores dotado de dos operaciones: ª.- Una interna llamada suma que cumple las siguientes propiedades:
Más detallesTema 4: Estructura vectorial de R n.
TEORÍA DE ÁLGEBRA I: Tema 4. DIPLOMATURA DE ESTADÍSTICA 1 Tema 4: Estructura vectorial de R n. 1 Definiciones y propiedades Definición. 1.1 Denotaremos por R n al conjunto de todas las n-tuplas de números
Más detallesUnidad 5: Geometría analítica del plano.
Geometría analítica del plano 1 Unidad 5: Geometría analítica del plano. 1.- Vectores. Operaciones con vectores. Un vector fijo es un segmento entre dos puntos, A y B del plano, al que se le da una orientación
Más detallesAlgebra Lineal y Geometría.
Algebra Lineal y Geometría. Unidad n 4: Dimensión de un Espacio Esp. Liliana Eva Mata Contenidos. Combinación lineal de vectores. Dependencia e Independencia Lineal. Sistema de Generadores. Base de un
Más detallesTEMA 11. VECTORES EN EL ESPACIO
TEMA 11. VECTORES EN EL ESPACIO Dados dos puntos y, se define el vector como el segmento orientado caracterizado por su módulo, su dirección y su sentido. Dos vectores son equipolentes si tienen el mismo
Más detallesBase y Dimensión de un Espacio Vectorial
Base y Dimensión de un Espacio Vectorial 201 6Asturias: Red de Universidades Virtuales Iberoamericanas 1 Índice 1 Qué es un sistema generador?... 4 2 Base de un espacio vectorial... 4 3 Dimensión de un
Más detallesMatemáticas Física Curso de Temporada Verano Ing. Pablo Marcelo Flores Jara
Matemáticas Física Curso de Temporada Verano 2016 Ing. Pablo Marcelo Flores Jara pablofloresjara@gmail.com UNIDAD III: INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO MATRICIAL Ing. Pablo Marcelo Flores Jara pablofloresjara@gmail.com
Más detalles1 de 6 24/08/2009 9:54 MATRICES Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853 En
Más detallesEspacios vectoriales.
Unidad docente de Matemáticas Matemáticas (CC. Químicas) Espacios vectoriales. Si detectas cualquier error o errata por favor, comunicaselo al profesor de la asignatura. El subíndice can significa canónica/o..
Más detallesUna matriz es un arreglo rectangular de elementos. Por ejemplo:
1 MATRICES CONCEPTOS BÁSICOS Definición: Matriz Una matriz es un arreglo rectangular de elementos. Por ejemplo: es una matriz de 3 x 2 (que se lee 3 por 2 ) pues es un arreglo rectangular de números con
Más detallesMatrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales
Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales David Ariza-Ruiz 10 de octubre de 2012 1 Matrices Una matriz es una tabla numérica rectangular de m filas y n columnas dispuesta de la siguiente
Más detallesMatrices. Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones ordenados en filas y columnas.
Matrices Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones ordenados en filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento
Más detallesConjuntos y matrices. Sistemas de ecuaciones lineales
1 Conjuntos y matrices Sistemas de ecuaciones lineales 11 Matrices Nuestro objetivo consiste en estudiar sistemas de ecuaciones del tipo: a 11 x 1 ++ a 1m x m = b 1 a n1 x 1 ++ a nm x m = b n Una solución
Más detalles1. Si están situados en rectas paralelas: la recta que une los orígenes, deja sus extremos en un mismo semiplano.
CAPÍTULO 1 El plano vectorial Consideremos P como el plano intuitivo de puntos: A,,C... 1.1. El espacio vectorial de los vectores Definición 1.1 Vectores fijos Dado dos puntos cualesquiera A e del espacio
Más detallesSubspacios Vectoriales
Subspacios Vectoriales AMD Grado en Ingeniería Informática AMD Grado en Ingeniería Informática (UM) Subspacios Vectoriales 1 / 25 Objetivos Al finalizar este tema tendrás que: Saber si un subconjunto es
Más detallesVECTORES. A cada clase de vectores equipolentes se denomina vector libre.!
VECTORES Vectores libres del plano Definiciones Sean A y B dos puntos del plano de la geometría elemental. Se llama vector AB al par ordenado A, B. El punto A se denomina origen y al punto B extremo. (
Más detallesTemas 4 y 5: El espacio afín. Variedades lineales. Paralelismo.
ALGEBRA II: Temas 4-5 DIPLOMATURA DE ESTADÍSTICA 1 Temas 4 y 5: El espacio afín Variedades lineales Paralelismo 1 Introducción La Geometría afín sobre R tiene como objetos básicos los siguientes: un conjunto
Más detallesEsta definición se puede ampliar a cualquier par de bases de los espacio inicial y final MATRIZ DE UNA APLICACIÓN LINEAL EN BASES ARBITRARIAS
Cambios de base 3 3. CAMBIOS DE BASE Dada una aplicación lineal : y la base,,, se ha definido matriz en bases canónicas de la aplicación lineal a la matriz,, cuyas columnas son las coordenadas de en la
Más detallesTema 1: Matrices. El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico.
Tema 1: Matrices El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico. 1. Terminología Comenzamos con la definición de matriz
Más detallesEspacios vectoriales reales.
Tema 3 Espacios vectoriales reales. 3.1 Espacios vectoriales. Definición 3.1 Un espacio vectorial real V es un conjunto de elementos denominados vectores, junto con dos operaciones, una que recibe el nombre
Más detalles1 ÁLGEBRA DE MATRICES
1 ÁLGEBRA DE MATRICES 1.1 DEFINICIONES Las matrices son tablas numéricas rectangulares. Se dice que una matriz es de dimensión m n si tiene m filas y n columnas. Cada elemento de una matriz se designa
Más detallesESPACIOS Y SUBESPACIOS VECTORIALES
ESPACIOS Y SUBESPACIOS VECTORIALES. ESPACIO VECTORIAL REAL Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos llamados vectores, junto con dos operaciones, llamadas suma y multiplicación por un escalar
Más detallesTEMA 11.- VECTORES EN EL ESPACIO
TEMA 11.- VECTORES EN EL ESPACIO 1.- INTRODUCCIÓN Un vector fijo AB del espacio (también lo era en el plano) es un segmento orientado que tiene su origen en un punto A y su extremo en otro punto B. Estos
Más detallesEspacios Vectoriales, Valores y Vectores Propios
, Valores y Vectores Propios José Juan Rincón Pasaye, División de Estudios de Postgrado FIE-UMSNH Curso Propedéutico de Matemáticas para la Maestría en Ciencias opciones: Sistemas de Control y Sistemas
Más detallesTEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS.
TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. 1. MATRICES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS. DEFINICIÓN: Las matrices son tablas numéricas rectangulares
Más detallescomo el número real que resulta del producto matricial y se nota por:
Espacio euclídeo 2 2. ESPACIO EUCLÍDEO 2.. PRODUCTO ESCALAR En el espacio vectorial se define el producto escalar de dos vectores y como el número real que resulta del producto matricial y se nota por:,
Más detallesESPACIOS VECTORIALES
MATEMÁTICA I - - Capítulo 8 ------------------------------------------------------------------------------------ ESPACIOS VECTORIALES.. Espacios Vectoriales y Subespacios... Definición. Un espacio vectorial
Más detallesMatemáticas 2ºBachillerato Aplicadas a las Ciencias Sociales
Matemáticas 2ºBachillerato Aplicadas a las Ciencias Sociales 1era evaluación. Matrices Definición: Una matriz es un conjunto de números ordenados en filas y columnas. Para definirla se utilizan letras
Más detallesA = , B = 2 2. a 11 a 1n a 21 a 2n A = a m1 a mn
Máster en Materiales y Sistemas Sensores para Tecnologías Medioambientales Erasmus Mundus NOTAS DE CÁLCULO NUMÉRICO Damián Ginestar Peiró ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEL DISEÑO UNIVERSIDAD POLITÉCNICA
Más detallesUNIDAD I: SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS
UNIDAD I: SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Método de igualación. Método de reducción. Método de sustitución Método de eliminación Gaussiana.
Más detallesConcepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.
Matrices Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina
Más detallesMatrices 2º curso de Bachillerato Ciencias y tecnología
MATRICES Índice:. Introducción-------------------------------------------------------------------------------------- 2. Definición de matriz-----------------------------------------------------------------------------
Más detalles1. Lección 1 - Espacio Vectorial
1. Lección 1 - Espacio Vectorial Definiremos espacio vectorial como la estructura algebraica consistente en: 1. Grupo abeliano {V, +, } cuyos elementos se denominan vectores. Para que los elementos de
Más detallesMATRICES. Jaime Garrido Oliver
MATRICES Jaime Garrido Oliver ÍNDICE DE CONTENIDOS ÍNDICE DE CONTENIDOS... 2 MATRICES... 3 1.1. INTRODUCCIÓN.... 3 2. TIPOS DE MATRICES... 4 2.1. Matriz Fila, Matriz Columna... 4 2.2. Matrices cuadradas...
Más detallesMATEMÁTICA LIC. Y PROF. EN CS. BIOLÓGICAS
Definición: se llama matriz de m filas y n columnas sobre un cuerpo K (R ó C), a una ordenación rectangular de la forma Notación: a11 a...... a1n a21 a...... a2n A = M M M donde cada elemento a ij Є K
Más detallesVectores en el plano UNIDAD I: MATRICES. Dirección de un vector. Sentido de un vector
UNIDAD I: MATRICES Vectores en el plano Un vector,, es un segmento con una dirección que va del punto A (origen) al punto B (etremo).un vector es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto
Más detallesDos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales
Introducción Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley
Más detallesESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA FUNDAMENTOS MATEMÁTICAS
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA FUNDAMENTOS MATEMÁTICAS 7. ESPACIOS VECTORIALES 7.1 Estructura de Espacio Vectorial. Sea
Más detallesMATRICES. 2º Bachillerato. Se llama matriz a una disposición rectangular de números reales, a los cuales se les denomina elementos de la matriz.
Concepto de matriz. Igualdad de matrices MATRICES 2º Bachillerato Concepto de matriz. Igualdad de matrices Concepto de matriz. Igualdad de matrices Se llama matriz a una disposición rectangular de números
Más detalles1. Lección 3: Matrices y Determinantes
Apuntes: Matemáticas Empresariales II 1. Lección 3: Matrices y Determinantes Se define matriz de orden n m a todo conjunto de n m elementos de un cuerpo K, dispuestos en n filas y m columnas: A n m = (
Más detalles3. que satisfacen los axiomas anteriores.
UVG-MM2002: Álgebra Lineal 1 Instructor: Héctor Villafuerte Espacios Vectoriales 26 de Enero, 2010 1 Espacios Vectoriales Denición 1 (Espacio Vectorial). Un espacio vectorial V es un conjunto de objetos
Más detallesIndependencia Lineal y Generación. (c) 2012 Leandro Marin
09.00 Independencia Lineal y Generación 3 48700 9000 (c) 0 Leandro Marin . Independencia Lineal Dada una familia de vectores v, v,, v k de un espacio vectorial V, llamaremos combinación lineal de estos
Más detallesTrabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES
Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES Ejercicio 1: Determine si los siguientes conjuntos con las operaciones definidas en cada caso son o no espacios vectoriales. Para aquellos que no lo sean, indique
Más detallesUNIDAD 2: ESPACIOS VECTORIALES
UNIDAD 2: ESPACIOS VECTORIALES Introducción. Vectores. Adición de vectores. Propiedades. Multiplicación de un vector por un escalar. Propiedades. Módulo o norma de un vector. Vector unitario o versor.
Más detallesESPACIOS VECTORIALES
ESPACIOS VECTORIALES Luisa Martín Horcajo U.P.M. Definición: Vector libre. Operaciones Un vector fijo es una segmento orientado, que queda caracterizado por su origen A y su extremo B y se representa por
Más detallesTrabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES. Ejercicio 1:
6 Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES Ejercicio : Determine si los siguientes conjuntos con las operaciones definidas en cada caso son o no espacios vectoriales. Para aquellos que no lo sean, indique
Más detallesMatrices y Sistemas Lineales
Matrices y Sistemas Lineales Álvarez S, Caballero MV y Sánchez M a M salvarez@umes, mvictori@umes, marvega@umes 1 ÍNDICE Matemáticas Cero Índice 1 Definiciones 3 11 Matrices 3 12 Sistemas lineales 5 2
Más detallesTEMA 1 Álgebra de matrices 4 sesiones. TEMA 2 Determinantes 4 sesiones. TEMA 3 Sistemas de ecuaciones 4 sesiones
1.1. MATEMÁTICAS II TEMPORALIZACIÓN Y SECUENCIACIÓN: TEMA 1 Álgebra de matrices 4 sesiones TEMA 2 Determinantes 4 sesiones TEMA 3 Sistemas de ecuaciones 4 sesiones TEMA 4 Vectores en el espacio 4 sesiones
Más detallesTrabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES
Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES Ejercicio 1: Determine si los siguientes conjuntos con las operaciones definidas en cada caso son o no espacios vectoriales. Para aquellos que no lo sean, indique
Más detallesMATRICES Y DETERMINANTES DEFINICIÓN DE MATRIZ. TIPOS
Índice Presentación... 3 Matrices... 4 Tipos de matrices I... 5 Tipos de matrices II... 6 Suma de matrices... 7 Multiplicación por un escalar... 8 Producto de matrices... 9 Trasposición de matrices...
Más detallesVECTORES : Las Cantidades Vectoriales cantidades escalares
VECTORES En física hay dos tipos de cantidades: Las Cantidades Vectoriales son aquellas que tiene tanto magnitud como dirección y sentido sobre la dirección), mientras que las cantidades escalares son
Más detallesBENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN
1 BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN BANCO DE PREGUNTAS CURSO: ALGEBRA LINEAL LICENCIATURA EN CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN MC Fco. Javier Robles Mendoza Otoño
Más detallesEspacios Vectoriales
Espacios y subespacios vectoriales Espacios Vectoriales 1. Demuestre que con la suma y multiplicación habituales es un espacio vectorial real.. Considere el conjunto C de los números complejos con la suma
Más detallesMATRICES. Una matriz es un conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.
MATRICES Una matriz es un conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento
Más detalles3. ÁLGEBRA LINEAL // 3.1. SISTEMAS DE
3. ÁLGEBRA LINEAL // 3.1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES COMPLEMENTOS PARA LA FORMACIÓN DISCIPLINAR EN MATEMÁTICAS Curso 2011-2012 3.1.1. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Método
Más detallesMatrices y Sistemas de Ecuaciones lineales
Matrices y Sistemas de Ecuaciones lineales Llamaremos M m n (K) al conjunto de las matrices A = (a ij ) (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n) donde los elementos a ij pertenecen a un cuerpo K. Las matrices,
Más detallesClase de Álgebra Lineal
Clase de Álgebra Lineal M.Sc. Carlos Mario De Oro Facultad de Ciencias Básicas Departamento de matemáticas 04.2017 Page 1 Espacios vectoriales Definicion. Espacio Vectorial (E.V.) Un V espacio vectorial
Más detallesEspacios Vectoriales
Espacios Vectoriales Espacios Vectoriales Verónica Briceño V. noviembre 2013 Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 1 / 47 En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Espacios
Más detallesMatriz A = Se denomina MATRIZ a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.
MATRICES Matriz Se denomina MATRIZ a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. a 11 a 12 a 1j a 1n a 21 a 22 a 2j a 2n A = a i1 a ij a in a m1 a
Más detallesMatrices y determinantes. Sistemas de ecuaciones lineales
Tema 0 Matrices y determinantes Sistemas de ecuaciones lineales 01 Introducción Definición 011 Se llama matriz a un conjunto ordenado de números, dispuestos en filas y columnas, formando un rectángulo
Más detallesBLOQUE DE ÁLGEBRA: TEMA 1: MATRICES.
BLOQUE DE ÁLGEBRA: TEMA 1: MATRICES. Matrices: Se llama matriz de dimensión m n a un conjunto de números reales dispuestos en m filas y n columnas de la siguiente forma: 11 a 12 a 13... a 1n A= a a 21
Más detallesEl espacio proyectivo. Sistemas de referencia. Dualidad.
Capítulo 1 El espacio proyectivo Sistemas de referencia Dualidad En todo lo que sigue k designará un cuerpo arbitrario 11 Espacio afín como subespacio del proyectivo Definición 111 Sea un entero n 0 El
Más detallesEspacios vectoriales
Espacios vectoriales [Versión preliminar] Prof. Isabel Arratia Z. Algebra Lineal 1 En el estudio de las matrices y, en particular, de los sistemas de ecuaciones lineales realizamos sumas y multiplicación
Más detallesEspacios Vectoriales www.math.com.mx
Espacios Vectoriales Definiciones básicas de Espacios Vectoriales www.math.com.mx José de Jesús Angel Angel jjaa@math.com.mx MathCon c 007-009 Contenido. Espacios Vectoriales.. Idea Básica de Espacio Vectorial.................................
Más detalles