Tema 7. El espacio vectorial R n Conceptos generales

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1 Tema 7 El espacio vectorial R n Conceptos generales Un vector es un segmento orientado que queda determinado por su longitud, dirección y sentido. Sin embargo, desde el punto de vista del Álgebra, un vector no es más que una matriz columna y lo que se estudia en este tema es la estructura que al conjunto de vectores le dan las operaciones que hacemos con ellos. Así, el conjunto de los vectores junto con las dos operaciones que vamos a definir forma la estructura de espacio vectorial, (R n, +, ). Esta estructura también la tienen otros conjuntos, como el conjunto de las matrices o el conjunto de los polinomios, y la mayoría de los conceptos que vamos a ver son aplicables a ellos. Definición 7.1 El espacio vectorial n-dimensional, cuyos elementos reciben el nombre de vectores, es el conjunto de las matrices columna de orden n 1 que, por comodidad, se representan por n-tuplas: R n = {(u 1, u 2,..., u n )/u 1, u 2,..., u n R}. Nota En un sistema de coordenadas cartesianas el vector u = (u 1, u 2,..., u n ) tiene como representante el segmento que va del origen al punto (u 1, u 2,..., u n ) pero es una matriz columna y a la hora de operar se escribe como u = 193 u 1 u 2. u n

2 Bloque III. ÁLGEBRA LINEAL Y TEORÍA DE MATRICES Definición 7.2 La suma de dos vectores u = (u 1, u 2,..., u n ) R n y v = (v 1, v 2,..., v n ) R n es: u + v = (u 1 + v 1, u 2 + v 2,..., u n + v n ) R n. El producto de un escalar α R por un vector u = (u 1, u 2,..., u n ) R n es: α u = (α u 1, α u 2,..., α u n ) R n. v u v Λu Λ 3 u u Proposición 7.3 (Propiedades de la suma de vectores) 1. u + v R n u, v R n (operación interna). 2. u + ( v + w) = ( u + v) + w u, v, w R n (asociativa). 3. El vector nulo n-dimensional o vector cero, definido por θ = (0,..., 0), verifica u + θ = θ + u = u u R n (existencia del elemento neutro). 4. El vector opuesto de u = (u 1, u 2,..., u n ) R n, definido por u = ( u 1,..., u n ), verifica u + ( u) = ( u) + u = θ (existencia de elemento opuesto). 5. u + v = v + u u, v R n (conmutativa). Proposición 7.4 (Propiedades del producto de escalares por vectores) 1. α u R n α R, u R n (operación externa). 2. (α + β) u = α u + β u α, β R, u R n (distributiva respecto a la suma de escalares). 3. α ( u + v) = α u + α v α R u, v R n (distributiva respecto a la suma de vectores). 4. α (β u) = (α β) u α, β R u R n (asociativa mixta) u = u u R n (buen comportamiento del uno). Proyecto MATECO 2.1 Página 194

3 TEMA 7. EL ESPACIO VECTORIAL R N. Corolario 7.5 (Propiedades del producto por cero) Sean α, β R y u, v R n 1. (a) 0 u = θ (b) α θ = θ (c) α u = θ = α = 0 ó u = θ 2. (a) α u = β u y u θ = α = β (b) α u = α v y α 0 = u = v Los conceptos de dependencia e independencia que hemos visto para las filas y columnas de una matriz se trasladan de forma natural a los vectores. De forma que un conjunto de vectores será linealmente dependiente si algún vector se puede expresar como combinación lineal de los restantes y linealmente independiente si ningún vector se puede expresar como combinación lineal de los otros. Definición 7.6 Sean u 1, u 2,..., u k R n. Una combinación lineal de u 1, u 2,..., u k es cualquier expresión de la forma α 1 u 1 + α 2 u α k u k con α 1, α 2,..., α k R Ejemplo 7.7 Sean u = (3, 1, 2), v = (1, 0, 1), y w = ( 1, 2, 0) vectores de R 3. u 2 v + 3 w = ( 2, 7, 0) es una combinación lineal de u, v y w. 0 u + 0 v + 0 w = (0, 0, 0) es otra combinación lineal de u, v y w. Una combinación lineal genérica de u, v y w es α u + β v + γ w = α(3, 1, 2) + β(1, 0, 1) + γ( 1, 2, 0) = (3α + β γ, α + 2γ, 2α + β) En los tres casos las combinaciones lineales son vectores de R 3. Definición 7.8 { u 1, u 2,..., u k } es linealmente dependiente (l.d.) si: α 1, α 2,, α k no todos nulos /α 1 u 1 + α 2 u α k u k = θ. { u 1, u 2,..., u k } es linealmente independiente (l.i.) en caso contrario, es decir, si se cumple la equivalencia: α 1 u 1 + α 2 u α k u k = θ α 1 = α 2 = = α k = 0. Proposición 7.9 Sea { u 1, u 2,..., u k } R n. { u 1, u 2,..., u k } es linealmente dependiente si y sólo si algún vector se puede expresar como combinación lineal de los restantes. Página 195 Proyecto MATECO 2.1

4 Bloque III. ÁLGEBRA LINEAL Y TEORÍA DE MATRICES Nota Si igualamos una combinación lineal de los vectores u 1, u 2,..., u k a θ, α 1 u 1 + α 2 u α k u k = θ el sistema obteniendo es un sistema homogéneo cuyas variables son α 1, α 2,..., α k R y en el cual la matriz de coeficientes tiene por columnas las coordenadas de los vectores A = u 1 u 2 u k. Los vectores son linealmente independientes si y sólo si este sistema, que siempre es compatible, tiene solución única. Esto sucede si y sólo si el rango de la matriz coincide con el número de variables que viene dado por el número de vectores. Por tanto, los vectores son linealmente independientes si y sólo si el rango de la matriz coincide con el número de vectores (rg(a) = k). Ejemplo 7.10 Estudiar si los siguientes conjuntos de vectores de R 3 son linealmente independientes: (c) {(1, 1, 1), (1, 2, 3), (1, 1, 1)} (d) {(1, 1, 1), (1, 2, 3), (2, 3, 4)} Solución (a) {(1, 1, 1), (1, 2, 3), (1, 1, 1)} Construimos una combinación lineal genérica de los vectores y la igualamos al vector cero α(1, 1, 1) + β(1, 2, 3) + γ(1, 1, 1) = (α + β + γ, α + 2β γ, α + 3β + γ) = (0, 0, 0) obteniendo el sistema α + β + γ = 0 α + 2β γ = 0 α + 3β + γ = 0 con rg = 3 Como el sistema es compatible determinado, la única solución es α = β = γ = 0 y, por tanto, los vectores son linealmente independientes. Obsérvese que sólo es necesario calcular el rango de la matriz cuyas columnas son las coordenadas de los vectores. Como coincide con su número podemos deducir que los vectores son linealmente independientes y que ninguno se puede escribir como combinación lineal de los demás. Proyecto MATECO 2.1 Página 196

5 TEMA 7. EL ESPACIO VECTORIAL R N. (b) {(1, 1, 1), (1, 2, 3), (2, 3, 4)} Construimos una combinación lineal genérica de los vectores y la igualamos al vector cero α(1, 1, 1) + β(1, 2, 3) + γ(2, 3, 4) = (α + β + 2γ, α + 2β + 3γ, α + 3β + 4γ) = (0, 0, 0) obteniendo el sistema α + β + 2γ = 0 α + 2β + 3γ = 0 α + 3β + 4γ = 0 con rg = 2 < 3 (número de variables) Como el sistema es compatible indeterminado, existen soluciones distintas de la solución α = β = γ = 0 y, por tanto, los vectores son linealmente dependientes y un vector se puede escribir como combinación lineal de los otros (el tercer vector es suma de los otros dos). Obsérvese que sólo es necesario calcular el rango de la matriz cuyas columnas son las coordenadas de los vectores. Como no coincide con el número de vectores podemos deducir que los vectores son linealmente dependientes y que alguno se puede escribir como combinación lineal de los demás. En nuestro caso el menor principal elegido corresponde a las dos primeras filas y podemos garantizar que el tercer vector se puede escribir como combinación lineal de los otros dos. Nota El rango de la matriz cuyas columnas son las coordenadas de los vectores es el número máximo de vectores linealmente independientes que hay dentro del conjunto: rg u 1 u 2 u k = número máximo de vectores l. i. de { u 1, u 2,..., u k } Nota En R n los vectores tienen n coordenada y esto hace que el rango de la matriz cuyas columnas son las coordenadas de los vectores sea como máximo n y que, por tanto, en un conjunto de vectores de R n linealmente independiente haya como máximo n vectores. Proposición 7.11 Sea { u 1, u 2,..., u k } R n. (a) Si { u} está formado por un vector no nulo es linealmente independiente. (b) Si { u 1, u 2,..., u k } es linealmente dependiente un conjunto que lo contenga también lo es. (c) Si { u 1, u 2,..., u k } es linealmente independiente un subconjunto suyo también lo es. (d) Si { u 1, u 2,..., u k } contiene al vector θ es linealmente dependiente. Página 197 Proyecto MATECO 2.1

6 Bloque III. ÁLGEBRA LINEAL Y TEORÍA DE MATRICES 7.2. Las bases como sistemas de referencia. Un sistema generador del espacio vectorial R n es un conjunto de vectores que genera todos los vectores del espacio, de forma que todo vector del espacio es combinación lineal de los vectores del conjunto. Cuando consideramos sólo vectores linealmente independientes aparece el concepto de base del espacio vectorial. Este concepto es una extensión de los sistemas de referencia que hemos utilizado hasta ahora para representar los vectores. Definición 7.12 Sea { u 1, u 2,..., u k } R n. { u 1, u 2,..., u k } es un sistema generador de R n si cualquier v R n se puede obtener como combinación lineal de u 1, u 2,..., u k, es decir, si: v R n α 1, α 2,, α k R / α 1 u 1 + α 2 u α k u k = v. Nota Si igualamos una combinación lineal de los vectores u 1, u 2,..., u k a un vector v genérico α 1 u 1 + α 2 u α k u k = v el sistema obtenido es compatible si y sólo si rg(a) = rg(ā) rg u 1 u 2 u k = rg u 1 u 2 u k v La igualdad es cierta para todo v si y sólo si el rango de la primera matriz es igual al número de ecuaciones, que es el máximo valor que puede alcanzar el rango y viene dado por el número de coordenadas de los vectores. Por tanto, el conjunto de vectores es un sistema generador de R n si y sólo si el rango de la matriz cuyas columnas son las coordenadas de los vectores es igual al número de coordenadas de estos (rg(a) = n). Ejemplo 7.13 Estudiar si los siguientes conjuntos de vectores son un sistema generador de R 3 : (a) {(1, 1, 1), (1, 2, 3), (1, 1, 1)} (b) {(1, 1, 1), (1, 2, 3), (2, 3, 4)} Solución (a) {(1, 1, 1), (1, 2, 3), (1, 1, 1)} Construimos una combinación lineal genérica de los vectores y la igualamos a un vector v: α(1, 1, 1) + β(1, 2, 3) + γ(1, 1, 1) = (α + β + γ, α + 2β γ, α + 3β + γ) = (v 1, v 2, v 3 ) Proyecto MATECO 2.1 Página 198

7 TEMA 7. EL ESPACIO VECTORIAL R N. obteniendo el sistema α + β + γ = v 1 α + 2β γ = v 2 α + 3β + γ = v 3 El rango de la matriz del sistema y el rango de la matriz ampliada valen v 1 rg = 3 rg v 2 = Como el sistema es compatible, independientemente del vector v, todos los vectores de R n se pueden obtener como combinación lineal del conjunto de vectores. Por tanto, este conjunto de vectores forma un sistema generador. Obsérvese que sólo es necesario calcular el rango de la matriz cuyas columnas son las coordenadas de los vectores. Como coincide con el número de coordenadas podemos deducir que los vectores forman un sistema generador del espacio total. (b) {(1, 1, 1), (1, 2, 3), (2, 3, 4)} Si construimos una combinación lineal genérica y la igualamos a un vector v α(1, 1, 1) + β(1, 2, 3) + γ(2, 3, 4) = (α + β + 2γ, α + 2β + 3γ, α + 3β + 4γ) = (v 1, v 2, v 3 ) v 3 obtenemos el sistema α + β + 2γ = v 1 α + 2β + 3γ = v 2 α + 3β + 4γ = v 3 que será compatible si y sólo si el rango de la matriz del sistema coincide con el rango de la matriz ampliada. Aquí, el rango de la matriz del sistema es 2 pero, al contrario que en el caso anterior, existen vectores para los que el rango de la matriz ampliada vale 3, por ejemplo, v = (0, 0, 1): rg = 2 rg = Como el sistema es incompatible para algunos vectores, hay vectores que no se pueden obtener como combinación lineal del conjunto de vectores. Por tanto, este conjunto de vectores no forma un sistema generador. Página 199 Proyecto MATECO 2.1

8 Bloque III. ÁLGEBRA LINEAL Y TEORÍA DE MATRICES Obsérvese que sólo es necesario calcular el rango de la matriz cuyas columnas son las coordenadas de los vectores. Como no coincide con el número de coordenadas podemos deducir que los vectores no forman un sistema generador del espacio total. Nota Para que el rango de la matriz cuyas columnas son las coordenadas de los vectores coincida con el número de coordenadas necesitamos al menos n vectores. Como el rango de esta matriz también nos da el número de vectores linealmente independientes, tenemos que en un sistema generador de R n hay como mínimo n vectores linealmente independientes. Definición 7.14 Sea { u 1, u 2,..., u k } R n. El conjunto ordenado de vectores { u 1, u 2,..., u k } es una base de R n si: { u 1, u 2,..., u k } es un sistema generador de R n. { u 1, u 2,..., u k } es linealmente independiente. Ejemplo 7.15 En los ejemplos 7.10 y 7.13 vimos que {(1, 1, 1), (1, 2, 3), (1, 1, 1)} es un sistema generador de R 3 linealmente independiente y, por tanto, es base de R 3. En cambio el conjunto de vectores {(1, 1, 1), (1, 2, 3), (2, 3, 4)} no es un sistema generador de R 3 ni es linealmente independiente, por tanto, no es base de R 3 (basta que no se verifique una de las dos condiciones). Definición 7.16 En toda base de R n, { u 1, u 2,..., u k }, se tiene rg u 1 u 2 u k = k por ser linealmente independientes n por ser sistema generador Por tanto, todas las bases de R n están formadas por n vectores. Este número recibe el nombre de dimensión de R n y se escribe dim(r n ) = n. Nota Se suele denotar por P la matriz cuyas columnas son las coordenadas de un conjunto de vectores. Este conjunto es una base de R n si y sólo si la matriz es cuadrada y det(p ) 0. Ejemplo 7.17 Si consideramos los vectores que tienen todas sus componentes iguales a 0 excepto la i-ésima que es igual a 1, e i = (0,, (i) 1,, 0), obtenemos la base canónica de R n C = { e 1, e 2,..., e n } En R 2 esta base está formada por los vectores e 1 = (1, 0) y e 2 = (0, 1) y en R 3 por los vectores e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0) y e 3 = (0, 0, 1). Para dimensiones superiores se forman análogamente. Proyecto MATECO 2.1 Página 200

9 TEMA 7. EL ESPACIO VECTORIAL R N. Proposición 7.18 (a) Un conjunto de n vectores de R n linealmente independiente siempre es una base de R n. (b) Si de un sistema generador de R n eliminamos los vectores que dependen de otros se obtiene una base de R n. (c) Si un conjunto de vectores es linealmente independiente es posible obtener una base de R n que lo contenga (teorema de la base incompleta). Ejemplo 7.19 Consideremos el espacio vectorial R 2 con dim ( R 2) = 2 El conjunto de vectores {(1, 1), (1, 1)} es linealmente independiente y está formado por dos vectores. Por tanto, es una base. El conjunto de vectores {(2, 1), (1, 2), (3, 3)} es un sistema generador de R 2 linealmente dependiente. Si eliminamos el tercer vector, que es suma de los otros dos, obtenemos una base. El conjunto de vectores {(1, 1} es linealmente independiente, pues está formado por un único vector no nulo. Si, por ejemplo, añadimos el vector (1, 0) obtenemos una base. Teorema 7.20 Sea B = { u 1, u 2,..., u n } R n una base de R n. Todo v R n se puede expresar de forma única como v = a 1 u 1 + a 2 u a n u n. Definición 7.21 Este teorema nos permite identificar un vector con los coeficientes de la combinación lineal, por lo que decimos que a 1, a 2,..., a n son las coordenadas de ṽ respecto a B y lo escribimos como v = (a 1, a 2,..., a n ) B. Ejemplo 7.22 Si B = { u 1, u 2, u 3 } una base de R 3, B = { u 2, u 3, u 1 } es también una base, ya que los conceptos de sistema generador y de vectores linealmente independientes no dependen del orden de los vectores. Sin embargo es una base distinta, ya que el orden de los vectores es distinto y hay conceptos como el de coordenadas con respecto a una base sí dependen del orden. En particular, en las coordenadas de un vector con respecto a B y B cambia el orden: u = (1, 0, 1) B = u 1 + 0u 2 u 3 = 0u 2 u 3 + u 1 = (0, 1, 1) B Página 201 Proyecto MATECO 2.1

10 Bloque III. ÁLGEBRA LINEAL Y TEORÍA DE MATRICES Ejemplo 7.23 Sean C = { e 1, e 2 } la base canónica de R 2 y B = {(1, 1), (1, 1)} otra base de R 2. La base canónica establece el sistema de coordenadas cartesiano formado por líneas verticales y horizontales. En el sistema de coordenadas que establece la base B las líneas que lo forman siguen las direcciones de los vectores u 1 = (1, 1) y u 2 = (1, 1) y en general marcan coordenadas distintas para un mismo vector. Base C Base B Así vector v = (3, 1) tiene distintas coordenadas en la base canónica y en la base B: v = (3, 1) = 3(1, 0) + 1(0, 1) = 3 e e 2 = (3, 1) C v = (3, 1) = 2(1, 1) + 1(1, 1) = 2 u u 2 = (2, 1) B Nota Las coordenadas de v R n con respecto a la base canónica son las coordenadas cartesianas: v = (a 1, a 2,..., a n ) = v = (a 1, a 2,..., a n ) C. Teorema 7.24 (Cambio de base) Sean C = { e 1, e 2,..., e n } y B = { u 1, u 2,..., u n } dos bases de R n. Si conocemos las coordenadas de los vectores de B con respecto a C u 1 = (u 11, u 12,..., u 1n ) C u 2 = (u 21, u 22,..., u 2n ) C B. u n = (u n1, u n2,..., u nn ) C tenemos una relación entre las coordenadas de cada vector v R n en la base B, X B = (x 1, x 2,..., x n) B, y sus coordenadas en la base C, X C = (x 1, x 2,..., x n ) C u 1 u 2 u n x 1 x 2. = u 11 u 21 u n1 u 12 u 22 u n2... x 1 x 2. x n C u 1n u 2n u nn x n B Proyecto MATECO 2.1 Página 202

11 TEMA 7. EL ESPACIO VECTORIAL R N. Esta relación recibe el nombre de ecuaciones del cambio de base de B a C, ya que relacionan las coordenadas respecto a dos bases distintas de un mismo vector y transforman sus coordenadas respecto a B en sus coordenadas respecto a C. La matriz recibe el nombre de matriz del cambio de base de B a C y sus columnas son las coordenadas de los vectores de la base B con respecto de la base C. Nota La matriz del cambio de base de B a C se suele denotar con la letra P y las ecuaciones del cambio de base de B a C se escriben abreviadamente X C = P X B Nota Si P es la matriz del cambio de base de B a C entonces la matriz del cambio de base de C a B es P 1 y las ecuaciones del cambio de base de C a B se escriben abreviadamente X B = P 1 X C Ejemplo 7.25 Sean C = { e 1, e 2 } la base canónica de R 2 y B = { u 1, u 2 } una base de R 2 formada por los vectores u 1 = (1, 1) y u 2 = (1, 1). Obtener las coordenadas en la base canónica del vector u = (2, 1) B y las coordenadas en la base B del vector v = ( 4, 2). Solución Las ecuaciones del cambio de base de B a C permiten obtener las coordenadas en la base canónica de un vector del que sepamos sus coordenadas en la base B x 1 x 2 C u 1 u 2 = 1 1 x x 2 B = = 3 1 C = B Las ecuaciones del cambio de base de C a B se obtienen al calcular la inversa de la matriz y permiten obtener las coordenadas en la base B de un vector con coordenadas en la base canónica x 1 = x 1 = 1 = x 2 x B C B C Página 203 Proyecto MATECO 2.1

12 Bloque III. ÁLGEBRA LINEAL Y TEORÍA DE MATRICES Ejercicio 7.26 Sean B 1 = {( 1, 1, 0), (1, 0, 1), (1, 0, 0)} y B 2 = {( 3, 0, 3), ( 3, 2, 1), (1, 6, 1)} (a) Determinar las componentes del vector u = (1, 2, 3) con respecto a la base B 1 (b) Determinar las componentes del vector v = ( 1, 0, 1) B2 con respecto a la base canónica (c) Determinar las componentes del vector w = (1, 1, 1) B1 con respecto a la base B 2. Solución (a) Buscamos las coordenadas de u = (1, 2, 3) con respecto a la base B 1 : (1, 2, 3) = α( 1, 1, 0) + β(1, 0, 1) + γ(1, 0, 0) = α + β + γ = 1 α + 0β + 0γ = 2 0α β + 0γ = 3 Obsérvese que la matriz del sistema es la matriz cuyas columnas son las coordenadas de los vectores de la base B 1 y, por tanto, tanto ella como la matriz ampliada son de rango 3 y el sistema tiene solución única. Obtenemos las coordenadas resolviendo el sistema (ejercicio) Otra opción es utilizar las ecuaciones del cambio de base de B 1 a C x 1 x 2 x 3 C = u 1 u 2 u x 1 x 2 x 3 B 1 X C = P X B1 Esta ecuación permite obtener las coordenadas en la base canónica de un vector con coordenadas en la base B 1 y para obtener las coordenadas en la base B de un vector con coordenadas en la base canónica necesitamos las ecuaciones del cambio de base de C a B que se obtienen al calcular la inversa de la matriz X C = P X B1 X B1 = P 1 X C = 3 = (b) Las coordenadas de v = ( 1, 0, 1) B2 con respecto a la base canónica se obtienen directamente: B C (x 1, x 2, x 3 ) = 1( 3, 0, 3) + 0( 3, 2, 1) + 1(1, 6, 1) = (4, 6, 4) Proyecto MATECO 2.1 Página 204

13 TEMA 7. EL ESPACIO VECTORIAL R N. Otra opción es utilizar las ecuaciones del cambio de base de B 2 a C que también permiten obtener directamente las coordenadas en la base canónica de un vector con coordenadas en la base B 2 x 1 x 2 x 3 C u 1 u 2 u = x 1 x 2 x 3 B = 6 = (c) En primer lugar buscamos las componentes del vector w = (1, 1, 1) B1 con respecto a C: w = (x 1, x 2, x 3 ) = 1( 1, 1, 0) + 1(1, 0, 1) + 1(1, 0, 0) = (1, 1, 1) En segundo lugar, buscamos las coordenadas de w = (1, 1, 1) con respecto a la base B 2 : 3α 3β + γ = 1 (1, 1, 1) = α( 3, 0, 3) + β( 3, 2, 1) + γ(1, 6, 1) = 0α + 2β + 6γ = 1 3α + 2β γ = 1 Obsérvese que la matriz del sistema es la matriz cuyas columnas son las coordenadas de los vectores de la base B 2 y, por tanto, tanto ella como la matriz ampliada son de rango 3 y el sistema tiene solución única. Obtenemos las coordenadas resolviendo el sistema (ejercicio). Otra opción es hacer el ejercicio mediante las ecuaciones del cambio de base. En este caso tenemos que hacer un doble cambio de base en el que despejamos X B2, que es nuestra incógnita, en función de X B1, que es lo que conocemos: X C = P X B1 X C = QX = P X B 1 = QX B2 = X B2 = Q 1 P X B1 B2 Si calculamos la inversa y realizamos las operaciones se tiene C B B 2 = 1/9 1/3 1/18 1/4 0 1/4 1/12 0 1/ B 1 Obsérvese que la matriz permite obtener directamente las coordenadas en la base B 2 de un vector con coordenadas en la base B 1. Aunque la conclusión es la misma que por el método anterior en este caso no tenemos las coordenadas de w en la base canónica. Si queremos las coordenadas en esta base sólo hay que sustituir el vector en cualquiera de las ecuaciones (esto nos permite comprobar el resultado pues tiene que coincidir en ambas ecuaciones). Página 205 Proyecto MATECO 2.1

14 Bloque III. ÁLGEBRA LINEAL Y TEORÍA DE MATRICES 7.3. Subespacios vectoriales de R n. Los subespacios vectoriales de R n son los subconjuntos del espacio vectorial que mantienen esta estructura. De forma que un subconjunto de R n, E, es un subespacio vectorial si y sólo si (E, +, ) tiene estructura de espacio vectorial. Definición 7.27 Sea E R n un subconjunto no vacío de R n (E ). E es un subespacio vectorial de R n si u + v E u, v E (E es cerrado respecto a la suma de vectores). α u E α R u E (E es cerrado respecto al producto de escalares por vectores). Teorema 7.28 (Condición necesaria y suficiente de subespacio vectorial) Sea E R n. E es un subespacio vectorial de R n si y sólo si α u + β v E α, β R u, v E. Corolario 7.29 (Condición necesaria de subespacio vectorial) Sea E R n. Si E es un subespacio vectorial de R n entonces θ E. Nota Los subespacios vectoriales de R 3 son conjuntos de direcciones y tienen por representantes: el origen, que recibe el nombre de subespacio trivial las rectas que pasan por el origen los planos que pasan por el origen el espacio tridimensional R 3, que recibe el nombre de subespacio total Teorema 7.30 Sea A M m n (R) Las soluciones del sistema lineal homogéneo A x = θ forman un subespacio vectorial de R n. Definición 7.31 Sean E R n un subespacio vectorial de R n y A M m n (R). Un sistema A x = θ forma las ecuaciones implícitas del subespacio E si E = {x R n /A x = θ} Nota Todo subespacio vectorial se puede expresar mediante unas ecuaciones implícitas. Proyecto MATECO 2.1 Página 206

15 TEMA 7. EL ESPACIO VECTORIAL R N. Ejemplo 7.32 El subespacio de R 2 dado por la ecuación implícita x y = 0 es la bisectriz del primer cuadrante. Sin embargo, el subespacio de R 3 dado por la ecuación implícita x y = 0 es un plano en el que la variable z puede tomar cualquier valor. Y x y Z x y X X Y E = {(x, y) R 2 / x y = 0} F = {(x, y, z) R 3 / x y = 0} En general, cuando tenemos un subespacio de R n definido por una única ecuación (hiperplano) su solución depende de n 1 parámetros. Teorema 7.33 Sean u 1, u 2,..., u k R n. El conjunto formado por todas las combinaciones lineales de u 1, u 2,..., u k u 1, u 2,..., u k = {α 1 u 1 + α 2 u α k u k / α 1, α 2,, α k R} es un subespacio vectorial de R n el cual recibe el nombre de variedad lineal generada por u 1, u 2,..., u k y también se denota por L( u 1, u 2,..., u k ). Definición 7.34 Sean E R n un subespacio vectorial de R n y u 1, u 2,..., u k R n. El conjunto { u 1, u 2,..., u k } es un sistema generador del subespacio E E = u 1, u 2,..., u k. Este conjunto es una base del subespacio E si además es linealmente independiente. Proposición 7.35 Sean E R n un subespacio vectorial de R n. El número de vectores de cualquier base de E es siempre el mismo, recibe el nombre de dimensión del subespacio E y se denota por dim(e). Nota Todo vector de un subespacio se expresa como combinación lineal del sistema generador (de forma única si es base) v E α 1, α 2,, α k R / v = α 1 u 1 + α 2 u α k u k. Página 207 Proyecto MATECO 2.1

16 Bloque III. ÁLGEBRA LINEAL Y TEORÍA DE MATRICES Las ecuaciones paramétricas permiten expresar este vector en función de las coordenadas del sistema generador u 1 = (u 11, u 12,..., u 1n ), u 2 = (u 21, u 22,..., u 2n ),..., u k = (u k1, u k2,..., u kn ): u 1 u 2 u k x 1 = u 11 α 1 + u 21 α u k1 α k x 2 = u 12 α 1 + u 22 α u k2 α k... x n = u 1n α 1 + u 2n α u kn α k. con α 1, α 2,..., α k R El rango de la matriz cuyas columnas son las coordenadas de los vectores nos da la dimensión del subespacio generado por ellos rg u 1 u 2 u k = dim u 1, u 2,..., u k Si de este sistema generador eliminamos los vectores que dependen de otros obtenemos una base y, en general, en las ecuaciones paramétricas se utilizan vectores linealmente independientes. Ejemplo 7.36 El subespacio engendrado por el vector (1, 2, 3) es una recta y tiene dimensión uno. Este vector forma una base del subespacio, ya que un conjunto formado por un vector siempre es linealmente independiente. Z Z Z X Y X Y X Y Sin embargo el subespacio engendrado por los vectores (1, 2, 1), (1, 2, 3) y (2, 4, 4) tiene dimensión dos y es un plano. Como el tercer vector es suma de los otros dos, su base está formada sólo por los dos primeros vectores que sí son linealmente independientes. Proyecto MATECO 2.1 Página 208

17 TEMA 7. EL ESPACIO VECTORIAL R N. Obtención de una base conocidas las ecuaciones implícitas del subespacio: Si las ecuaciones implícitas de E R n son: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = 0 ( ). a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = 0 una base de se obtiene resolviendo el sistema ( ) pues sus soluciones son las ecuaciones paramétricas: u 1 u 2 u k x 1 = u 11 α 1 + u 21 α u k1 α k x 2 = u 12 α 1 + u 22 α u k2 α k... x n = u 1n α 1 + u 2n α u kn α k. con α 1, α 2,..., α k R Si el conjunto de vectores obtenido no es linealmente independiente se eliminan los vectores que dependen de los demás. El número de vectores de la base obtenida (dimensión del subespacio) es dim(e) = dim(r n ) número de ecuaciones implícitas linealmente independientes. Obtención de las ecuaciones implícitas conocida una base del subespacio: Si { u 1, u 2,..., u k } es una base de E cuyas coordenadas respecto a la base canónica son: u 1 = (u 11, u 12,..., u 1n ) u 2 = (u 21, u 22,..., u 2n ). u k = (u k1, u k2,..., u kn ) las ecuaciones implícitas de E se obtienen al imponer rg u 1 u 2 u k u 11 u 21 u k1 x 1 u 12 u 22 u k2 x 2.. u 1n u 2n u kn x n... = dim(e). El número de ecuaciones linealmente independientes del sistema lineal homogéneo obtenido es: m = dim(r n ) dim(e). Página 209 Proyecto MATECO 2.1

18 Bloque III. ÁLGEBRA LINEAL Y TEORÍA DE MATRICES Ejemplo 7.37 Obtener la dimensión, una base, las ecuaciones paramétricas y las ecuaciones implícitas de los subespacios de R 3 E = (1, 1, 1) y F = {(x, y, z) R 3 / x + z = 0, x + y + z = 0} Subespacio E Como tenemos un único vector, este vector el linealmente independiente y, por tanto, tenemos una recta cuya base es el vector {(1, 1, 1)} base de E. Las ecuaciones paramétricas se obtienen imponiendo que un vector genérico sea combinación lineal del vector de la base (ecuación vectorial): x = α (x, y, z) = α (1, 1, 1) = E y = α z = α α R Determinamos unas ecuaciones implícitas linealmente independientes de E: El número de ecuaciones implícitas linealmente independientes que vamos a obtener es: n o de ecuaciones implícitas l.i. = n dim(e) = 3 1 = 2 Añadimos un vector genérico a la base e imponemos que el rango coincida con la dimensión (orlamos el menor que determina el rango con las dos filas que quedan fuera de éste): 1 x 1 x 1 y = 0 x y = 0 x y = 0 rg 1 y = dim(e) = 1 = = x z = 0 1 z 1 x 1 z = 0 x z = 0 Subespacio F El rango de la matriz nos da el número de ecuaciones implícitas linealmente independientes: n o de ecuaciones implícitas l.i. = rg = Como son linealmente independientes, tenemos que la dimensión del subespacio es: dim(f ) = n n o de ecuaciones implícitas l.i. = 3 2 = 1 (recta) Proyecto MATECO 2.1 Página 210

19 TEMA 7. EL ESPACIO VECTORIAL R N. Obtenemos las ecuaciones paramétricas de F resolviendo el sistema: x + z = 0 F : x + y + z = 0 Como hay dos ecuaciones implícitas linealmente independientes, dos de las tres variables del sistema dependen de la otra y tendremos un parámetro (dim(f ) = 1), que será la variable que queda fuera del menor que determina el rango: z = α con α R. Sustituimos el parámetro en las ecuaciones implícitas y resolvemos el sistema: x + z = 0 = x + α = 0 = x = α x + y + z = 0 = α + y + α = 0 = y = 0 Al ordenar las variables se obtienen las ecuaciones paramétricas: x = α F y = 0 α R. z = α Una base de F está formada por el vector ( 1, 0, 1) (coeficientes de α) {( 1, 0, 1)} base de F. Ejemplo 7.38 Obtener la dimensión, una base, las ecuaciones paramétricas y las ecuaciones implícitas de los subespacios de R 4. V =< (1, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 1) > y W = {(x, y, z, t) R 4 / 2x y + t = 0; x + y + 2t = 0} Subespacio V Consideramos la matriz cuyas columnas son los vectores de V cuyo rango nos da el número de vectores linealmente independientes (dimensión de V ): rg = 2 = dim(v ) = 2 (plano) Como los vectores son linealmente independientes forman una base de V : base de V {(1, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 1)} Página 211 Proyecto MATECO 2.1

20 Bloque III. ÁLGEBRA LINEAL Y TEORÍA DE MATRICES Las ecuaciones paramétricas se obtienen imponiendo que un vector genérico sea combinación lineal de los vectores de la base (ecuación vectorial): (x, y, z, t) = α (1, 1, 1, 1) + β (1, 0, 1, 1) = E + F x = α + β y = α z = α + β t = α + β Determinamos unas ecuaciones implícitas linealmente independientes de V : α, β R El número de ecuaciones implícitas linealmente independientes que vamos a obtener es: n o de ecuaciones implícitas l.i. = n dim(v ) = 4 2 = 2 Añadimos un vector genérico a la base e imponemos que el rango coincida con la dimensión (orlamos el menor que determina el rango con las filas que quedan fuera de éste): 1 1 x 1 0 y = 0 x 2y z = x 1 1 z 1 0 y x 2y z = 0 rg = 2 = = 1 1 z x + t = x 1 1 t 1 0 y = 0 x + t = t Subespacio W Consideramos la matriz cuyas filas son los coeficientes de las ecuaciones (matriz del sistema) cuyo rango nos da el número de ecuaciones implícitas linealmente independientes: n o de ecuaciones implícitas l.i. = rg = Determinamos la dimensión del subespacio: dim(w ) = n n o de ecuaciones implícitas l.i. = 4 2 = 2 (plano) Las ecuaciones implícitas son las que nos dan, ya que son linealmente independientes: 2x y + t = 0 W : x + y + 2t = 0 Proyecto MATECO 2.1 Página 212

21 TEMA 7. EL ESPACIO VECTORIAL R N. Obtenemos las ecuaciones paramétricas de W resolviendo el sistema: Como hay dos ecuaciones implícitas linealmente independientes, dos de las cuatro variables del sistema dependen de las otras y tendremos dos parámetros (dim(w ) = 2), que serán las variables que quedan fuera del menor: z = α, t = β con α, β R. Sustituimos el parámetro en las ecuaciones implícitas y resolvemos el sistema: 2x y + β = 0 = y = 2x + β = y = 2( β) + β = β x + y + 2β = 0 = x = β Al ordenar todas las variables se obtienen las ecuaciones paramétricas: x = β y = β W α, β R. z = α t = β Una base está formada por (0, 0, 1, 0) (coeficientes de α) y ( 1, 1, 0, 1) (coeficientes de β): {(0, 0, 1, 0), ( 1, 1, 0, 1)} base de W. Ejemplo 7.39 Obtener la dimensión, una base, las ecuaciones paramétricas y las ecuaciones implícitas de los subespacios de R 3 E = (1, 1, 1), (0, 1, 0) y F = {(x, y, z) R 3 /x + y + z = 0}. Subespacio E El rango de la matriz nos da el número de vectores linealmente independientes (dimensión): 1 0 rg 1 1 = 2 = dim(e) = 2 (plano) 1 0 Como los vectores son linealmente independientes tenemos una base de E: {(1, 1, 1), (0, 1, 0)} base de E. Las ecuaciones paramétricas, que dependen de dos parámetros (n o de parámetros=dim(e) = 2), se obtienen imponiendo que un vector genérico sea combinación lineal de los vectores de la base: x = α (x, y, z) = α (1, 1, 1) + β (0, 1, 0) = E y = α + β α, β R z = α Página 213 Proyecto MATECO 2.1

22 Bloque III. ÁLGEBRA LINEAL Y TEORÍA DE MATRICES Determinamos unas ecuaciones implícitas linealmente independientes de E: El número de ecuaciones implícitas linealmente independientes que vamos a obtener es: n o de ecuaciones implícitas l.i. = n dim(e) = 3 2 = 1 Añadimos un vector genérico a la base e imponemos que el rango coincida con la dimensión de E (orlamos el menor que determina el rango con la fila que queda fuera de éste): 1 0 x 1 0 x rg 1 1 y = dim(e) = 2 = 1 1 y = 0 = x + z = z 1 0 z Por tanto, la ecuación única implícita de E es x + z = 0 Subespacio F Como sólo tenemos una ecuación, tenemos un subespacio de dimensión: dim(f ) = n n o de ecuaciones implícitas l.i. = 3 1 = 2 (plano) Obtenemos las ecuaciones paramétricas de F resolviendo el sistema (x + y + z = 0): Como hay una ecuación implícita linealmente independiente, una de las tres variables del sistema dependen de las otras y tendremos dos parámetros (dim(f ) = 2). Estos parámetro van a ser las variables que quedan fuera del menor que determina el rango: y = α z = β con α, β R. Sustituimos los parámetros en las ecuaciones implícitas y resolvemos el sistema: x + y + z = 0 = x + α + β = 0 = x = α β Al ordenar las variables se obtienen las ecuaciones paramétricas: x = α β F y = α α, β R. z = β Una base de F está formada por ( 1, 1, 0) (coeficientes de α) y ( 1, 0, 1) (coeficientes de β) {( 1, 1, 0), ( 1, 0, 1)} base de F. Proyecto MATECO 2.1 Página 214

23 TEMA 7. EL ESPACIO VECTORIAL R N. Ejemplo 7.40 Obtener la dimensión, una base, unas ecuaciones paramétricas y unas ecuaciones implícitas de los subespacios de R 4 : V =< (1, 0, 1, 1), (1, 0, 1, 1), (1, 0, 0, 1) > y W = {(x, y, z, t) R 4 / 2x z +t = 0; x+z +2t = 0}. Subespacio V Consideramos la matriz cuyas columnas son los vectores de V cuyo rango nos da el número de vectores linealmente independientes (dimensión de V ): rg = 3 = dim(v ) = 3 (espacio tridimensional) Como los vectores son linealmente independientes forman una base de V : base de V {(1, 0, 1, 1), (1, 0, 1, 1), (1, 0, 0, 1)} Las ecuaciones paramétricas, que dependen de tres parámetros, se obtienen imponiendo que un vector genérico sea combinación lineal de los vectores de la base (ecuación vectorial): x = α + β + γ y = 0 (x, y, z, t) = α (1, 0, 1, 1) + β (1, 0, 1, 1) + γ (1, 0, 0, 1) = E + F α, β, γ R z = α + β t = α + β γ Determinamos unas ecuaciones implícitas linealmente independientes de V : El número de ecuaciones implícitas linealmente independientes que vamos a obtener es: n o de ecuaciones implícitas l.i. = n dim(v ) = 4 3 = 1 Añadimos un vector genérico a la base e imponemos que el rango coincida con la dimensión (orlamos el menor que determina el rango con la fila que queda fuera de éste): x x rg y y = dim(v ) = 3 = = 0 = 4y = 0 = y = z z t t Por tanto, la única ecuación implícita de V es y = 0. Página 215 Proyecto MATECO 2.1

24 Bloque III. ÁLGEBRA LINEAL Y TEORÍA DE MATRICES Subespacio W Consideramos la matriz cuyas filas son los coeficientes de las ecuaciones (matriz del sistema) cuyo rango nos da el número de ecuaciones implícitas linealmente independientes: n o de ecuaciones implícitas l.i. = rg = 2 El número de ecuaciones, además, nos permite determinar la dimensión del subespacio: dim(w ) = n n o de ecuaciones implícitas l.i. = 4 2 = 2 (plano) Las ecuaciones implícitas son las que nos dan, ya que son linealmente independientes: 2x z + t = 0 W : x + z + 2t = 0 Obtenemos una base resolviendo el sistema (ecuaciones paramétricas de W ): Como hay dos ecuaciones implícitas linealmente independientes, dos de las cuatro variables del sistema dependen de las otras y tendremos dos parámetros (dim(w ) = 2). Estos parámetro serán las variables que quedan fuera del menor que determina el rango: y = α, t = β con α, β R. Sustituimos el parámetro en las ecuaciones implícitas y resolvemos el sistema: 2x z + β = 0 = z = 2x + β z = 2( β) + β = β x + z + 2β = 0 = x + (2x + β) + 2β = 0= x = β Al ordenar las variables se obtienen las ecuaciones paramétricas: x = β y = α W α, β R. z = β t = β Una base está formada por (0, 1, 0, 0) (coeficientes de α) y ( 1, 0 1, 1) (coeficientes de β): {(0, 1, 0, 0), ( 1, 0 1, 1)} base de W. Proyecto MATECO 2.1 Página 216

25 TEMA 7. EL ESPACIO VECTORIAL RN Operaciones con subespacios vectoriales. Definicio n 7.41 Sean E, F Rn subespacios vectoriales de Rn. La interseccio n de E y F es el conjunto E F = {u La suma de E y F es el conjunto E + F = {u + v Z Rn/u E Rn/u E y v F }. Z E+F F y u F }. E E X X Y Proposicio n 7.42 Sean E, F EÝF F Y Rn subespacios vectoriales de Rn. E F es el mayor subespacio vectorial de Rn contenido en E y en F. E + F es el menor subespacio vectorial de Rn que contiene a E y a F. Nota La unio n de E y F es el conjunto E F = {u Rn/u E o u F } y es el menor conjunto que contiene a E y a F pero so lo es un subespacio cuando uno esta contenido en el otro. Proposicio n 7.43 Sean E, F Rn subespacios vectoriales de Rn. Si {u1, u2,..., uk1 } es un sistema generador de E y {v1, v2,..., vk2 } un sistema generador de F entonces {u1, u2,..., uk1, v1, v2,..., vk2 } es un sistema generador de E + F. Teorema 7.44 Sean E, F Rn subespacios vectoriales de Rn dim(e + F ) = dim(e) + dim(f ) dim(e F ). Nota Si E F = {θ} se dice que E + F es una suma directa y se denota el subespacio suma por E F. Si adema s E + F = Rn se dice que E y F son suplementarios (todo subespacio tiene un subespacio suplementario). Se tiene que E + F es suma directa (E F ) si y so lo si dim(e) + dim(f ) = dim(e + F ). En este caso todo vector de E F se descompone de forma u nica como suma de un vector de E y otro de F (si no es suma directa se descompone pero no de forma u nica). Pa gina 217 Proyecto MATECO 2.1

26 Bloque III. ÁLGEBRA LINEAL Y TEORÍA DE MATRICES Ejercicio 7.45 Demostrar que E = {(x, y, z) R 3 / x + y + z = 0} y F = {(t, 2t, 3t) R 3 / t R} son suplementarios. Ejercicio 7.46 Determinar si E = (2, 3, 1) y F = (0, 1, 2), (1, 1, 1) son suplementarios y expresar, si es posible, el vector (1, 0, 1) como suma de un vector de E y otro de F. Ejercicio 7.47 Razonar si es un subespacio vectorial la unión de E = {(a, 0, 0, b) R 4 /a, b R} y F = {(a, 0, 0, a) R 4 /a R}. Cálculo de la suma de dos subespacios: A partir de las base de E y F : (E) {u 1, u 2,..., u k1 } (F ) {v 1, v 2,..., v k2 } se obtiene una base de E + F uniendo las bases de los subespacios y eliminando los vectores que sean linealmente dependientes en el sistema generador: E {}}{{}}{ (E + F ) { u 1, u 2,..., u k1, v 1, v 2,..., v k2 }. F Cálculo de la intersección de dos subespacios: A partir de las ecuaciones implícitas de E y F : (E) a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = 0. a m1 1x 1 + a m1 2x a m1 nx n = 0 (F ) b 11 x 1 + b 12 x b 1n x n = 0. b m2 1x 1 + b m2 2x b m2 nx n = 0 se obtienen las ecuaciones implícitas de E F uniendo las ecuaciones de los subespacios y eliminando las que sean linealmente dependientes en el sistema a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = 0. E a m1 1x 1 + a m1 2x a m1 nx n = 0 (E F ) b 11 x 1 + b 12 x b 1n x n = 0. F b m2 1x 1 + b m2 2x b m2 nx n = 0 Proyecto MATECO 2.1 Página 218

27 TEMA 7. EL ESPACIO VECTORIAL R N. Ejemplo 7.48 Obtener la suma e intersección de los subespacios del ejemplo 7.37: Subespacio E F Obtenemos unas ecuaciones implícitas de E F uniendo las ecuaciones implícitas: x y = 0 x z = 0 E (E F ) x + z = 0 x + y + z = 0 F El rango de la matriz nos da el número de ecuaciones implícitas linealmente independientes: n o ecuaciones implícitas l.i. Determinamos la dimensión del subespacio : = rg = 3 dim(e F ) = n n o de ecuaciones implícitas l.i. = 3 3 = 0 Como la dimensión es cero, el subespacio está formado sólo por el vector cero: E F = {θ}. Subespacio E + F Obtenemos un sistema generador de E + F uniendo las bases de E y de F : E {}}{{}}{ E + F =< (1, 1, 1), ( 1, 0, 1) > F El rango de la matriz nos da el número de vectores linealmente independientes (dimensión): 1 1 rg 1 0 = 2 = dim(e + F ) = 2 (plano) 1 1 Como los vectores son linealmente independientes forman una base de E + F : base de E + F {(1, 1, 1), ( 1, 0, 1)} Página 219 Proyecto MATECO 2.1

28 Bloque III. ÁLGEBRA LINEAL Y TEORÍA DE MATRICES Las ecuaciones paramétricas se obtienen imponiendo que un vector genérico sea combinación lineal de los vectores de la base (ecuación vectorial): x = α β (x, y, z) = α (1, 1, 1) + β ( 1, 0, 1) = E + F y = α α, β R z = α + β Determinamos unas ecuaciones implícitas linealmente independientes de E + F : El número de ecuaciones implícitas linealmente independientes que vamos a obtener es: n o de ecuaciones implícitas l.i. = n dim(e + F ) = 3 2 = 1 Añadimos un vector genérico a la base e imponemos que el rango coincida con la dimensión (orlamos el menor que determina el rango con la fila que queda fuera de éste): 1 1 x 1 1 x rg 1 0 y = 2 = 1 0 y = 0 = x 2y + z = z 1 1 z Por tanto, la ecuación implícita de E + F es { E + F x 2y + z = 0 Así, E y F son dos rectas que se cortan en el origen y están contenidas en un plano. Ejemplo 7.49 Obtener la suma e intersección de los subespacios del ejemplo Subespacio E F Obtenemos unas ecuaciones implícitas de E F uniendo las ecuaciones implícitas de E y F : } x + z = 0 E E F } x + y + z = 0 F El rango de la matriz nos da el número de ecuaciones implícitas linealmente independientes: n o ecuaciones implícitas l.i. = rg = Por tanto, la dimensión del subespacio : dim(e F ) = n n o de ecuaciones implícitas l.i. = 3 2 = 1 (recta) Proyecto MATECO 2.1 Página 220

29 TEMA 7. EL ESPACIO VECTORIAL R N. Las ecuaciones implícitas, al ser linealmente independientes, son las que hemos obtenido: x + z = 0 E F x + y + z = 0 Obtenemos las ecuaciones paramétricas resolviendo el sistema: Como hay dos ecuaciones implícitas linealmente independientes, dos de las tres variables del sistema dependen de la otra y tendremos un parámetro (dim(e F ) = 1), que será la variable que queda fuera del menor que determina el rango: z = α con α R. Sustituimos el parámetro en las ecuaciones implícitas y resolvemos el sistema: x + z = 0 x + y + z = 0 = x + α = 0 = x = α = α + y + α = 0 = y = 2α Al ordenar las variables se obtienen las ecuaciones paramétricas: x = α F y = 2α α R. z = α Una base está formada por el vector (1, 2, 1) (coeficientes de α) Subespacio E + F {( 1, 2, 1)} base de E F. Obtenemos un sistema generador de E + F uniendo las bases de E y de F : E F {}}{{}}{ E + F =< (1, 1, 1), (0, 1, 0), ( 1, 1, 0), ( 1, 0, 1) > El rango de la matriz nos da el número de vectores linealmente independientes (dimensión): rg = 3 = dim(e + F ) = 3 (espacio tridimensional) obsérvese que también se puede calcular la dimensión por la fórmula: dim(e + F ) = dim(e) + dim(f ) dim(e F ) = = 3 Página 221 Proyecto MATECO 2.1

30 Bloque III. ÁLGEBRA LINEAL Y TEORÍA DE MATRICES Como la dimensión coincide con la dimensión del espacio total el subespacio es el espacio total: E + F = R 3. Así, E y F son dos planos que se cortan en una recta. Ejemplo 7.50 Obtener la suma e intersección de los subespacios del ejemplo Subespacio V W Obtenemos las ecuaciones implícitas de V W uniendo las ecuaciones implícitas: x 2y z = 0 x + t = 0 V V W 2x y + t = 0 x + y + 2t = 0 W El rango de la matriz nos da el número de ecuaciones implícitas linealmente independientes: n o ecuaciones implícitas l.i. = rg = Determinamos la dimensión del subespacio : dim(v W ) = n n o de ecuaciones implícitas l.i. = 4 4 = 0. Como la dimensión es cero, el subespacio está formado sólo por el vector cero: Subespacio V + W V W = {θ}. Obtenemos un sistema generador de V + W uniendo las bases: V W {}}{{}}{ V + W =< (1, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 1), (0, 0, 1, 0), ( 1, 1, 0, 1) > El rango de la matriz es el número de vectores linealmente independientes (dimensión): rg = 4 = dim(v + W ) = Proyecto MATECO 2.1 Página 222

31 TEMA 7. EL ESPACIO VECTORIAL R N. que también se puede calcular por la fórmula: dim(v + W ) = dim(v ) + dim(w ) dim(v W ) = = 4 Como la dimensión coincide con la dimensión del espacio total tenemos que: V + W = R 4. Así, V y W son dos planos que se cortan en el origen. Ejercicio 7.51 Obtener la dimensión, una base, unas ecuaciones paramétricas y unas ecuaciones implícitas de la intersección y suma de los subespacios del ejemplo 7.40 Subespacio V W Obtenemos las ecuaciones implícitas de V W uniendo las ecuaciones implícitas de V y W : } y = 0 V V W 2x z + t = 0 x + z + 2t = 0 W El rango de la matriz nos da el número de ecuaciones implícitas linealmente independientes: n o ecuaciones implícitas l.i. = rg = Determinamos la dimensión del subespacio : dim(v W ) = n n o de ecuaciones implícitas l.i. = 4 3 = 1 (recta) Las ecuaciones implícitas son las obtenidas, ya que son linealmente independientes: y = 0 V W 2x z + t = 0 x + z + 2t = 0 Obtenemos las ecuaciones paramétricas de V W resolviendo el sistema: Como hay tres ecuaciones implícitas linealmente independientes, tres de las cuatro variables del sistema dependen de las otras y tendremos un parámetro, que será la variable que queda fuera del menor que determina el rango: t = α con α R. Página 223 Proyecto MATECO 2.1

32 Bloque III. ÁLGEBRA LINEAL Y TEORÍA DE MATRICES Sustituimos el parámetro en las ecuaciones implícitas y resolvemos el sistema: y = 0 2x z + α = 0 = z = 2x + α z = 2( α) + α = α x + z + 2α = 0 = x + (2x + α) + 2α = 0= x = α Al ordenar todas las variables que forman la solución del sistema se obtienen las ecuaciones paramétricas: x = α y = 0 W α R. z = α t = α Una base está formada por el vector ( 1, 0 1, 1) (coeficientes de α): {( 1, 0 1, 1)} base de V W. Subespacio V + W Obtenemos un sistema generador de V + W uniendo las bases de V y de W : V W {}}{{}}{ V + W =< (1, 0, 1, 1), (1, 0, 1, 1), (1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 0), ( 1, 0 1, 1) > El rango de la matriz nos da el número de vectores linealmente independientes (dimensión): rg = 4 = dim(v + W ) = que también se puede calcular por la fórmula: dim(v + W ) = dim(v ) + dim(w ) dim(v W ) = = 4 Como la dimensión coincide con la dimensión del espacio total es el espacio total: V + W = R 4. Así, V y W son un espacio tridimensional y un plano que se cortan en una recta. Proyecto MATECO 2.1 Página 224

33 TEMA 7. EL ESPACIO VECTORIAL R N. Ejercicios del tema. Ejercicio 7.52 Demostrar que los siguientes conjuntos de vectores son linealmente dependientes y expresar, si es posible, el primer vector en función de los otros dos. (a) {(1, 3, 4), (7, 12, 23), (3, 2, 5)} (b) {(1, 0, 0), (0, 1, 2), (0, 2, 4)} Solución (a) {(1, 3, 4), (7, 12, 23), (3, 2, 5)} Para demostrar que el conjunto es l.d. basta demostrar que el rango de la matriz cuyas columnas son los vectores es menor que el número de vectores y lo único que tenemos que hacer es demostrar que su determinante es cero (ejercicio). Para estudiar si es posible expresar el primer vector en función de los otros dos planteamos el correspondiente sistema (no homogéneo): 7a + 3b = 1 (1, 3, 4) = a (7, 12, 23) + b (3, 2, 5) 12a 2b = 3 con B = 23a + 5b = = 22 0 rg (B) = = 0 rg ( B ) = S.C.D. 7a + 3b = 1 12a 2b = 3 a = 1 2 b = 3 2 Por tanto: (1, 3, 4) = 1 2 (7, 12, 23) + 3 (3, 2, 5) 2 (b) {(1, 0, 0), (0, 1, 2), (0, 2, 4)} Para demostrar que el conjunto es l.d. basta demostrar que el rango de la matriz cuyas columnas son los vectores es menor que el número de vectores y lo único que tenemos que hacer es demostrar que su determinante es cero (ejercicio). Página 225 Proyecto MATECO 2.1

34 Bloque III. ÁLGEBRA LINEAL Y TEORÍA DE MATRICES Para estudiar si es posible expresar el primer vector en función de los otros dos planteamos el correspondiente sistema: 0 = 1 (1, 0, 0) = a (0, 1, 2) + b (0, 2, 4) a 2b = 0 2a + 4b = 1 Aunque es evidente que el sistema es incompatible lo estudiamos de la forma habitual: 0 0 rg 1 2 = = 2 0 y = 0 rg = 2 S.I Por tanto v 1 no es combinación lineal de v 2 y v 3. Obsérvese que tenemos garantizado que {v 1, v 2 } es l.i. y que v 3 es combinación lineal de v 1 y v 2 al ser distinto de cero un menor correspondiente a las columnas También tenemos garantizado que {v 1, v 3 } es l.i. y que v 2 es combinación lineal de v 1 y v 3 al ser Sin embargo, como no se puede encontrar un menor de orden dos distinto de cero con las columnas 2 a y 3 a v 1 no es combinación lineal de v 2 y v 3. Ejercicio 7.53 Estudiar si los siguientes conjuntos de vectores son o no linealmente independientes y si son o no sistema generador del espacio total. Deducir cuáles son base del espacio total: (a) {(2, 0, 6)} (b) {(1, 0, 0), (1, 0, 1)} (c) {(1, 0, 1), (2, 0, 2), (0, 1, 0)} (d) {(1, 0, 1), (2, 0, 2), (0, 1, 0)} (e) {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1), (0, 1, 1)} (f) {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (2, 1, 1), (0, 1, 1)} (g) {( 1, 1, 2), (1, 0, 1), (2, 1, 1)} (h) {(1, 3, 1), (2, 1, 1), ( 4, 0, 1)} (i) {(2, 3, 0, 5), (0, 1, 0, 4), (1, 1, 0, 2)} (j) {{(0, 1, 2, 1), (1, 2, 1, 0), (0, 2, 1, 1), (4, 6, 1, 3)} Proyecto MATECO 2.1 Página 226