Matemáticas Empresariales II. Conceptos Fundamentales E. V.

Transcripción

1 Matemáticas Empresariales II Lección 2 Conceptos Fundamentales E. V. Manuel León Navarro Colegio Universitario Cardenal Cisneros M. León Matemáticas Empresariales II 1 / 13

2 Propiedades de los Espacios Vectoriales Una vez que tenemos un espacio vectorial definido, en dicho espacio vectorial se cumplen las propiedades siguientes: 1 k 0 = 0 El producto de cualquier escalar por el vector nulo es el vector nulo 2 0 v = 0 El producto escalar nulo por cualquier vector es el vector nulo. 3 k( v) = ( k) v = (k v) El producto de un escalar por el opuesto de un vector es igual al producto del opuesto del escalar por el vector, e igual al opuesto del producto del escalar por el vector 4 Si k v = 0, = ó k = o ó v = 0 M. León Matemáticas Empresariales II 2 / 13

3 Combinación lineal Se define combinación lineal (C.L) de un conjunto de vectores dados, { v 1, v 2,..., v n } al resultado de sumar y multiplicar por R k 1 v 1 + k 2 v k n v n = k i v i Resulta inmediato, que el vector nulo 0 es C.L. de cualquier conjunto de vectores dados; basta con elegir escalares todos nulos Ejemplo1: Dados los vectores x = (1, 2) e y = (3, 1) hallar el vector combinación lineal z = 2 x + 3 y Ejemplo2: El vector z = (2, 1) se puede expresar como C.L de los vectores x = (3, 2) e y = (1, 4)? M. León Matemáticas Empresariales II 3 / 13

4 Combinación lineal - Ejercicio Sea el espacio vectorial V = {p(x) = a + bx/a, b, ɛ R} y sean p 1 (x) = 2 + 3x y p 2 (x) = 4 + 6x dos elementos de dicho espacio. Se puede poner el elemento p 3 (x) = 1 + 5x como combinación lineal de los elementos p 1 (x) y p 2 (x)? M. León Matemáticas Empresariales II 4 / 13

5 Dependencia e Independencia Lineal Concepto Sea { v i /i = 1, 2,..., n}.se dice que los vectores de {v i } son Linealmente Dependientes si al menos uno de ellos es C.L de los demás. Si ninguno es C.L diremos que son Linealmente Independientes L.I Teorema Es condición necesaria y suficiente para que unos vectores dados sean L.D que exista alguna C.L. de ellos que teniendo algún escalar no nulo, valga el vector nulo: { v i } es L.D k i v i = 0 con algún k i 0 Ejemplo1 : Dados los vectores x = (1, 2, 3), y = (3, 1, 0) y z = ( 2, 1, 2), determinar si dichos vectores son linealmente dependientes. Ejemplo2 : Dados los vectores x = (1, 2, 3), y = (3, 1, 0) y z = ( 2, 3, 3), determinar si dichos vectores son linealmente dependientes. M. León Matemáticas Empresariales II 5 / 13

6 Dependencia lineal - Ejercicio Ejercicio: Sea el espacio vectorial V = {p(x) = a + bx/a, b, ɛ R} y sean p 1 (x) = 2 + 3x y p 2 (x) = 4 + 6x dos elementos de dicho espacio. Determinar si dichos elementos son linealmente dependientes. M. León Matemáticas Empresariales II 6 / 13

7 Dependencia e Independencia Lineal - Propiedades 1 Un conjunto de vectores L.I no puede contener el vector 0 2 Un conjunto de vectores L.I no puede contener dos vectores iguales ni dos vectores proporcionales. 3 Teorema de unicidad de coordenadas Si un vector x es C.L de los vectores { v 1, v 2,..., v n } y éstos son L.I, entonces las coordenadas de {x} respecto a los vectores anteriores son únicas. M. León Matemáticas Empresariales II 7 / 13

8 Sistema Generador y Base Definición de sistema generador Sea (S) un conjunto de vectores del espacio vectorial V(K) tal que todo vector xɛv sea C.L de S. S = { v 1, v 2..., v p } es sistema generador de V(K) si xɛv, x = k i v i. Definición de base Sea (B) un conjunto de vectores del espacio vectorial V(K), si dicho conjunto es sistema generador y además todos los elementos de (B) son Linealmente Independientes, entonces (B) es una base del espacio vectorial V(K) Ejemplo1: Dados los vectores x 1 = (1, 0), x 2 = (1, 1) y x 3 = (0, 1), determinar si dichos vectores forman un sistema generador del espacio vectorial R 2, una base o ninguno de los dos Ejemplo2: Dados los vectores x 1 = (1, 1) y x 2 = (1, 0), determinar si dichos vectores forman un sistema generador del espacio vectorial R 2, una base o ninguno de los dos M. León Matemáticas Empresariales II 8 / 13

9 Sistema Generador y Base - Ejercicio Sea el espacio vectorial V = {a + bx/a, b ɛ R}. Y sean los siguientes conjuntos de elementos de V : S 1 = {2x, 3x}, S 2 = {2x 1, x + 1, 2} y S 3 = {2x 1, 2}. Se pide: Son S 1, S 2 y S 3 sistemas generadores de V? son bases? M. León Matemáticas Empresariales II 9 / 13

10 Sistema Generador y Base: Propiedades 1 De todo sistema generador finito de V(K) puede extraerse una base. 2 Si el espacio vectorial V(K) admite una base con n vectores, entonces todo conjunto de n vectores L.I es base de V(K). 3 Si el espacio vectorial V(K) admite una base con n vectores, entonces no puede haber mas de n vectores que sean L.I 4 Si un espacio vectorial admite una base con n vectores, todas las bases del espacio tienen n vectores. 5 Todo vector x de un espacio vectorial tiene coordenadas unicas respecto a una base M. León Matemáticas Empresariales II 10 / 13

11 Dimensión Se define dimensión de un espacio vectorial al máximo número de vectores L.I que existen en dicho espacio.si la dimensión es finita coincide con el número de vectores de una base cualquiera del espacio, y con el numero de escalares necesarios para determinar un vector cualquiera del espacio. Ejercicio En el ejercicio anterior, justifique de forma razonada cual es la dimensión del espacio vectorial V M. León Matemáticas Empresariales II 11 / 13

12 Cambio de Base Sea el vector x y las bases B 1 = (ū 1, ū 2,..., ū n ) y B 2 = ( v 1, v 2,..., v n ) Las coordenadas del vector x en la base B 1 seran (l 1, l 2,..., l n ) si x = l 1 ū 1 + l 2 ū l n ū n Las coordenadas del vector x en la base B 1 2 seran (k 1, k 2,..., k n ) si x = k 1 v 1 + k 2 v k n v n Como el vector x es el mismo, entonces se cumple: x = l 1 ū 1 + l 2 ū l n ū n = k 1 v 1 + k 2 v k n v n La ecuación anterior permite encontrar (l 1, l 2,..., l n ) a partir de (k 1, k 2,..., k n ) o encontrar (k 1, k 2,..., k n ) a partir de (l 1, l 2,..., l n ), es decir, llevar a cabo un cambio de Base. M. León Matemáticas Empresariales II 12 / 13

13 Cambio de Base - Ejercicio Ejemplo Sea el vector x = (1, 2, 1) cuyas coordenadas vienen referidas a la base B 1 con B 1 = {ū 1, ū 2, ū 3 }, donde ū 1 = (0, 0, 1), ū 2 = (1, 2, 0) y ū 3 = (1, 1, 2). Sea B 2 otra base tal que B 2 = { v 1, v 2, v 3 } y donde v 1 = (1, 0, 1), v 2 = (2, 1, 0) y v 3 = (0, 1, 0), encuentre las coordenadas de x respecto a la base B 2. Ejercicio Sea el espacio vectorial V = {a + bx 2 + cx 4 /a, b, c ɛ R}. Y sea S una base de V donde S = {3, 3x 4 x 2, x 2 + 1}. Si el elemento P(x) = 2 + 3x + x 2 viene referido a la base canonica de V, encuentre las coordenadas de P(x) en la base S. M. León Matemáticas Empresariales II 13 / 13