COLEGIO UNIVERSITARIO CARDENAL CISNEROS. Apuntes de Matemáticas Empresariales II

Transcripción

1 COLEGIO UNIVERSITARIO CARDENAL CISNEROS Apuntes de Matemáticas Empresariales II Manuel León Navarro

2 2

3 Índice general 1. Algebra Lineal Lección 1 - Espacio Vectorial lección 2 - Conceptos fundamentales en los Espacios Vectoriales Propiedades de los Espacios Vectoriales Combinación lineal Dependencia e Independencia Lineal Sistema Generador y Base de un Espacio Vectorial Sistema Generador y Base - Ejemplos adicionales Subespacios vectoriales Lección 3: Matrices y Determinantes Operaciones con matrices Determinante de una matriz cuadrada Rango de una matriz Matriz Inversa Lección 4 - Sistemas de ecuaciones lineales Definición: Sistema de ecuaciones lineales

4 ÍNDICE GENERAL Discusión del sistema Resolución del sistema Aplicación del teorema de Rouché-Fröbenius al concepto de Sistema Generador y Base Cambio de base en notación vectorial Lección 5 - Aplicación Lineal Definición de Aplicación lineal Matriz de la aplicación Efecto de un cambio de base en la matriz de una aplicación lineal Análisis de la Aplicación Lineal Lección 6 - Diagonalización de matrices cuadradas. Autovalores y autovectores Autovalores y Autovectores Diagonalización de Matrices - Dos ejemplos adicionales lección 7 - Formas cuadráticas Clasificación de las formas cuadráticas Estudio del signo de las formas cuadráticas Funciones de varias variables (cálculo diferencial) Lección 8 - Funciones de varias variables - límites Introducción Conceptos Topológicos Previos Concepto de Límite

5 Apuntes: Matemáticas Empresariales II Cálculo de límites Lección 9 - Continuidad y Derivabilidad Continuidad Derivabilidad Lección 10 - Diferenciabilidad - Utilidades Diferenciabilidad - Concepto Condiciones de diferenciabilidad Reglas de diferenciación - diferencial de la función compuesta Crecimiento y Decrecimiento Teorema de Taylor Funciones Homogéneas Funciones Implícitas Lección 11 - Optimización de campos escalares Optimización sin restricciones Optimización con restricciones

6 6 ÍNDICE GENERAL

7 Capítulo 1 Algebra Lineal 1.1. Lección 1 - Espacio Vectorial Definiremos espacio vectorial como la estructura algebraica consistente en: 1. Grupo abeliano {V, +, } cuyos elementos se denominan vectores. Para que los elementos de V conjunto con la operación + formen un grupo abeliano deben cumplir las siguientes propiedades: a) Propiedad asociativa. Dados tres vectores de V, se debe cumplir que v i + ( v j + v k ) = ( v i + v j ) + v k. Es decir, que debe dar el mismo resultado si se realiza la operación agrupándolos de formas distintas. b) Elemento Neutro. Debe existir un elemento, que llamamos 0, que cumpla que v i + 0 = v i. Es decir, que al aplicar la operación a cualquier elemento junto con el neutro, el resultado sea el propio elemento. c) Elemento Simétrico. Debe existir un elemento, que llamamos ( v i ), que cumpla que v i + ( v i ) = 0. Es decir, que al aplicar la operación a cualquier elemento junto con el simétrico, el resultado sea el neutro. d) Propiedad conmutativa. Dados dos vectores de V, se debe cumplir que 7

8 1.1. LECCIÓN 1 - ESPACIO VECTORIAL v i + v j = v j + v i. Es decir, el orden de los elementos en la operación no altera el resultado. 2. Un cuerpo conmutativo {R, +, }, cuyos elementos se denominan escalares 3. Una ley de composición externa, tal que el producto escalar por un vector (k v) de como resultado un vector (k vϵv) y que cumpla los siguientes axiomas: a) Que sea distributiva o respecto a la suma de vectores: k ( v i + v j ) = k v i + k v j, b) Que sea distributivo respecto a la suma de escalares: (k i + k j ) v = k i v + k j v, c) Que sea pseudoasociativa: (k i k j ) v = k i (k j v) d) Que el neutro del producto del cuerpo (1) sea neutro del producto externo: 1 v = v Ejemplo Sea el conjunto de elementos de R 2 (son todos aquellos que tienen dos coordenadas y que cada coordenada es un numero real). Sea la operación suma de vectores definida de la forma siguiente: dados dos vectores de R 2 x = (x 1, x 2 ) e ȳ = (y 1, y 2 ) se define el vector suma como otro vector s R 2 que cumple que s = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ). Sea la operación externa producto escalar definida de la forma siguiente: dado un vector de R 2 ( x = (x 1, x 2 )) y dado un escalar k perteneciente al espacio R se define el producto escalar a otro vector p R 2 que cumple que p = (kx 1, kx 2 ). Demostrar que los tres elementos forman un espacio vectorial. 8

9 Apuntes: Matemáticas Empresariales II Para que los tres elementos formen un espacio vectorial deben cumplir las propiedades del espacio vectorial. En primer lugar, el conjunto de elementos R 2 y la operación suma deben formar un grupo abeliano. Para ello deben cumplir las cuatro propiedades del grupo abeliano: 1. Propiedad asociativa. Sean tres elementos cualquiera de R 2, x = (x 1, x 2 ), ȳ = (y 1, y 2 ) y z = (z 1, z 2 ) deben cumplir que x + (ȳ + z) = ( x + ȳ) + z. Y operando lo que se obtiene es que (x 1, x 2 ) + [(y 1, y 2 ) + (z 1, z 2 )] tiene que ser igual que [(x 1, x 2 )+(y 1, y 2 )]+(z 1, z 2 ) y operando se obtiene que (x 1, x 2 )+(y 1 +z 1, y 2 +z 2 ) tiene que ser igual a (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ) + (z 1, z 2 ) donde ya se han realizado la primera operación suma. Ahora, se realiza la segunda operación y entonces [x 1 +(y 1 +z 1 ), x 2 +(y 2 +z 2 )] debe ser igual a [(x 1 +y 1 )+z 1, (x 2 +y 2 )+z 2 ]. Dichas expresiones serán iguales si x 1 + (y 1 + z 1 ) = (x 1 + y 1 ) + z 1 y si x 2 + (y 2 + z 2 ) = (x 2 + y 2 ) + z 2. Dichas expresiones se cumplen ya que los elementos x i, y i, z i son números reales y los numeros reales tienen la propiedad asociativa. 2. Elemento Neutro. Debe existir un elemento, que llamamos 0 = (0, 0), que cumpla que x + 0 = x. En este caso, dado el elemento neutro, debe cumplir que (x 1, x 2 ) + (0, 0) = (x 1, x 2 ) y operando se obtiene que x = x 1 y que x = x 2. Como los x i son números reales y el 0 es el neutro de los reales, dicha propiedad se cumple. 3. Elemento Simétrico. Debe existir un elemento, que llamamos ( x) = ( x 1, x 2 ), que cumpla que x + ( x) = 0. En este caso, dado el elemento simétrico, se debe cumplir que (x 1, x 2 ) + ( x 1, x 2 ) = (0, 0) y operando se obtiene que x 1 + ( x 1 ) = 0 y que x 2 + ( x 2 ) = 0. Como los x i son números reales, se cumple que la suma de un número con su opuesto da el Propiedad conmutativa. Sean dos elementos cualquiera de R 2, x = (x 1, x 2 ) y ȳ = (y 1, y 2 ), deben cumplir que x + ȳ = ȳ + x. En este caso, se debe cumplir que (x 1, x 2 ) + (y 1, y 2 ) = (y 1, y 2 ) + (x 1, x 2 ) y operando, se debe cumplir que (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ) = (y 1 + x 1, y 2 + x 2 ) e igualando ambos lados se debe cumplir 9

10 1.1. LECCIÓN 1 - ESPACIO VECTORIAL que x 1 + y 1 = y 1 + x 1 y que x 2 + y 2 = y 2 + x 2. Como los x i y los y i son números reales, dicha propiedad se cumple. Ahora, una vez que sabemos que R 2 y la operación suma forman un grupo abeliano, debemos comprobar que junto con la operación producto escalar, forman un espacio vectorial. Para ello debemos comprobar que se cumplen las propiedades siguientes: 1. Que sea distributiva o respecto a la suma de vectores. En este caso lo que debe cumplir es que dados dos vectores de R 2, x = (x 1, x 2 ) y ȳ = (y 1, y 2 ) y dado un escalar k se debe cumplir que k ( x + ȳ) = k x + k ȳ. Desarrollando la expresión, se debe cumplir que: k ((x 1, x 2 ) + (y 1, y 2 )) = k (x 1, x 2 ) + k(y 1, y 2 ) Operando a ambos lados se obtiene que k (x 1 +y 1, x 2 +y 2 ) tiene que se igual a (k x 1 +k y 1, k x 2 +k y 2 ) y por último, esto se cumple si k (x 1 +y 1 ) = k x 1 +k y 1 y si k (x 2 + y 2 ) = k x 2 + k y 2. Y debido a que tanto k como los x i como los y i son números reales, dicha propiedad se cumple. 2. Que sea distributivo respecto a la suma de escalares. En este caso lo que debe cumplir es que dado un vector de R 2, x = (x 1, x 2 ) y dados dos escalares k 1 y k 2 se debe cumplir que (k 1 + k 2 ) x = k 1 x + k 2 x. Desarrollando la expresión, se debe cumplir que: (k 1 + k 2 ) (x 1, x 2 ) = k 1 (x 1, x 2 ) + k 2 (x 1, x 2 ) Operando a ambos lados se obtiene que [(k 1 + k 2 ) x 1, (k 1 + k 2 ) x 2 ] tiene que se igual a [(k 1 x 1, k 1 x 2 ) + (k 2 x 1, k 2 x 2 )] e igualando ambos vectores se debe cumplir que (k 1 +k 2 ) x 1 = k 1 x 1 +k 1 x 2 y que (k 1 +k 2 ) x 2 = k 1 x 2 +k 2 x 2. Y debido a que tanto k 1 como k 2 como los x i son números reales, dicha propiedad se cumple. 10

11 Apuntes: Matemáticas Empresariales II 3. Que sea pseudoasociativa. En este caso lo que debe cumplir es que dados un vector de R 2, x = (x 1, x 2 ) y dados dos escalares k 1 y k 2 se debe cumplir que (k 1 k 2 ) x = k 1 (k 2 x). Desarrollando la expresión, se debe cumplir que: (k 1 k 2 ) (x 1, x 2 ) = k 1 k 2 ( (x 1, x 2 )) Operando a ambos lados se obtiene que (k 1 k 2 ) x 1 debe ser igual a k 1 k 2 ( x 1 ) y que (k 1 k 2 ) x 2 debe ser igual a k 1 k 2 ( x 2 ). Y debido a que tanto k 1 como k 2 como los x i son números reales, dicha propiedad se cumple. 4. Que el neutro del producto del cuerpo (1) sea neutro del producto externo. En este caso lo que debe cumplir es que dado un vector de R 2 y dado el elemento neutro del cuerpo, se debe cumplir que 1 x = x. Desarrollando la expresión, se debe cumplir que: 1 (x 1, x 2 ) = (x 1, x 2 ) Operando a ambos lados se obtiene que 1 x 1 sea igual a x 1 y que 1 x 2 sea igual a x 2. Y debido a que los x i son números reales dicha propiedad se cumple. Ejercicio: Sea el conjunto de elementos V = {p(x) = a+bx 2 +cx 4 /a, b, c ϵ R}. Sea la operación interna suma de polinomios definida de la forma siguiente: Dado el polinomio p 1 (x) = a 1 + b 1 x 2 + c 1 x 4 y dado el polinomio p 2 (x) = a 2 + b 2 x 2 + c 2 x 4 se define la suma de polinomios como otro polinomio p s (x) definido como: p s (x) = (a 1 + a 2 ) + (b 1 + b 2 )x 2 + (c 1 + c 2 )x 4 Sea, además, la operación externa sobre el cuerpo de los números reales definida de la forma siguiente: Dado el polinomio p 1 (x) = a 1 + b 1 x 2 + c 1 x 4 y dado el escalar k se define el producto de un escalar por un polinomio como otro polinomio cuya forma es p k (x) = (k a 1 ) + (k b 1 )x 2 + (k c 1 )x 4 Determinar si los tres elementos forman un espacio vectorial. 11

12 1.1. LECCIÓN 1 - ESPACIO VECTORIAL 12

13 Apuntes: Matemáticas Empresariales II 1.2. lección 2 - Conceptos fundamentales en los Espacios Vectoriales Propiedades de los Espacios Vectoriales Una vez que tenemos un espacio vectorial definido, en dicho espacio vectorial se cumplen las propiedades siguientes: 1. k 0 = 0 El producto de cualquier escalar por el vector nulo es el vector nulo 2. 0 v = 0 El producto escalar nulo por cualquier vector es el vector nulo. 3. k( v) = ( k) v = (k v) El producto de un escalar por el opuesto de un vector es igual al producto del opuesto del escalar por el vector, e igual al opuesto del producto del escalar por el vector 4. Si k v = 0, = ó k = o ó v = Combinación lineal Se define combinación lineal (C.L) de un conjunto de vectores dados, { v 1, v 2,..., v n } al resultado de sumar y multiplicar por R k 1 v 1 + k 2 v k n v n = k i v i 13

14 1.2. LECCIÓN 2 - CONCEPTOS FUNDAMENTALES EN LOS ESPACIOS VECTORIALES Resulta inmediato, que el vector nulo 0 es C.L. de cualquier conjunto de vectores dados; basta con elegir escalares todos nulos. Ejemplo1 Dados los vectores x = (1, 2) e y = (3, 1) hallar el vector combinación lineal z = 2 x + 3 y Ejemplo2 z = 2(1, 2) + 3(3, 1) = (11, 1) e y = (1, 4)? El vector z = (2, 1) se puede expresar como C.L de los vectores x = (3, 2) (2, 1) = a(3, 2) + b(1, 4) 2 = 3a + b 1 = 2a + 4b Resolviendo la ecuación nos queda que: a = 1/2, b = 1/2 Luego nos queda que: z = 1/2 x + 1/2 y Ejercicio: Sea el espacio vectorial V = {p(x) = a + bx/a, b, ϵ R} y sean p 1 (x) = 2 + 3x y p 2 (x) = 4 + 6x dos elementos de dicho espacio. Se puede poner el elemento p 3 (x) = 1 + 5x como combinación lineal de los elementos p 1 (x) y p 2 (x)? 14

15 Apuntes: Matemáticas Empresariales II Dependencia e Independencia Lineal Sea { v i /i = 1, 2,..., n}.se dice que los vectores de {v i } son Linealmente Dependientes si al menos uno de ellos es C.L de los demás. Si ninguno es C.L diremos que son Linealmente Independientes L.I Teorema. Es condición necesaria y suficiente para que unos vectores dados sean L.D que exista alguna C.L. de ellos que teniendo algún escalar no nulo, valga el vector nulo: { v i } es L.D k i v i = 0 con algún k i 0 Ejemplo1 Dados los vectores x = (1, 2, 3), y = (3, 1, 0) y z = ( 2, 1, 2), determinar si dichos vectores son linealmente dependientes. Para comprobar si son linealmente dependientes utilizamos el teorema anterior. Para comprobarlo hacemos una combinación lineal de los vectores y lo igualamos al cero del espacio, es decir k 1 x + k 2 y + k 3 z = 0. Si todos los k i son 0, entonces son linealmente independientes pero si algún k i es distinto de 0 entonces son linealmente dependientes. 15

16 1.2. LECCIÓN 2 - CONCEPTOS FUNDAMENTALES EN LOS ESPACIOS VECTORIALES En este caso, para los vectores concretos, el teorema toma la forma k 1 (1, 2, 3) + k 2 (3, 1, 0) + k 3 ( 2, 1, 2) = (0, 0, 0). Y operando se obtiene que (k 1, 2k 1, 3k 1 ) + (3k 2, k 2, 0) + ( 2k 3, k 3, 2k 3 ) = (0, 0, 0) y sumando los vectores se obtiene que (k 1 + 3k 2 2k 3, 2k 1 k 2 + k 3, 3k 1 + 2k 3 ) = (0, 0, 0) e igualando ambos lados se obtiene el sistema de ecuaciones siguiente: k 1 + 3k 2 2k 3 = 0 2k 1 k 2 + k 3 = 0 3k 1 + 2k 3 = 0 Para averiguar si todos los k i son 0, hay que resolver el sistema. Por ejemplo, de la última ecuación se obtiene que k 1 = 2 3 k 3 y sustituyendo en la segunda y tercera ecuación se obtiene el sistema de dos variables siguiente: 2 k k 2 2k 3 = 0 2 2k 3 3 k 2 + k 3 = 0 Y operando se obtiene que: 3k 2 8k 3 3 = 0 k 2 1k 3 3 = 0 De la segunda ecuación se obtiene que k 2 = 1 3 k 3 y sustituyendo en la primera, k k 3 = 0 y operando se obtiene que 11 3 k 3 = 0 y por lo tanto k 3 = 0. Si k 3 = 0 entonces k 2 = 1 3 k 3 = = 0. Por otro lado, con k 3 = 0 se obtiene que k 1 = 2 3 k 3 = = 0. Como k 1 = k 2 = k 3 = 0 entonces el teorema afirma que los tres vectores son linealmente independientes. Ejemplo2 Dados los vectores x = (1, 2, 3), y = (3, 1, 0) y z = ( 2, 3, 3), determinar si dichos vectores son linealmente dependientes. 16

17 Apuntes: Matemáticas Empresariales II Para comprobar si son linealmente dependientes utilizamos el teorema anterior. Para comprobarlo hacemos una combinación lineal de los vectores y lo igualamos al cero del espacio, es decir k 1 x + k 2 y + k 3 z = 0. Si todos los k i son 0, entonces son linealmente independientes pero si algún k i es distinto de 0 entonces son linealmente dependientes. En este caso, para los vectores concretos, el teorema toma la forma k 1 (1, 2, 3) + k 2 (3, 1, 0) + k 3 ( 2, 3, 3) = (0, 0, 0). Y operando se obtiene que (k 1, 2k 1, 3k 1 ) + (3k 2, k 2, 0) + ( 2k 3, 3k 3, 3k 3 ) = (0, 0, 0) y sumando los vectores se obtiene que (k 1 +3k 2 2k 3, 2k 1 k 2 +3k 3, 3k 1 +3k 3 ) = (0, 0, 0) e igualando ambos lados se obtiene el sistema de ecuaciones siguiente: k 1 + 3k 2 2k 3 = 0 2k 1 k 2 + 3k 3 = 0 3k 1 + 3k 3 = 0 Para averiguar si todos los k i son 0, hay que resolver el sistema. Por ejemplo, de la última ecuación se obtiene que k 1 = k 3 y sustituyendo en la segunda y tercera ecuación se obtiene el sistema de dos variables siguiente: k 3 + 3k 2 2k 3 = 0 2k 3 k 2 + 3k 3 = 0 Y operando se obtiene que: 3k 2 3k 3 = 0 k 2 + k 3 = 0 De la segunda ecuación se obtiene que k 2 = k 3 y sustituyendo en la primera, 3k 3 3k 3 = 0 que se cumple para todo k 3. Por lo tanto, dado una valor de k 3 cualquier, k 2 debe ser igual a k 3 y k 1 igual a k 3 pero con el signo cambiado, para que sean una solución. Es decir, con k 3 = α, se obtiene que ( α, α, α) son una solución del sistema. 17

18 1.2. LECCIÓN 2 - CONCEPTOS FUNDAMENTALES EN LOS ESPACIOS VECTORIALES Como algún escalar de la combinación lineal puede ser distinto al vector 0 (por ejemplo, con los escalares k 1 = 1, k 2 = 1 y k 3 = 1) entonces el teorema afirma que los tres vectores son linealmente dependientes. Ejercicio: Sea el espacio vectorial V = {p(x) = a + bx/a, b, ϵ R} y sean p 1 (x) = 2 + 3x y p 2 (x) = 4 + 6x dos elementos de dicho espacio. Determinar si dichos elementos son linealmente dependientes. Propiedades 1. Un conjunto de vectores L.I no puede contener el vector 0 2. Un conjunto de vectores L.I no puede contener dos vectores iguales ni dos vectores proporcionales. 3. Teorema de unicidad de coordenadas Si un vector x es C.L de los vectores { v 1, v 2,..., v n } y éstos son L.I, entonces las coordenadas de {x} respecto a los vectores anteriores son únicas Sistema Generador y Base de un Espacio Vectorial Definición de sistema generador Sea (S) un conjunto de vectores del espacio vectorial V(K) tal que todo vector xϵv sea C.L de S. S = { v 1, v 2..., v p } es sistema generador de V(K) si xϵv, x = k i v i. 18

19 Apuntes: Matemáticas Empresariales II Definición de base.sea (B) un conjunto de vectores del espacio vectorial V(K), si dicho conjunto es sistema generador y además todos los elementos de (B) son Linealmente Independientes, entonces (B) es una base del espacio vectorial V(K) Ejemplo1 Dados los vectores x 1 = (1, 0), x 2 = (1, 1) y x 3 = (0, 1), determinar si dichos vectores forman un sistema generador del espacio vectorial R 2, una base o ninguno de los dos. Para saber si un conjunto de vectores de R 2 forman un sistema generador deben cumplir que para cualquier elemento del espacio vectorial (a, b), dicho elemento se pueda poner como combinación lineal de los elementos del conjunto. Una combinación lineal de los elementos del conjunto es ele resultado de multiplicar un escalar por cada elemento y sumarlos. Por lo tanto, una combinación lineal es k 1 (1, 0) + k 2 (1, 1) + k 3 (0, 1) y para generar todo el espacio se debe igualar al vector genérico del espacio, (a, b) = k 1 (1, 0) + k 2 (1, 1) + k 3 (0, 1). Operando e igualando ambos lados se obtiene el sistema de ecuaciones siguiente: k 1 + k 2 = a k 2 + k 3 = b De la primera ecuación se obtiene que k 1 = a k 2 y de la segunda ecuación se obtiene que k 3 = b + k 2. Por lo tanto, si llamamos a k 2 = α entonces la solución del sistema es: k 1 = a α k 2 = α k 3 = b + α 19

20 1.2. LECCIÓN 2 - CONCEPTOS FUNDAMENTALES EN LOS ESPACIOS VECTORIALES Hemos encontrado que para cualquier valor (a, b) del espacio vectorial R 2 existen un k 1, k 2, k 3 con los cuales se puede poner el vector (a, b) como combinación lineal de los vectores x 1, x 2, x 3. Como esto ocurre para cualquier vector de R 2, entonces los vectores x 1, x 2, x 3 forman un sistema generador. Por ejemplo, escogiendo el vector de R 2 (2, 1) los escalares de la combinación lineal tendrán la forma: k 1 = 2 α k 2 = α k 3 = 1 + α Es decir, existen infinitos escalares con los que poner el vector (2, 1) como combinación lineal de x 1 = (1, 0), x 2 = (1, 1) y x 3 = (0, 1). Si elegimos, por ejemplo, α = 1, entonces los escalares de la combinación lineal son k 1 = 1, k 2 = 1 y k 3 = 0 y por lo tanto se cumple que (2, 1) = 1 (1, 0) + 1 (1, 1) + 0 (0, 1) Para saber si los vectores x 1 = (1, 0), x 2 = (1, 1) y x 3 = (0, 1) forman una base de R 2, debemos comprobar que son linealmente independientes. Para ello utilizamos el teorema de independencia por el cual, haciendo una combinación lineal de los vectores e igualándola al vector 0 del espacio, si todos los escalares son 0 entonces son linealmente independientes. Entonces, l 1 (1, 0)+l 2 (1, 1)+l 3 (0, 1) = (0, 0) Operando e igualando ambos lados se obtiene el sistema de ecuaciones siguiente: l 1 + l 2 = 0 l 2 + l 3 = 0 De la segunda ecuación se obtiene que l 3 = l 2 y de la primera se obtiene que 20

21 Apuntes: Matemáticas Empresariales II l 1 = l 2. Por lo tanto, si llamamos a l 2 = α entonces la solución del sistema es: l 1 = α l 2 = α l 3 = α Por lo tanto, con α 0 los escalares de la combinación lineal son distintos de 0 y por lo tanto son linealmente dependientes. Al ser linealmente dependientes no son base. Ejemplo2 Dados los vectores x 1 = (1, 1) y x 2 = (1, 0), determinar si dichos vectores forman un sistema generador del espacio vectorial R 2, una base o ninguno de los dos. Para saber si un conjunto de vectores de R 2 forman un sistema generador deben cumplir que para cualquier elemento del espacio vectorial (a, b), dicho elemento se pueda poner como combinación lineal de los elementos del conjunto. Una combinación lineal de los elementos del conjunto es ele resultado de multiplicar un escalar por cada elemento y sumarlos. Por lo tanto, una combinación lineal es k 1 (1, 1)+k 2 (1, 0) y para generar todo el espacio se debe igualar al vector genérico del espacio, (a, b) = k 1 (1, 1)+k 2 (1, 0). Operando e igualando ambos lados se obtiene el sistema de ecuaciones siguiente: k 1 + k 2 = a k 1 = b De la segunda ecuación se obtiene que k 1 = b y sustituyendo en la primera ecuación se obtiene que k 2 = a k 1 = a b. Por lo tanto, la solución del sistema es: 21

22 1.2. LECCIÓN 2 - CONCEPTOS FUNDAMENTALES EN LOS ESPACIOS VECTORIALES k 1 = b k 2 = a b Hemos encontrado que para cualquier valor (a, b) del espacio vectorial R 2 existen un k 1, k 2 con los cuales se puede poner el vector (a, b) como combinación lineal de los vectores x 1, x 2. Como esto ocurre para cualquier vector de R 2, entonces los vectores x 1, x 2 forman un sistema generador. Por ejemplo, escogiendo el vector de R 2, (2, 1) los escalares de la combinación lineal tendrán la forma: k 1 = 1 k 2 = 2 ( 1) = 3 Por lo tanto se cumple que (2, 1) = ( 1) (1, 1) + (3) (1, 0) Para saber si los vectores x 1 = (1, 1) y x 2 = (1, 0) forman una base de R 2, debemos comprobar que son linealmente independientes. Para ello utilizamos el teorema de independencia por el cual, haciendo una combinación lineal de los vectores e igualándola al vector 0 del espacio, si todos los escalares son 0 entonces son linealmente independientes. Entonces, l 1 (1, 1) + l 2 (1, 0) = (0, 0) Operando e igualando ambos lados se obtiene el sistema de ecuaciones siguiente: l 1 + l 2 = 0 l 1 = 0 De la segunda ecuación se obtiene que l 1 = 0 y sustituyendo en la primera se obtiene que l 2 = 0 l 1 = 0 0 = 0. Por lo tanto la solución del sistema es: 22

23 Apuntes: Matemáticas Empresariales II { l 1 = 0l 2 = 0 Por lo tanto, hemos encontrado que los escalares de la combinación lineal son iguales a 0 y por lo tanto son linealmente independientes. Al ser linealmente independientes son una base de R 2. Ejemplo3 Dados los vectores x 1 = (1, 2, 3), x 2 = (3, 1, 0), x 3 = ( 2, 1, 2) y x 4 = (1, 0, 0) determinar si dichos vectores forman un sistema generador del espacio vectorial R 3, una base o ninguno de los dos. Para saber si un conjunto de vectores de R 3 forman un sistema generador deben cumplir que para cualquier elemento del espacio vectorial (a, b, c), dicho elemento se pueda poner como combinación lineal de los elementos del conjunto. Una combinación lineal de los elementos del conjunto es ele resultado de multiplicar un escalar por cada elemento y sumarlos. Por lo tanto, una combinación lineal es k 1 (1, 2, 3) + k 2 (3, 1, 0) + k 3 ( 2, 1, 2) + k 4 (1, 0, 0) y para generar todo el espacio se debe igualar al vector genérico del espacio, (a, b, c) = k 1 (1, 2, 3)+k 2 (3, 1, 0)+k 3 ( 2, 0, 2)+k 4 (1, 0, 0). Operando e igualando ambos lados se obtiene el sistema de ecuaciones siguiente: k 1 + 3k 2 2k 3 + k 4 = a 2k 1 k 2 = b 3k 1 + 2k 3 = c De la tercera ecuación se obtiene que k 1 = c 2k 3 3 y sustituyendo en la segunda se obtiene que k2 = 2c 4k 3 3 b. Por último, sustituyendo en la primera se obtiene que c 2k ( 2c 4k 3 3 b) 2k 3 +k 4 = a y operando c 3 2k c 4k 3 3b 2k 3 +k 4 = a o también 2k 3 3 4k 3 2k 3 = a c 3 2c+3b k 4 y simplificando 20k 3 3 = a 7c 3 +3b k 4 o también k 3 = 3 7c (a + 3b k ). 23

24 1.2. LECCIÓN 2 - CONCEPTOS FUNDAMENTALES EN LOS ESPACIOS VECTORIALES Por lo tanto, para cualquier valor (a, b, c) del espacio vectorial R 3 existen un k 1, k 2, k 3, k 4 con los cuales se puede poner el vector (a, b, c) como combinación lineal de los vectores x 1, x 2, x 3, x 4. Como esto ocurre para cualquier vector de R 3, entonces los vectores x 1, x 2, x 3, x 4 forman un sistema generador. Para saber si forman una base debemos comprobar que son linealmente independientes. Para ello utilizamos el teorema de independencia por el cual, haciendo una combinación lineal de los vectores e igualándola al vector 0 del espacio, si todos los escalares son 0 entonces son linealmente independientes. Entonces, l 1 (1, 2, 3) + l 2 (3, 1, 0) + l 3 ( 2, 1, 2) + l 4 (1, 0, 0) = (0, 0, 0) Operando e igualando ambos lados se obtiene el sistema de ecuaciones siguiente: l 1 + 3l 2 2l 3 + l 4 = 0 2l 1 l 2 = 0 3l 1 + 2l 3 = 0 De la tercera ecuación se obtiene que l 1 = 2l 3 3 y sustituyendo en la segunda se obtiene que l2 = 4l 3 3. Por último, sustituyendo en la primera se obtiene que 2l ( 4l 3 3 ) 2l 3 + l 4 = 0 y simplificando 2l l 4 = 0 o también l 3 = 3l 4 2. Por lo tanto, hemos encontrado la solución al sistema, que con l 4 = α toma la forma ( α, 2α, 3α, α) y, con α 0 los escalares de la combinación lineal son distintos 2 de 0 y por lo tanto son linealmente dependientes. Al ser linealmente dependientes no son base. Ejercicio: Sea el espacio vectorial V = {a+bx/a, b ϵ R}. Y sean los siguientes conjuntos de elementos de V : S 1 = {2x, 3x}, S 2 = {2x 1, x+1, 2} y S 3 = {2x 1, 2}. Se pide: Son S 1, S 2 y S 3 sistemas generadores de V? son bases? 24

25 Apuntes: Matemáticas Empresariales II Propiedades del Sistema Generador y Base 1. De todo sistema generador finito de V(K) puede extraerse una base. 2. Si el espacio vectorial V(K) admite una base con n vectores, entonces todo conjunto de n vectores L.I es base de V(K). 3. Si el espacio vectorial V(K) admite una base con n vectores, entonces no puede haber mas de n vectores que sean L.I 4. Si un espacio vectorial admite una base con n vectores, todas las bases del espacio tienen n vectores. 25

26 1.2. LECCIÓN 2 - CONCEPTOS FUNDAMENTALES EN LOS ESPACIOS VECTORIALES 5. Todo vector x de un espacio vectorial tiene coordenadas unicas respecto a una base. Dimensión Se define dimensión de un espacio vectorial al máximo número de vectores L.I que existen en dicho espacio.si la dimensión es finita coincide con el número de vectores de una base cualquiera del espacio, y con el numero de escalares necesarios para determinar un vector cualquiera del espacio. Ejercicio: En el ejercicio anterior, justifique de forma razonada cual es la dimensión del espacio vectorial V Cambio de Base Sea el vector x y las bases B 1 = (ū 1, ū 2,..., ū n ) y B 2 = ( v 1, v 2,..., v n ). En este aparatado estamos interesados en encontrar las coordenadas en la base B 1 a partir de las coordenadas de la base B 2. Por un lado, sabemos que las coordenadas del vector x en la base B 1 seran (l 1, l 2,..., l n ) si x = l 1 ū 1 + l 2 ū l n ū n Por otro lado, sabemos también que las coordenadas del vector x en la base B 1 2 seran (k 1, k 2,..., k n ) si x = k 1 v 1 + k 2 v k n v n Como el vector x es el mismo, entonces se cumple: 26

27 Apuntes: Matemáticas Empresariales II x = l 1 ū 1 + l 2 ū l n ū n = k 1 v 1 + k 2 v k n v n La ecuación anterior permite encontrar (l 1, l 2,..., l n ) a partir de (k 1, k 2,..., k n ) o encontrar (k 1, k 2,..., k n ) a partir de (l 1, l 2,..., l n ), es decir, llevar a cabo un cambio de Base. Ejemplo - Cambio de Base En este ejemplo veremos como cambiar las coordenadas de un vector respecto de una base a otra base. Sea el vector x = (1, 2, 1) cuyas coordenadas vienen referidas a la base B 1 con B 1 = {ū 1, ū 2, ū 3 }, donde ū 1 = (0, 0, 1), ū 2 = (1, 2, 0) y ū 3 = (1, 1, 2). Sea B 2 otra base tal que B 2 = { v 1, v 2, v 3 } y donde v 1 = (1, 0, 1), v 2 = (2, 1, 0) y v 3 = (0, 1, 0), encuentre las coordenadas de x respecto a la base B 2. Encuentre también las coordenadas de x respecto a la base canónica. Como (1, 2, 1) son las coordenadas del vector respecto a la base B 1, entonces por la definición de coordenadas, éstos números son los escalares de la combinación lineal que genera x, es decir que atiende a la expresión 1 ū ū ū 3. Por otro lado, las coordenadas del vector x respecto de la base B 2 serán unos escalares (k 1, k 2, k 3 ), que por la definición de coordenadas, son los escalares de la combinación lineal k 1 v 1 + k 2 v 2 + k 3 v 3. Como ambas expresiones representan al mismo vector, entonces deben ser iguales: 1 ū ū ū 3 = k 1 v 1 + k 2 v 2 + k 3 v 3 y sustituyendo por los valores concretos del ejercicio se obtiene que 1 (0, 0, 1) + 2 (1, 2, 0) + 1 (1, 1, 2) = k 1 (1, 0, 1) + k 2 (2, 1, 0) + k 3 (0, 1, 0) y operando a ambos lados se obtiene que 27

28 1.2. LECCIÓN 2 - CONCEPTOS FUNDAMENTALES EN LOS ESPACIOS VECTORIALES (3, 5, 3) = (k 1 + 2k 2, k 2 + k 3, k 1 ) Y para que los dos vectores sean iguales, deben ser iguales coordenada a coordenada, es decir: 3 = k 1 + 2k 2 5 = k 2 + k 3 3 = k 1 De la última ecuación se obtiene que k 1 = 3 y con ese valor sustituyendo en la primera se obtiene que 3 = 3 + 2k 2 y por lo tanto k 2 = 0. Con el valor de k 2 sustituyendo en la segunda se obtiene que k 3 = 5 0 = 5. Por lo tanto, las coordenadas del vector x respecto a la base B 2 son (3, 0, 5). Ahora queremos encontrar las coordenadas del vector x respecto a la base canónica. En primer lugar, debemos saber que la base canónica está formada por los vectores B c = {(1, 0, 0), (0, 1, 0)(0, 0, 1)}. Entonces, las coordenadas serán los escalares que representan al vector x como combinación lineal de los vectores de la base canónica, es decir, λ 1 (1, 0, 0) + λ 2 (0, 1, 0) + λ 3 (0, 0, 1). Como la expresión que representa al vector como combinación lineal de la base canónica debe coincidir con la que representa al vector respecto a la base B 1 (lo mismo ocurriría con la base B 2 ) entonces 1 (0, 0, 1) + 2 (1, 2, 0) + 1 (1, 1, 2) = λ 1 (1, 0, 0) + λ 2 (0, 1, 0) + λ 3 (0, 0, 1) y operando a ambos lados se obtiene que (3, 5, 3) = (λ 1, λ 2, λ 3 ) 28

29 Apuntes: Matemáticas Empresariales II y por lo tanto, ya hemos encontrado directamente las coordenadas del vector x respecto de la base canónica. Ejercicio: Sea el espacio vectorial V = {a + bx 2 + cx 4 /a, b, c ϵ R}. Y sea S una base de V donde S = {3, 3x 4 x 2, x 2 + 1}. Si el elemento P (x) = 2 + 3x + x 2 viene referido a la base canonica de V, encuentre las coordenadas de P (x) en la base S Sistema Generador y Base - Ejemplos adicionales Ejemplo1 Dados los vectores x 1 = (1, 0), x 2 = (1, 1) y x 3 = (0, 1), determinar si dichos vectores forman un sistema generador del espacio vectorial R 2, una base o ninguno de los dos. 29

30 1.3. SISTEMA GENERADOR Y BASE - EJEMPLOS ADICIONALES Para saber si un conjunto de vectores de R 2 forman un sistema generador deben cumplir que para cualquier elemento del espacio vectorial (a, b), dicho elemento se pueda poner como combinación lineal de los elementos del conjunto. Una combinación lineal de los elementos del conjunto es ele resultado de multiplicar un escalar por cada elemento y sumarlos. Por lo tanto, una combinación lineal es k 1 (1, 0) + k 2 (1, 1) + k 3 (0, 1) y para generar todo el espacio se debe igualar al vector genérico del espacio, (a, b) = k 1 (1, 0) + k 2 (1, 1) + k 3 (0, 1). Operando e igualando ambos lados se obtiene el sistema de ecuaciones siguiente: k 1 + k 2 = a k 2 + k 3 = b De la primera ecuación se obtiene que k 1 = a k 2 y de la segunda ecuación se obtiene que k 3 = b + k 2. Por lo tanto, si llamamos a k 2 = α entonces la solución del sistema es: k 1 = a α k 2 = α k 3 = b + α Hemos encontrado que para cualquier valor (a, b) del espacio vectorial R 2 existen un k 1, k 2, k 3 con los cuales se puede poner el vector (a, b) como combinación lineal de los vectores x 1, x 2, x 3. Como esto ocurre para cualquier vector de R 2, entonces los vectores x 1, x 2, x 3 forman un sistema generador. Por ejemplo, escogiendo el vector de R 2 (2, 1) los escalares de la combinación lineal tendrán la forma: 30

31 Apuntes: Matemáticas Empresariales II k 1 = 2 α k 2 = α k 3 = 1 + α Es decir, existen infinitos escalares con los que poner el vector (2, 1) como combinación lineal de x 1 = (1, 0), x 2 = (1, 1) y x 3 = (0, 1). Si elegimos, por ejemplo, α = 1, entonces los escalares de la combinación lineal son k 1 = 1, k 2 = 1 y k 3 = 0 y por lo tanto se cumple que (2, 1) = 1 (1, 0) + 1 (1, 1) + 0 (0, 1) Para saber si los vectores x 1 = (1, 0), x 2 = (1, 1) y x 3 = (0, 1) forman una base de R 2, debemos comprobar que son linealmente independientes. Para ello utilizamos el teorema de independencia por el cual, haciendo una combinación lineal de los vectores e igualándola al vector 0 del espacio, si todos los escalares son 0 entonces son linealmente independientes. Entonces, l 1 (1, 0)+l 2 (1, 1)+l 3 (0, 1) = (0, 0) Operando e igualando ambos lados se obtiene el sistema de ecuaciones siguiente: l 1 + l 2 = 0 l 2 + l 3 = 0 De la segunda ecuación se obtiene que l 3 = l 2 y de la primera se obtiene que l 1 = l 2. Por lo tanto, si llamamos a l 2 = α entonces la solución del sistema es: l 1 = α l 2 = α l 3 = α 31

32 1.3. SISTEMA GENERADOR Y BASE - EJEMPLOS ADICIONALES Por lo tanto, con α 0 los escalares de la combinación lineal son distintos de 0 y por lo tanto son linealmente dependientes. Al ser linealmente dependientes no son base. Ejemplo2 Dados los vectores x 1 = (1, 1) y x 2 = (1, 0), determinar si dichos vectores forman un sistema generador del espacio vectorial R 2, una base o ninguno de los dos. Para saber si un conjunto de vectores de R 2 forman un sistema generador deben cumplir que para cualquier elemento del espacio vectorial (a, b), dicho elemento se pueda poner como combinación lineal de los elementos del conjunto. Una combinación lineal de los elementos del conjunto es ele resultado de multiplicar un escalar por cada elemento y sumarlos. Por lo tanto, una combinación lineal es k 1 (1, 1)+k 2 (1, 0) y para generar todo el espacio se debe igualar al vector genérico del espacio, (a, b) = k 1 (1, 1)+k 2 (1, 0). Operando e igualando ambos lados se obtiene el sistema de ecuaciones siguiente: k 1 + k 2 = a k 1 = b De la segunda ecuación se obtiene que k 1 = b y sustituyendo en la primera ecuación se obtiene que k 2 = a k 1 = a b. Por lo tanto, la solución del sistema es: k 1 = b k 2 = a b Hemos encontrado que para cualquier valor (a, b) del espacio vectorial R 2 existen un k 1, k 2 con los cuales se puede poner el vector (a, b) como combinación lineal de los vectores x 1, x 2. Como esto ocurre para cualquier vector de R 2, entonces 32

33 Apuntes: Matemáticas Empresariales II los vectores x 1, x 2 forman un sistema generador. Por ejemplo, escogiendo el vector de R 2, (2, 1) los escalares de la combinación lineal tendrán la forma: k 1 = 1 k 2 = 2 ( 1) = 3 Por lo tanto se cumple que (2, 1) = ( 1) (1, 1) + (3) (1, 0) Para saber si los vectores x 1 = (1, 1) y x 2 = (1, 0) forman una base de R 2, debemos comprobar que son linealmente independientes. Para ello utilizamos el teorema de independencia por el cual, haciendo una combinación lineal de los vectores e igualándola al vector 0 del espacio, si todos los escalares son 0 entonces son linealmente independientes. Entonces, l 1 (1, 1) + l 2 (1, 0) = (0, 0) Operando e igualando ambos lados se obtiene el sistema de ecuaciones siguiente: l 1 + l 2 = 0 l 1 = 0 De la segunda ecuación se obtiene que l 1 = 0 y sustituyendo en la primera se obtiene que l 2 = 0 l 1 = 0 0 = 0. Por lo tanto la solución del sistema es: { l 1 = 0l 2 = 0 Por lo tanto, hemos encontrado que los escalares de la combinación lineal son iguales a 0 y por lo tanto son linealmente independientes. Al ser linealmente independientes son una base de R 2. 33

34 1.4. LECCIÓN 3: MATRICES Y DETERMINANTES Subespacios vectoriales Se define subespacio vectorial del espacio V(K) a todo subconjunto de vectores S V tales que S(K) sea espacio vectorial respecto a las operaciones de V(K). Condición necesaria y suficiente S V subesp. vect. de V(K) k 1 v 1 + k 2 v 2 εs; k 1, k 2 εk; v 1, v 2 εs Propiedades 1. Todos los vectores generados por unos vectores dados forman un subespacio vectorial. Es decir dados los vectores { v 1, v 2,..., v p } V p L = { xϵv/ x = k i v i } 2. La intersección de dos subespacios vectoriales es otro subespacio vectorial. S 1, S 2 subespacios de V(K) S 1 S 2 subespacio de V(K) i=1 3. La suma de dos subespacios vectoriales es otro subespacio vectorial. Es decir: S 1, S 2 subespacio de V(K) S 1 + S 2 = { x/ x = v 1 + u j, v i ϵs 1, u j ϵs 2 } es subespacio vectorial de V(K) 4. Es condición necesaria y suficiente para que dos subespacios S 1 y S 2 sean linealmente independientes que su intersección sea el vector nulo (S 1 S 2 = 0) 1.4. Lección 3: Matrices y Determinantes Se define matriz de orden n m a todo conjunto de n m elementos de un cuerpo K, dispuestos en n filas y m columnas: 34

35 Apuntes: Matemáticas Empresariales II A n m = ( v 1 v 2 v m ) = a 11 a 12 a 1m a 21 a a 2m a n1 a n2 a nm Tenemos que si: m n se denominan matrices rectangulares m = 1 se denominan matrices columnas n = 1 se denominan matrices fila m = n se denominan matrices cuadradas En una matriz cuadrada los elementos (a 11, a 22,, a nm ) forman la diagonal principal, cuya suma se conoce como traza de la matriz. Las matrices cuadradas que tengan nulos lo elementos situados fuera de la diagonal principal (a ij = 0sii j) se llaman matrices diagonales.las matrices cuadradas que tengan nulos lo elementos que queden a uno de los lados de la diagonal principal se llaman matrices triangulares. Dos matrices del mismo orden son iguales cuando tengan iguales los elementos del mismo lugar: A n m = B n m a ij = b ij, i, j Operaciones con matrices 1. Suma matricial A n m + B n m = C n m /c ij = a ij + b ij El neutro de la suma matricial es la matriz nula (aij = 0, i, j) y la opuesta de una matriz A = (a ij es la matriz A = ( a ij ). En consecuencia, el conjunto de las matrices de un mismo orden n m, (M n m ) tiene estructura de grupo abeliano. 35

36 1.4. LECCIÓN 3: MATRICES Y DETERMINANTES 2. Producto de escalar por matriz k A = k(a ij ) = (k a ij ) El conjunto de las matrices de un mismo orden tiene estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo de escalares K {M n m + } espacio vectorial sobre K. 3. Producto matricial Se define producto matricial de una matriz A n m = (a i j) por otra matriz B m p = (b i j) a la matriz C n p = (c ij ) cuyo elemnto generico, c ij es el resultado de sumar los productos de los elementos de la fila i de A por los de la columna j de B. Ejemplo Transposición matricial A n m B m p = C n p = Se define transpuesta de una matriz A n m a la matriz A t m n que resulta al cambiar en A filas por columnas: 3 4 Ejemplo Sea A la matriz siguiente: Encuentre A t A = (a ij ) n m = A t = (a ji ) m n A t =

37 Apuntes: Matemáticas Empresariales II Propiedades transposiciôn matricial a) Matriz simétrica A t = A si es cuadrada b) Matriz antisimétrica A t = A si es cuadrada y requiere que la diagonal principal este formada de ceros. c) La transposición es involutiva, es decir, (A t ) t = A d) La transpuesta de una suma es la suma de las transpuestas: (A + B) t = A t + B t e) La transpuesta de un producto es el producto de las transpuestas cambiado de orden: (A B) t = B t B t Determinante de una matriz cuadrada Toda matriz cuadrada, A lleva asociado un escalar que se denomina determinante de A y se simboliza A. M n R A i a i = A i Se define determinante de una matriz cuadrada A n m al escalar que resulta al sumar todos los productos de n elementos de la matriz que cumplan: Que en cada producto entre un solo elemento de cada fila y de cada columna. Que a cada producto se le anteponga signo + o segùn que sean de igual clase o de distinta clase las dos permutaciones que forman los subíndices que indican fila y los que indican columna. 37

38 1.4. LECCIÓN 3: MATRICES Y DETERMINANTES En el caso de las matrices cuadradas de orden 2 el determinante toma la forma: det(a 2 2 ) = a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 forma: En el caso de las matrices cuadradas de orden 3 el determinante toma la det(a 3 3 ) = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 33 +a 31 a 12 a 23 +a 13 a 21 a 32 [a 13 a 22 a 31 +a 11 a 23 a 32 +a 33 a 21 a 12 ] A la expresión anterior se la conoce como la regla de Sarrus. Para el cálculo de determinantes mayores se utilizan las propiedades de los determinantes. Ejemplo1 Calcule el determinante de la matriz siguiente Aplicando la regla anterior, el determinante será = ( 1) = = 7 Ejemplo2 Calcule el determinante de la matriz siguiente

39 Apuntes: Matemáticas Empresariales II Aplicando la regla de Sarrus se obtiene que el determiante toma la forma: = ( 1) ( 4) [( 4) ( 1)] = 28 Ejercicio: Calcule el determinante de la matriz siguiente Definición:Matrices singulares Una matriz cuadrada es una matriz singular su determinante es nulo. Además, se cumple que si una matriz es singular Alguno de los vectores es Combinación Lineal de los demàs. Definición:Matrices regulares Una matriz cuadrada es una matriz regular su determinante es distinto de cero. Además, se cumple que si una matriz es regular Todos los vectores que la integran (por filas o por columnas) son Linealmente Independientes. En la práctica, aunque se puede desarrollar la regla de Sarrus para el cálculo de determinantes con un orden mayor que 3, se suelen utilizar las propiedades de los determinantes. 39

40 1.4. LECCIÓN 3: MATRICES Y DETERMINANTES Propiedades de los determinantes 1. El determinante de una matriz es igual al de su transpuesta: det(a) = det(a t ) 2. Si uno de los vectores de la matriz A n m es el nulo, el determinante vale cero. 3. Si se intercambia entre sí dos vectores cualesquiera de la matriz, ocurre que el determinante cambia de signo. 4. Toda matriz cuadrada con dos vectores iguales tiene determinante nulo. 5. det(k 1 v 1... k i v i... k n v n ) = k 1... k j... k n det( v 1... v i... v n ) 6. Si una matriz tiene dos vectores proporcionales, su determinante vale cero. 7. Si uno de los vectores de la matriz es suma de p vectores, su determinante es la suma de los determinantes de las p matrices que tiene en vez del vector suma cada uno de los sumandos. 8. Si un vector es C.L de los demás, el determinante de la matriz es nulo. 9. El valor de un determinante no se altera al sumar a un vector una C.L de los demás. 10. Cálculo de los determinantes por los elementos de una linea. Sea A una matriz cuadrada de orden n. Sea A ij la matriz cuadrada de orden n 1 obtenida al suprimir la fila i y la comlumna j de A. Se cumple, para cualquier i, que: det(a) = n ( 1) i+j a ij det(a ij ) j=1 Esta propiedad se utiliza mucho en la práctica ya que se pasa de calcular un determinante de orden n a calcular n determinantes de orden n 1, cosa que suelte ser más interesante. Si además en alguna fila hay algún valor que sea 0, 40

41 Apuntes: Matemáticas Empresariales II entonces el número de determinantes de orden n 1 que hay que calcular es menor. 11. La suma de los productos de los elementos de una línea por los adjuntos de una paralela a ella vale cero n ( 1) i+j a hj det(a ij ) = 0 j=1 12. Si A y B son matrices cuadradas del mismo orden, entonces: det(a B) = det(a) det(b) Ejemplo1 Calcule el determinante de la matriz siguiente Utilizando la propiedad 10 de los determinantes y observando que en la fila 4 hay muchos ceros, se obtiene que = ( 1) Volviendo a utilizar la propiedad 10 de los determinantes y observando, de nuevo, que en la fila 4 hay muchos ceros, se obtiene que 41

42 1.4. LECCIÓN 3: MATRICES Y DETERMINANTES ( 1) = ( 1) 5 ( 1) A partir de este momento se puede aplicar la regla de Sarrus para calcular un determinante de orden 3, por lo que con = 2 se obtiene que = ( 1) 5 ( 1) ( 2) = 4 Ejemplo2 Calcule el determinante de la matriz siguiente (Vandermonde), sin aplicar en ningún momento la regla de Sarrus: a b c a 2 b 2 c 2 En primer lugar se utiliza la propiedad 9, multiplicamos la primera columna 42

43 Apuntes: Matemáticas Empresariales II por (-1) y se la sumamos a la segunda y el determinante no varia. Por lo tanto a b c = a 2 b 2 c a b a c a 2 b 2 a 2 c 2 Y hacemos lo mismo con la tercera columna a b a c a 2 b 2 a 2 c 2 = a b a c a a 2 b 2 a 2 c 2 a 2 Ahora, como tenemos una fila (la primera) con muchos ceros, utilizamos la propiedad 10, por lo que a b a c a a 2 b 2 a 2 c 2 a 2 = ( 1) b a c a b 2 a 2 c 2 a 2 Utilizando la propiedad matemática que dice que suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados (x + y)(x y) = (x 2 y 2 ), el determinante se puede poner como b a c a b 2 a 2 c 2 a 2 = b a c a (b + a) (b a) (c + a) (c a) Ahora utilizando la propiedad 5, la expresión b a puede salir fuera del determinante ya que multiplica a todos los elementos de una columna. Lo mismo sucede con c a en la otra columna y por lo tanto: b a c a (b + a) (b a) (c + a) (c a) = (b a)(c a) 1 1 (b + a) (c + a) 43

44 1.4. LECCIÓN 3: MATRICES Y DETERMINANTES Utilizando de nuevo la propiedad 9, (multiplicando la primera por (-1) y sumándosela a la segunda) se obtiene que: (b a)(c a) 1 1 (b + a) (c + a) = (b a)(c a) 1 0 (b + a) (c + a) b a = Y operando en la posición (2, 2) del determinante (b a)(c a) 1 0 (b + a) (c + a) b a = (b a)(c a) 1 0 (b + a) (c b) Por último, desarrollando el determinante por la primera fila (propiedad 10) se obtiene que (b a)(c a) 1 0 (b + a) (c b) = (b a)(c a) ( 1)1+1 1 (c b) y por lo tanto, podemos concluir que a b c a 2 b 2 c 2 = (b a)(c a)(c b) Ejercicio: Calcule el determinante de la matriz siguiente a a a a 44

45 Apuntes: Matemáticas Empresariales II Rango de una matriz Previo: Se llama menor de orden r de una matriz A, al determinante de la submatriz que se forma con los elementos comunes a r filas y a r columnas. Ejemplo Sea la matriz A, con A = Calcule un menor de orden 2 y un menor de orden 3 Un menor de orden 2 es el determinante formado por los elementos comunes a 2 filas y a 2 columnas. Si cogemos la fila 3 y la fila 4 y la columna 2 y la columna 5 entonces el menor que estamos formando es 45

46 1.4. LECCIÓN 3: MATRICES Y DETERMINANTES = 0 Un menor de orden 3 es el determinante formado por los elementos comunes a 3 filas y a 3 columnas. Si cogemos la fila 3 y la fila 4 y fila 5 y la columna 2, la columna 3 y la columna 5 entonces el menor que estamos formando es = 0 Definición Toda matriz A lleva asociado un número natural que se denomina rango de A y se simboliza por r(a). El rango de una matriz es el orden del mayor menor distinto de 0. Propiedades 1. Si la matriz A es de orden n m, ocurre que r(a) min(n, m). 2. El número máximo de filas linealmente independientes que hay en una matriz A coincide con el número máximo de columnas independientes. 3. El rango de una matriz coincide con el máximo número de vectores L.I de los que forman la matriz.(importante: Que el rango de una matriz coincida con el número de vectores L.I. no es una definición es una propiedad) Calculo del Rango A partir de la definición de rango de una matriz, parece que la manera de calcular dicho rango consiste en calcular todos los posibles menores de órdenes diversos y ver cuales son distintos de 0. El orden del mayor que sea distinto de 0. Como el cálculo del rango utilizando la definición requiere muchos cálculos, utilizaremos un método ordenado, que es el método de la orla. 46

47 Apuntes: Matemáticas Empresariales II Dicho método consiste, en vez de calcular todos los menores posibles, calcular solamente los que sean necesarios y de una forma ordenada. En primer lugar se coge un menor de orden 1 que sea distinto de 0. Normalmente se escoge el elemento de (1, 1) de la matriz, si éste es distinto de 0. Como hemos encontrado un menor de orden 1 que es distinto de 0, entonces el rango es por lo menos 1. A continuación, se parte de este elemento y se forman menores de orden 2 si todos los menores de orden 2 son 0 entonces esta fila es combinación lineal de la anterior y se desecha en el cálculo del rango, pasándose a la siguiente. Si algún menor de orden 2 es distinto de 0 entonces el rango de la matriz es por lo menos 2 y, a continuación se forman menores de orden 3 con la fila siguiente (pero siempre a partir del menor de orden 2 que ya hemos visto que es distinto de 0) y así sucesivamente. Ejemplo Calcule el rango de la matriz A, con A = Como esta matriz es de orden 4x4 entonces el rango máximo que puede tener la matriz es 4. En primer lugar, como hay un menor de orden 1 que es distinto de 0 2 = 2 0 entonces el rango de esta matriz es por lo menos 1. Ahora, orlamos a partir de ese, es decir, formamos con la fila siguiente, menores de orden 2, que son: = 0 47