Hoja Problemas Espacio Vectorial { } { } del espacio vectorial R 3. Hallar las coordenadas de a en la base B' = { u 1,u 2,u.

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1 EJERCICIO PARA ENTREGAR Sean los sbespacios vectoriales: Hoja Problemas Espacio Vectorial 6-7 {( ) } F {( ) R / } E αγ βγ αβ γ / α β γ R Se pide: a) ases de E F EF E F b) Ecaciones implícitas de E F Sea el vector a () epresado en la base { vvv } del espacio vectorial R Hallar las coordenadas de a en la base ' { } sabiendo qe: v v v v v v v v v - Se considera R con la sma habital con el prodcto por n escalar qe se indica en los casos sigientes Preba qe en ningno de ellos (R ) es espacio vectorial señalando algna propiedad del prodcto qe no se cmpla: a) λ ( ) ( λ λ ) b) λ ( ) ( ) λ λλ λ c) ( ) ( ) - Definimos en R las operaciones sigientes: ' ' ( ) ( ) ( ' ' ) λ( ) ( λ λ λ ) Determinar para la sma el elemento netro el elemento opesto de ( ) Probar qe R con dichas operaciones es n espacio vectorial - En cada caso determinar si F es n sbespacio vectorial de na base nas ecaciones implícitas paramétricas de F F α β R / α β R F { α β R / α β R} F { R / } d) F ( α β γ) R / α β γ R a) ( ) b) ( ) c) ( ) R En caso afirmativo bscar e) F {() R / - } f) F {() R / } g) F {() R / má()<} - Sea A{() (-) (-) (5)} Indicar si son correctas o falsas las sigientes cestiones: a) A es libre b) A es sistema generador de n sbespacio vectorial Unidad docente de Matemáticas

2 c) A es na base de R d) rango(a) e) El vector () es combinación lineal de los vectores de A f) El vector () < A > 5- Qé valores deben tener m n para qe el vector { () } (-mnm-n) ( ) ( ) < >? 6- Sea P n () el espacio vectorial de los polinomios con coeficientes reales de grado menor o igal qe n Demostrar qe el polinomio n ss n primeras derivadas forman na base de P n () e indicar las coordenadas del polinomio en esta base 7- Determinar si los conjntos sigientes G G generan el mismo sbespacio de R o sbespacios distintos G {(-) (-)} G {(-) (-) (-)} 8- Sea el sbespacio vectorial E formado por el conjnto de matrices cadradas qe permtan con la matri A Y sea el sbespacio vectorial a b F /abc R Se pide: c a a) Demostrar qe E es n sbespacio vectorial b) Una base de E c) Los sbespacios vectoriales E F EF 9- a) Para qé valores de los sigientes sistemas de vectores son bases de R? {( ) ( ) ( ) }; {( ) ( ) ( ) } b) Para escribir las ecaciones de cambio de base de a la canónica de la canónica a de a de a - Hallar las coordenadas del vector ( ) v ( ) v v ( 7) ( ) en la base ' v v v donde Cál es la matri de cambio de la base a la canónica? -a) Probar qe los sistemas de vectores G G generan el mismo sbespacio vectorial F de R G {(-) (8--) () (5)} G {(---) (--5) (-5-) (--)} b) Hallar la dimensión na base escalonada nas ecaciones paramétricas las ecaciones cartesianas de F(Vamos a llamar bases escalonadas de F a aqellas cos vectores se peden disponer como las filas de na matri escalonada) c) Sea H {( t) R tales qe - t } Se pide: Hallar la dimensión na base de H de F H de F H respectivamente Unas ecaciones cartesianas de F H de F H d) Es H n sbespacio splementario de F? En caso contrario halla n sbespacio splementario de F Unidad docente de Matemáticas

3 - Sea la matri A de cambio de base de a siendo ' v v Escribir en fnción de los vectores de la base Hallar la matri de cambio de base de a - Comprobar qe {() () ()} {() () ()} son bases de R calclar las ecaciones matriciales de cambio a) de la base a la base canónica C b) de la base a C c) de la base a d) de la base a - Se consideran los tres sbespacios de R sigientes: F {( α β) / α β R} F < ( ) ( )> F < ( )> a) Hallar F F b) Hallar F F c) Las smas anteriores son smas directas? Cando así ocrra escribir la descomposición única de cada vector de la sma en sma de dos vectores no de cada sbespacio 5- Dados los sbespacios vectoriales F determinado por las ecaciones cartesianas λ λ λ G por las ecaciones paramétricas λ λ del espacio vectorial R 5 5 λ λ 5 λ λ se pide: bases de F G FG F G Problemas Propestos - Consideremos el conjnto R formado por todas las parejas ( ) de números reales Se define en R la operación interna ( ) ( ) ( ) na de las operaciones eternas sigientes: a) λ ( ) ( λ) ; b) λ ( ) ( λ λ) ; c) λ ( ) ( λ λ λ λ ) ; d) λ ( ) ( λ λ) para λ R Decir para cada no de los catro casos si se obtiene o no na estrctra de espacio vectorial en R - Analiar cáles de los sigientes sbconjntos de R son sbespacios vectoriales Para ellos bscar na base a) F {( ) R / } b) G {( ) R / } ; c) H {( ) R / } ; d) I {( ) R / } ; K R / e) ( ) Unidad docente de Matemáticas

4 - En el espacio vectorial real R se considera el sistema de vectores S {(a)(a)(a) } referido a la base canónica Estdiar en fnción de a la dimensión del sbespacio engendrado por S - Encontrar na base del sbespacio F de R engendrado por los vectores () (- 5) (98) Qé valor ha qe dar a para qe el vector (6) sea de este sbespacio? 5- Sea el sbespacio vectorial F generado por los sigientes vectores de espacio vectorial R : (); (); ( ) Se pide: a) Rango de H { ; ; } Qé clase de sistema es H? Eiste algna relación de dependencia entre los vectores? b) Dimensión na base F c) Las coordenadas de los vectores respecto de la base obtenida en el apartado anterior d) Unas ecaciones paramétricas de F e) Unas ecaciones cartesianas o implícitas de F f) A partir de las ecaciones cartesianas otras ecaciones paramétricas distintas del apartado d) g) El vector () pertenece o no a F? h) Una base del espacio vectorial R qe contenga a los vectores de na base de F i) Las ecaciones del cambio de base de la base (del apartado anterior) a la base canónica c de R j) Las ecaciones del cambio de la base c a la base k) La epresión analítica del vector e de la base canónica respecto de la base 6- Si los números 5 son las coordenadas de n vector v en la base {()() ()} hallar las coordenadas del vector v en la base canónica 7- Sean { v w} ' { ' v' w' } dos bases de R tales qe ' v w v' v w' w Hallar las ecaciones del cambio de la base a de la base a 8- Dadas las bases de R { () (-) (-)} { v () v () v ()} a) Hallar la epresión analítica del cambio de base de a de a de a la base canónica b) Si a ( ) respecto de cáles son ss coordenadas respecto de? c) Si b v v escribir la epresión de b respecto de 9- Sea la matri A de cambio de base de a siendo { } { v v v } Escribir el vector en fnción de los vectores de Hallar la matri del cambio de base de a - Consideremos las bases de V : { e ( ) e ( ) e ( )} ( ) ( - ) ( - ) a) Hallar el cambio de base de a b) Hallar el conjnto F de vectores qe tienen las mismas coordenadas respecto de de Demostrar qe F es sbespacio de V hallar na base de F 5 - a) Hallar el rango de la matri A b) Hallar na base del sbespacio engendrado por los vectores fila de la matri A c) Hallar nas ecaciones vectoriales paramétricas e implícitas de dicho sbespacio Unidad docente de Matemáticas

5 Unidad docente de Matemáticas 5 - Hallar na base del sbespacio vectorial F formado por las matrices de la forma b b a Encontrar n sbespacio splementario de F Solciones de los ejercicios propestos - a) No b) Sí c) No d) No - a) Sí λ µ ( ) ( ) b) No c) Sí α α {(-)} d) No e) No f) Sí λ µ ( ) ( ) - Si a a entonces dim<s> Si a dim<s>si a- dim<s> - F {()(-5)} 5- a) r(h) H es ligado b) dimf F { ; } c) F ) ( F ) ( F ) ( d) µ λ e) f) β β α α g) No h) { ; ;();()} i) j) / / / k) e e 6- v (6 8) 7- Cambio de a : ' ' ' ; de a : ' ' '

6 Unidad docente de Matemáticas 6 8- a) 6 ' ' ' ' ' ' c c c ' ' ' b) ( 7 -) c) b 9- v v v () ' - a) b) F ( )/ ( ) ( ) F - a) r(a) b) ( ) ( ) ( ) 8 5 F c) ( ) v λ ( ) 5 λ ( ) 8 λ 5 8 λ λ λ λ λ λ λ λ λ - F ; splementario : β α β α R / ' F