SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 158 a 169

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1 TEMA. VECTORES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 58 a 6 Página 58. Obtenemos los sigientes ectores: + Página 6. La representación es la sigiente: x - - Página 5. ( 0) (0 ) x ( ) a + b a / b y ( 6) a + b a / b z ( ) a + b a / b /. ( 0) (0 ) a ( ) k + h k h b ( ) k + h k h / c ( ) k + h k h 5. a) 6. a) (7 7) w x ; 6 y x y 5x ; 6 x + y x y (8 5) c) ( ) d) (6 7) e) (0 ) f) (8 ) 7. (a a) a b 6 ( 6) a 7 b 8 (7 8) c) a b ( ) d) a b 6 ( 6) Página 60 Piensa y contesta Sponiendo qe sea k el número no nlo: h k h h k k Por lo tanto los dos ectores tienen la misma dirección. Página cos 60. proy 5 cos Si tienen el mismo sentido sí si no es 6 porqe cos 0 y cos 80. Si tienen el mismo sentido. Si tienen sentidos opestos. -

2 TEMA. VECTORES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs.58 a 6 Página 6. a) + () 6 + c) ( ) (7 ) (7) + () () d) ( + ) (8 ) (8 ) (5 8) e) ( ) ( 8) + () 8 6 f) ( 6) ( ) + (6) () 0 Forman n ánglo de 0. x x 8 x 0 x 6 Página 6 Piensa y contesta k ( k ) + ( k ) k ( + ) k + k 8x y 0 x + 5 Dos solciones: x 6 y 6 x 6 y 6 Página 67. Módlo: longitd del ector Dirección: recta en la qe se apoya Sentido: orientación qe tiene el ector en la recta. Cando se pede escribir w a + b donde a y b son números reales. Actiidad personal.. Deben ser no nlos y tener diferente dirección.. Base ortogonal es aqella en la qe los ectores qe la forman son perpendiclares. Base ortonormal es aqella en la qe además de ser perpendiclares tienen módlo. 5. a) ( ) a) 5 ( ) y y a) cos ( ) cos ( ) 0 7 8x y Son los números reales con los qe se escribe como combinación lineal de los ectores de la base. 6. Sma se sman las componentes Prodcto por n número real se mltiplican las dos componentes por el número. 7. Es el prodcto de los módlos de los ectores y el coseno del ánglo qe forman. Es 0 cando son perpendiclares. El prodcto escalar erifica la propiedad conmtatia distribtia respecto de la sma y para calqier número real k k ( ) ( k) ( k) ( ) k. 8. Es el prodcto del módlo de no de ellos por la proyección del otro sobre él. Si el ánglo qe forman los ectores es obtso es negatio si es agdo positio.. + Entonces: + Por otra parte: -0

3 TEMA. VECTORES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 58 a 6 cos ( ) cos ( ) Sí si tienen el mismo sentido. Si el sentido es opesto el módlo es la diferencia entre módlos. + ( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) - + ) ( + ) + ( + ) ( ) ( ( + ) ± donde el signo será positio si los ectores tienen el mismo sentido pes cos 0 y negatio si tienen sentidos opestos pes cos 80.. Los ectores son los sigientes: + + si tienen el mismo sentido. + si tienen sentido opesto. w y. Las smas son las sigientes: x ( 0) (0 ) x ( ) y ( ). Las smas son las sigientes: w ( + ) + w. Las representaciones son las sigientes: ( + w) + w z (6 ) w ( ) x y + z + -

4 TEMA. VECTORES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs.58 a 6 w y forman na base y por lo tanto calqier ector podría expresarse como combinación lineal de ellos. Página ( 0) (0 ) x ( ) y ( ) z (6 ) w ( 0) s ( ) t (0 ) x y + z + w d) (7 5). a) ( ) 0. a) ( ) c) ( ) d) ( 5) c) 5 a + b a b w + a b a + b a b r 7 a b a + b a b s + a b. No peden ser igales.. a). a) x 6 x 8 6 x 08 x x 08 0 x ±6 x c) s + t 7. x y ( ) z ( ) w 0 s ( ) t (0 ) 8. a) (7 ) (0 ) c) (0 ) 5. a) c) 5 6 d) ( ) (8 ) e) ( 6) (5 ) f) + 6. a) c) + d) + e) f)

5 TEMA. VECTORES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 58 a 6 El ector es por ejemplo: El ector es por ejemplo: Como 00 / 5 5 n ector es: 6 8 ( ) cos ( ) 70 El ánglo es a) cos ( ) 77 El ánglo es cos ( ) 86 El ánglo es a) ( ) (0 6) ( ) (5 8) c) w Los ectores son Un ector perpendiclar a es ( ) Los ectores qe bscamos son y y Serán perpendiclares cando el prodcto escalar sea 0: 6 + a(a + ) 0; a + a 6 0 a a. proy cos ( + w) d) w (8 8) ( w) w cos ( w) e) + ( + w) ( ) Página ( + w) a) 0 c) + (x ) 0 x / x (x ) x 7 / + (x )

6 TEMA. VECTORES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs.58 a 6 + (x ) cos Tenemos la ecación: + (x ) 05 ; 5 + (x ) 5 + (x ) + (x ); 65 [ + (x ) ] x + 6x + ; x 5x x + 6x + ; 75x + 85x + 0 x 057 x 700 Si sstitimos las solciones en la ecación original obseramos qe x no es álida. 8. Calclaremos en primer lgar el ánglo qe determinan los ectores: cos ( ) Por lo tanto el área del triánglo determinado por los ectores la mitad de la del paralelogramo es: S sen El área qe bscamos es S S. S b h h. ( ) w ( w) ( + ) w ( w + w ) No tiene la propiedad asociatia. 0. a) Número Vector Vector Número Número Número. Los ectores tienen módlo cm y forman n ánglo de : cos 05 El ector es w. 5 5 b. 0 a b 0 a 0 + b 0 + b 0 b ± a ±6 Hay dos solciones: (6 ) ( ) (6 ) ( ). El trabajo W qe se expresa en Jlios es el prodcto escalar entre la ferza ejercida y el desplazamiento por lo tanto: W 5 0 cos J 5. F + F + F i + ( + ) j 6. W + N m Atoealación. (0 ) ( 0) x ( ) y ( ) z (65 ) x + y z + 7. Sea w (a : Por na parte: w 0 a + b 0 a Por otra parte: w b b b b a 5 5. a) (8 7) (07). Sean a y b las componentes: w a + b a 0 b. [( ) w ( w ) ] -

7 TEMA. VECTORES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 58 a 6 [( ) w ( w) ] ( ) w) ( w) ) ( ) ( w ) ( w) ( ) ( ) ( w) ( w) ( ) ( ) ( w) ( ) ( w) 0 5. cos 5 6. Calclamos ( ) ( w 5) (6 ) w 5 ( ) ( ) ( w 5) El ector qe bscamos es: cos ( ) El ánglo es a) 5 + (x ) 0 x 7 / x 5 (x ) x 7 / 5 5 c) cos (x ) ; + (x ) (x ) (x ); x 85x 8 08x + x ; 075x 5x ; x ; x 087 Si comprobamos en la ecación original obseramos qe x no es na solción álida. 0. Sea (a el ector qe bscamos: 5 + a b a ± 5 b Por otra parte: + Finalmente se debe erificar: ± 5 b b ( ) 5 cos 60; ± 5 b b 5 ; ± 5 b 5 + b ; (5 b ) b + b ; b + 606b 75 0 b b b es solción de la ecación cando tomamos a positio y b es la solción de la ecación cando tomamos a negatio. b a 8 b a 0 Las solciones son: ( 8;) ( 0; ) -5