Mecánica I Tema 5. Manuel Ruiz Delgado. 1 de diciembre de 2010

Transcripción

1 Mecánica I Tema 5 Dinámica del sólido rígido Manel Ri Delgado 1 de diciembre de 010 eometría de masas Centro de masas de gravedad Tensor de inercia Momentos de inercia Prodctos de inercia Tensores de inercia Momento de inercia respecto a n eje Prodcto de inercia respecto a dos planos Cambio de ejes Teorema de Steiner Vector de inercia Direcciones principales de inercia Ejes principales simetría Ejes centrales principales Planos centrales principales Elipsoide de inercia Cálclo de momentos de inercia Tensores simples Cinética 36 Cantidad de movimiento

2 eometría de masas / 36 eometría de masas Centro de masas de gravedad Tensor de inercia Momentos de inercia Prodctos de inercia Tensores de inercia Momento de inercia respecto a n eje Prodcto de inercia respecto a dos planos Cambio de ejes Teorema de Steiner Vector de inercia Direcciones principales de inercia Ejes principales simetría Ejes centrales principales Planos centrales principales Elipsoide de inercia Cálclo de momentos de inercia Tensores simples Manel Ri - Mecánica I / 36 eometría de masas En dinámica, la distribción de masas de n sistema interviene en las ecaciones mediante los momentos másicos de orden n: N i δm = ρddd r n i m i r i I n i=1 = S r r n δm Tienen aplicación los sigientes: 0 Masa total del sistema M = N i=1 r0 i m i = N i=1 m i 1 Centro de masas Mr = N i=1 r im i Momentos de inercia I = N i=1 r i m i En los momentos de inercia, las distancias se peden medir respecto a n pnto, eje o plano. Manel Ri - Mecánica I 3 / 36

3 Centro de masas de gravedad Centroide Centro geométrico de n volmen, sperficie o ĺınea 1 V Centro de masas Centro de gravedad Momento másico de orden 1 1 M Pnto de aplicación de la resltante del sistema de feras gravitatorias(eje central del sistema de feras gravitatorias) rddd rρddd r/ r gδm = 0 Centroide centro de masas coinciden cando la densidad es constante: M = ρv. Centro de masas de gravedad coinciden cando la gravedad es constante (sperficie de la tierra) Distintos para cerpos grandes en el espacio: estabiliación por gradiente de gravedad. Manel Ri - Mecánica I 4 / 36 Tensor de inercia Al calclar las ecaciones del movimiento del sólido, la distribción de masas se tradce en seis números qe aparecen como na matri simétrica; según el modelo de sólido qe se se, S i I = N i=1 m i i + i i i i i i i i + i i i i i i i i + i δm = ρddd I = + δm + + Comprobaremos qe se trata de n tensor; estdiaremos ss términos, cómo calclarlos ss propiedades. Manel Ri - Mecánica I 5 / 36 3

4 Momentos de inercia Se define el momento de inercia respecto a n pnto/eje/plano como la integral (sma) de la masa elemental por el cadrado de la distancia al pnto/eje/plano, etendida a toda la distribción de masa (momentos de orden ). δm = ρddd Respecto a los planos ejes coordenados: Pnto: I = r δm = ( + + )δm Eje: I = Plano: I = δm I = ( + )δm I = δm I = ( + )δm I = δm ( + )δm Si, se llaman momentos centrales de inercia. Manel Ri - Mecánica I 6 / 36 Relaciones entre los momentos de inercia Los momentos de inercia respecto a origen los planos ejes coordenados cmplen las sigientes relaciones: I = I +I +I = 1 (I +I +I ) I = I +I = I +I = I +I I = I +I I = I +I I = I +I qe se dedcen directamente de ss definiciones: ( + + )δm = δm+ δm+ δm = = 1 [ ( + )δm+ ( + )δm+ ] ( + )δm En n sólido rígido son constantes si los ejes están ligados al sólido. Manel Ri - Mecánica I 7 / 36 4

5 Prodctos de inercia Se define el prodcto de inercia de na distribción de masas respecto a dos planos ortogonales como la integral del prodcto de cada masa elemental por las distancias a los planos. δm = ρddd, : P =, : P =, : P = δm δm δm δm + δm Si no de los planos es de simetría, el prodcto es nlo: +δm δm = 0 Sin pérdida de generalidad, se ha spesto qe los planos ortogonales son planos coordenados. Manel Ri - Mecánica I 8 / 36 Tensores de inercia Dada na distribción de masa, n pnto n sistema, se define: Tensor de inercia en : I P P I = P I P = P P I Tensor planar de inercia en : I +P +P P = +P I +P = +P +P I + + δm + δm Si es el centro de masas de la distribción, se denominan Tensor central de inercia I tensor planar central de inercia P. Entre ellos eiste la relación: I = I U P Constantes en ejes ligados a n sólido rígido. Manel Ri - Mecánica I 9 / 36 5

6 Prodcto diádico Se define el prodcto diádico o tensorial de dos vectores como el tensor sigiente: Regla de eclsión a b = [a,b] = [a i b j ] a [b,c] = b [a,c] = (a b)c [a,b] c = [a,c] b = (b c)a Definición más compacta de los tensores de inercia en : P = r rδm = δm (r I = U r r ) ( δm = + + ) δm P Manel Ri - Mecánica I 10 / 36 Momento de inercia respecto a n eje Definición geométrica, independiente del sistema de ejes. Momento respecto a n eje qe pase por de dirección (nitario): = r d δm I = d δm = = [ r (r ) ] δm = [ r U (r r) ] [ ( δm = r U r r ) ] δm = = I = I [ r 1 r(r ) ] δm = [ U = 1] Formacadráticainvariantefrenteacambios de ejes: o criterio de tensorialidad Manel Ri - Mecánica I 11 / 36 6

7 Prodcto de inercia respecto a dos planos Prodcto de inercia respecto a dos planos ortogonales qe pasen por determinados por los vectores nitarios normales v: v r d δm d P v = dd δm = (r )(r v) δm = ( ) = [r,r] vδm = [r,r] δm v = = P v = P v Como v, I v = (I U P ) v = = I U v P v = P v = P v Aqí el tensor actúa como forma bilineal. P v = I v Manel Ri - Mecánica I 1 / 36 Cambio de ejes w v Tensor de inercia respecto a los ejes planos de n sistema S 0 con origen en determinado por los versores,v,w. Podemos aplicar las epresiones En forma matricial: I = I P v = I v { }} {{ }} { I P v P w P v I v P vw = v I v w P w P vw I w w Q 10 I 0 = Q 10 I 1 Q 10 o criterio de tensorialidad: las componentes del tensor de inercia en ejes S 0 ejes S 1 están relacionadas por las epresiones de cambio de ejes Es n tensor. Manel Ri - Mecánica I 13 / 36 Q 10 7

8 Teorema de Steiner r r r δm Relacionaremos el tensor en n pnto arbitrario con en tensor en (referidos a ejes paralelos): I = ( r U r r ) δm = = [ (r +r ) U ( r +r ) ( r +r )] δm { r r δm = r r } δm = 0 r δm = = 0 r r δm = r r δm = 0 I = ( r ) ( U r r r δm+ U r r ) δm I = M ( U ) +I Campo tensorial: conocido I, se calcla en tensor en calqier pnto. Manel Ri - Mecánica I 14 / 36 Teorema de Steiner: Aplicación I = I +M ( U ) I P P = P I P + P P I ( M + +) = I P P + = P I P +M + P P I + El segndo smando es el tensor de inercia en de na partícla con la masa del sólido M concentrada en eneralia el teorema de Steiner para ejes paralelos: d I = I +Md r Manel Ri - Mecánica I 15 / 36 8

9 Propiedades algebraicas del tensor de inercia I = I P P P I P P P I Por definición, la matri de componentes del tensor deinerciaesrealsimétrica.por tanto: a Los atovalores son reales Los atovectores peden tomarse reales, son ortogonales rtogonalmente diagonaliable: Q S(3)/ Q I Q =... La matri de I es definida positiva: I = I = d δm > 0 Los atovalores son positivos Solo es semidefinida positiva en el caso de na varilla de espesor despreciable (sólido degenerado: 5 DL) En ese caso, el atovalor asociado a la dirección de la varilla es nlo (momento de inercia nlo I = I = 0) Manel Ri - Mecánica I 16 / 36 a J. de Brgos, Crso de Álgebra eometría, Vector de inercia I I Se define el Vector de inercia en el pnto asociado a la dirección del vector nitario mediante la aplicación lineal I = I En general, no tiene la dirección de. El momento de inercia respecto a la recta qe pasa por con dirección es la proección del vector de inercia según : I I = I = I El prodcto de inercia respecto a los planos de direcciones v qe se cortan en es la proección del vector de inercia asociado a sobre v (o vicecersa), cambiado de signo: v P v = I v = v I Manel Ri - Mecánica I 17 / 36 9

10 Direcciones principales de inercia Definición mediante el vector de inercia: I DPI Se llama ejes principales de inercia o direcciones principales de inercia en n pnto a las qe son paralelas a s vector de inercia asociado: DPI : / I = I = I PPI Se llaman momentos principales en los momentos de inercia respecto a cada no de los ejes principales en. Se llaman planos principales de inercia en los planos qe pasan por son normales a n eje principal en. Manel Ri - Mecánica I 18 / 36 Direcciones principales de inercia: propiedades I El prodcto de inercia respecto a n plano principal en calqier otro ortogonal qe pase por es nlo. P v = I v = I v = 0 v Si n eje coordenado es principal, los prodctos de s colmna fila son nlos. I = I i I 0 0 P = I i j = 0 I = 0 I P P = I i k = 0 0 P I Manel Ri - Mecánica I 19 / 36 10

11 Direcciones principales de inercia: obtención Las direcciones principales se obtienen resolviendo n problema de atovalores: I I = (I I U) = 0 I I U = 0 Las direcciones principales son las de los atovectores Los momentos principales son los atovalores Las direcciones principales son ortogonales si ss momentos principales son distintos; si no son ortogonales, s momento es el mismo: Simétrico {}}{ I = I v I = I v = I v v I v = I v I v v 0 = (I I v ) v { I I v v v I = I v Manel Ri - Mecánica I 0 / 36 Direcciones principales: casos Los atovalores o momentos principales son reales positivos. Tres casos: I 1 I I 3 I 1 = I I 3 I 1 = I = I Tres ejes principales ortogonales. I I I 3 Un eje principal todas las direcciones del plano normal en. I I I 3 Todas las direcciones del espacio son principales en I I I 1 Manel Ri - Mecánica I 1 / 36 11

12 Direcciones principales: otro camino Definición por las propiedades algebraicas del tensor: La matri de componentes del tensor de inercia es real simétrica: eiste na matri ortogonal Q tal qe Q Q { }} {{ }} { I 0 0 v I v w = 0 I v 0 w 0 0 I w, v, w: atovectores de I, direcciones principales de inercia en. I, I v, I w : atovalores de I, momentos principales de inercia en. Siempre se pede consegir qe Q = +1 (matri de giro qe nos lleva a ejes principales). Si sale -1 (ejes a iqierdas), basta con cambiar el signo de na colmna, o cambiar el orden. Manel Ri - Mecánica I / 36 Ejes principales simetría δm π + v δm Si n plano π es de simetría (másica, no solo geométrica) para na distribción de masa, es principal en todos ss pntos. P v = 0 v π PPI Todas las rectas normales a n plano de simetría son principales de inercia en el pnto de corte. Cerpo homogéneo de revolción: todos los planos qe contienen al eje son de simetría, principales en todos ss pntos; Todaslasrectas normales aleje son principales en el eje, por ser normales a n plano principal. El propio eje de revolción es principal en todos ss pntos por la ortogonalidad de las direcciones principales: es normal al plano qe forman las rectas qe lo cortan ortogonalmente en cada pnto. Manel Ri - Mecánica I 3 / 36 1

13 Ejes centrales principales P δm h P = P = Qeremos ver qé condiciones debe cmplir n eje central para ser principal de inercia en n pnto P: Lo tomamos como eje de n sistema Calclamos ss prodctos en n pnto arbitrario P para ver si se anlan: δm = δm = ( h) δm = ( h) δm = Si n eje es principal en, lo es en todos ss pntos. Si no es principal en, no lo es en ningún pnto. = 0 δm h δm = P = 0 δm h δm = P Manel Ri - Mecánica I 4 / 36 Planos centrales principales Qeremos ver qé condiciones debe cmplir n plano central para ser principal de inercia en n pnto P: P δm P = P = δm = δm = Lo tomamos como plano de n sistema Calclamos los prodctos de n eje qe lo corte en n pnto arbitrario P para ver si se anlan: ( P )δm = ( P )δm = Si n plano es principal en, lo es en todos ss pntos. = 0 δm P δm = P = 0 δm P δm = P Si no es principal en, no lo es en ningún pnto. Manel Ri - Mecánica I 5 / 36 13

14 Elipsoide de inercia Se llama elipsoide de inercia Σ de n sólido en el pnto a la sperficie definida por la ecación Σ r I r = 1 : I P P I P P,, P I P =,, P +I P = P P I P P +I = I +I +I Z P P P = 1 r Σ Está fijo en ejes ligados al sólido (I constante). Los ejes del elipsoide son las direcciones principales de inercia: I 0 0 r 0 I 0 r = I +I +I = I Manel Ri - Mecánica I 6 / 36 Elipsoide de inercia I d Σ El elipsoide permite visaliar las propiedades del tensor: Ss ejes son las direcciones principales de inercia La distancia de centro al elipsoide determina I para cada recta de dirección : r = d d I = d I = 1 d = 1 I La normal al elipsoide en r es la dirección del vector de inercia I asociado a la dirección r: Σ = I r I = I Tiene la forma aproimada del sólido (dimensiones; tres ejes, revolción, esférico). Manel Ri - Mecánica I 7 / 36 14

15 Cálclo de momentos de inercia Evitar cálclos: sar simetrías, propiedades relaciones Principio de proección: las distancias paralelas al eje no centan I Cil = I Disco (M, R igales) Momentos geométricos de cerpos homogéneos: Teoremas de ldin/papps para figras de revolción: Densidad proectada ρ cte. ρ(r) cte. d n {}}{ ρdτ = ρ d n dτ Sp. = πr L L r Vol. = πr Sp r Manel Ri - Mecánica I 8 / 36 Cálclo de momentos de inercia Por la aditividad de la integral respecto del intervalo, Se pede dividir na piea en partes de formas sencillas, I A B = I A +I B I A B Se peden calclar tensores de pieas con hecos, smando el tensor del heco con masa negativa: B A A B C = I A = IB IC Teorema de Koenig: del CDM de na piea al CDM del conjnto. I = N [ I i ( )] i +M i i U i i i=1 Manel Ri - Mecánica I 9 / 36 15

16 Tensores simples: esfera Por las simetrías, es obvio qe I = I = I = 3 I, qe P ij = 0. Es mcho más fácil calclar I. Cáscara esférica: δm = ρdv = ρπr dr I = r δm = πρ R 0 r 4 dr = πρ R5 5 Como M = ρv = ρ 4 3 πr3, I = 3 5 MR I = I U = 3 I U = 5 MR dr r d r r dr +R r() I = ρ πr 3 drd R 0 tros caminos más complejos: I = ρ (rcosφ) drrdφrcosφdθ θ φ r Manel Ri - Mecánica I 30 / 36 θ φ Tensores simples: disco Ejes principales: revolción todos los diámetros Simetría de revolción: I = I Plano: = 0 I = I +I ( + ) δm = ( +0 ) δm+ ( +0 ) δm Por la simetría de revolción, es más fácil calclar I : I = r δm = ρ R 0 r πrdr = ρπ R4 4 Sstitendo la densidad sperficial, M = ρπr, I = MR I = I = MR 4 } I = MR Manel Ri - Mecánica I 31 / 36 16

17 Tensores simples: varilla Infinitamente delgada: = = 0 I = 0 d Simetría: I = I = δm Sólido degenerado (5 DL); tensor semidefinido positivo. A I = + L L σ d = σ L L Densidad lineal: M = σl = σl3 1 I = ML Tensor en n etremo A, siendo A = 0,0, L : I A = I +M ( A U A A ) = = I +M L = ML L Manel Ri - Mecánica I 3 / 36 Tensores simples: placa rectanglar Infinitamente delgada: = 0 I = I +I, son ejes principales por ser de simetría; por perpendiclaridad de las direcciones principales. Proección: I e I como en na varilla; las distancias paralelas al eje no centan. Densidad lineal: δm = σd, como la varilla I = I = + a a + b b δm = σ + a a δm = Mb 1 d = Ma 1 I = M ( a +b ) 1 d I = M b a a +b Manel Ri - Mecánica I 33 / 36 17

18 Tensores simples: paralelepípedo a Simetría: los ejes geométricos son principales. c b Proección: El momento respecto a cada eje es el mismo qe el de la placa proección según ese eje. I = M b +c a +c a +b Eqivalente a tres varillas de longitdes a, b c. Tensor en el vértice A( a, b, c ) 1 ( I A = I +M a +b +c ) U 1 a ab ac ab b bc 4 4 ac bc c = = M 4(b +c ) 3ab 3ac A 3ab 4(a +c ) 3bc 1 3ac 3bc 4(a +b ) Manel Ri - Mecánica I 34 / 36 Tensores simples: cilindro Simetrías: son principales el eje de revolción todos los diámetros de las secciones circlares. Simetría de revolción: I = I = I r. Proección: I del disco proectado: I = MR Cálclo de I : rodajas de espesor d: δm = ρπr d δi = Diámetro δi + Steiner I = R 4 δm = δmr 4 +δm disco {}}{ + H δm+ δm MR = + H 4 + varilla {}}{ MH 1 I = M 3R +H R +H R Manel Ri - Mecánica I 35 / 36 18