Los lugares geométricos de todos los puntos del espacio en los cuales la magnitud escalar tiene un mismo valor.

Transcripción

1 Física para iencias e Ingeniería ÁLGEBRA ETORIAL 7.2- Introdcción A lo largo del estdio de la Física srgen na serie de propiedades, tanto de magnitdes escalares como vectoriales, qe se epresan por medio de nevos conceptos tales como gradiente, divergencia, laplaciana, rota - cional, ss relaciones con nevas definiciones tales como fljo circlación de n vector, así como ciertos teoremas transformaciones de vectores oncepto de campo escalar campo vectorial. Representación gráfica. En general, se llama campo a na magnitd física co valor es fnción del pnto del espacio qe se considere del instante en qe se mida. i la magnitd es fnción solamente el pnto del espacio qe se considere,, por tanto, independiente del tiempo, se dice qe es n campo estacionario. egún la natralea de la magnitd física pede ser n campo escalar, o n campo vectorial. ampo escalar i se trata de n campo escalar estacionario de na cierta magnitd, será, en general, fnción de las coordenadas de cada pnto del espacio. En el desarrollo de la teoría de campos es frecente designar n campo de esta natralea, por calqiera de las sigientes epresiones: En coordenadas cartesianas: = (,,), f = f(,,), F = F(,,), En coordenadas cilíndricas circlares: En coordenadas esféricas: = (r,, ), f = f(r,, ), F = F(r,, ), = (r,θ, ) f = f(r,θ, ), F = F(r,θ, ). Las representaciones gráficas adan a tener na idea clara de cómo varían ciertas magnitdes físicas. Los campos escalares estacionarios selen representarse por medio de las llamadas sperficies de nivel, o sperficies eqipotenciales, qe se definen como: Los lgares geométricos de todos los pntos del espacio en los cales la magnitd escalar tiene n mismo valor. En la práctica, se dibjan las sperficies de nivel qe corresponden a valores de la magnitd escalar, qe se diferencian en na cantidad constante. De esta forma se conoce el valor de en los diferentes pntos del espacio, además, se visalia rápidamente en qé regiones eperimenta la maor rapide de variación, qe son aqéllas donde las sperficies de nivel se encentran más próimas nas a otras. Las sperficies de nivel en el espacio forman n sistema de capas envolventes sin ningún pnto de contacto, a qe dos sperficies de nivel correspondientes a valores distintos de la magnitd escalar no peden cortarse. i lo hicieran, la magnitd tendría a la ve dos valores distintos en los pntos de intersección, lo cal es absrdo. Un ejemplo sencillo de representación gráfica de n campo escalar estacio- nario es el de las sperficies de nivel tiliadas en la confección de mapas en los cales la cota de cada pnto es fnción de s posición en el plano de dibjo: = (, ). [Fig. 7.2-]. e dibjan las crvas de nivel (, ) = cte. a intervalos constantes. Las regiones del mapa donde se aproiman las crvas de nivel son aqéllas donde la pendiente es maor. ampo vectorial FIG e denomina campo vectorial a na magnitd física de carácter vectorial qe es, en general, fnción de cada pnto del espacio del instante qe se considere. on ejemplos de campos vectoriales: los campos de feras gravitatorias, electrostáticas, magnéticas, los campos de velocidades en el seno de n flido en movimiento, etc. i la magnitd vectorial es solamente fnción de cada pnto del espacio, pero no es fnción del tiempo, se dice qe es n campo estacionario.

2 2 ÁLGEBRA ETORIAL aletos Física para iencias e Ingeniería Los campos vectoriales se representan por medio de las llamadas líneas de fera, qe se obtienen traando, a partir de cada pnto del espacio, n peqeño segmento en la dirección del vector correspondiente a dicho pnto. El etremo de dicho segmento sirve de origen para traar otro segmento en la neva dirección qe tenga la magnitd vectorial, así scesivamente. De esta forma se obtiene na línea poligonal. i se dibja nevamente esta línea poligonal, tomando los pntos más próimos entre sí, los segmentos qe determinan serán más peqeños, en el límite, cando las longitdes de estos segmentos tiendan a cero, la línea poligonal se convertirá en na línea crva, denominada línea de fera del campo vectorial. FIG Por la forma en qe se ha dibjado, se dedce qe la línea de fera tiene la propiedad de ser tangente en cada pnto al vector campo qe eiste en dicho pnto, s sentido es el de dicho vector campo. Para qe las líneas de fera indiqen en cada pnto el módlo, además de la dirección sentido del vector campo, se conviene en dibjarlas de la sigiente forma: En cada pnto se toma na peqeña sperficie de área da, perpendiclar a la dirección del vector en dicho pnto, se dibjan, a partir de los pntos de dicha sperficie n número de líneas de fera, dn, niformemente distribidas, igal al prodcto del módlo del vector por el área da del elemento de sperficie. De esta forma qeda determinado el módlo del vector en dicho pnto, por la densidad, De forma qe en aqellas regiones en las qe las líneas de fera estén más próimas entre sí el módlo del vector campo tendrá n maor valor. Y por el contrario, el módlo será menor en aqellas regiones donde las líneas de fera estén más separadas Derivada direccional de n campo escalar La derivada direccional de n campo escalar, fnción de varias variables, se define como la relación entre la variación de dicha fnción escalar el desplaamiento en na determinada dirección. La derivada direccional de na fnción escalar se epresa normalmente por: donde dl representa el módlo de n desplaamiento vectorial infinitesimal dl en na dirección sentido determinados Gradiente de n campo escalar El gradiente de na fnción escalar en n pnto se define como n vector cas características son: módlo: es el valor máimo de la derivada direccional en dicho pnto. dirección: la de la máima derivada direccional en dicho pnto. sentido: dirigido hacia los valores crecientes del campo escalar. onsideremos dos sperficies de nivel de n campo escalar, infinitamente próimas, correspondientes a los valores +d. amos a jstificar qe la definición del vector gradiente implica qe s grad dirección en cada pnto del espacio es la de la normal a la sperficie de nivel qe pasa por dicho pnto, estando s sentido dirigido hacia los valores crecientes del campo escalar. P dl n dl FIG P +d dn da d dl i a partir de n pnto P, perteneciente a la sperficie de nivel, pasamos a n pnto P de la sperficie de nivel +d, la variación de es, evidentemente, d. Esta variación es la misma calesqiera qe sean dichos pntos; por tanto, el nmerador de las distintas derivadas direccionales qe se peden considerar a partir del pnto P es el mismo para todas ellas. Por consigiente, será máima la derivada direccional co denominador sea el de menor longitd; en este caso dl n. [] [2]

3 Física para iencias e Ingeniería ÁLGEBRA ETORIAL 3 Esta longitd es el módlo del vector desplaamiento ca dirección es, evidentemente, la de la normal a la sperficie de nivel en el pnto P. De la definición del vector gradiente se dedce qe s módlo es, pes, grad = d [3] dl n i a partir del pnto P se considera n desplaamiento dl qe forma con la normal n ánglo, se verifica qe, dl n = dl cos sstitendo en [3], grad = d = d 4] dl n dl cos de donde, qe se pede epresar como, Operador nabla d = grad dl cos d = grad dl on objeto de simplificar la notación en las relaciones del álgebra vectorial, se define n operador vectorial qe se representa por el símbolo,, denominado operador nabla, de forma qe: d = dl [7] La anterior epresión, [7], se pede considerar como la definición general de, a qe es independiente del sistema de coordenadas qe se tilice. Ha qe hacer notar qe en la maoría de los manales tetos de campos electromagnéticos, la epresión representa el vector gradiente, anqe no apareca indicado epresamente s carácter vectorial por medio de la flecha qe normalmente se tilia para indicar esta característica de na magnitd física. A partir de la relación [5] se pede obtener la sigiente epresión de la derivada direccional: d = grad cos = cos dl qe, a s ve, si se introdce el vector nitario dl se pede epresar en la forma, dl d = dl dl dl Gradiente de n magnitd escalar en coordenadas cartesianas Una magnitd escalar se modifica, en general, de n pnto a otro, la variación qe eperimenta al pasar del pnto (,, ) al (+d, +d, +d) es d = d + d + d d d d Esta epresión se pede considerar como el prodcto de los vectores i + j + k d d d dl = d i +d j +d k de modo qe podemos conocer la variación de la magnitd escalar en todo el campo si conocemos el vector definido por la relación [0]. El vector gradiente de na magnitd escalar en coordenadas cartesianas es n vector cas componentes son las derivadas de na magnitd escalar respecto a las coordenadas respectivas se define como grad = d i + d j + d [5] [6] [8] [9] [0] [] k [2]

4 4 ÁLGEBRA ETORIAL aletos Física para iencias e Ingeniería De modo qe el operador nabla en coordenadas cartesianas se representa por: = i + j + k [3] d d d qe indica na operación a realiar con la magnitd a la qe se apliqe. En este caso, indica la derivada parcial de na magnitd respecto a la coordenada correspondiente Fljo de n vector = grad = d i + d j + d e llama fljo de n vector E a través de n elemento de sperficie ds a la epresión dφ = E.d a = E. n da = E da cosθ siendo da n vector co módlo es igal al área del elemento de sperficie; s dirección es la de la normal a dicho elemento n, n vector nitario asimismo normal al elemento de sperficie. El sentido de los vectores da n es, en principio, arbitrario. i el elemento pertenece a na sperficie qe encierra n volmen, dichos vectores se toman en el sentido de la normal hacia el eterior del volmen encerrado por la sperficie. i la sperficie es finita, el fljo tiene por epresión: Φ = E da = E n da = E da cosθ [6] i la sperficie es cerrada, es decir, si encierra n determinado volmen: Φ = E da = E n da = E da cosθ siendo ahora el sentido de los vectores da n hacia afera del volmen encerrado por la sperficie Divergencia de n vector e pede hallar na epresión m útil del fljo de n vector a través de na sperficie cerrada si se divide el volmen encerrado por dicha sperficie en paralelepípedos elementales, por medio de tres series de planos infinitamente próimos paralelos a los coordenados. El fljo es igal a la sma de los fljos a través de la sperficie de cada paralelepípedo, pes calqier cara interior al volmen pertenece a dos paralelepípedos consectivos,, en consecencia, el fljo a través de ella interviene dos veces con signos opestos, a qe no de ellos es entrante, el otro, saliente, qedando solamente los fljos a través de las caras qe forman la sperficie. X Z O A D FIG. 2-3 E H B F G Y igiendo el mismo raonamiento, el fljo a través de la cara opesta EFGH, es, teniendo en centa el cambio de sentido de la normal, E E 2 d d d d Procediendo de la misma forma para los otros dos pares de caras smando todas las epresiones, se obtiene para el fljo total a través del paralelepípedo de volmen dv = d.d.d k i consideramos no de los paralelepípedos de aristas d, d, d, el fljo, por ejemplo, a través de la cara ABD paralela al plano YZ es igal al prodcto de la componente E del vector E por el área dd de dicha cara. i en el centro del paralelepípedo el vector es E, s componente E en el centro de la cara ABD es E + E 2 d d el fljo a través de ella E + E 2 d d d d [4] [5] [7]

5 Física para iencias e Ingeniería ÁLGEBRA ETORIAL 5 dφ = E d + E d + E d d d d La epresión entre corchetes se denomina, divergencia del vector E según [2.5] dive = E d + E d + E d = E [8] [9] es decir, s epresión es el prodcto escalar del operador nabla por el vector. El fljo a través de la sperficie será igal la sma de las epresiones [8] etendida a todo el volmen encerrado por dicha sperficie: teniendo en centa [9], siendo Φ = el volmen del paralelepípedo elemental. dφ = E d + E d + E d dd [20] d Φ = dφ = div E dv = E dv [2] dv = d.d.d i na sperficie es cerrada, la divergencia de n vector E se define como el fljo por nidad de volmen encerrado por dicha sperficie, en el caso límite de qe dicho volmen tienda a cero: dive = lim v 0 v E n da onviene resaltar qe la divergencia de n vector es na magnitd escalar. La definición anterior [22], es independiente del sistema de coordenadas qe se tilice sirve, por tanto, para calclar la epresión del operador divergencia en calqier sistema de coordenadas sin más qe desarrollar en cada caso el segndo miembro Teorema de la divergencia [22] De las relaciones [7] [2] se obtiene: E.da = E dv [23] Operador laplaciana i el vector E deriva de n potencial, es decir, si el vector se pede epresar a partir de na fnción escalar, por medio de la relación E = grad = [24] entonces la divergencia del vector en coordenadas cartesianas es, dive = div grad = ( ) = = i + j + k d d d d La epresión i + d j + d k = 2 d d + 2 [25] 2 d 2 2 d d + 2 [26] 2 d 2 se representa simbólicamente introdciendo el operador denominado laplaciana, qe indica qe ha qe calclar las derivadas parciales segndas de la magnitd a la qe se apliqe respecto a la coordenada correspondiente. El operador laplaciana se pede aplicar igalmente a n vector en ese caso representa n vector cas componentes son las laplacianas de las componentes del vector: ΔE = i ΔE + j ΔE + k ΔE [27]

6 6 ÁLGEBRA ETORIAL aletos Física para iencias e Ingeniería 7.2- irclación de n vector e denomina circlación elemental de n vector a lo largo de n elemento de longitd dl a la epresión, d = E dl = E dl cosθ [28] i la longitd es finita: = i f E dl = i f E dl cosθ i la circlación se calcla a lo largo de la longitd correspondiente a na crva cerrada qe encierra na sperficie : = E dl = E dl cosθ [30] L amos a calclar la circlación de n vector a lo largo de n rectánglo de lados d, d, paralelos a los ejes OY OZ, contenido en el plano YZ, sigiendo el sentido ABD. i en el centro del rectánglo el vector es E, la circlación es X Z O D A ds FIG. 2-4 a lo largo de DA B La circlación total es Y a lo largo de AB a lo largo de B a lo largo de D E + E 2 d d E E 2 d d E E dd igiendo el mismo raonamiento, si el rectánglo estviera sitado en el plano XY o en el XZ las circlaciones serían Rotacional de n vector L E E 2 d d E E 2 d d E E d d o E E d d e define el rotacional de n vector E, como límite del fljo por nidad de volmen, a través de na sperficie cerrada, del prodcto vectorial n E, siendo n n vector nitario dirigido hacia afera del volmen encerrado por la sperficies, cando dicho volmen tiende a cero. rot E = E = lim Δv 0 e pede demostrar qe la definición [3] es eqivalente a: n E = lim 0 [29] n E ds [3] Δv E dl [32] L

7 Física para iencias e Ingeniería ÁLGEBRA ETORIAL 7 Es decir: La componente de E en la dirección del vector nitario n es el límite de la circlación del vector E a lo largo de n crva cerrada L, por nidad de sperficie encerrada, cando dicha sperficie tiende a cero, siendo el vector nitario, normal a la sperficie. Las definiciones anteriores del rotacional de n vector son independientes del sistema de coordenadas qe se tilice sirven, por tanto, para calclar la epresión del rotacional en calqier sistema de coordenadas Teorema de tokes onsideremos ahora na crva cerrada [Fig. 2.5], sitada en na región del espacio en el qe eiste n campo vectorial. Imaginemos na sperficie calqiera limitada por dicha crva dividimos esa sperficie en rectánglos infinitesimales por intersección de dos series de planos infinitamente próimos perpendiclares entre sí. FIG. 2-5 La circlación a lo largo de la crva es, evidentemente, la sma de las circlaciones a lo largo de cada no de los infinitos rectánglos elementales recorridos en el mismo sentido qe la crva, pes cada lado de cada rectánglo es recorrido dos veces en sentidos contrarios qeda como resltado de dicha sma la circlación a lo largo de los lados eteriores qe forman la periferia o contorno de la crva. Por tanto, según lo indicado anteriormente, E dl = rot E ds = E ds [33] relación qe epresa el llamado teorema de tokes, según el cal La circlación de n vector a lo largo de na crva cerrada es igal al fljo del rotacional de dicho vector a través de na sperficie calqiera limitada por la crva. i el vector E deriva de n potencial, es decir, si el vector se pede epresar a partir de na fnción escalar, por medio de la relación E = grad = [34] el rotacional del vector es E dl = rot E ds = E por consigiente, na calqiera de ss componentes, por ejemplo la componente es ( ) = 2 2 = 0 otro tanto ocrre con las otras componentes, de modo qe, rot ds grad = = 0 [35] De forma análoga, es fácil comprobar qe div rot E = E = 0 [36] Relaciones importantes de álgebra vectorial a) i se aplica el rotacional a n vector, qe es a s ve, el rotacional de otro vector, entonces 2 rot rote = rot E = ( E) teniendo en centa la propiedad del doble prodcto vectorial 2 rot rote = rot E = ( E) = E ( )E = grad dive ( )E = grad dive 2 E [37]

8 8 ÁLGEBRA ETORIAL aletos Física para iencias e Ingeniería Desarrollando el último término ( )E = 2 E d 2 sstitendo en [37] qeda + 2 E d E i + 2 E d 2 d 2 rot rote 2 = rot E + 2 E d 2 + = grad 2 E d 2 j + 2 E d 2 dive ΔE + 2 E d E k = ΔE d 2 [38] b) i calclamos la divergencia del prodcto vectorial de dos vectores desarrollando, ordenando términos se obtiene div ( a b ) = (a b a b )+ (a b a b )+ (a b a b ) div ( a b a ) =b a +b a a +b a a a b b +a b b +a b b teniendo en centa la epresión del rotacional de n vector, qeda c) En algnos casos es útil transformar na integral del tipo dl grad div ( a b ) = b a b rot a rot [39] etendida a na crva cerrada, siendo na fnción qe cmple con la condición Δ = 0, en na integral de sperficie. Para ello, si consideramos la componente del prodcto vectorial del integrando (dl grad ) = d d = a dl siendo el vector a haciendo so del teorema de tokes (dl grad a = 0i + j k d d ) = = según la condición impesta a la fnción, qeda (dl grad ) = a dl 2 ds ds + 2 ds = (grad ds) Para las componentes, se peden escribir relaciones análogas, de modo qe reslta finalmente dl grad = grad (grad ds) [40] d) Para conclir este grpo de relaciones vamos a analiar dos transformaciones qe se dedcen directamente del teorema de Green. onsideremos el vector a = b siendo na fnción escalar. i calclamos la divergencia de dicho vector

9 Física para iencias e Ingeniería ÁLGEBRA ETORIAL 9 div a = div ( b ) = b d + b d + b d +b d +b d +b d recordando las definiciones de gradiente de na magnitd escalar, de la divergencia de n vector, reslta div a = div ( b ) = div b + b grad aplicando el teorema de Green ( b ) ds = ( div b + b grad )dv = div b dv + b grad dv e) pongamos n vector definido por la epresión a =U grad siendo U dos fnciones escalares. i consideramos el prodcto escalar a ds =(U grad ) ds donde n ( b ) ds = div b dv + b grad dv [4] =U n ds representa la derivada respecto a la normal al elemento de sperficie, calclamos la divergencia div a = div (U grad ) = U + U + U div a = div (U grad ) = gradu grad +U Δ i ahora aplicamos el teorema de Green [2.0] al vector a a a ds = (gradu grad +U Δ )dv = (gradu grad dv +U Δ + U Δ dv +U qe, teniendo en centa la definición de gradiente el prodcto escalar de dos vectores, qeda si escribimos esta última relación permtando entre sí las fnciones U, restamos las dos ecaciones obtenemos el denominado lema de Green. (U Δ ΔU )dv = (U U n n )dv [42]

10 0 ÁLGEBRA ETORIAL aletos Física para iencias e Ingeniería Relaciones diferenciales Gradiente Divergencia Rotacional (Φ + Ψ) = Φ+ Ψ [43] (Φ Ψ) = Φ Ψ + Ψ Φ [44] ( F G) =( F ) G +( G ) F + F ( G)+ G ( F) [45] f(φ) = df Φ [46] dφ ( F + G) = F + G [47] (Φ F) = Φ( F)+ F( Φ) [48] ( F G) = G( F) F( G) [49] ( F) = 0 [50] ( Φ) = 2 Φ = ΔΦ [5] ( F + G) = F + G [52] (Φ F) = Φ( F)+( Φ) F [53] ( F G) = F ( G) G( F)+( G ) F ( F ) G [54] ( F) = ( F) 2 F [55] ( Φ) = 0 [56] Laplaciana 2 (Φ Ψ) = Φ 2 Ψ + 2( Φ)( Ψ)+ Ψ 2 Φ [57] 2 (ΦF) = Φ 2 F + 2 ( Φ) F + F 2 Φ [58] Relaciones integrales más sadas Teorema de la divergencia (Gass) relaciones integrales asociadas ea na sperficie cerrada el volmen qe contiene ds = n ds n vector normal a la sperficie dirigido hacia afera F n campo vectorial Φ n campo escalar F ds = F nds = F dv [59] F ds = F dv [60] Φds = Φ dv [6] F (G ds) F ( G)dv + ( G ) F dv [62] =

11 Física para iencias e Ingeniería ÁLGEBRA ETORIAL Identidades de Green qe se derivan del teorema de la divergencia ª Identidad 2ª Identidad 3ª Identidad Φ 2 Ψ +( Φ)( Ψ) dv = (Φ Ψ)ds [63] (Φ 2 Ψ Ψ 2 Φ) dv = (Φ Ψ Ψ Φ)ds [64] Φ( r ) = 4π 2 Φ( r ') r r dv '+ ' 4π r r Φ ' n ' Φ Φ n ' r r ' d s ' [65] Teorema de tokes relaciones integrales asociadas ea na traectoria cerrada n sperficie abierta limitada por ds = n ds n vector normal a la sperficie co sentido es el de la circlación a lo largo de. F dl = ( F) ds [66] L F dl = (ds ) F) [67] L Φdl = ( Φ) ds [68] L Teorema de Helmholt El teorema de Helmholt establece qé información se reqiere para calclar n campo vectorial. Básicamente, la respesta es qe i se conocen la divergencia el rotacional de n campo vectorial en todos los pntos de na región finita, se pede calclar el campo vectorial nívocamente. onsidérese n campo vectorial: F = F(,,) = F(r ), spóngase qe las fnciones F =b (r ) F =c (r ) están dadas para todos los pntos de n volmen finito, es decir, son fnciones conocidas de la posición. Entonces, si se definen las fnciones: Φ( r ) = 4π A( r ) = 4π b( r ') r r ' dv ' = F 4π r r ' dv ' [69] c( r ') r r ' dv ' = F 4π r r ' dv ' [70] el teorema indica qe se pede encontrar F a partir de F = F ( r ) = Φ( r )+ A( r ) [7] En estas epresiones, el pnto definido por el vector de posición r, en el qe se calcla, F, recibe el nombre de pnto de campo, mientras qe el pnto definido por el vector de posición r ', en el qe se encentran las fentes, recibe el nombre de pnto fente. dv ' es n elemento de volmen en la posición de n pnto fente.

12 2 ÁLGEBRA ETORIAL aletos Física para iencias e Ingeniería Dado qe F pede hallarse a partir de estas epresiones reciben el nombre de fentes de campo. Es decir, aqellos pntos en los qe, reciben el nombre de fentes escalares del campo. Y aqellos en los qe, reciben el nombre de fentes vectoriales del campo i ha fentes en el infinito, es decir, si todas ellas no están contenidas en n volmen finito, este teorema no es válido a menos qe se inclan ciertas integrales de sperficie qe involcran a F. Tales sitaciones deben resolverse por métodos especiales. F = b(r ) F = c(r ) [72] F = b (r ) 0 F = c (r ) 0 Al conjnto completo de las ecaciones fente de los campos eléctrico magnético se le da el nombre de Ecaciones de Mawell constiten la descripción fndamental del campo electromagnético. omentarios Este teorema establece qe se pede conocer n campo vectorial F conociendo solamente s divergencia s rotacional. El interés estriba en qe habitalmente F 0, ó F 0 sólo en nos pocos pntos del espacio aún así se pede obtener F en todo el espacio. La elección del potencial escalar Φ del vector potencial A no es única ha otras solciones, además de la qe nos proporcione el teorema, para n campo dado F. ería conveniente, no obstante, pntaliar algo más acerca del significado de las fentes escalares vectoriales. El término fente sgiere, evidentemente, la idea de origen o nacimiento de algo. En consecencia, las condiciónes F = 0 F = 0 en n cierto volmen pede llevar al raonamiento falso de qe al no haber fentes, no eistirá el campo F, o lo qe es igal, será nlo en dicho volmen. Esto pede constitir n serio contratiempo a la hora de interpretar los resltados de ciertos problemas tanto teóricos como prácticos oordenadas cartesianas o rectanglares Gradiente de na magnitd escalar = Laplaciana de na magnitd escalar Divergencia de n vector Rotacional de n vector Laplaciana de n vector 2 E = 2 E [75] 2 = [76] E = E + E + E E = E E + E E + E E [78] + 2 E E E E E E E 2 [73] [74] [77] + 2 E 2 [79]

13 Física para iencias e Ingeniería ÁLGEBRA ETORIAL oordenadas cilíndricas o circlares Gradiente de na magnitd escalar = r Laplaciana de na magnitd escalar 2 = r r r + r + [80] (r r )+ r [8] Divergencia de n vector Rotacional de n vector Laplaciana de n vector E = r r (r E )+ r r E + E E = E r E r + E r E r + r r (r E ) E r [83] 2 E = 2 E r 2 E r 2 E r r 2 r + 2 E + 2 E r r 2 E r E [84] [82] oordenadas esféricas Gradiente de na magnitd escalar = r Laplaciana de na magnitd escalar 2 = r 2 r + r θ θ + [85] r senθ r (r 2 r )+ 2 r 2 sen 2 θ + (senθ 2 r 2 sen 2 θ θ θ ) [86] Divergencia de n vector Rotacional de n vector E = r 2 r (r 2 E r )+ r senθ θ (E θ senθ)+ r senθ E [87] E = r senθ θ (E senθ) E θ r + E r r senθ r (r E ) θ + r r (r E ) E r θ θ [88]