1.2 TÉCNICAS DE LA DERIVACIÓN.

Transcripción

1 . TÉCNICAS DE LA DERIVACIÓN... DERIVACIÓN DE FUNCIONES ALGEBRAICAS Generalmente la derivación se lleva acabo aplicando fórmlas obtenidas mediante la regla general de la derivación y qe calclaremos a continación, de estas podemos derivar las fnciones algebraicas, trascendentales, scesivas y combinadas. ) DERIVADA DE UNA CONSTANTE. Emplearemos el método de los catro pasos. Si y f () c siendo c na constante a) Evalamos f en +h, al incrementar, la constante no cambia y, por lo tanto tampoco cambia y, entonces f (+h) c. b) Restamos f(). f (+h) f() c c 0 c) Dividimos por h. f( + h) f() 0 0 h h d) Obtenemos el límite cando h 0 lim 0 0 h 0 Resmiendo. Si y c entonces y 0 La derivada de na constante es igal a cero Ejemplo. La derivada de y, es y 0 La derivada de y 5/7, es y 0 La derivada de y, es y 0 Si y 8, entonces y 0 Si y /, entonces y 0 0

2 ) DERIVADA DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE.(FUNCIÓN IDENTICA O IDENTIDAD) Sea y f() sigiendo la regla general o de los catro pasos: a) y + y y + h b) y y h c) y y / h h / h Entonces: y y d) lim lim h 0 h h 0 Si y entonces y La derivada de la variable independiente o con respecto a ella misma, es igal la nidad La derivada de la variable independiente o con respecto a ella misma, es igal la nidad ) DERIVADA DEL PRODUCTO DE UNA CONSTANTE POR LA VARIABLE INDEPENDIENTE. Sea la fnción y c, por ejemplo y 5 Entonces la derivada de y 5, es y 5 Si y 5 /, entonces y 5/ Si y c entonces y c La derivada del prodcto de na constante por la variable independiente es igal a la constante Por regla general: a) y y y c( + h) + b) y y c + ch c ch y c) y ch c h h y y d) lim limc c h 0 h h 0

3 ) LA DERIVADA DE SUMA DE FUNCIONES Si y + v + w en donde y f(), f(), v f(), w f() Entonces y + v + w, Siempre qe, v, w sean diferenciables Ejemplo. Si y ( + 5), entonces y ' ( + 5) ( ) + (5) y + v + w La derivada de la sma algebraica de n número finito de fnciones es igal a la sma algebraica de las derivadas de las fnciones ACTIVIDAD DE REGULACIÓN Empleando la forma general compreba la fórmla para la derivada de la sma de las fnciones, 5) DERIVADA DE PRODUCTOS Y COCIENTES. En esta sección, enfocaremos los dos más importantes teoremas qe representan técnicas útiles cando se reqiere derivar fnciones complicadas. TEOREMA REGLA DEL PRODUCTO Si () y v() son dos fnciones de diferenciables, entonces la derivada de s prodcto es: (v ) v + v La derivada del prodcto de dos fnciones es igal a la primera fnción por la derivada de la segnda más la segnda fnción por la derivada de la primera.

4 Ejemplo. Calcla y si y (5 )( ) Solción. La fnción dada pede escribirse como n prodcto y v Si hacemos 5 y v Aplicando la regla del prodcto y sstityendo en la definición del teorema obtenemos, v' + v' (5 )(6 + 8) + ( )(0 ) Desarrollando y simplificando operaciones obtenemos, Si observamos el ejemplo anterior, en realidad no necesitamos la regla del prodcto a fin de calclar la derivada de la fnción dada. Se pede calclar la primera derivada, eliminando los prodctos del lado derecho y epresando a y como na sma de potencias de. y (5 ) ( ) y y 0(5 ) 6( ) + 0( ) () + 5() () y Ejemplo. Dada f(t) ( t + )( t + ), determine f (t) aplicando la regla del prodcto. t / + y v t + d d f (t) ( t / + ) ( t + ) + ( t + ) (t / + ) dt dt (t / ) (t) + (t + ) [(t) (t -/ /)] t / / / + t + t + t 5t / + t + t

5 La ecación de demanda del precio p epresa qe na cantidad de cierto artíclo pede venderse drante cierto periodo. En general podemos escribir p f (). El ingreso originado en la venta de este número de artíclos es R p. Donde R esta epresado como el prodcto de dos cantidades, el ingreso marginal, qe es la derivada de R con respecto a, pede obtenerse mediante la regla del prodcto. dr d p p() + d d ( ) + dp d d d p + ( p) dp d Ejemplo. Ingreso marginal Si la ecación de demanda es lineal, tenemos p a b en donde a y b son dos constantes positivas. Así, dp/d - b y el ingreso marginal es dr/d p + dp/d; dr/d a b + (-b) a b. Observemos qe el ingreso marginal en este ejemplo pede de hecho calclarse directamente R p (a b) a b R () a b. Algnas veces es útil hallar el ingreso marginal con respecto al precio. Considerando el ingreso R como na fnción del precio p; el ingreso marginal con respecto al precio se define con la derivada de dr/dp Representa el incremento en el ingreso por cada nidad de incremento en el precio por artíclo cando el precio sfre n peqeño incremento. Dado qe R p, cmple con la regla del prodcto. dr dp d d ( p) + p ( ) d d dr dp + d p dp La derivada de d /dp qe ocrre en esta ecación a mendo se denomina la derivada marginal con respecto al precio. Significa el incremento en la demanda por nidad de incremento en el precio por artíclo cando el precio sfre de n peqeño incremento.

6 Ejemplo. Considerando otra vez la ecación de la demanda lineal p a b, se tiene qe (a/b) (p/b) y así d/dp /b, por lo tanto, el ingreso marginal con respecto al precio es: dr dp + a b a b d p dp p + p( ) b b p b p b a p b b Una vez más, podríamos haber calclado dr/dp directamente derivando la fnción: R p (ap p ) / b TEOREMA. REGLA DEL COCIENTE. Si () y v() son dos fnciones diferenciables de, se tiene qe: v' v' ( ) v v La derivada del cociente de dos fnciones es igal al denominador por la derivada del nmerador menos el nmerador por la derivada del denominador todo dividido entre el cadrado del denominador. Ejemplo. Calcla y + + Aplicando la regla del cociente tenemos + y v + y ' ( + ) ' ( + ) ( ( + ) + ) v ' ( + ) y ' ( + ) () ( ) ( + 6 ) + 8 ( ) y ' ( + ) + 8 5

7 Ejemplo. Calcla y si + y + ( + ) y v ( + ) y ' ( + ) ' ( + ) ( + ) ( + ) v ' ( + ) y ' ( + ) () ( + ) () ( + ) + ( + ) y ' ( + ) Ejemplo. Calcla y si y + 7 y v ( + 7) ( + 7) y ' ' () () ( + 7) v ' ( + 7) 6 ( + 7) 6

8 ACTIVIDAD DE REGULACIÓN. Usando la regla del prodcto calcla las derivadas de las fnciones sigientes con respecto a la variable independiente respectiva. a) y ( + ) ( + ) f) g() ( + ) ( + ) b) (7 + ) ( ) g) f() ( + 7) ( ) c) f() ( y ) ( + ) h) ( y 5) y d) y ( + 6 ) ( ) i) g (t) t + 5t t t e) ( + 7) ( + + ) j) f() ( + ) ( + ) ( + ). Usando la regla del cociente calclar las derivadas de las fnciones con respecto a la variable independiente respectiva. a) f() t 7t t 5 f) y + b) t + g) y + 5t c) f (t) t h) g() d) f() + i) + e) y j) y ( t + ) 7

9 6) DERIVADA DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN. Si y c Entonces y 7 tiene como derivada la epresión: y (7 ) 7( ) 7() Si y c Entonces y c La derivada de na constante por na fnción es igal a la constante por la derivada de la fnción Ejemplos: 5 y y 5 5 y ' y ' () y ' y ' () y ' () y ' () 5 5 7) DERIVADA DE LA POTENCIA DE UNA FUNCIÓN DE LA FORMA y n Sea y n donde y f () n No. entero positivo o negativo. Si y s derivada es y Si y n Entonces y n n Cando el eponente es negativo: Si y n Entonces y ' n n La derivada de la fnción potencial de siendo s eponente n número entero positivo o negativo, es igal al prodcto del eponente n por la potencia disminida en la nidad 8

10 Ejemplos. Derivar: y 6 y y 6 6 y ( ) y y 6 ) 6 8) DERIVADA DE LA POTENCIA DE FUNCIONES Si n y Entonces y 5 ( + ) 5- y ( + ) y ' 5( + ) () 5( + 5 y ( + ) tiene como derivada: ) ( ) n n ' n La derivada de la potencia de na fnción es igal al prodcto del eponente por la fnción elevada a n grado menos y por la derivada de la fnción ACTIVIDAD DE REGULACIÓN Derivar las sigientes fnciones. a) y b) y c) y ( ) ( + ) d) y ( + ) 9

11 9) DERIVADA DE UNA FUNCIÓN ENTRE UNA CONSTANTE Sea y c en donde c es na constante + Ejemplo. Derivar y 8 Entonces y 8 donde + y y ' c ' c La derivada de la fnción entre na constante es igal a la derivada de entre la constante Esta fórmla también podemos citarla como n caso particlar de la derivada de na constante por na fnción. 0) DERIVADA DE LA RAIZ CUADRADA DE UNA FUNCIÓN. Derivar. y donde y Entonces y ' Porqe si y entonces y / y s derivada es y Si el radicando (lo qe está dentro del radical) es na variable, entonces la fnción es de la forma y y s derivada es: y ' La derivada de la raíz cadrada de na variable, es la derivada de la variable entre dos veces la raíz de la variable Ejemplo. Derivar la fnción y +, tilizando el eponente fraccionario y el eponente negativo. 0

12 y / + / / + / / y ( ) / + / y / / y ACTIVIDAD DE REGULACIÓN Obtén la derivada de las sigientes fnciones, aplicando la fórmla correspondiente a) f() 7 j) b) f() b + c k) f() f() ( + 8) c) + 8 f() l) f () d) f() ( ) m) e) f() ( + ) n) f) f() (a) o) f () 7 f() f () 9 5 g) f() ( + ) 5 p) h) f() q) f() f() i) f() r) f()

13 .. REGLA DE LA CADENA Las reglas de la derivación presentadas en las secciones anteriores se peden sar solamente para smar, restar prodctos y cocientes de epresiones de la forma donde n es n número entero. ( +) Es claro qe D ( +) Si cambiamos la forma de la epresión, entonces; 6 y ( + ) y D y , factorizando D y 6 ( + ) Por lo tanto Dy ( + ) 6 ( + ) Este desarrollo es my complicado para potencias mayores como por ejemplo ( +) entonces es conveniente tener métodos más sencillos para calclar la derivada. 0 El qe se sa en este caso parte de epresar na fnción de, recordando qe si f y g son fnciones tales qe: y f () () g() () Ahora bien si g () esta en el dominio de f entonces la podemos escribir y f() f [g()] es decir, y es na fnción de, esto último es la fnción compesta f ó g, podemos notar qe la epresión y ( +) pede epresarse de la manera sigiente. y y + Si se pdiera encontrar na regla general para derivar f [g()], entonces se podría aplicar a y ( +) como caso especial y también a calqier epresión de la forma y [f() n ] donde n debe ser n número entero. Para dar na idea de tipo de regla esperada regresemos a las ecaciones y y f(), g() qeremos encontrar na fórmla para la derivada dy/d de la fnción compesta dada por y f [g()]. Si f y g son derivables, entonces tilizando la notación de las diferenciables tenemos

14 dy d f '( ) y d d g'( ) Considerando como prodcto dy d d d y tratando las derivadas como cocientes diferenciables llegamos a la sigiente regla. dy d dy d d d f '() g '() notamos qe esta proporciona la derivada correcta de y ( +) escribiendo y y + y tilizando la regla tenemos: dy d dy d d d. ( )() 6( + ) No se ha demostrado la citada regla, se ha planteado el sigiente teorema en la qe se spone qe las variables se eligen de manera qe la fnción compesta f ó g, esta definida y qe si g tiene la derivada en entonces f tiene derivada en g(). REGLA DE LA CADENA. Si y f(), g(), y las derivadas dy/d y d/d eisten ambas, entonces la fnción compesta definida por y f [g()] tiene na derivada dada por: dy d dy d d d f '() g '() f ' [ g() ] g' () Ejemplos. Sea 5 y ( 7 + ) encontrar dy/d tilizando la regla de la cadena. dy dy d (5 )(6 7) 5( 7 + ) (6 7) d d d

15 Si y entonces y ( ) /, y / dy d dy d d d -/ ( ) ( / ) ( / ) ACTIVIDAD DE REGULACIÓN Usando la regla de la cadena, calcla las derivadas de las sigientes fnciones. a) g() ( + ) ( + ) b) f() ( + 7) ( ) c) y (t + ) + d) y e) f() +.. DERIVADAS SUCESIVAS O DE ORDEN SUPERIOR Si el movimiento de n objeto lo describimos por la ecación S t t para el tiempo en n intervalo de (0,0), si t esta dada en segndos y S en metros. Calcla la distancia recorrida, la velocidad y la aceleración para, a) t 6 seg, b) t seg, c) t seg, d) t seg.

16 ACTIVIDAD DE REGULACIÓN Contesta las sigientes pregntas con base al problema del movimiento de n objeto. Pedes resolverlo aplicando las derivadas scesivas? Qé calclarías primero, la velocidad, distancia, o aceleración? La primera derivada de f () qe representa? Si S f(t) qe representa esta fnción? La solción del problema anterior, es la sigiente. Si lo podemos resolver tilizando derivada de orden sperior o scesivas. Se calcla primero la distancia, despés la velocidad y por último la aceleración. La derivada f () nos representa, razón de cambio f() con respecto a. S f(t) nos representa el desplazamiento de algún móvil en línea recta. a) Tenemos qe calclar f (t), f `(t), f (t) siendo S f(t) S f(t) t t Para t 6 seg. Desplazamiento: f(6) (6) (6) mts Velocidad (primera derivada): f (t) t t f (6) (6) (6) 6 m/seg 5

17 Aceleración (segnda derivada): f (t) t f (6) (6) 0 m/seg Es decir en t 6 segndos el móvil recorrió 6m con na velocidad de m/seg y na aceleración de 0 m/seg. b) Debemos calclar f(), f (), f () f() () () mts f () () () 9 6 m/seg f () () 6 m/seg En t seg el móvil recorrió cero m, (empezó retrocediendo y en t había avanzado los qe había retrocedido. En t seg, s velocidad era de m/seg y s aceleración de m/seg. Reselve los incisos c y d Qé observas? Por último observamos qe si la gráfica de la fnción desplazamiento con respecto al tiempo tiene la forma: S () La velocidad es positiva y constante, lo qe implica qe la velocidad instantánea es la misma por cada instante y la aceleración es nla 0 t Cál es la gráfica para las otras fnciones? 6

18 ACTIVIDAD DE REGULACIÓN Ejercicios de aplicación. a) Sea f ( ) calcla f () b) Si f ( ) calclar f ( ) en c) Sea h( ) calclar f () Para los ejercicios del inciso d) al i) toma en centa qe na partícla se meve según la ecación. s t 6t, para t > 0 donde t esta en hrs. y s en km. d) Calcla la aceleración media en [,5] e) Calcla la aceleración instantánea en t 5 f) Calcla la aceleración instantánea en t g) A qe el valor t es igal a 0? h) En qe intervalo la velocidad es positiva? i) En qe intervalo la aceleración es positiva? La velocidad de n móvil se define como la derivada de na fnción. f' () lim h 0 f( + h) f() h Si el límite eiste entonces la segnda derivada de f, será: f"() lim h 0 f' ( + h) h f' () 7

19 Así como la primera derivada f () representa la razón de cambio de f() con respecto a, la segnda derivada nos da la razón de cambio f () con respecto a (). Recordando qe si S f(t) es na fnción qe representa el desplazamiento de algún móvil en la línea recta, entonces la velocidad instantánea v en t es, f ( t + h) lim h 0 h f ( t) si el límite eiste lo cal no es otra cosa qe la derivada f (t), es decir v f (t) o bien V (ds/dt) por lo tanto vez la razón de cambio de S f(t) con respecto a t ( o sea qe la velocidad instantánea V es la razón de cambio del desplazamiento del móvil con respecto al tiempo. Así la segnda derivada f de t con respecto a t será la razón de cambio de la velocidad y se llama aceleración, entonces se tiene qe: Aceleración V [ f '(t)] ' lim h 0 f ' '(t + h) h f ' '(t) Resmiendo tenemos qe si el movimiento de n objeto esta descrito por S como fnción del tiempo, entonces S es na fnción real de variable dada S f(t), la velocidad V del objeto estará dada por la fnción f (t) o bien ds/dt (si f es la variable) y la aceleración a será la fnción V f (t); En general la derivada de orden n se denota f ( n) o bien n d y n d Ejemplo. Si f(), entonces: f '( ) f ''( ) f ( ) f ( ) 5 f ( ) 0 n f ( ) 0 si n es entero y n > 5 8

20 ACTIVIDAD DE REGULACIÓN. Calcla f, f y f de cada na de las sigientes fnciones. a) f() 6 + b) f() + 6 c) f() a + b c + d. Encentra la velocidad y la aceleración de n objeto cya posición S en el tiempo t está dada por: a) S 6t + 6t b) S.9t + t +.. DERIVADA DE FUNCIONES IMPLÍCITAS. GENERALIDADES.- Las fnciones se peden epresar tanto en forma implícita como en forma eplícita. Ejemplo: La fnción y 5 esta epresada en forma eplicita, la misma epresión en forma implícita qeda y + 5. Hemos estdiado las fórmlas para derivar las fnciones eplícitas, pero scede a veces qe debemos derivar na fnción implícita por qe no es posible o reslta complicado despejar la y esto lo resolvemos con el método de derivación implícita qe constitye na aplicación de la derivación de na fnción de fnciones. PROCEDIMIENTO PARA DERIVAR UNA FUNCIÓN IMPLICITA. Derivamos término a término, tomando y como na fnción de, en la epresión resltante, despejamos dy/d como lo hacemos en la ecación. 9

21 En algnos casos retomamos las fórmlas. a) y (v) v +v La derivada de n prodcto b) y () n n() n La derivada de na fnción elevada a n eponente entero positivo c) d d v v ' v' v La derivada de n cociente y otras según lo estime el problema. Ejemplo. Derivar la fnción implícita + y 5 Solción: derivamos término a término con respecto a ( ) ( y ) y y '(5) 0 Sstityendo y ( + y 5) + y y 0 + y( y ). ecación () Despejamos y de. y y y El ejercicio anterior lo podemos epresar en forma eplícita y obtener s derivada. Continando con el ejemplo. Derivar + y 5 y 5 (5 ) / 5 ' Como y (5 5 ) / ( ) 5 5, entonces se sstitye en la derivada y se obtiene la epresión y y 50

22 Ejemplo. Derivar 5 + y y 0 En este caso anqe qisiéramos no es posible dar la epresión en forma eplícita por lo cal es necesario aplicar el procedimiento de la derivación implícita. Solción derivando término a término con respecto de. (5 ) 0 y '( y) + y y (y ) y (y ) Sstityendo, tenemos: y '(5 y + y ) 0 ( + y) + y 0 y y + y y Despejamos a y : + y y 0 ( + y) y 0 y y 0 y NOTA En general los resltados de los términos de las fnciones implícitas inclyen a y a y como en el ejemplo anterior. ACTIVIDAD DE REGULACIÓN Obtener la derivada de y con respecto a en las sigientes fnciones por el método de derivación implícita. a).5 + y sol. b) y y sol. c) 5y sol. 5 ó y y y y y ' ó 5y

23 d) 5 y sol. ó y e) y p p sol. y ' y ó f) 5 y 0 y sol. ó g) 5y y sol. 0y + h) y + y 0 y sol. y i) b a y a b b sol. a y j) 5y y sol. 0y + y ' p p 5 (5 )..5 DERIVADA DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Antes de entrar al campo de logaritmos es necesario hacer n recordatorio: a) Reglas fndamentales de los logaritmos de calqier base. log a A B log a A + log a B. log a A/B log a A log a B. log a A n n log a A. log a loga A a n n b) En las propiedades generales de los logaritmos, se indica, en todo sistema de logaritmos el logaritmo de base no. c) En ecaciones eponenciales; toda ecación qe contiene a la incógnita como eponente se llama ecación logarítmica. Ejemplo. log 5 ( ) + log 5 5

24 d) El nmero e ; se tiliza en las matemáticas para el estdio de diferentes fenómenos físicos, biológicos, económicos y sociales, es n nmero irracional qe se epresa e es decir, lim m + m m e NOTACIÓN log ln L para los natrales e log log a para los vlgares e) DERIVADA DE log a Sea y log a en donde f() como y >, están en fnción de, cando se incrementa, entonces y + y y,. + donde: I. y + y y log a ( + ) II. y y log a ( + ) log a Si observamos es de acerdo a la regla fndamental de logaritmos según el de a/ log a A/B log a A log a B Hacemos A + ) B ( de donde y y log a ( + ) al segndo miembro lo mltiplicaremos por y lo dividiremos entre, recordando qe para dividir podemos mltiplicar por el recíproco del divisor, y y log a ( + ) III. y y ( + ) log a h h 5

25 de acerdo a la regla de los logaritmos log a A n n log a A sabemos qe n log a A log a A n y y ( + ) log a h h log a ( + ) - h descomponemos: h y - y ( + ) - log a h h como límite lim - 0 ( + ) - e y lim h 0 y h log a e lim h 0 h de donde log a e ' loga e log a ' ecación () Ejemplo. Derivar y log y log ' ()( ) y ' log e log e log e 5

26 f) DERIVADA DE ln log se pede epresar como: log ln L e Sea log e En donde f() de la fórmla () e loga e log a ' si hacemos a e, qeda: log e log a e ' como en todo sistema de logaritmos, el logaritmo de la base es n log a. e de donde: log e ln ' ecación () Ejemplo. Derivar y ln (a + ) Donde a + y aplicando la formla a y (ln ) Sstityendo valores. a a + y a a + Derivar y ln(ln ) Aplicando la formla ln y y (ln(ln )). ln ln 55

27 g) DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL a sea y a en donde f() A la eponencial se le aplica logaritmos a los dos miembros de la ecación, ln y ln a y se deriva en forma implícita, desarrollamos el primer miembro con la fórmla () y el segndo miembro con la derivada de n prodcto. y a + ln a ' y ' ln a ' despejamos y y ln a y Como y a. Entonces: y (a ) a ln a ecación () Ejemplo. Derivar y 0 ( + 5 6) ' + 5 ( 5 6) ' 0 + y (ln0)( + 5) y ( + 5) 0 ( 5 6) ln 0 h) DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL e Sea y e en donde f() de la ecación () y (a ) a ln a hacemos a e qeda y (e ) e ln e Como en todo sistema de logaritmos, el logaritmo de la base es no, ln e Entonces: y (e ) e ecación () 56

28 Ejemplo. Derivar y e donde Por lo tanto aplicando la formla reslta y ' e ( ) e ACTIVIDAD DE REGULACIÓN Con base a los conceptos de fnciones logarítmicas y eponenciales, deriva las sigientes fnciones para reafirmar t conocimiento: a) y ln ( + b) b) y ln ( + b) c) y ln (a + ) d) y ln ( n ) sol. y sol. y sol. y sol. y n 6 + b 6 + b a a + e) y ln ( + 5) sol. y f) y log sol. y g) y ln sol. y 6( ) + 5 log e 6 ( + ) h) y ln sol. y i) y ln sol. y + ln j) y e sol. y e 57

29 ..6 DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DIRECTAS Y RECÍPROCAS a) DERIVADA DE LA FUNCIÓN SENO Derivar: y sen ( ) y cos ( ) y ( ) cos ( ) y sen ( ) Donde y 6 y cos cos ( ) (6) 6 cos ( ) y sen Donde y (sen ) y sen y (sen ) sen cos sen NOTA. Por la identidad trigonométrica se tiene qe sen sen cos Entonces y (sen ) cos Derivada de la fnción seno Empleando la regla de los pasos encontrar la derivada de sen. b) DERIVADA DE LA FUNCIÓN COSENO Derivar: y cos y cos( ),, ' 6 y sen sen () y sen sen ( ) (6 ) y sen y (6 ) sen ( ) Entonces y (cos ) sen Derivada de la fnción coseno 58

30 c) DERIVADA DE LA FUNCIÓN TANGENTE Derivar: y tan y sec () y sec y tan Donde y tan ( / ) / y ( tan ) d(tan ) d Con ; / y ( tan ) sec () y sec / ( tan ) Entonces y (tan ) sec Derivada de la fnción tangente Empleando el método de los pasos encontrar la derivada de tan. d) DERIVADA DE LA FUNCIÓN COTANGENTE Derivar: y cot Donde y ( csc ), y csc 59

31 f ( ) cot. 7 Donde 7, 7 7 y ( csc 7)(7) y csc 7 Entonces y (cot ) csc Derivada de la fnción cotangente e) DERIVADA DE LA FUNCIÓN SECANTE sec cos y cos Si tenemos presente qe ( ) tan sen cos y sea y sec en donde f() como sec (cos ) y sec (cos ) entonces y (cos ) Derivamos aplicando: ( n ) n ' n y ( cos ) sen (cos ) (sen ) ' sen y ' cos cos cos ( cos ) ' Sstityendo los cocientes por las identidades trigonométricas, se tiene: y tan sec Entonces y (sec ) sec tan La derivada de la fnción secante 60

32 Derivar: f ( ) 7sec y 7(sec tan ) y 7 sec tan, ' f() sec, y sec tan () y sec tan f) DERIVADA DE LA FUNCIÓN COSECANTE Derivar: y csc, y ( csc cot ) () y csc cot y csc, ( ) y csc cot y csc cot ( ) ( ) 6

33 Entonces y (csc ) csc cot La derivada de la fnción cosecante NOTA La fnción cosecante se obtiene en forma análoga a la secante, realiza ese procedimiento para obtenerla. ACTIVIDAD DE REGULACIÓN.- Obtener la fórmla de la derivada de la fnción coseno..- Obtener la fórmla para la derivada de la fnción cotangente.- Derivar las sigientes fnciones trigonométricas f ( ) tan f ( ) sec f ( ) sen f ( ) cos / f ( ) sen / f ( ) sen, f ( ) sen( ) ) f ( ) tan( ) + f () sec 6

34 ..7 DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS FUNCIÓN INVERSA. ) Se llama fnción inversa de y f() a la qe se obtiene despejando. y 7 Ejemplo: Fnción inversa de y + 7 es La inversa de sen es arc sen y, qe se lee, ánglo cyo seno es y. Si consideramos el arco en vez del ánglo se sa la notación, arc sen y; qe se lee, igal a n arco cyo seno es y perpendiclar, con y, en la epresión anterior qeda, y arc sen qe es la fnción inversa del sen Algnos atores escriben la epresión y arc sen en la forma sigiente: y sen qe se lee; el seno inverso de, lo cal, es lo más sal en nestro medio por qe sen, así escrito podría leerse como (sen ) con eponente. En nestro estdio saremos las epresiones en qe se consideran el arco y ánglo. Las fnciones trigonométricas inversas son mltiformes, es decir qe a cada valor de la variable independiente le corresponde dos o más valores a la fnción. ) Gráficas de las fnciones trigonométricas inversas. Recordando de nestro crso de trigonometría, el procedimiento tilizando para constrir las gráficas de las fnciones trigonométricas directas, es el mismo para las inversas, tilizando para ambas n sistema de coordenadas rectanglares. Para las inversas el valor de las razones se indican sobre el eje horizontal de la, los ánglos correspondientes se dan sobre el eje vertical. Así la gráfica de la fnción trigonométrica inversa del seno y qe ilstra observamos. a. La crva podemos etenderla independientemente hacia arriba y hacia abajo. b. Si trazamos na perpendiclar sobre el eje de las, por ejemplo en el pnto 0.5 le corresponde los ánglos de 0 y 50 y todos los ánglos qe se obtengan smando o restando a estos 60, tales como 90, 50,... etc. c. El valor de seno esta definido para calqier valor de anqe con objeto de evitar confsiones al referirnos a na determinada parte de las fnciones trigonométricas inversas, se definen para cada na de ellas n arco qe se le llama arco qe se le llama arco principal en el caso del seno esta representado en la figra como n trazo mas greso, se epresa. 6

35 FUNCIÓN RAMA PRINCIPAL y arc sen π / < y < π / 90 < y < 90 Para las demás fnciones se tiene: y arc cos y arc tan y arc cot y arc sec y arc csc y 0 < y < π 0 < y < 80 π π < y < 90 < y < 90 π π < y < π π < y < 80 < y < 90 π 0 < y < 0 < y < 90 π π < y < 80 < y < 90 π 0 < y < 6

36 Para las derivadas de las fnciones trigonométricas inversas, inicialmente vamos a demostrar qe: senα lim α 0 α Este límite no se pede obtener con las reglas de los límites, para calclarlo tilizamos algnas propiedades de la geometría y de la trigonometría. B T AoB ˆ ; BQ.. L. OA;.. TA.. TAN comparando..las..longitdes BQ < AB < AT ( ) 0 α A Dividiendo()entre.. OA BQ < AB < AT ( ) OA OA OA Por ser radios del mismo circlo. OA BQ OBentonces OA BQ OB Como BQ BQ BQ senα sstityen do. senα OB OA OB () AB ya se indica qe α valor natral del ánglo () OA AT OA tanα qeda,sen (5) sstityendo en la igaldad.() los valores obtenidos en (), () y (5) sen α < α < tanα (6) y dividiendo la igaldad (6) entre senα recordamos qe senα senα α tan α entonces < < cosα senα senα senα cosα senα ; entonces; α < < sen α cosα (7) 65

37 como na desigaldad cambia de sentido al tomar los recíprocos, los tomamos senα > > cos α si tomamos el límite cando α 0 qeda... α senα > lim > lim cosα α 0 α α 0 comolimcosα tenemos α 0 senα > lim > es decir α 0 α lim α 0 senα α a) DERIVADA DE LA FUNCIÓN ARCO SENO Derivar y arc sen5 5 ' 0 y 0 0 ( 5) 5 y ' arc sen ( ) ' ( ) y Entonces arc sen ' La derivada de la fnción inversa de arc sen Si tenemos presente qe sen + cos y, entonces cos y sen y; sea y arc sen, de donde f() y escribiendo el inverso del arco sen, se obtiene sen y, la cal al derivarla como na fnción implícita. sen y 66

38 cos y y despejamos y ' cos y ' () como sen y + cos y entonces la derivada de la fnción arco seno. cos y sen y sstityendo en () ' () sen y como sen y, elevando al cadrado los dos miembros sen y, sstityendo en y arc sen ' b) DERIVADA DE LA FUNCIÓN ARCO COSENO Derivar y arc.cos y / /, / / ' ( / ) / y y arc cos y /, / / / ( / ) 9 /

39 y 9 Entonces y (arc cos ) ' La derivada de la fnción inversa arco coseno De la forma análoga a la de arco sen encentre la forma de arc coseno. c) DERIVADA DE LA FUNCIÓN ARCO TANGENTE Derivar y arc tan, 6 6 y + ( ) Derivar y arc tan ' + / ( ) ( + ) Entonces y arc tan ' + La derivada de la fnción inversa arco tangente Teniendo presente qe: sec y tan y y sec y + tan y, sea y arc tan en donde f(), escribiendo el inverso del arc tan, el cal es tan y, derivando como implícita: y tan y ; sec y y 68

40 despejando sec y () y entonces sec y + tan y sstityendo en () ' + tan y () y como tan y, entonces elevando al cadrado los miembros, reslta tan y y sstityendo en () obtenemos la fnción inversa tangente. arc tan + d) DERIVADA DE LA FUNCIÓN ARCO COTANGENTE Derivar y arccot con ; / + / + ( + ) + Derivar arc cot con ) y + + y + + ( ) ( ) + + ( + ; ( ) + () + 69

41 Entonces y arc cot ' + La derivada de la fnción inversa arco cotangente De la forma análoga a la tangente inversa, encentra la formla para la derivada de arc cot. e) DERIVADA DE LA FUNCIÓN ARCO SECANTE Derivar: y arc sec ( + ) con + ; y ( + ) ( + ) ( ) Derivar: y arc sec y ' ( ) Entonces y arc sec ' La derivada de la fnción arco secante Si sabemos qe sec y tan y entonces tan y sec y y tan y sec y. Sea y arc sec donde f(), si escribimos el inverso de arc sec, entonces : sec y derivando como implícita. y sec y ; sec y tan y y despejando y ' sec y tan y () 70

42 como tan y sec y y tan y sec y sstityendo () y sec y sec y () y si sec y entonces elevando al cadrado los dos miembros sec y en () sstityendo y arc sec ' f) DERIVADA DE LA FUNCIÓN ARCO COSECANTE Derivar: y arc csc con ; ' () Entonces y arc csc ' La derivada de la fnción arco cosecante 7

43 ACTIVIDAD DE REGULACIÓN Derivar las sigientes fnciones trigonométricas inversas.. arc sen ( 5). arc sen ( /a). arc cos ( /). arc cos () 5. arc cot + 6. arc sec 7. arc csc ( ) EXPLICACIÓN INTEGRADORA Hasta este momento hemos visto los temas para derivar diferentes tipos de fnciones, desde las algebraicas, las eponenciales, las trigonométricas directas e inversas y las derivadas de orden sperior, esto nos prepara para n mejor entendimiento en lo qe respecta a las aplicaciones de la derivada. 7

44 RECAPITULACIÓN DERIVADAS FUNCIÓN DERIVADA A TRAVÉS DE LA RAZÓN DE CAMBIO CONCEPTO DE DERIVADA UTILIZANDO LA RAZÓN DE CAMBIO COMO LÍMITE DE CAMBIO NOTACIÓN DE LA DERIVADA TÉCNICAS DE DERIVACIÓN DERIVACIÓN DE FUNCIONES ALGEBRAICAS, TRASCENDENTES. DERIVACIÓN DE FUNCIONES IMPLÍCITAS. DERIVACIÓN DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS REGLA DE LA CADENA. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS E INVERSAS Eisten mchos elementos interesantes en el desarrollo del fascíclo qe te peden servir para complementar el esqema anterior, tilízalos y elabora otro. 7

45 ACTIVIDADES INTEGRALES Para reafirmar los conocimientos adqiridos hasta aqí, te sgerimos resolver los sigientes problemas.. Un móvil se desplaza de acerdo a la ecación f(t) t t +. Determinar la velocidad instantánea o tangencial de dicho móvil despés de haber transcrrido segndos de iniciar s movimiento y cál es la razón de cambio?. Dada la sigiente fnción cál es la razón de cambio, al determinar s derivada considerando qe es na partícla sspendida en el espacio? () 5 + 7

46 AUTOEVALUACIÓN Para la solción de los problemas tilizamos el sigiente procedimiento.. Encontramos la derivada como límite. f ( t) lim h 0 f ( t + h) f ( t) h Si f(t) t t + () y f ( t + h) ( t + h) ( t + h) + () Entonces desarrollando la, nos qeda. f(t + h) (t + th + h ) t h + t + 6th + h t h + () Sstityendo y en () f(t) lim h 0 t + 6h + h t h + t h + t lim h 0 6th + h h h f(t) h (6t + h ) lim h 0 h lim 6t + (0) h 0 6t ( ) 6t f Es la derivada. -La razón de cambio para t es 6t -La razón de cambio para t es Sstityendo a t seg en f () 6t encontramos la velocidad instantánea. V f () 6t de donde V 6() 8 6 V 6m/seg. 75

47 . Si f ( ) lim h 0 f ( + h) h f ( ) () entonces f ( ) 5 + () f ( + h) 5 ( + h) ( + h) + () Sstityendo y en tenemos. f() 5( + h) lim h 0 ( + h) + (5 h + ) Efectando las operaciones indicadas nos qeda. f() 5 lim h h + 5h + 5h h + 5 h + f() f() 5 h + 5h lim h 0 h h (5 lim h 0 h + 5h ) h f() lim 5 h 0 + 5(0) + 5(0) f() lim 5 h 0 de donde f ( ) 5 -La razón de cambio de 5 es -La razón de cambio de - es