9. Límites que involucran funciones exponenciales y logarítmicas

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "9. Límites que involucran funciones exponenciales y logarítmicas"

Transcripción

1 Métodos para evaluación de ites Yoel Monsalve 77 9 Límites que involucran funciones eponenciales y logarítmicas 9 El número e como un ite El ite: + n) n 9) se conoce como el número e Su valor aproimado, redondeado a ocho cifras decimales es En realidad, es un número irracional, lo cual significa que es un número decimal no periódico Cualquier representación del mismo con una cantidad finita de decimales, constituye una aproimación por truncamiento o redondeo Para ilustrar esto, construyamos una tabla con los valores de la epresión + /n) n, para valores de n grandes, tanto positivos como negativos Es decir, los valores de n = 0, 00, 000, 0 4,0 5,0 8,así como los valores de n = 0, 00, 000, 0 4, 0 5, 0 8 : n + n) n n + ) n n Tabla 9: Aproimaciones al número e La tabla 9 sugiere que conforme n tiende a +, otiendea, la epresión + /n) n tiende a cierto ite igual cuando n +, que cuando n ), conocido como número e ) Esta presunción intuitiva puede ser comprobada rigurosamente 2),demostrándose que el referido ite eiste, y es un valor real entre 2 y 3 3) Este número es la base de los logaritmos neperianos, llamados así en honor al matemático John Napier ) Para ver una breve biografía, visitar 2 En 3] p7-8 se demuestra la eistencia del ite de + /n) n cuando n +, estableciendo que los valores de + /n) n,paran entero positivo, corresponden a una sucesión monótona acotada, y por tanto, convergente 3 Ver 8] p48 50, para consultar esta demostración

2 Métodos para evaluación de ites Yoel Monsalve 78 Ahora bien, es bueno saber que haciendo el cambio de variable p =/n, elite 9) equivale a e = + n ) /p = +p n) p 0 de este modo Resumiendo ambas fórmulas: e = p p 0 +p ) /p = e + p) p = p 0 +p ) /p 92) El estudiante debe saber que se utilizan por igual estas dos representaciones en forma de ite del número e Debemos advertir sin embargo que la fórmula 92) encierra un significado distinto a la 9), enelsentidoqueen9) se toma n como una variable con valores enteros, mientras en 92) se considera que p toma valores continuos reales enteros o no) En 8] p5 52 se prueba que el ite p + + p) p, considerando p como una variable real, eiste y es igual al mismo valor obtenido al considerar el ite con valores enteros de n, en el sentido de 9) Igualmente se prueba el importante hecho que p + + p) p = p siendo estos ites iguales al número e 4) + p) p, Una aparición práctica del número e viene dada por el modelo utilizado en economía de ganancia de interés con capitalización compuesta continua Supóngase que se coloca un capital inicial A 0 a una tasa anual del 00 % Si los intereses se capitalizan una vez al año, al final de este periodo se obtendrá lógicamente un interés igual al capital inicial A 0 Pero si los intereses se capitalizan mensualmente, alfinaldelperiodoanual, producto de las doce cuotas mensuales, se tendrá un capital total inicial + intereses) de A 0 + r ) n = A0 + ) A 0, n 2 4 La demostración se realiza apoyándose en el teorema del encaje sección 2), utilizando la desigualdad + ) n < + p < + n + p) n) n+, donde n es entero positivo, y p es real con n p<n+

3 Métodos para evaluación de ites Yoel Monsalve 79 donde r = es la tasa en unidades absolutas) anual, y n = 2 viene siendo el número de cuotas en el año Ahora, si los intereses se capitalizaran semanalmente, y considerando un año de 52 semanas, el capital total acumulado al final del periodo sería A 0 + r ) n = A0 + ) A 0, n 52 pero si los intereses se capitalizaran diariamente, el capital total acumulado al final del año sería A 0 + r ) n = A0 + ) A 0 n 365 Continuando este razonamiento, si los intereses se capitalizaran cada hora, cada día, cada segundo, etc, y en el caso ite, si se capitalizaran en forma continua en instantes infinitesimalmente pequeños), el capital total acumulado al final del periodo anual sería A 0 + n = ea 0, n) por lo que el capital inicial se multiplica e veces, como producto de la inversión realizada 92 Límites de funciones eponenciales Consideraremos aquí ites que tienen la estructura Si ocurre que y f) g) f) =, g) = +, ó g) = se dice que el ite de la potencia f) g) tiene la forma la cual constituye una indeterminación que será estudiada en la subsección 93 Sin embargo en este momento nos ocuparemos de estructuras de potencia, cuyos ites no son de la forma Estos casos ocurren cuando: i) f) = A, y g) = B eisten ambos y son finitos, pero no son ambos iguales a cero A 0obienB 0) ii) f) = A, eiste finito) y es distinto de, mientras g) = +, ó g) =

4 Métodos para evaluación de ites Yoel Monsalve 80 En el primer caso, dado que A B es real, el valor del ite f) g) es A B, en virtud de la propiedad 26 sección 2), del ite de una potencia En el segundo caso, debemos distinguir si A> ó 0 A<, y si el ite de g) es + ó Supongamos primero que entonces la magnitud f) g) a, por lo cual f) = A >, y g) = +, se vuelve inconmensurablemente grande a medida que f) g) = + Ahora bien, si 0 <A<yelite de g) cuando a es +, observemos que f) g) = ) g) = f) f) ) g) donde /f) tieneelite /A que es mayor que, por lo que aplicando el resultado anterior se tiene ) g) = +, f) y en consecuencia teorema 73) f) g) = ) g) = 0 f) Finalmente, si f) = 0 yelite de g) cuando a es +, resulta también que f) g) = 0 Al respecto de los casos cuando g) =,

5 Métodos para evaluación de ites Yoel Monsalve 8 basta poner f) g) = f) g) donde el ite de g) es +, y aplicaremos los resultados anteriores a la epresión del denominador Resultará entonces que si el ite de f) esunnúmero A>, y f) g) = 0 f) g) = + si el ite de f) esunnúmero A con 0 A< Podemos resumir todos los resultados anteriores en una tabla, donde A es el ite de f) cuando a g) = + g) = A> f) g) = + f) g) = 0 0 A< f) g) = 0 f) g) = + Tabla 92: Valores del ite de f) g) Ejemplo 9 por lo tanto Evaluar ) 3 / 2 + Vemos que la base tiende a 2, y el eponente tiende a 3, conforme, ) 3 / 2 + = 2 3 = 8 Ejemplo 92 Evaluar En este caso tenemos sen ) 3 sen ) tg) 3 = 3 sen ) = 3,

6 Métodos para evaluación de ites Yoel Monsalve 82 mientras así que tg) = 0, sen ) tg) = 3 ) 0 = 3 Ejemplo 93 Calcular Aquí tenemos que + + ) 3 +2 ) ln 3 +2 = + 3 ) + 2 = 3, y como es sabido así que, por la tabla 92: + ln = + + ) ln 3 = + +2 Ejemplo 94 Determinar el valor del ite ) cosec) +2 En cuanto al ite de la base tenemos ) = +2 2 <, yencuantoaleponente cosec) = es + debido al valor absoluto), por lo que sen) = + ) cosec) = 0 +2

7 Métodos para evaluación de ites Yoel Monsalve 83 Ejemplo 95 Evaluar los ites laterales a) + Tenemos que ) / +, b) +3 ) + +3 = 3 < ) / + +3 tanto si tiende a cero por la derecha, como por la izquerda Ahora, por tanto + = +, = + ) / + = 0, pero +3 ) / + = + +3 Ejemplo 96 Calcular +3 2 ) Advertimos que cuando 0, la base tiende a, y el eponente tiende a cero, por lo que ) +3 2 = 0 = 93 La forma indeterminada Llamamos forma al ite con la estructura donde y F ) g) F ) =, g) = +, ó g) = Ante tales situaciones es posible por medio de manipulaciones algebraicas obtener epresiones que involucran el número e A tal efecto, véanse los siguientes ejemplos

8 Métodos para evaluación de ites Yoel Monsalve 84 Ejemplo 97 Calcular + 3 n) n En realidad, la estrategia que se acostumbra aplicar para este tipo de ites se basa en una idea muy sencilla, que el estudiante comprenderá al ver cómo procedemos en éste y los demás ejemplos que siguen Hacemos el cambio de variable p =3/n, con lo cual: p = 3 n n = 3 p p cuando n Luego + 3 n ) 3/p = +p n) por lo tanto = p +p ) /p ] 3 propiedad de la potenciación ] + n) 3 n +p ) ] /p 3 = p = p ] ) 3 /p +p ver nota más abajo ] = e 3 debido a que, en virtud de 92), el ite es igual al número e p + ) p p Nota El paso de introducir el ite dentro de los corchetes se ampara en la propiedad del ite de un producto En efecto: + p ] 3 = + p p) p + p p) p + p p) ) p p p = e e e = e 3

9 Métodos para evaluación de ites Yoel Monsalve 85 Por favor, estúdiese ahora el ejemplo siguiente: Ejemplo 98 Calcular + n 2 ) n Ante todo, realicemos la siguiente descomposición: + n 2 ) n = = + n ) n2 n pues, n = n 2 ] 2 n + ) n 2 /n propiedad de la potenciación ] n 2 Ahora, es necesario analizar por separado el ite de la base la epresión entre las llaves), y el ite del eponente: + ) /n n 2 eponente n 2 base entonces, haciendo el cambio de variable p =/n 2 se puede ver que 5) : ) + n ) n 2 2) n = 0 y entonces ) = +p p m 0 = e + n 2 ) n = + ) n 2 /n n 2 = e 0 = Como usted se habrá dado cuenta en los ejemplos anteriores, los ites de la forma son ites de funciones con estructura de potencia en la forma: ) g) +f) 5 o haciendo el cambio p = n 2, con lo que se obtendría al final el mismo resultado

10 Métodos para evaluación de ites Yoel Monsalve 86 donde el ite de f) es cero, y el ite del eponente es infinito La técnica de solución, en todos los casos es ingeniarnos para poner /f) en el eponente, y aprovechar el hecho que ) f) +f) si el ite de f) es cero Pero para terminar de asimilar esto, veamos algunos ejemplos adicionales Ejemplo 99 Calcule el ite = e +2 2 ) / Primero notemos que la base ) tieneite, mientras que el eponente / tiene ite infinito, cuando 0 Por lo tanto, el ite tiene la forma Como antes dijimos, la técnica de solución consiste en poner /2 2 ) eneleponente, lo cual lo hacemos de la siguiente manera: Ahora bien / +2 2 ) = )) / = )] = )] ) )] 2 2 ) /p = +p = e cambio p =2 2 ] p 0 2) por lo que 2 2 = 2 ) = )] / = e Ejemplo 90 Calcule ) 2 3

11 Métodos para evaluación de ites Yoel Monsalve 87 Este ite tiene la estructura, pues /3) tiendea,y2 tiende a infinito, cuando Manipulamos para poner el inverso de /3), o sea 3], en el eponente de la potencia: 2 ) 3 ) 2 = 3 = ) 3) 3 ] 3 2/3 3 = e 2/3 ver nota más abajo ] = e 2/3 Nota Aclaramos cómo es que aparece el número e en el ite anterior Haciendo el cambio p = /3): ] 3 = +p) /p = e 3 p 0 Ejemplo 9 Evaluar + sen ) / El ite tiene la estructura, entonces hacemos + sen ) / = = = ] + sen sen sen ] sen) ] + sen sen ] sen) ] + sen sen = e = e

12 Métodos para evaluación de ites Yoel Monsalve Fórmula generalizada para formas Como el alumno podrá haberse dado cuenta, los ites en los ejemplos anteriores se evalúan siguiendo unos pasos más o menos similares y repetitivos Por esta razón es posible establecer una fórmula general que permita llegar a los resultados más directamente, y sin tener que seguir tantos pasos intermedios En concreto, supóngase que tenemos un ite con la estructura ) f) g) donde el itedelabasees,yelite del eponente es : i) f) = ) ii) ) hemos indicado de una forma general ) para indicar que puede tratarse de a, +,, a +, etc) Entonces, hagamos el siguiente acomodo: f) g) = ) ) = ) = ) = ) + f) ) g) f) + f) ) f) ) ] g) f) ) ] g) + f) )] f) f) ) ] g) + f) )] ) f) ahora haciendo el cambio u = f) : ) + f) )] f) /u = +u) = e u 0

13 Métodos para evaluación de ites Yoel Monsalve 89 por lo que: ) f) g) = ) = e ) + f) )] f) ) g) ] f) ) f) ) g) ] de este modo, llegamos a la fórmula: f) g) = ep ) ) f) ) g) ] 93) Vamos a repetir el ejemplo 9 utilizando esta última fórmula 93), para ver como llegamos al resultado de una forma más rápida Ejemplo 92 Calcular + sen ) / El ite es del tipo, y tiene la estructura f) g), donde f) = + sen ), g) = por lo tanto, siguiendo la fórmula general 93): Ejemplo 93 ) / + sen = f) g) f) ) ] = ep g) Calcular = ep = ep sen ) ] sen = ep) = e cos ) / El ite es del tipo, y tiene la estructura: ] f) g), donde f) =cos, g) =

14 Métodos para evaluación de ites Yoel Monsalve 90 por lo tanto, siguiendo la fórmula general 93) ) / cos = f) g) f) ) ] = ep g) ] cos = ep = ep0) = ite trigonométrico notable ] Ejemplo 94 Calcular + sen ) cotg El ite es del tipo, y tiene la estructura f) g), donde f) = + sen, g) =cotg por lo tanto, siguiendo la fórmula general 93): ) cotg + sen = f) g) f) ) ] = ep g) = ep = ep sen cos ] sen cos ] = ep) = e El siguiente ejemplo es particularmente interesante Ejemplo 95 Determinar el valor del ite ) + +2 Cuando,labase +)/ + 2) tiene a, por lo tanto, el ite es del tipo, con estructura f) g), donde f) = +, g) = +2

15 Métodos para evaluación de ites Yoel Monsalve 9 por lo que podemos aplicar la fórmula 93): ) + = f) g) +2 = ep = ep = ep = ep f) ) g) ] ) + +2 ) +2 ] +2 = ep ) = e ] ] Revísese el siguiente ejemplo, que involucra funciones trigonométricas Ejemplo 96 Evaluar el ite π cos)+2 ) / sen) π Aplicando la acostumbrada fórmula, tenemos ) / sen) ) cos)+2 = ep cos)+2 π +cos) = ep π sen) sen) En este punto, y siguiendo los consejos de la sección 6, hacemos un cambio de variable del tipo u = π π = u + π u 0 donde el secreto es escoger el cambio de manera que la nueva variable tienda a cero) Así π cos)+2)/ sen) +cosu + π) = ep u 0 senu + π) ahora usamos el hecho de que cosu + π) = cosu), y senu + π) = senu)

16 Métodos para evaluación de ites Yoel Monsalve 92 para obtenerlo, desarrollar identidad trigonométrica y simplificar), entonces ) / sen) cosu) cos)+2 = ep π u 0 senu) = ep ) cos u u 0 u u sen u ites notables = ep ) 0) ) = e 0 = El siguiente ite, se evalúa con ayuda de una conveniente factorización Ejemplo 97 Evaluar fórmula: 2 + ) / ) Advertimos la forma del ite, por lo que utilizamos la acostumbrada 2 + ) / ) = ep = ep = ep 2 + ) ) ) = ep +2) = e 3 95 Límites de funciones logarítmicas Presentemos ahora un hecho básico Si el ite eiste, y es positivo, entonces f) ] ln f) = ln f)

17 Métodos para evaluación de ites Yoel Monsalve 93 Este resultado puede ser de utilidad en situaciones como las que se mostrarán en los ejemplos siguientes Ejemplo 98 se sigue que Como Calcular ln ) ln ) = 2, = ln ) 2 = ln 2 Ejemplo 99 luego como tendremos Evaluar ln +) Lo que debemos hacer es escribir primero ln +) ] = ln +) = ln +) /, +)/ = e, ln +) = lne = Ejemplo 920 Determinar el valor de ln +) ln 2 En primer lugar ) ln +) ln 2 + = ln 2 ) / ) + = ln 2 pero la fórmula 93) muestra que + 2 ) / ) = ep = ep + 2 ) 2 ) )) = e /2,

18 Métodos para evaluación de ites Yoel Monsalve 94 entonces ln +) ln 2 = ln e /2 = 2 Ejemplo 92 Evaluar 2 Primero ln 2 ) ln = 2 2 ln ln 2 ) ln 3 2 ) 2 3 ) 2 / 2) = ln 2 3 La fórmula 93) muestra que ) / 2) = ep )) = e 4/3, de modo que 2 ln 2 ) ln 3 2 = ln e 4/3 = Casos relacionados El ite a 94) donde a es una constante positiva distinta de, es famoso dentro de este temario Su valor es lna), e indicaremos a continuación cómo obtener ese resultado En primer lugar, definamos la variable t = a con lo cual: a = t + lna ) = lnt +) lna) = lnt +) = lnt +) lna)

19 Métodos para evaluación de ites Yoel Monsalve 95 y notamos que cuando 0, tenemos que t 0 Por lo tanto, al aplicar este cambio, y realizar algunas simplificaciones, obtendremos: ahora, por el ejemplo 93 así lo que buscábamos a = t 0 = t 0 t lnt +) lna) lna) t lnt +) = lna) t 0 lnt +) t lnt +) t 0 t a =, = lna) = lna), Este resultado sirve de ayuda para la evaluación de otros ites, como lo muestran los ejemplos subsiguientes Ejemplo 922 Calcular el valor del ite e b, donde b es una constante real Observamos que e b = e b ) por lo tanto, tenemos el ite básico 94), con a = e b, por lo que el resultado es e b = ln e b) = b

20 Métodos para evaluación de ites Yoel Monsalve 96 Ejemplo 923 Calcular el valor del ite p a a p p, donde a es una constante positiva La clave es aplicar un cambio de variable del tipo m = p, = m + p donde la variable m tienda a cero Así p a a p p = m 0 = m 0 a m+p a p a p u a m ) m = a p m 0 a m m yenvistaque,por94) resulta p m 0 a m m a a p p = lna), = a p lna)

21 Métodos para evaluación de ites Yoel Monsalve 97 Ejercicio 9 Determinar el valor de los siguientes ites a y b representan constantes): a) sen 3 sen b) + 4+ ) ln ) c) e) ) /2 π) + sen d) π/2 + π/2 ln +2) f) + sen ) /2 π) ln3 +) ln +/3) g) ) /2 cos h) ) /2 cos i) k) m) ñ) p) r) π/2 sen) ] / cos) j) a 2 + a 3 + b b ) /3) l) ) n) ) +2 o) ) 3 / 2) 2 ln + cos ) ln 2 q) s) + ) a 2 a + a + b + + ) / a) ) 2 +3 ) ) 3 /2 2 4) 2 ln 2 4) ln Use el hecho ln 2 ) < 2, válido si 0 < <, para probar por medio del teorema del encaje, que 2 ln 2 ) = 0

Tema 7. Límites y continuidad de funciones

Tema 7. Límites y continuidad de funciones Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Límites y continuidad de funciones 55 Límite de una función en un punto Tema 7 Límites y continuidad de funciones Idea inicial Si una función f está

Más detalles

1-Comportamiento de una función alrededor de un punto:

1-Comportamiento de una función alrededor de un punto: Matemática II 7 Modulo Límites continuidad En esta sección desarrollaremos el concepto de límite, una de las nociones fundamentales del cálculo. A partir de este concepto se desarrollan también los conceptos

Más detalles

Tema 07. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

Tema 07. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Tema 07 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Límite de una función en un punto Vamos a estudiar el comportamiento de las funciones f ( ) g ( ) ENT[ ] h ( ) i ( ) en el punto Para ello, damos a valores próimos

Más detalles

Teóricas de Análisis Matemático (28) - Práctica 4 - Límite de funciones. 1. Límites en el infinito - Asíntotas horizontales

Teóricas de Análisis Matemático (28) - Práctica 4 - Límite de funciones. 1. Límites en el infinito - Asíntotas horizontales Práctica 4 - Parte Límite de funciones En lo que sigue, veremos cómo la noción de límite introducida para sucesiones se etiende al caso de funciones reales. Esto nos permitirá estudiar el comportamiento

Más detalles

MATEMÁTICAS I 1º Bachillerato Capítulo 7: Límites y continuidad

MATEMÁTICAS I 1º Bachillerato Capítulo 7: Límites y continuidad MATEMÁTICAS I º Bachillerato Capítulo 7: Límites y continuidad file:///c:/users/cuenta~/appdata/local/temp/b006%0limitesycontinuida D%0Adela. 00 Índice. CONCEPTO DE LÍMITE.. DEFINICIÓN.. LÍMITES LATERALES..

Más detalles

Capítulo 2: Concepto y Cálculo de Límites

Capítulo 2: Concepto y Cálculo de Límites Capítulo : Concepto y Cálculo de Límites Geovany Sanabria Contenido Concepto de Límite Una definición intuitiva de Límite Ejercicios 6 Problemas con la utilización de sucesiones para calcular límites 7

Más detalles

TEMA 8: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

TEMA 8: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD TEMA 8: DE FUNCIONES. CONTINUIDAD 1. EN EL INFINITO En ocasiones interesa estudiar el comportamiento de una función (la tendencia) cuando los valores de se hacen enormemente grandes ( ) o enormemente pequeños

Más detalles

Propiedades de los límites

Propiedades de los límites SECCIÓN 3 Cálculo analítico de ites 59 3 Cálculo analítico de ites Evaluar un ite mediante el uso de las propiedades de los ites Desarrollar usar una estrategia para el cálculo de ites Evaluar un ite mediante

Más detalles

Análisis de una variable real I. Tijani Pakhrou

Análisis de una variable real I. Tijani Pakhrou Análisis de una variable real I Tijani Pakhrou Índice general 1. Introducción axiomática de los números 1 1.1. Números naturales............................ 1 1.1.1. Axiomas de Peano........................

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Página REFLEXIONA Y RESUELVE Algunos ites elementales Utiliza tu sentido común para dar el valor de los siguientes ites: a,, b,, @ c,, 5 + d,, @ @ + e,, @ f,, 0 @ 0 @

Más detalles

Iniciación a las Matemáticas para la ingenieria

Iniciación a las Matemáticas para la ingenieria Iniciación a las Matemáticas para la ingenieria Los números naturales 8 Qué es un número natural? 11 Cuáles son las operaciones básicas entre números naturales? 11 Qué son y para qué sirven los paréntesis?

Más detalles

UNIDAD I NÚMEROS REALES

UNIDAD I NÚMEROS REALES UNIDAD I NÚMEROS REALES Los números que se utilizan en el álgebra son los números reales. Hay un número real en cada punto de la recta numérica. Los números reales se dividen en números racionales y números

Más detalles

Polinomios y fracciones algebraicas

Polinomios y fracciones algebraicas 0 Polinomios y fracciones algebraicas En esta Unidad aprenderás a: d Trabajar con epresiones polinómicas. d Factorizar polinomios. d Operar con fracciones algebraicas. d Descomponer una fracción algebraica

Más detalles

TEMA 11 LÍMITES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS MATEMÁTICAS I 1º Bach 1

TEMA 11 LÍMITES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS MATEMÁTICAS I 1º Bach 1 TEMA 11 LÍMITES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS MATEMÁTICAS I 1º Bach 1 TEMA 11 LÍMITES, CONTINUIDAD, ASÍNTOTAS 11.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 11.1.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Límite de una función en un

Más detalles

FUNCIONES Y GRÁFICAS.

FUNCIONES Y GRÁFICAS. FUNCIONES Y GRÁFICAS. CONTENIDOS: Concepto de función. Gráfica de una función. Estudio cualitativo de funciones dadas por sus gráficas Idea intuitiva de continuidad de una función. Repaso de funciones

Más detalles

Anexo 2: Demostraciones

Anexo 2: Demostraciones 0 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR Aneo : Demostraciones Funciones reales de variable real Demostración de: Propiedades del valor absoluto 79 de la página 85 Propiedades del valor absoluto 79.-

Más detalles

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Un grupo de variables representadas por letras junto con un conjunto de números combinados con operaciones de suma, resta, multiplicación, división, potencia o etracción de raíces

Más detalles

GUIA I (Limites Por Definición E Indeterminaciones)

GUIA I (Limites Por Definición E Indeterminaciones) REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR DE LA DEFENSA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL NUCLEO- GUANARE GUIA I (ites Por Definición E Indeterminaciones)

Más detalles

Advierta que la definición 1 requiere implícitamente tres cosas si f es continua en a:

Advierta que la definición 1 requiere implícitamente tres cosas si f es continua en a: SECCIÓN.5 CONTINUIDAD 9.5 CONTINUIDAD En la sección.3 se le hizo notar que a menudo se puede hallar el ite de una función cuando tiende a a, con sólo calcular el valor de la función en a. Se dice que las

Más detalles

1. Limite de Funciones

1. Limite de Funciones 1. Limite de Funciones 1.1. Introducción. Consideremos la función f() = { 1+ 2 si > 0 1 2 si < 0 Se observa que la función no está definida en 0 = 0. Sin embargo, se observa que cuando se consideran valores

Más detalles

ANÁLISIS DE FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD. RESUMEN

ANÁLISIS DE FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD. RESUMEN ANÁLISIS DE FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD. RESUMEN Problema Datos Procedimiento Ejemplo Dominio de una La ecuación de Casos en los que en dominio no es IR: función la función Irracionales (ecluir valores

Más detalles

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada FUNCIONES CONTINUAS. La mayor parte de las funciones que manejamos, a nivel elemental, presentan en sus gráficas una propiedad característica que es la continuidad. La continuidad de una función definida

Más detalles

LÍMITES Y CONTINUIDAD

LÍMITES Y CONTINUIDAD UNIDAD 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD Páginas 0 y Describe las siguientes ramas: a) f () b) f () no eiste c) f () d) f () + e) f () f) f () + g) f () h) f () no eiste; f () 0 i) f () + f () + j) f () 5 4 f ()

Más detalles

UNIDAD 1: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

UNIDAD 1: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD UNIDAD : LÍMITES Y CONTINUIDAD UNIDAD : LÍMITES DE FUNCIONES CONTINUIDAD ÍNDICE DE LA UNIDAD - INTRODUCCIÓN - LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO LÍMITES LATERALES - LÍMITES EN EL INFINITO 5 4- ÁLGEBRA DE

Más detalles

Límites y Continuidad de funciones

Límites y Continuidad de funciones CAPITULO Límites y Continuidad de funciones Licda. Elsie Hernández Saborío Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática Revista digital Matemática, educación e internet (www.cidse.itcr.ac.cr)

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Página 7 REFLEXIONA Y RESUELVE Visión gráfica de los ites Describe análogamente las siguientes ramas: a) f() b) f() no eiste c) f() d) f() +@ e) f() @ f) f() +@ g) f()

Más detalles

Continuidad y ramas infinitas. El aumento A producido por cierta lupa viene dado por la siguiente ecuación: A = 2. lm í

Continuidad y ramas infinitas. El aumento A producido por cierta lupa viene dado por la siguiente ecuación: A = 2. lm í Unidad. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas Resuelve Página 7 A través de una lupa AUMENTO DISTANCIA (dm) El aumento A producido por cierta lupa viene dado por la siguiente ecuación: A

Más detalles

Tema 1: Fundamentos de lógica, teoría de conjuntos y estructuras algebraicas: Apéndice

Tema 1: Fundamentos de lógica, teoría de conjuntos y estructuras algebraicas: Apéndice Tema 1: Fundamentos de lógica, teoría de conjuntos y estructuras algebraicas: Apéndice 1 Polinomios Dedicaremos este apartado al repaso de los polinomios. Se define R[x] ={a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... +

Más detalles

EJERCICIOS DE FUNCIONES REALES

EJERCICIOS DE FUNCIONES REALES EJERCICIOS DE FUNCIONES REALES.- La ley que relaciona el valor del área de un cuadrado con la longitud de su lado es una función. Sabemos que la epresión que nos relacionas ambas variables es. Observa

Más detalles

LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Capítulo 9 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 9.. Introducción El concepto de ite en Matemáticas tiene el sentido de lugar hacia el que se dirige una función en un determinado punto o en el infinito. Veamos

Más detalles

1.3 Números racionales

1.3 Números racionales 1.3 1.3.1 El concepto de número racional Figura 1.2: Un reparto no equitativo: 12 5 =?. Figura 1.3: Un quinto de la unidad. Con los números naturales y enteros es imposible resolver cuestiones tan simples

Más detalles

ANÁLISIS DESCRIPTIVO DE FUNCIONES Y GRÁFICAS

ANÁLISIS DESCRIPTIVO DE FUNCIONES Y GRÁFICAS ANÁLISIS DESCRIPTIVO DE FUNCIONES Y GRÁFICAS INTRODUCCIÓN La noción actual de función comienza a gestarse en el siglo XIV, cuando empiezan a preocuparse de medir y representar las variaciones de ciertas

Más detalles

Apuntes de Matemática Discreta 1. Conjuntos y Subconjuntos

Apuntes de Matemática Discreta 1. Conjuntos y Subconjuntos Apuntes de Matemática Discreta 1. Conjuntos y Subconjuntos Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 2004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 1 Conjuntos y Subconjuntos

Más detalles

Lección 1-Introducción a los Polinomios y Suma y Resta de Polinomios. Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009

Lección 1-Introducción a los Polinomios y Suma y Resta de Polinomios. Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009 Lección 1-Introducción a los Polinomios y Suma y Resta de Polinomios Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009 Objetivos de la Lección Al finalizar esta lección los estudiantes: Identificarán, de una lista de expresiones

Más detalles

Operaciones con funciones. Funciones trascendentes: exponencial, logarítmica y trigonométrica

Operaciones con funciones. Funciones trascendentes: exponencial, logarítmica y trigonométrica UNIDAD Operaciones con funciones Funciones trascendentes: eponencial, logarítmica y trigonométrica l álgebra de funciones indica qué operaciones pueden realizarse con funciones E y cómo hacerlo Operación

Más detalles

Las expresiones algebraicas se clasifican en racionales e irracionales.

Las expresiones algebraicas se clasifican en racionales e irracionales. 1. 1.1 Epresiones algebraicas 1.1 Epresión algebraica. En matemáticas una epresión algebraica es un conjunto de letras y números, ligados por los signos de adición, sustracción, multiplicación, división,

Más detalles

MODULO PRECALCULO TERCERA UNIDAD

MODULO PRECALCULO TERCERA UNIDAD MODULO PRECALCULO TERCERA UNIDAD Función Eponencial y Función Logarítmica 9 Alicia rió. "No sirve de nada intentarlo - dijo -; uno no puede creer cosas imposibles." - "Me atrevería a decir que no tienes

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES

EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES. Estudiar el crecimiento, el decrecimiento y los etremos relativos de las siguientes funciones: a) f( ) 7 + + b) ln f( ) c) 5 si < f(

Más detalles

). (Nota: también lo es en cada uno de los demás intervalos de definición de la función tangente, pero no de manera global en toda la recta real).

). (Nota: también lo es en cada uno de los demás intervalos de definición de la función tangente, pero no de manera global en toda la recta real). Tema 5 Integral Indefinida 5.1 Introducción Dedicaremos este tema a estudiar el concepto de Integral Indefinida y los métodos más habituales para calcular las integrales indefinidas. De una manera intuitiva

Más detalles

Tema 2 Límites de Funciones

Tema 2 Límites de Funciones Tema 2 Límites de Funciones 2.1.- Definición de Límite Idea de límite de una función en un punto: Sea la función. Si x tiende a 2, a qué valor se aproxima? Construyendo - + una tabla de valores próximos

Más detalles

Límites y Continuidad

Límites y Continuidad Universidad de Sonora División de Ciencias Eactas y Naturales Departamento de Matemáticas. Límites y Continuidad Problemas Resueltos Dr. José Luis Díaz Gómez Versión. Abril de 005 Dr. José Luis Díaz Gómez.

Más detalles

Título: Límites de funciones y continuidad. Autor: c Juan José Isach Mayo

Título: Límites de funciones y continuidad. Autor: c Juan José Isach Mayo Título: Límites de funciones continuidad Autor: c Juan José Isach Mao Fecha:04 Septiembre del 007 Contents Límites 5. Conceptos previos.......................... 5. Límites de una función en un punto................

Más detalles

Polinomios y Ecuaciones

Polinomios y Ecuaciones Ejercicios de Cálculo 0 Prof. María D. Ferrer G. Polinomios y Ecuaciones.. Polinomios: Un polinomio o función polinómica es una epresión de la forma: n n n P a a a a a a = n + n + n + + + + 0 () Los números

Más detalles

Teoría de Conjuntos y Funciones

Teoría de Conjuntos y Funciones Elaborado por: Lic. Eleazar J. García República Bolivariana de Venezuela. Tinaco.- Estado Cojedes Teoría de Conjuntos Funciones Este capítulo comienza con el estudio de las nociones de la teoría de conjuntos

Más detalles

Tema 5. Aproximación funcional local: Polinomio de Taylor. 5.1 Polinomio de Taylor

Tema 5. Aproximación funcional local: Polinomio de Taylor. 5.1 Polinomio de Taylor Tema 5 Aproximación funcional local: Polinomio de Taylor Teoría Los polinomios son las funciones reales más fáciles de evaluar; por esta razón, cuando una función resulta difícil de evaluar con exactitud,

Más detalles

DESIGUALDADES página 1

DESIGUALDADES página 1 DESIGUALDADES página 1 1.1 CONCEPTOS Y DEFINICIONES Una igualdad en Álgebra es aquella relación que establece equivalencia entre dos entes matemáticos. Es una afirmación, a través del signo =, de que dos

Más detalles

Límites de funciones y continuidad

Límites de funciones y continuidad Capítulo 4 Límites de funciones y continuidad 4.. Definición Sea f definida en un entorno reducido de 0 0 < 0 < δ), pero no necesariamente en el mismo punto 0. Diremos que f tiene el ite L en 0 cuando

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES

LÍMITES DE FUNCIONES LÍMITES DE FUNCIONES. INTRODUCCIÓN A LOS LÍMITES. Definición intuitiva de límite.. DEFINICIÓN RIGUROSA DE LÍMITE. Límites reales.. Propiedades de los límites.. Estrategias para calcular límites. - Límites

Más detalles

Hasta ahora hemos estudiado potencias pertenecientes a distintos campos numéricos. n N, ( a 0 ) m a. m Z, n N

Hasta ahora hemos estudiado potencias pertenecientes a distintos campos numéricos. n N, ( a 0 ) m a. m Z, n N EXPONENCIALES Y LOGARITMOS FUNCIÓN EXPONENCIAL Hasta ahora hemos estudiado potencias pertenecientes a distintos campos numéricos. Potencias de eponente natural: a n = a. a. a... a n N n veces Potencias

Más detalles

Congruencias de Grado Superior

Congruencias de Grado Superior Congruencias de Grado Superior Capítulo 3 3.1 Introdución En el capítulo anterior vimos cómo resolver congruencias del tipo ax b mod m donde a, b y m son enteros m > 1, y (a, b) = 1. En este capítulo discutiremos

Más detalles

CÁLCULO ALGEBRAICO. Dra. Patricia Kisbye Dr. David Merlo

CÁLCULO ALGEBRAICO. Dra. Patricia Kisbye Dr. David Merlo CÁLCULO ALGEBRAICO Dra. Patricia Kisbye Dr. David Merlo INTRODUCCIÓN Estas notas han sido elaboradas con el fin de ofrecer al ingresante a las carreras de la FaMAF herramientas elementales del cálculo

Más detalles

El álgebra booleana (Algebra de los circuitos lógicos tiene muchas leyes o teoremas muy útiles tales como :

El álgebra booleana (Algebra de los circuitos lógicos tiene muchas leyes o teoremas muy útiles tales como : SIMPLIFICACION DE CIRCUITOS LOGICOS : Una vez que se obtiene la expresión booleana para un circuito lógico, podemos reducirla a una forma más simple que contenga menos términos, la nueva expresión puede

Más detalles

Índice Introducción Números Polinomios Funciones y su Representación. Curso 0: Matemáticas y sus Aplicaciones Tema 1. Números, Polinomios y Funciones

Índice Introducción Números Polinomios Funciones y su Representación. Curso 0: Matemáticas y sus Aplicaciones Tema 1. Números, Polinomios y Funciones Curso 0: Matemáticas y sus Aplicaciones Tema 1. Números, Polinomios y Funciones Leandro Marín Dpto. de Matemática Aplicada Universidad de Murcia 2012 1 Números 2 Polinomios 3 Funciones y su Representación

Más detalles

Resumen. Finalmente pusimos en práctica y experimentación el juego, obteniendo excelentes resultados.

Resumen. Finalmente pusimos en práctica y experimentación el juego, obteniendo excelentes resultados. Resumen Hemos planeado y elaborado un prototipo que nos ayuda en el aprendizaje matemático, lo denominamos La Ruleta Matemática, que es un juego que básicamente consiste en una ruleta que es accionada

Más detalles

CAPÍTULO III. FUNCIONES

CAPÍTULO III. FUNCIONES CAPÍTULO III LÍMITES DE FUNCIONES SECCIONES A Definición de límite y propiedades básicas B Infinitésimos Infinitésimos equivalentes C Límites infinitos Asíntotas D Ejercicios propuestos 85 A DEFINICIÓN

Más detalles

EJEMPLO 2: Ing. Mario René De León García. 1. FUNCIÓN EXPONENCIAL EJEMPLO 1:

EJEMPLO 2: Ing. Mario René De León García. 1. FUNCIÓN EXPONENCIAL EJEMPLO 1: FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA Por: Ing. Mario René De León García.. FUNCIÓN EXPONENCIAL Una función eponencial tiene la forma, donde a es la base de la potencia la variable es el eponente. Esta función

Más detalles

Los números racionales

Los números racionales Los números racionales Los números racionales Los números fraccionarios o fracciones permiten representar aquellas situaciones en las que se obtiene o se debe una parte de un objeto. Todas las fracciones

Más detalles

Apuntes Matemáticas 2º de bachillerato. Tema 2. Límites de funciones

Apuntes Matemáticas 2º de bachillerato. Tema 2. Límites de funciones Apuntes Tema 2 Límites de funciones 2.1 Límites de funciones Def.: Dada una función f(), diremos que su límite cuando tiende hacia a es el número L, y lo escribiremos, lim f() L si eisten los límites laterales

Más detalles

LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA. FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS. Función exponencial

LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA. FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS. Función exponencial LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA. FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS. Función eponencial La función eponencial es de la forma f () = a, tal que a > 0, a El valor a se llama base de la función

Más detalles

Llamamos potencia a todo producto de factores iguales. Por ejemplo: 3 4 = 3 3 3 3

Llamamos potencia a todo producto de factores iguales. Por ejemplo: 3 4 = 3 3 3 3 1. NÚMEROS NATURALES POTENCIAS DE UN NÚMERO NATURAL Llamamos potencia a todo producto de factores iguales. Por ejemplo: 3 4 = 3 3 3 3 El factor que se repite es la base, y el número de veces que se repite

Más detalles

UNIVERSIDAD DE CASTILLA-LA MANCHA Departamento de Matemáticas.

UNIVERSIDAD DE CASTILLA-LA MANCHA Departamento de Matemáticas. UNIVERSIDAD DE CASTILLA-LA MANCHA Departamento de Matemáticas. PROBLEMAS DE CÁLCULO INFORMÁTICA DE SISTEMAS . Cálculo diferencial. Probar que a si y sólo si a a, siendo a >. Utilizar estas desigualdades

Más detalles

Funciones exponenciales y logarítmicas

Funciones exponenciales y logarítmicas Funciones exponenciales y logarítmicas - Funciones exponenciales y sus gráficas Un terremoto de 85 grados en la escala de Richter es 00 veces más potente que uno de 65, por qué?, cómo es la escala de Richter?

Más detalles

Repaso de funciones elementales, límites y continuidad

Repaso de funciones elementales, límites y continuidad Tema 3 Repaso de funciones elementales, ites y continuidad 3.1. Funciones. Definiciones básicas. Operaciones con funciones 3.1.1. Definiciones Una función real de (una) variable real es una aplicación

Más detalles

CONVOCATORIA 2016 GUÍA DE ESTUDIO PARA PRUEBA DE ADMISIÓN DE MATEMÁTICAS

CONVOCATORIA 2016 GUÍA DE ESTUDIO PARA PRUEBA DE ADMISIÓN DE MATEMÁTICAS CONVOCATORIA 2016 GUÍA DE ESTUDIO PARA PRUEBA DE ADMISIÓN DE MATEMÁTICAS Guía de Estudio para examen de Admisión de Matemáticas CONTENIDO PRESENTACIÓN... 3 I. ARITMÉTICA... 4 1. OPERACIONES CON FRACCIONES...

Más detalles

UNIDAD I: FUNCIONES Y LIMITES

UNIDAD I: FUNCIONES Y LIMITES UNIDAD I: FUNCIONES Y LIMITES Iniciamos el estudio del cálculo haciendo un repaso de funciones y gráficas, para luego introducirnos en el estudio de los ites. Esta unidad consta en el teto base, en el

Más detalles

UNIVERSIDAD NACIONAL DE VILLA MERCEDES. Curso de Formación en Matemáticas

UNIVERSIDAD NACIONAL DE VILLA MERCEDES. Curso de Formación en Matemáticas UNIVERSIDAD NACIONAL DE VILLA MERCEDES Curso de Formación en Matemáticas - 06 - Autor: Lic. Esp. Fernando Javier Quiroga Villegas OBJETIVOS DEL CURSO Objetivo General: Afianzar los conocimientos adquiridos

Más detalles

Ejemplos y problemas resueltos de análisis complejo (2014-15)

Ejemplos y problemas resueltos de análisis complejo (2014-15) Variable Compleja I (3 o de Matemáticas y 4 o de Doble Titulación) Ejemplos y problemas resueltos de análisis complejo (04-5) Teoremas de Cauchy En estos apuntes, la palabra dominio significa, como es

Más detalles

Polinomios y fracciones algebraicas

Polinomios y fracciones algebraicas UNIDAD Polinomios y fracciones algebraicas U n polinomio es una expresión algebraica en la que las letras y los números están sometidos a las operaciones de sumar, restar y multiplicar. Los polinomios,

Más detalles

Operaciones con polinomios

Operaciones con polinomios Operaciones con polinomios Los polinomios son una generalización de nuestro sistema de numeración. Cuando escribimos un número, por ejemplo, 2 354, queremos decir: 2 354 = 2 000 + 300 + 50 + 4 = 2)1 000)

Más detalles

Límites. Definición de derivada.

Límites. Definición de derivada. Capítulo 4 Límites. Definición de derivada. 4.1. Límites e indeterminaciones Hemos visto en el capítulo anterior que para resolver el problema de la recta tangente tenemos que enfrentarnos a expresiones

Más detalles

Curso de Matemáticas Financieras. AulaFacil.com. Valor temporal del dinero

Curso de Matemáticas Financieras. AulaFacil.com. Valor temporal del dinero 2ª CLASE Capitalización Simple 3ª CLASE Capitalización Simple: Ejercicios 4ª CLASE Capitalización Compuesta 5ª CLASE Capitalización Compuesta Lección 1 Lección 2 Lección 3 Lección 4 Lección 5 Lección 6

Más detalles

MATEMÁTICAS. TEMA 5 Límites y Continuidad

MATEMÁTICAS. TEMA 5 Límites y Continuidad MATEMÁTICAS TEMA 5 Límites y Continuidad MATEMÁTICAS º BACHILLERATO CCSS. TEMA 5: LÍMITES Y CONTINUIDAD ÍNDICE. Introducción. Concepto de función. 3. Dominio e imagen de una función. 4. Gráfica de algunas

Más detalles

Valores propios y vectores propios

Valores propios y vectores propios Capítulo 6 Valores propios y vectores propios En este capítulo investigaremos qué propiedades son intrínsecas a una matriz, o su aplicación lineal asociada. Como veremos, el hecho de que existen muchas

Más detalles

T.1 CONVERGENCIA Y TEOREMAS LÍMITE

T.1 CONVERGENCIA Y TEOREMAS LÍMITE T.1 CONVERGENCIA Y TEOREMAS LÍMITE 1. CONVERGENCIA DE SUCESIONES DE VARIABLES ALEATORIA CONVERGENCIA CASI-SEGURA CONVERGENCIA EN PROBABILIDAD CONVERGENCIA EN MEDIA CUADRÁTICA CONVERGENCIA EN LEY ( O DISTRIBUCIÓN)

Más detalles

Divisibilidad y números primos

Divisibilidad y números primos Divisibilidad y números primos Divisibilidad En muchos problemas es necesario saber si el reparto de varios elementos en diferentes grupos se puede hacer equitativamente, es decir, si el número de elementos

Más detalles

EL MÉTODO DE LA BISECCIÓN

EL MÉTODO DE LA BISECCIÓN EL MÉTODO DE LA BISECCIÓN Teorema de Bolzano Sea f : [a, b] IR IR una función continua en [a, b] tal que f(a) f(b) < 0, es decir, que tiene distinto signo en a y en b. Entonces, existe c (a, b) tal que

Más detalles

1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad

1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad Estudio y representación de funciones 1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad 1.1. Dominio Al conjunto de valores de x para los cuales está definida la función se le denomina dominio. Se suele

Más detalles

La suma y la resta. Introducción. Capítulo

La suma y la resta. Introducción. Capítulo Capítulo II La suma y la resta Introducción En el capítulo anterior, vimos que los números permiten expresar la cantidad de objetos que tiene una colección. Juntar dos o más colecciones, agregar objetos

Más detalles

Tema 2: Sistemas de representación numérica

Tema 2: Sistemas de representación numérica 2.1 Sistemas de Numeración Definiciones previas Comenzaremos por definir unos conceptos fundamentales. Existen 2 tipos de computadoras: Analógicas: actúan bajo el control de variables continuas, es decir,

Más detalles

Ejemplo: Resolvemos Sin solución. O siempre es positiva o siempre es negativa. Damos un valor cualquiera Siempre + D(f) =

Ejemplo: Resolvemos Sin solución. O siempre es positiva o siempre es negativa. Damos un valor cualquiera Siempre + D(f) = T1 Dominios, Límites, Asíntotas, Derivadas y Representación Gráfica. 1.1 Dominios de funciones: Polinómicas: D( = La X puede tomar cualquier valor entre Ejemplos: D( = Función racional: es el cociente

Más detalles

Cálculo elemental de límites...

Cálculo elemental de límites... Capítulo 5 Cálculo elemental de ites... Vamos a dedicar este capítulo a tratar de mejorar nuestra relación con los ites, desarrollando el método que ya hemos anunciado, que nos permitirá calcular el ite

Más detalles

Una desigualdad se obtiene al escribir dos expresiones numéricas o algebraicas relacionadas con alguno de los símbolos

Una desigualdad se obtiene al escribir dos expresiones numéricas o algebraicas relacionadas con alguno de los símbolos MATEMÁTICAS BÁSICAS DESIGUALDADES DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO EN UNA VARIABLE La epresión a b significa que "a" no es igual a "b ". Según los valores particulares de a de b, puede tenerse a > b, que

Más detalles

Sistemas de numeración

Sistemas de numeración Sistemas de numeración Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas que permiten representar datos numéricos. Los sistemas de numeración actuales son sistemas posicionales, que se caracterizan

Más detalles

TEMA 3: CONTINUIDAD DE FUNCIONES

TEMA 3: CONTINUIDAD DE FUNCIONES TEMA 3: CONTINUIDAD DE FUNCIONES. Valor Absoluto Trabajaremos en el campo de los números reales, R. Para el estudio de las propiedades de las funciones necesitamos el concepto de valor absoluto de un número

Más detalles

1. Números Reales 1.1 Clasificación y propiedades

1. Números Reales 1.1 Clasificación y propiedades 1. Números Reales 1.1 Clasificación y propiedades 1.1.1 Definición Número real, cualquier número racional o irracional. Los números reales pueden expresarse en forma decimal mediante un número entero,

Más detalles

Tema 0. REPASO. Javier Rodríguez Ruiz. Curso 2013-2014

Tema 0. REPASO. Javier Rodríguez Ruiz. Curso 2013-2014 Tema 0. REPASO Javier Rodríguez Ruiz Curso 2013-2014 1. Afirmaciones científicas 1.1. Los tres tipos de afirmaciones En toda teoría científica utilizamos afirmaciones que siempre consideraremos ciertas.

Más detalles

Profesoresdematemáticaswww.institu teofmathematics.webs.comprofesores dematemáticaswww.instituteofmathe. matics.webs.comprofesoresdematemá

Profesoresdematemáticaswww.institu teofmathematics.webs.comprofesores dematemáticaswww.instituteofmathe. matics.webs.comprofesoresdematemá Profesoresdematemáticaswww.institu teofmathematics.webs.comprofesores dematemáticaswww.instituteofmathe Matemáticas IV matics.webs.comprofesoresdematemá ENP ticaswww.instituteofmathematics.web s.comprofesoresdematematicaswww.i

Más detalles

Apuntes sobre algunos teoremas fundamentales de análisis complejo, con 20 ejemplos resueltos (2007-08)

Apuntes sobre algunos teoremas fundamentales de análisis complejo, con 20 ejemplos resueltos (2007-08) Variable Compleja I (3 o de Matemáticas) Apuntes sobre algunos teoremas fundamentales de análisis complejo, con ejemplos resueltos (7-8) En estos apuntes, consideraremos las funciones anaĺıticas (holomorfas)

Más detalles

Función exponencial y Logaritmos

Función exponencial y Logaritmos Eje temático: Álgebra y funciones Contenidos: Función exponencial y Logaritmos Nivel: 4 Medio Función exponencial y Logaritmos 1. Funciones exponenciales Existen numerosos fenómenos que se rigen por leyes

Más detalles

1 Sucesiones de números reales

1 Sucesiones de números reales 1 Sucesiones de números reales 1.1 Números reales En el conjunto de los números reales tenemos definidas dos operaciones binarias, suma y producto, y una relación de orden (a, b) a + b (a, b) ab a b. Ellos

Más detalles

MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN CLASES # 13 y #14

MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN CLASES # 13 y #14 MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN CLASES # 3 y #4 Desigualdades Al inicio del Capítulo 3, estudiamos las relaciones de orden en los número reales y el signi cado de expresiones

Más detalles

Capítulo 4 MEDIDA DE MAGNITUDES. Autor: Santiago Ramírez de la Piscina Millán

Capítulo 4 MEDIDA DE MAGNITUDES. Autor: Santiago Ramírez de la Piscina Millán Capítulo 4 MEDIDA DE MAGNITUDES Autor: Santiago Ramírez de la Piscina Millán 4 MEDIDA DE MAGNITUDES 4.1 Introducción El hecho de hacer experimentos implica la determinación cuantitativa de las magnitudes

Más detalles

11 LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

11 LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD EJERCICIOS PROPUESTOS. A qué valor tiende la función f ()? 5 a) Cuando se acerca a. c) Cuando se acerca a. b) Cuando se aproima a 5. d) Cuando se aproima a. a) se aproima

Más detalles

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA BÁSICA 1 SEGUNDO SEMESTRE 2015. PROYECTO No. 2

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA BÁSICA 1 SEGUNDO SEMESTRE 2015. PROYECTO No. 2 PROYECTO No. 2 Fecha de publicación: Jueves 7 de septiembre de 205 Entrega: viernes 6 de octubre de 205 Instrucciones: Grupos de tres personas máximo Continuando con el desarrollo de los proyectos del

Más detalles

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Autor: Patrici Molinàs Mata (pmolinas@uoc.edu), José Francisco Martínez Boscá (jmartinezbos@uoc.edu) ESQUEMA DE CONTENIDOS Cálculo de los límites laterales

Más detalles

6 M. C. J. A G U S T I N F L O R E S A V I L A

6 M. C. J. A G U S T I N F L O R E S A V I L A 2..- DEFINICION DE LIMITES. OBJETIVO.- Que el alumno conozca el concepto de Límite, comprenda la importancia que tiene este concepto en el Cálculo y adquiera habilidad en el cálculo de los Límites más

Más detalles

Subconjuntos destacados en la

Subconjuntos destacados en la 2 Subconjuntos destacados en la topología métrica En este capítulo, introducimos una serie de conceptos ligados a los puntos y a conjuntos que por el importante papel que juegan en la topología métrica,

Más detalles

MÉTODO DEL CAMBIO DE BASE PARA CÁLCULO MANUAL DE SUBREDES CON IP V4.0

MÉTODO DEL CAMBIO DE BASE PARA CÁLCULO MANUAL DE SUBREDES CON IP V4.0 MÉTODO DEL CAMBIO DE BASE PARA CÁLCULO MANUAL DE SUBREDES CON IP V4.0 José Antonio Guijarro Guijarro Profesor de Secundaria Especialidad de Informática Profesor Técnico de F.P. Especialidad de Sistemas

Más detalles

Series y Probabilidades.

Series y Probabilidades. Series y Probabilidades Alejandra Cabaña y Joaquín Ortega 2 IVIC, Departamento de Matemática, y Universidad de Valladolid 2 CIMAT, AC Índice general Sucesiones y Series Numéricas 3 Sucesiones 3 2 Límites

Más detalles

Nombre del polinomio. uno monomio 17 x 5 dos binomio 2x 3 6x tres trinomio x 4 x 2 + 2

Nombre del polinomio. uno monomio 17 x 5 dos binomio 2x 3 6x tres trinomio x 4 x 2 + 2 SISTEMA DE ACCESO COMÚN A LAS CARRERAS DE INGENIERÍA DE LA UNaM III. UNIDAD : FUNCIONES POLINÓMICAS III..1 POLINOMIOS La expresión 5x + 7 x + 4x 1 recibe el nombre de polinomio en la variable x. Es de

Más detalles