Tema 5: Ecuaciones diferenciales de primer orden homogéneas

Transcripción

1 Tema 5: Ecaciones diferenciales de primer orden homogéneas 5.1 Primer método de solción En la e.d. homogénea d (1) f (, ) d donde, de acerdo con lo visto en (.), f(t, t) f(, ), se sstite () v s correspondiente derivada: d dv () v + d d Despés de simplificar, la ecación diferencial resltante será de variable separable (v ), qe pede resolverse por los métodos dados en el tema. La solción para (1) reqerida se obtiene haciendo de nevo el cambio de variable. 5. Método alterno de solción Transformando la e.d. en: d 1 () d f (, ) despés sstitendo (5) s correspondiente derivada d d (6) + d d en (). Despés de simplificar la e.d. resltante, será de variable separable (en este caso,), qe pede resolverse por los métodos vistos en el tema. La solción reqerida para () se obtiene entonces haciendo de nevo el cambio de variable. Como calqier método de solción reqiere resolver na e.d. separable asociada, la discsión del tema cobra importancia. Generalmente es indistinto el método de solción qe se se. En otras ocasiones, na de las sstitciones ( o 5) es definitivamente mejor qe la otra. En estos casos, la mejor sstitción es visible generalmente por la forma de la ecación diferencial en sí misma. Problemas reseltos + 1. Resolver ' Sstitendo () () en la e.d., obtenemos: dv v + v + d

2 dv 1 1, d dv 0 d Esta última ecación es separable. S solción es (1) v ln C v ln k donde se tiene C ln k, notando qe ln + ln k ln k. Finalmente, sstitendo v / en (1), obtenemos la solción de la ecación diferencial dada qe es ln k. +. Resolver ' Sstitendo () en () en la e.d. obtenemos dv ( v) + v + d ( v) dv v v, d dv 0 d v v + 1 Esta última ecación es separable, s solción es 1 (1) ln ln( v + 1) C v + 1 ( k) donde se tiene C ln k, lego se san las identidades ln + ln k ln k, ln k ln (k). Finalmente, sstitendo v / en (1), obtenemos la solción de la ecación diferencial dada qe es 8 () C1, ( C1 k ). Resolver la ecación diferencial del problema anterior sando las ecaciones (, 5 6) Primero transformamos la e.d. en d d + Lego, sstitendo (5) (6) en esta neva e.d. se obtiene d ( ) + d + ( ) 5 d + 1 +, d + d 0 d Esta última ecación es separable; sando fracciones parciales ( 1 + ) 1 + obtenemos 1 ln + ln ln1 + C

3 qe pede escribirse como 8 (1) k 1 + donde C 1/ ln k, reemplazando /, ver (6) en (1), se tiene de nevo () del problema.. Resolver ' Sstitendo () () en la e.d. tenemos dv ( v v + ) d ( v) dv v( v + 1) 1 v 1 (1), d + dv 0 d v 1 v( v + 1) Usando fracciones parciales, se pede desarrollar (1) en 1 1 v d ( 1) dv v v + La solción de esta ecación separable es ln ln v + ln (v +1) C, qe pede simplificarse en () (v + 1) kv, (C ln k ) Sstitendo v / en (), encontramos la solción de la e.d. dada qe es + k + 5. Resolver ' Sstitendo () () en la e.d. tenemos dv + ( v) v + d ( v) dv 1 1, d + vdv 0 d v La solción de esta ecación separable es ln v / C, qe pede simplificarse en (1) v ln + k, ( C k) Sstitendo v / en (1), encontramos la solción de la e.d. dada qe es ln + k + 6. Resolver ' ; ( 1 ) La solción de la e.d. se da en el problema anterior como ln + k

4 Aplicando la condición inicial, obtenemos ( ) (1) ln (1) + k(1), o k. Entonces la solción para el problema de valor inicial es ln + de donde ln + Se toma la raíz cadrada negativa, de acerdo con la condición inicial. ( / e ) 7. Resolver ' ( / ) ( / + e + e ) Notando el término (/) en el eponente, samos la sstitción /, qe es na forma eqivalente de (5). Escribiendo la e.d. como: d ( / ) ( / + e e ) + d ( / e ) Tenemos al sar las sstitciones (5) (6) simplificar, d 1 + e 1 e, d d 0 d e 1 + e Esta última ecación es separable; ln ln 1 + e C qe pede escribirse como (1) k + e 1, ( C ln k ) Sstitendo / en (1), obtenemos la solción de la ecación diferencial dada como ( ) + / k 1 e 8. Demostrar qe si f(,) es homogénea, entonces la e.d. pede escribirse como g(/), donde g(/) depende solamente del cociente /. Por la propiedad () tenemos qe f(,) f(t,t). Como esta ecación es válida para todos los t, debe ser válida en particlar para t 1/. Entonces f(,) f(1,/). Si definimos ahora g(/) f(1,/), tenemos f(,) f(1,/) g(/) como se pide. Nota: esta forma sgiere la sstitción v / qe es eqivalente a la epresión (). Si arriba se hbiera pesto t 1/, entonces f(,) f(/,1) h(/), qe sgiere la sstitción alterna (5). 9. Una fnción g(/) es homogénea de grado n si g(t,t) tn g(/) para calqier t. Determine si las sigientes fnciones son homogéneas, si no lo son, halle s grado: a) + (t)(t) + (t) t ( + ); homogénea de grado b) + sen (/)

5 t t + tsen t + sen homogénea de grado 1 t c) + e X/Y t / t / ( t) ( t)( t) e t ( + e ) + homogénea de grado d) + t + (t)(t) t + t no homogénea 10. Otra definición de e.d. homogénea es como sige: Una e.d. M(,) d + N(,) d 0 es homogénea si tanto M(,) como N(,) son homogéneas del mismo grado. Demestre qe esta definición implica la definición dada en el tema. f ( t,t) M N ( t,t) ( t,t) n t M n t N (, ) (, ) M N (, ) (, ) f (, ) Problemas propestos En los sigientes problemas, determine si las ecaciones diferenciales dadas son homogéneas, si lo son, resélvalas. 11. ' ln k / + 1. ' k + 1. ' k + 1. ' no homogénea ' k 16. ' k 17. ' / + ln C ' no homogénea 1 / + ( ) ' 1 + ln k

6