FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

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1 CAPÍTULO 7 FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS 7. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Una fnción eponencial es aqella en la qe la variable está en el eponente. Ejemplos e fnciones eponenciales son y y 4 5 y 8 + y 0 - Antes e entrar e lleno en el estio e las fnciones logarítmicas conviene repasar el concepto e logaritmo, ya qe es frecente qe los estiantes llegen a este momento sin recorar qé son los logaritmos o, en el caso más etremo, sin haberlos estiao nnca rante s carrera estiantil. En Matemáticas toa operación o too proceso tiene s inverso, s camino e retorno al pnto inicial. Por ejemplo, si a 4 se le sma se llega al 7; el retorno el 7 al 4 es restar. El retorno e la mltiplicación es la ivisión, etc. De manera qe si se tienen las sigientes potencias: ) 8 ) 9 07

2 Fnciones eponenciales y logarítmicas ) ) ) etc. si se pregnta Cál es el inverso (el camino e retorno) e caa na e ellas? por inercia el estiante respone conforme a la sigiente tabla: Potencia 8 Inverso lo cal es cierto. Sin embargo, obsérvese qe en caa potencia (primera colmna) se tienen os cantiaes, la base y el eponente, y en la tabla anterior el retorno se hizo hacia la base. No poría haber sio el retorno hacia el eponente? Dicho e otra forma: Cómo hacer para regresar al eponente, en vez e a la base? Allí es one aparece el concepto e logaritmo. Cano se tiene la potenciación a k c one a, k y c son calqier número (son tres cantiaes las qe intervienen: la base, el eponente y el resltao), a partir el resltao c eisten os posibiliaes e regreso, no hacia la 08

3 Fnciones eponenciales y logarítmicas base y otro hacia el eponente. Para regresar a la base se emplea la raíz k-ésima e c; para regresar al eponente se emplea el logaritmo base a e c. En ambos casos la operación raíz o la operación logaritmo se le aplica al resltao c e la potenciación; aemás, se ebe hacer intervenir a la tercera cantia, en el primer caso para señalar el ínice el raical, en el segno caso para señalar la base. Volvieno al ejemplo e la tabla anterior, eisten os caminos e retorno, no hacia la base y otro hacia el eponente. Cano es a la base, se emplea la raíz k-ésima, cano es al eponente se emplea el logaritmo base a: Potencia Regreso a la base Regreso al eponente 8 8 log log log log log De manera qe la efinición e logaritmo es: En el iioma Español, para enotar los números orinales se emplea la terminación ésimo. Así, el orinal e 0 es vigésimo; el e 70 es septagésimo; el e 00 es bicentésimo; el e 700 es septingentésimo, el e 84 es octingentésimo trigésimo carto, etc. Cano se habla en términos genéricos sele emplearse la letra k o la letra n para referirse a calqier número. De tal manera qe el orinal e n número genérico k es k-ésimo; el orinal e n número genérico n es n-ésimo. Es na grave incorrección ecir veinteavo en vez e vigésimo, o setentavo en vez e septagésimo. 09

4 Fnciones eponenciales y logarítmicas El logaritmo e n número n es el eponente al qe ebe elevarse la base para obtener icho número n. Como los logaritmos peen ser base e calqier número, habría n número infinito e iferentes logaritmos, por lo qe en algún momento los matemáticos acoraron emplear solamente os tipos e logaritmos: a) los logaritmos base iez (por tratarse e n sistema ecimal), llamaos logaritmos vlgares o logaritmos ecimales, representaos simplemente por el símbolo log sin especificar la base, qe se sobreentiene qe es 0. b) los logaritmos natrales, representaos por el símbolo ln y cya base es el número irracional.78888,. De manera semejante a como con π se representa el nú- mero e veces qe el iámetro cabe en s propia circnferencia (.46), la base e los logaritmos natrales se simboliza con la letra e, o sea qe e Para obtener el valor e e con la calclaora ebe oprimirse la tecla e qe en casi toos los moelos se localiza como segna fnción el logaritmo natral, y espés teclear el número. Con eso realmente se está ingresano e qe es e. Este número sale el límite lim 0 ( + ) / el cal, por no ser tema e este crso, no se va a etallar más. 0

5 Fnciones eponenciales y logarítmicas 7. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS Los logaritmos, no importa cál sea s base, toos tienen las sigientes tres propieaes: ª: log A + log B log AB ª: log A log B log A log B ª: A log B log B A De éstas, la tercera será my útil para resolver algnas erivaas e logaritmos, como se eponrá en algnos e los ejemplos venieros. 7. FÓRMULAS (5) ln (6) e e La erivaa el logaritmo natral e, ( es el argmento) es na fracción: en el nmeraor, la erivaa el argmento; en el enominaor, el argmento tal cal. Ejemplo : Hallar la erivaa e y ln 9. Solción: En este caso, el argmento es 9, es ecir 9. Aplicano la fórmla (5):

6 Fnciones eponenciales y logarítmicas Ejemplo : Derivar y ln (7 + ). Solción: En este ejemplo, el argmento es 7 +, es ecir qe 7 +. Así qe aplicano la fórmla (5): 7 + ( 7 + ) 7 7 +

7 Fnciones eponenciales y logarítmicas Ejemplo : Obtener la erivaa e y ln ( - + 7). Solción: El argmento es - + 7, esto es qe Utilizano la fórmla (5): + ( + 7) Ejemplo 4: Calclar la erivaa e y ln Solción: El argmento el logaritmo es, por lo qe empleano la fórmla (5):

8 Fnciones eponenciales y logarítmicas Por la ley e la herrara: Otra forma: Como y ln es lo mismo qe y ln, se pee aplicar la tercera propiea e los logaritmos, página, qe leía e erecha a izqiera se tiene qe y (- ) ln, es ecir qe la fnción a erivar es y - ln. qe es el mismo resltao obtenio antes. 4

9 Fnciones eponenciales y logarítmicas Ejemplo 5: Hallar la erivaa e y ln Solción: El argmento es, e moo qe empleano la fórmla (5): ( ) / ( ) ( ) / ( ) ( ) Aplicano la ley e la herrara: ( ) 5

10 Fnciones eponenciales y logarítmicas Otra forma: Como y ln es lo mismo qe y ln, aplicano la ª propiea e los lo- / ( ) garitmos, página, leía e erecha a izqiera se tiene qe y ln, por lo qe: qe es el mismo resltao obtenio antes. Ejemplo 6: Calclar la erivaa e y ln 5 Solción: El argmento es. Empleano la fórmla (5): 5 6

11 Fnciones eponenciales y logarítmicas 5 5 ( 5 ) / ( ) ( ) / ( ) ( ) 5 0 ( ) 4 / 5 5 Por la ley e la herrara: ( ) / 7

12 Fnciones eponenciales y logarítmicas ( ) 4/ ( ) / Recorano qe para simplificar cano se tiene la misma base se restan los eponentes: 0 ( ) ( 5 ) 0 ( ) / 5 0 ( ) Simplificano nevamente: Ejemplo 7: Derivar y e. Solción: Empleano la fórmla (6), one : 8

13 Fnciones eponenciales y logarítmicas e e e Ejemplo 8: Obtener la erivaa e y e 5 - Solción: Aplicano la fórmla (6), one 5 - : e ( 5 ) 5 e 5 5 Ejemplo 9: Hallar la erivaa e y e Solción: Por la fórmla (6), en one : e 9

14 Fnciones eponenciales y logarítmicas e / e e Orenano conforme a las reglas e escritra matemática: e Ejemplo 0: Hallar la erivaa e y e 6 Solción: Como se trata e n procto, ebe emplearse la fórmla (7) e la página 77: ( v) v + v en one y v e e + e v v 0

15 Fnciones eponenciales y logarítmicas Para la primera erivaa peniente se emplea la fórmla (6) e e 6 ( ) e ( ) e 6 + e 6 6 Orenano conforme a las reglas e escritra matemática: 6 e e Ejemplo : Calclar la erivaa e y e ln Solción: Como se trata e n procto, ebe emplearse la fórmla e v: e ln + ln e v v Para la primera erivaa peniente se tiliza la fórmla (5) el logaritmo natral y para la segna erivaa peniente la fórmla (6) e e :

16 Fnciones eponenciales y logarítmicas e ln e + e + ln e Finalmente, orenano conforme a las reglas e escritra matemática: e + e ln Ejemplo : Derivar y sene Solción: La fnción es e la forma sen ; one el argmento es e. Por lo tanto, empleano la fórmla (9) e la página 9 se tiene qe sen e cos e e cos e e cos e e ( ) Finalmente, orenano conforme a las reglas e escritra matemática:

17 Fnciones eponenciales y logarítmicas e cos e Ejemplo : Hallar la erivaa e y ln sec Solción: La fnción tiene la forma e ln, one el argmento es sec, por lo tanto ebe tilizarse la fórmla (5) e la página : ln sec sec sec La erivaa peniente tiene la forma e sec, one el argmento e la secante es, por lo qe ahora ebe emplearse la fórmla () e la página 9: tan sec sec tan sec sec tan sec sec [ ] tan

18 Fnciones eponenciales y logarítmicas Ejemplos avanzaos: y ln Ejemplo 4: Obtener la erivaa e ( ) ( ) ( ) 4 Solción: Como ln 6 5 ln 6 5, la fnción tiene la forma e n, e manera qe empleano la fórmla (6) e la página 69: 4 ( ) 4 4 ln 6 5 ln( 6 5 ) n n - ( ) ( 6 5) ln ( 6 5) La erivaa peniente es e la forma n, por lo qe ebe emplearse nevamente la fórmla (6) e la página 69: ( ) ( ) ln ( 6 5) ( 6 5) ( ) ( ) ( 6 5) ln ( 6 5) 4

19 Fnciones eponenciales y logarítmicas Finalmente simplificano, mltiplicano 4 6 y orenano conforme a las reglas e escritra matemática, se llega a ( ) ( 6 5) ln ( 6 5) ( 6 5) ln Ejemplo 5: Derivar y ln( sen 5) Solción: El argmento el logaritmo natral es sen 5, por lo tanto sen 5. Utilizano la fórmla el logaritmo natral: sen 5 sen 5 La erivaa peniente sen 5 es n procto, o sea e la forma v, e manera qe aplicano la fórmla el procto se obtiene v v sen 5 + sen 5 sen 5 5

20 Fnciones eponenciales y logarítmicas Ahora, la primera erivaa peniente es e la forma sen : cos5 5 sen5 + sen 5 5 cos 5 + sen 5 sen 5 Ejemplo 6: Hallar la erivaa e y ln Solción: La fnción a erivar se pee escribir como y ln, qe toma la forma e n, one ln y n -. Utilizano entonces icha fórmla se llega a qe: ln ln n n - La erivaa peniente es e la forma ln, con : 6

21 Fnciones eponenciales y logarítmicas ln ln ln ( )( ) ln ln otra forma: Por las propieaes e los logaritmos, la fnción original se pee escribir como y ln ln ( ln ) y ( ln ) (El eponente el argmento pasa como coeficiente el logaritmo). 7

22 Fnciones eponenciales y logarítmicas La cal tiene la forma e n, con - ln y n -. ( ln ) ( ln ) n n - ( ln ) ( ln ) ln ( ) Nevamente, por las propieaes e los logaritmos, pasano el coeficiente el logaritmo como eponente el argmento: ( ) ln ln 8

23 Fnciones eponenciales y logarítmicas EJERCICIO Obtener la erivaa e las sigientes fnciones: y ln 6 ) ) ) 4) y ln ( + 7) y ln( ) y ln 8 5) y ln 8 6) 5 y ln 7 6 7) y ln 8) 7 ( ) 5 y ln 7 6 9) y ln 0) 4 y e ) y e ) y e / 7 ) 4) y 5e 6 5) 6) y y e 7 e / y e 5 8 7) y ( 5 ) ln( 5 ) 8) y ln Avanzaos: 5 9) y ln 9 0) y ln( 5 ) y senln( 7 6) 5 ) y tane ) y cosln( 6 ) ) y csce 6 4) 9

24 Fnciones eponenciales y logarítmicas 5) y cot4ln5 6) y ln 8 ( 8 9) ( ) 7) y ln 7 8) y 4 9 e ( ) ) y ln 5 0) y 5 4 ln y ln 5 ( 7) 6 ) y lncot ) y e y sen ) 4) e 6 0