Cálculo I. Índice Reglas Fundamentales para el Cálculo de Derivadas. Julio C. Carrillo E. * 1. Introducción 1. 2.

Transcripción

1 3.2. Reglas Funamentales para el Cálculo e Derivaas Julio C. Carrillo E. * Ínice 1. Introucción 1 2. Reglas básicas 3 3. El Álgebra e funciones erivables 4 4. Regla e la caena 8 * Profesor Escuela e Matemáticas, UIS.

2 1. Introucción En esta sección se estuian las reglas e la erivaa, las cuales permiten en muchos casos calcular la erivaa e la función e una manera más eficiente y sin involucrar los largos procesos numéricos o algebraicos y e cálculo e límites que involucra la efinición e la erivaa: f(x + h) f(x) lím h!0 {z h } reglas el límite (algebraico) Sección anterior = f 0 (x) {z } reglas e la erivaa (analítico) Esta sección Por ejemplo, para la función f(x) =x 2 en x =1, se tienen hasta ahora tres formas e calcular f 0 (1) = lím h!0 f(1 + h) f(1) h (1 + h) 2 1 =lím h!0 h, g(h) = (1 + h)2 1. h 1. Proceso numérico, tabla e valores: h! 0 1 0,5 0,25 0,1 0,001 0,0001 0, , g(h)! 2 1 1,5 1,75 1,899 1,9989 1, , ,99999 lím h!0 g(h) =2 h! ,5 0,25 0,1 0,001 0,0001 0, , g(h)! 2 3 2,5 2,25 2,100 2,0009 2, , , lím g(h) =2 h!0 + Por lo tanto, f 0 (1) = lím h!0 f(1 + h) f(1) h c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón e clase 1/22 =2.

3 2. Proceso algebraico, reglas e límite: f 0 f(1 + h) f(1) (1) = lím h!0 h (1 + h) 2 1 =lím h!0 h ((1 + h) 1)((1 + h)+1) =lím h!0 h h(2 + h) =lím h!0 h =lím(2 + h) h!0 =2. Por lo tanto, f 0 (1) = lím h!0 f(1 + h) f(1) h =2. 3. Proceso analítico, reglas e la erivaa: f 0 (1) = f 0 (x) x=1 = x 2 0 x=1 =2x x=1 =2. c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón e clase 2/22

4 2. Reglas básicas Teorema 1. (Derivaa e una constante) Para cualquier número real c, Demostración. Sea f(x) =c. Entonces, Ya sabemos que Si n es un entero positivo, (c) 0 =0 f 0 (x) =lím h!0 f(x + h) f(x) h (x) =1, x (x + h) n x n x (xn )=lím h!0 h o x (x2 )=2x, (c) =0. x =lím h!0 c c h = lím h!0 (h6=0) x (x3 )=3x 2. 0 h =0. ((x + h) x) (x + h) n 1 +(x + h) n 2 x + +(x + h)x n 2 + x n 1 =lím h!0 h h (x + h) n 1 +(x + h) n 2 x + +(x + h)x n 2 + x n 1 =lím h!0 h =lím (x + h) n 1 +(x + h) n 2 x + +(x + h)x n 2 + x n 1 h!0 = x n 1 + x n x n 1 + x n 1 (n veces) = nx n 1. c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón e clase 3/22

5 Teorema 2. (Derivaa e una potencia, versión general) Para cualquier número real r, con r 6= 0, (x r ) 0 = rx r 1 o Ejemplo 1. Derive las siguiente funciones. 1. f(x) =15x 100 3x 12 +5x g(t) =2t 6 +7t y =8z 2 3 z T (x) = p x +9 3p x 2 2 5p x 3. x (xr )=rx r El Álgebra e funciones erivables Teorema 3. Sean f y g funciones que son erivables en x. Entonces: 1. (Regla e la suma) La función f + g es erivable en x, y (f(x)+g(x)) 0 = f 0 (x)+g 0 (x) o f (f(x)+g(x)) = x x (x)+g x (x). 2. (Regla e homogeneia) Si c es un número real, la función cf es erivable en x, y (cf(x)) 0 = cf 0 (x) o x (cf(x)) = c x f(x). c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón e clase 4/22

6 3. (Regla el proucto) La función fg es erivable en x, y (f(x)g(x)) 0 = f 0 (x)g(x)+f(x)g 0 (x) o x (f(x)g(x)) = f g x (x) g(x)+f(x) x (x). 4. (Regla el cociente) Si g(x) 6= 0, entonces la función f/g es erivable en x, y f g 0 f(x) = g(x)f 0 (x) f(x)g 0 g(x) (x) f(x) x (x) f(x) x (x) o =. g(x) (g(x)) 2 x g(x) (g(x)) 2 Demostración. Se emuestra la regla el proucto, ejano las emás para consulta en el texto. Sea u(x) =f(x)g(x). Si h 6= 0se tiene que u(x + h) u(x) f(x + h)g(x + h) f(x)g(x) = h h f(x + h)g(x + h) f(x)g(x + h)+f(x)g(x + h) f(x)g(x) = h f(x + h) f(x) g(x + h) f(x) = g(x + h)+f(x). h h Como g es continua en x, entonces lím g(x + h) =g(x). Comof y g son erivables en x, se sigue el h!0 teorema e las propieaes e límite que u(x + h) u(x) lím = f 0 (x)g(x)+f(x)g 0 (x). h!0 h Entonces u(x) =f(x)g(x) es erivable en x y la formula e la erivaa el proucto aa se cumple. c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón e clase 5/22

7 Ejemplo 2. Encontrar la erivaa e la función y =(x 3 +1) 2x 2 + =(x 3 +1) 4x + (x2 +2) x x x x (x2 +2) (x 2 +2) 2 =(x 3 +1) 4x + (x2 +2) x(2x) +3x 2 2x 2 + (x 2 +2) 2 =(x 3 +1) 4x + 2 x2 +3x 2 2x 2 + x (x 2 +2) 2 x +2 =(x 3 +1) 4x + 2 x2 ) +3x 2 2x 2 + x (x 2 +2) 2 x +2 x. x 2 +2 Solución. Se aplican las reglas e la erivaa el proucto, e la suma y el cociente: y x =(x3 +1) 2x 2 + x + 2x 2 + x x x 2 +2 x 2 +2 x (x3 +1) =(x 3 +1) x (2x2 )+ x + 2x 2 + x (3x 2 ) x x 2 +2 x 2 +2! +3x 2 2x 2 + x x 2 +2 Ejercicio 1. Encontrar la erivaa e las siguientes funciones. 1. y =(x 3 2x 2 +3)(7x 2 4x). 2. y =(4x +1)(2x 2 x)(x 3 8x). 3. y = 3x2 p x 2x 3 +5x x x +2 c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón e clase 6/22

8 4. y = 3p x 2 (2x x 2 ). Ejercicio 2. Resuelva los siguientes problemas. 1. Encuentre la ecuación e la recta tangente a la gráfica e y =(1+ p x)(x 2) en x =4. 2. Encuentre los puntos sobre la gráfica e la función y = (x2 +1)(2x 2 +1) 3x 2 +1 horizontal. 3. La posición e un objeto en el tiempo t (en horas) es aa por la función, s(t) =2t 3 21t 2 +60t 10. one la recta tangente es Determine cuano el objeto se está movieno a la izquiera (s 0 (t) < 0) y cuano se está movieno a la erecha (s 0 (t) > 0). 4. Suponga que la cantia e aire en un balón en el tiempo t está aa por la función V (t) = 6 3p t 4t +1. Determine si el balón estás sieno inflao o esinflao cuano t =8. Ejercicio 3. Sea y = x 2x +1. Calcule y0, y 00,yy 000. c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón e clase 7/22

9 4. Regla e la caena Derivaa e potencias Supongamos que se esea erivar la función y =(x 5 +1) 2. Al escribir esta función como el proucto y =(x 5 +1)(x 5 +1) y aplicar la regla e la erivaa el proucto e funciones, se tiene De tal manera, que poemos suponer que x (x5 +1) 2 =(x 5 +1) x (x5 +1)+(x 5 +1) x (x5 +1) =2(x 5 +1) x (x5 +1) =2(x 5 +1) 5x 4. x (3x3 +2x +1) 5 =5(3x 3 +2x +1) 4 x (3x3 +2x +1)=5(3x 3 +2x +1) 4 (9x 2 +2). El siguiente teorema establece que esto es cierto. Teorema 4 (Regla e potencia para funciones). Sea r cualquier número real. Si u = g(x) es erivable en x entonces x (g(x))r = r (g(x)) r 1 g x (x) o x (ur )=ru r 1u x. c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón e clase 8/22

10 Ejercicio 4. Encontrar las erivaas e las siguientes funciones. 1. y = 2. y = 1 (x 5 x 3 +2) p x y = (x2 1) 3 (5x +1) y = r 2x 3 8x 1. Regla e la caena Derivaa e una composición e funciones En el teorema anterior se estableció una formula para la composición e las funciones u = g(x) y f(u) =u r. De manera más general se establece el siguiente resultao. Teorema 5 (Regla e la caena). Se supone que la función y =(f g)(x) =f(g(x)) está bien efinia. Si g es erivable en x y f es erivable en u = g(x) entonces la función compuesta y = f(g(x)) es erivable en x, y (f(g(x))) 0 = f 0 (g(x))g 0 (x) o x (f(g(x))) = f g x (g(x)) x (x) o y x = y u u x. c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón e clase 9/22

11 Ejemplo 3. Calcule f 0 (1) cuano f(x) =(3x 3 x) 7. Solución. Por regla e la caena, Entonces f 0 (1) = 7(2 6 )(9) = f 0 (x) =7(3x 3 x) 6 x (3x3 x) =7(3x 3 x) 6 (9x 1). Ejercicio 5. Calcule la erivaa e las siguientes funciones. 1. y =(1 3x 3 ) y = 1 (s 4 s +1) 3/4. 3. y =(4x 2 +1) x 4. y =. 1+x 5. v = wp w (3w 3 +1) 6. (t +1)3 6. s = (2t +1) 5. p t4 + t 7. a = t 3. (t 1) 2 c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón e clase 10/22

12 Derivaa implícita En esta sección se emuestra como se encuentra la erivaa e una curva que no está efinia por una función e manera explícita. Curvas en el plano. La representación algebraica e una curva C en el plano puee ser: 1. Explícita: son curvas el plano que son la gráfica e funciones escalares, C = {(x, y) 2 R 2 : y = f(x), x2 I} = G f, o C = {(x, y) 2 R 2 : x = g(y), y2 J} = G g, one I y J son intervalos en R, f y g funciones. (prueba e la recta vertical) (prueba e la recta hotizontal) c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón e clase 11/22

13 2. Implícita: no son gráfica e una función escalar, C = {(x, y) 2 R 2 : E(x, y) =0}. No toa ecuación algebraica en os variables efine una curva en el plano: x 2 + y 2 =0. Ejemplo 4. Al resolver las ecuaciones x 2 + y =4, x+ y 2 =4, para y y para x, respectivamente, se encuentra que ellas efinen explícitamente las funciones f(x) =4 x 2, g(y) =4 y 2. Las gráficas e estas os curvas son e tipo parabólico, o simplemente parábolas. Por otro lao, la ecuación x 2 + y 2 =4 (1) no efine explícitamente ninguna función e x o e y. Al resolver esta ecuación para y se encuentra que y = ± p 4 x 2, 2 apple x apple 2. En tal caso, se puee ecir que la ecuación (1) efine explícitamente las funciones f(x) = p 4 x 2, g(x) = p 4 x 2, 4 apple x apple 4. c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón e clase 12/22

14 No es función Función implícita Función implícita Ejemplo 5. La gráfica e la ecuación x 3 + y 3 =3xy es una curva llamaa hoja e Descartes. Eneste caso no es tan fácil resolver la ecuación para una e sus variables. En la siguiente figura se muestra esta curva y os porciones e ella que efinen funciones implícitas en la variable x. c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón e clase 13/22

15 Derivaa implícita. En general, no es posible resolver una ecuación E(x, y) =0para una función implícita e x. En algunos casos es posible eterminar varias funciones implícitas en un cierto intervalo e x. A pesar e ello, se puee suponer que en esta ecuación y = f(x) e manera implícita y entonces se etermina la erivaa y por meio e un proceso llamao erivación implícita. x Ejemplo 6. Encuentre y x si x2 + y 2 =4. Solución. Se consiera que en esta ecuación y = f(x) e manera implícita. Como en este caso se tiene que x xn = nx n 1, x yn = ny n 1y x, n 2 N, al erivar ambos miembros e esta ecuación se tiene: Al espejar la erivaa se obtiene x x2 + x y2 = x 4 2x +2y y x =0. y x = x, y 6= 0 2 <x<2. y c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón e clase 14/22

16 Ejercicio 6. Encuentre la ecuación e la recta tangente a la curva e ecuación x 2 + y 2 =4en los puntos corresponientes a x =1. Ejercicio 7. Encuentre y x aas las siguientes ecuaciones. 1. x 4 + x 2 y 3 y 5 =2x x 3 y 5 +3x =8y y 3 x 6 + y 6 x 3 =2x x + y x y = x. c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón e clase 15/22

17 Derivaa implícita e oren superior. en cuenta: y 2 x = x y, x Las erivaas implícitas e oren superior se hacen tenieno 3 y x = 3 x 2 y,... x 2 que se eben utilizar las reglas e la erivaa, y aemás que se eben reemplazar las erivaas implícitas anteriores para obtener una erivaa implícita e un eterminao oren. Ejemplo 7. Encuentre 2 y x 2 para x2 + y 4 =4. Solución. erivano implícitamente con respecto a x, 2x +4y 3y x =0=) y x = x 2y3,y6= 0. La seguna erivaa se hace e manera implícita y con respecto a x: 2 y x = y = x 2y 3 x 6y 2 y x = 2 x x x 2y 3 (2y 3 ) 2 = y 3xy2 y y 3xy 2 x x 2y = 3, y 6= 0 2y 6 2y 6 = y + 3 x 2 2 y. 2y 6 c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón e clase 16/22

18 Función inversa y su erivaa En esta sección se estuia la existencia e la función inversa meiante la erivaa e la función. Teorema 6 (Continuia e la función inversa). Sea f una función continua y uno a uno sobre su ominio D f.entoncessufuncióninversaf 1 existe y es continua sobre su ominio. Ejemplo 8. La función f(x) = x 2 es continua y uno a uno para x 0; su inversa es la función f 1 (x) = p x la cual es continua para too x 0. También, la función f(x) =senx es continua y uno a uno para 2 apple x apple 2 ;suinversaf 1 (x) =sen 1 x es continua para 1 apple x apple 1. Las funciones que son estrictamente crecientes o estrictamente ecrecientes en su ominio son uno a uno. Definición 1 (funciones estrictamente crecientes y estrictamente ecrecientes). Suponga que y = f(x) es una función efinia sobre un intervalo I, y que x 1 y x 2 son os números cualesquiera en el intervalo tales que x 1 <x Se ice que f es estrictamente creciente sobre el intervalo I si f(x 1 ) <f(x 2 ). 2. Se ice que f es estrictamente ecreciente sobre el intervalo I si f(x 1 ) >f(x 2 ). Teorema 7 (Existencia e la función inversa). Sea f una función que es continua y estrictamente creciente sobre un intervalo [a, b]. Entoncesf 1 existe y es continua y estrictamente creciente sobre [f(a),f(b)]. c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón e clase 17/22

19 Observación 1. Se tienen las siguientes: 1. El teorema 7 también se cumple cuano se cambia la palabra creciente por la palabra ecreciente y el intervalo en la conclusión se reemplaza por [f(b),f(a)]. 2. Por el teorema 7 se concluye que si f es continua y estrictamente creciente en su ominio entonces f 1 existe y es continua y estrictamente creciente sobre su ominio. 3. De la figura anterior también se observa que si f en el teorema 7 es una función erivable en el intervalo abierto (a, b), entonces a) si f 0 (x) > 0 sobre (a, b) entonces f es estrictamente creciente sobre el intervalo [a, b],y b) si f 0 (x) < 0 sobre (a, b) entonces f es estrictamente ecreciente sobre el intervalo [a, b]. El siguiente teorema permite establecer una relación entre función erivables y uno a uno. c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón e clase 18/22

20 Teorema 8 (Derivabilia e la función inversa). Suponga que f es una función erivable sobre un intervalo abierto (a, b). Sif 0 (x) > 0 sobre el intervalo o f 0 (x) < 0 sobre el intervalo, entonces f es uno auno.aemás,f 1 es erivable para toa x en la imagen e f. En consecuencia, f 0 (x) > 0 en I =) f es estrictamente creciente en I =) f es uno a uno en I =) f tiene una inversa en I Lo mismo es cierto si f 0 (x) < 0 en I. Ejemplo 9. Demuestre que la función f(x) =5x 3 +8x 9 tienen una inversa. Solución. El omino e f es too R. Comof es un polinomio, es erivable en too R. Dao que f 0 (x) =15x 2 +8> 0 para too x en R entonces f es estrictamente creciente en R. Porelteorema8,f es uno uno y entonces su inversa f 1 existe, es continua y erivable en el rango e f. A fin e obtener la erivaa e la función inversa e una función que es uno a uno y erivable, se consiera el siguiente análisis. Sea f 1 la inversa e la f. En este caso se tiene que f(f 1 (x)) = x. (2) Si u = f 1 (x) es erivable en x y y = f(u) es erivable en u entonces se tiene que la función f(f 1 (x)) es erivable en x. Así que erivano ambos miembros e (2) con respecto a x y utilizano la regla e la caena se tiene que x f(f 1 (x)) = x x =) f 0 (f 1 (x))(f 1 ) 0 (x) =1=) (f 1 ) 0 (x) = 1 f 0 (f 1 (x)). c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón e clase 19/22

21 Teorema 9 (Derivaa e la función inversa). Suponga que f es erivable sobre un intervalo I yque f 0 (x) nunca es cero sobre I. Sif tiene una inversa f 1 sobre I, entoncesf 1 es iferenciable en un número x y f 1 x (x) = 1 f 0 (f 1 (x)). Ejemplo 10. Encuentre la erivaa e la inversa e la función f(x) =5x 3 +8x 9. Solución. El ominio e f es too R. 1. La función polinómica f es erivable en R y entonces es continua en este intervalo. 2. Puesto que lím f(x) = x!±1 entonces el rango e f es también too R. lím x!±1 5x3 = ±1, 3. f 0 (x) =15x 2 +8> 0 para too x, f es estrictamente creciente en too su ominio. Se sigue, 1. Del teorema 8 que f tiene una inversa f 1 que es erivable en too R. 2. Del teorema 9 se puee obtener la erivaa e f: (f 1 ) 0 (x) = 1 f 0 (f 1 (x)). c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón e clase 20/22

22 En este caso la ecuación e la función es y =5x 3 +8x 9. Para encontrar la inversa f 1 e f se ebe resolver para y la ecuación e la inversa, x =5y 3 +8y 9, lo cual es ifícil. No obstante, existen os formas e calcular la inversa e f. a) De la regla e la caena, y x x y one y = f(x) y x = f 1 (y). Enestecaso, x =1=) y = 1 y x x y = 1 15y b) La más usual en estos casos es utilizar la regla e la caena en la ecuación x =5y 3 +8x 9, one y = f 1 (x): x x = x (5y3 +8y 9) =) 1=15y 2 y 0 +8y 0 =) y 0 =, 1 15y c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón e clase 21/22

23 Ejercicio 8. Para las siguientes funciones: (a) Determine si ellas tienen una inversa; (b) En caso e no serlo, obtenga un intervalo apropiao en one la función tenga una inversa; (c) Obtenga las erivaas e las funciones inversas corresponientes. 1. y =10x 3 +8x f(x) = 7x 5 6x 3 2x y = x 3 + x 2 2x 4. g(x) =x 4 2x 2 c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón e clase 22/22